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2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第08讲 几个基本初等函数(新)


第 8 讲 几个基本初等函数
本节主要内容有指数和对数的运算,幂函数 y= xn、指数函数 y ? a x ( a ? 0, a ? 1 )和对 数函数 y ? log a x ( a ? 0, a ? 1 ) ,指数方程和对数方程,指数不等式和对数不等式等.

A 类例题
例1 解不等式

1 3 ?2 ? . log

1 x 2
2



1 3 1 3 1 3 ?2? 或 ?2?? . ? 2 ? 等价于 log 1 x 2 log 1 x 2 log 2 1 x
2

2

2



1 7 1 1 ?? , ?? 或 2 log 1 x 2 log 1 x
2

2

所以 log 1 x ? ?2 或 log 1 x ? 0 或 ?
2 2

2 ? log 1 x ? 0 . 2 7

所以 x >4 或 0<x<1 或 1<x< 2 7 . 即不等式
2 1 3 ? 2 ? 的解集为 (0,1) ? (1,2 7 ) ? (4,??) . log 1 x 2
2

2

例 2 设 log2log1log x=log3log1log x=log5log1log z=0,则(
2 2 3 3 5 5



A.x<y<z B.z<x<y C.y<z<x D.z<y<x (1998 年江苏省数学夏令营数学竞赛) 分析 通过解三个对数方程,求出 x、y、z,再比较三个数得大小。 解 log2log1log x=0,? log1log x=1,
2 2 2 2

1 ? log x=2,?x= 2 log3log1log x=0,? log1log x=1,
3 3 3 3

4

2=

60

215;

1 6 ? log x=3,?y= 3= 3 log5log1log z=0,? log1log z=1,
5 5 5 5

60

310;

1 10 ? log z=5,?z= 5= 5 ∵23<32,?215<310.?x<y. ∵25>52,?215>56,?z<x. ∴ z<x<y,选 B.

60

56 ,

说明 涉及到指数和对数的大小比较,常用的方法:一是通过转化为同底、同指数或同真数, 利用函数得单调性加以判断;二是利用中间量加以传递。

a ? 1) 例 3 已知函数 f ( x) ? a x ? 3a (a ? 0, 的反函数是 y ? f
的图象与函数 y ? f
?1

?1

而且函数 y ? g ( x) ( x) ,

( x) 的图象关于点 (a,0) 对称.

(1)求函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)若函数 F ( x) ? f
?1

( x) ? g (? x) 在 x ? [a ? 2, a ? 3] 上有意义,求 a 的取值范围.

(2004 年天津数学竞赛) 解 (1)由 f ( x) ? a x ? 3a ( a ? 0 , a ? 1 ) ,得 f 又 函 数 y ? g ( x) 的 图 象 与 函 数 y ? f
?1

?1

( x) ? loga ( x ? 3a)

( x) 的 图 象 关 于 点 (a,0) 对 称 , 则

g (a ? x) ? ? f ?1 (a ? x) ,于是,
( x ? ?a ) g ( x) ? ? f ?1 (2a ? x) ? ? loga (?x ? a) . (2)由(1)的结论,有 F ( x) ? f 要使 F ( x) 有意义,必须 ?
?1

( x) ? g (?x) ? loga ( x ? 3a) ? loga ( x ? a) .

? x ? 3a ? 0, ,又 a ? 0 ,故 x ? 3a . ? x?a ? 0

由题设 F ( x) 在 x ? [a ? 2, a ? 3] 上有意义, 所以 a ? 2 ? 3a ,即 a ? 1 .于是, 0 ? a ? 1 .

情景再现
1 1.不等式 log2x-1+2log1x3+2>0 的解集为( )
2

A.[2,3) B.(2,3] C.[2,4) D.(2,4] (2004 年全国联赛一试) 2.若 a > 1, b > 1,,且 lg (a + b) = lg a + lg b,则 lg (a –1) + lg (b –1) 的值( A.等于 lg2 B.等于 1 C.等于 0 D.不是与 a, b 无关的常数 (1998 年全国高中数学联赛) 3.已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则实数a的取值范围是( A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D. [2,+∞ )

)

)

B 类例题
例 4 下列表中的对数值只有两个是错误的,请予纠正: x 0.021 0.27 1.5 2.8

lgx x lgx x lgx

2a+b+c-3 3 2a-b 8 3-3a-3c

6a-3b-2 5 a+c 9 4a-2b

3a-b+c 6 1+a-b-c 14 1-a+2b

1-2a+2b-c 7 2(a+c)

(1981 年全国高中数学联赛) 分析 所给数据互相关联,x 的 11 个值只涉及到质因子 2、3、5、7,利用对数得运算性质, 把所给的 11 个对数值转化成由 lg2=1-a-c、lg3=2a-b、lg7=2b+c 这三个值表示的式子,同时 抓住“只有两个值是错误的”这个条件进行分析。 解 因为 lg9==2lg3,而 4a-2b=2(2a-b), lg0.27=lg27-2=3lg3-2,而 6a-3b-2=3(2a-b)-2, 故此三数同对错;现只有两个数据错,故这三个数据都正确. 由 lg8=3lg2=3-3a-3c,?lg2=1-a-c, 而 lg6=lg2+lg3=1-a-c+2a-b=1+a-b-c; lg5=1-lg2=a+c;此三数同对错, 故此三数都正确. 由于 lg3, lg5 已证正确, lg1.5=lg15-1=lg3+lg5-1=2a-b+a+c-1=3a-b+c-1, 故 lg1.5 错误. 由于 lg0.021=lg3+lg7-3=2a-b+lg7-3=2a+b+c-3?lg7=2b+c; lg14=lg2+lg7=1-a-c+lg7=1-a+2b,?lg7=2b+c; lg2.8=lg7+2lg2-1=lg7+2-2a-2c-1=1-2a+2b-c,?lg7=2b+c; 故此三数同对错, 由于只有一个错, 故此三数皆正确. 从而 lg7=2b+c 正确. 于是 lg7=2(a+c) 错. 所以表中 lg1.5 与 lg7 的数据是错误的.应为 lg1.5=3a-b+c-1 及 lg7=2b+c. 例5 比较 log3 4 和 log4 5 的大小。 分析 由于 log3 4 和 log4 5 的底不同,转化为同底比较困难,可以考虑对两式进行适当变形或 寻求一个中间量进行传递。

4 , 3 5 5 log4 5 ? log 4 (4 ? ) ? 1 ? log 4 , 4 4 4 5 5 因为 log 3 ? log 3 ? log 4 , 3 4 4
解法一 log3 4 ? log 3 (3 ? ) ? 1 ? log 3 所以 log3 4 ? log 4 5 。 解法二 log3 4 ? log 4 5 ? 因为 lg 3lg 5 ? (

4 3

lg 4 lg 5 lg 2 4 ? lg 3lg 5 ? ? 。 lg 3 lg 4 lg 3lg 4

lg 3 ? lg 5 2 lg15 2 lg16 2 ) ?( ) ?( ) ? lg 2 4 , 2 2 2

所以 log3 4 ? log 4 5 ? 0 ,即 log3 4 ? log 4 5 。

说明 log3 4 ? log 4 5 推广到一般为: loga (a ? 1) ? log( a?1) (a ? 2)(a ? 1) 。 lg2x 例 6 关于 x 的方程lg(x+a)=2 中,a 为何实数时,方程无解?有一解?有两解? (1987 年高考题) ① ? ?2x>0, 解法一:已知方程同解于? x+a>0,且x+a?1;② ? 2x=(x+a)2. ③ ? 解③ : x2+2(a-1)x+a2=0, ④ ?=4(a-1) -4a =-4(2a-1) .
2 2

1 1 ⑴ -2a+1>0,?a< ,即当 a< 时,④ 有两不等实解, 2 2 由韦达定理知,此二解为正. x1=(1-a)- 1-2a,x2=1-a+ 1-2a, 显然 x2+a=1+ 1-2a>1,即 x1 满足① 、② , 又 x1+a=1- 1-2a,?x1+a≤0?a≤0, 1 即 a≤0 时 x1 不满足② ,当 0<a<2时,x1 满足① 、② . 1 ∴ 当 a≤0 时原方程有一解,当 0<a< 时,原方程有两解. 2 1 ⑵ -2a+1=0,?a= , 2 1 1 1 即当 a= 时,④ 有相等实根 x1=x2= ,但 x= 不满足② .故此时原方程无解; 2 2 2 1 1 ⑶ -2a+1<0,?a> ,即当 a> 时,④ 无实根,此时,原方程无解. 2 2 1 1 综上可知,当 a≥2时,原方程无解,当 0<a<2时原方程有两解,当 a≤0 时,原方程有一 解. 说明 转化成二次方程时,要注意未知数的取值范围得变化。 分析 方程得解的问题可以转化为研究函数图象的交点问题。 ① ? ?2x>0, 解法二已知方程同解于? x+a>0,且x+a?1;② ? ③ ? 2x=(x+a)2. 当 x+a=1 时,由③ x= 而 x=
1 ; 2

1 1 时,x+a=1,a= . 2 2 1 . 2

因为 x+a ≠1,所以 a≠

由① ③ ,x+a>0 当然成立. 由③ 得 x +2(a-1)x+a =0,
2 2

当其根的判别式△=0 时,a=

1 . 2 1 1 ,x≠ . 2 2

对于③ ,设 f(x)= 2 x ,g(x)=x+a(含参数,形式简单) ,其中 a≠

原方程的解即为函数 f(x) 、g(x)在同一个坐标系中的图象公共点的横坐标.如图, (1)当 a≤0 时,方程有且只有一解; (2)当 0<a< (3)当 a≥
1 时,方程有且只有两解; 2

1 时,方程的解集是空集. 2

1 ? 2 x ? 3 x ? ? ? (n ? 1) x ? a ? n x 例7 设 f ( x) ? lg ,其中a是实数,n是任意给定的自然数 n
且n≥2。如果f(x)当 x ? (??,1] 时有意义,求a的取范围。 (1990年高考题) 解:由题意知,当 x ? (??,1] ,n≥2时, 1 ? 2x ? 3x ? 所以 a ? ?[( ) ? ( ) ?

? ( n ?1) x ? a ? nx ? 0 恒成立。

1 x 2 x n ?1 x ?( ) ] 恒成立, x ? (??,1] , n n n k x 因为函数 ?( ) (k ? 1, 2, , n ? 1)在(??,1] 都是增函数, n 1 x 2 x n ?1 x ) ]在(??,1]上 也是增函数, 所以 ?[( ) ? ( ) ? ? ( n n n
从而它在x=1时取得最大值

1 2 ?( ? ? n n 1 因此, a ? ? ( n ? 1) 。 2

1 n(n ? 1) n ?1 1 2 ? )?? ? ? (n ? 1) 。 n n 2

也就是a的取值范围为 {a | a ? ?

1 (n ? 1)} 。 2

说明 对于不等式在某个区间A上恒成立,求某参数a的取值范围这一类问题,常采取“分离参 数法”, 将不等式转化为 a>f(x)对 x ? A 恒成立(或a<f(x)对 x ? A 恒成立), 这样就有a>f(x)的最 大值(或a<f(x) 最小值),故需求函数f(x)( x ? A )的最大值(或求函数f(x)( x ? A )的最小值)。从 而将不等式问题转化为函数问题。

情景再现
1 1 4.x= + 的值是属于区间( 1 1 log13 log13
2 5



A.(-2,-1) B.(1,2) C.(-3,-2) D.(2,3) (1983 年全国高中数学联赛)

5.对任何 x∈(1,a),都有( ) 2 2 A.loga(logax)<logax <(logax) C.logax2<loga(logax)< (logax)2 (上海市 1985 年高中数学竞赛)

B.loga(logax)< (logax)2< logax2 D.(logax)2<logax2<loga(logax)

6.已知 a>0,a≠1,试求方程 loga(x-ak)=loga (x2-a2)有解时 k 的取值范围.
2

(1989 年全国高考题) 7.已知奇函数 f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,且 f(-2)=-1,f(1)=0,当 x1>0,x2>0 时, 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2).求不等式 log2|f(x)+1|<0 的解集. (1992 年江苏省第三届高二数学通讯赛)

C 类例题
例 8 当 a 为何值时,不等式 log 1 ( x ? ax ? 5 ? 1) log 5 ( x ? ax ? 6) ? log a 3 ? 0 有且只有
2 2 a

一个解。 分析 此对数方程中,对数的底不相同,而且真数中又含有根式,可以考虑换底和换元,将 原不等式变得简洁一些,再加以解决。 解 易 知 a ? 0,a ? 1 。 设 u ?
2

x ? a5 ? x, 原 不 等 式 可 以 化 为

log3 ( u ? 1) 1 log5 (u ? 1) ? ?0。 ? log3 a log3 a
(1)当 0 ? a ? 1 时,原不等式为

log3 ( u ?1) log5 (u ?1) ? 1



由于当 u ? 0 时, log 与 log5 (u ? 1) 均 为 单 调 增 函 数 , 所 以 它 们 的 乘 积 3 ( u ? 1)

f (u) ? log3 ( u ?1) log5 (u ?1) 也为单调增函数。
因为 f (4) ? log3 ( 4 ?1) log5 (4 ?1) =1, 所以①式等价与 u ? 4 , 即 x ? ax ? 5 ? 4 。此不等式有无穷多解。
2

(2)当 a ? 1 时,原不等式为

log3 ( u ?1) log5 (u ?1) ? 1
由 f (4) ? 1 知,②等价与 0 ? u ? 4 , 即 0 ? x ? ax ? 5 ? 4 。
2



从上式知,只有当 x ? ax ? 5 ? 4 有唯一解(两个根相同)时,原不等式有且只有一解。
2

由 ? ? a ? 4 ? 0 得 a=2。此时不等式 0 ? x ? ax ? 5 ? 4 的解为 x=-1。
2 2

综上所述,原不等式当 a=2 时有且只有一个解。 说明 解决指数和对数不等式(方程)的常用方法是:通过对原式的变形,将其转化为同底的 不等式(方程) ,利用指数和对数函数的单调性加以解决。如不能化成同底,也常常考虑函 数的单调性,将原不等式(方程)转化为 f ( g ( x)) ? f (a) ( f ( g ( x)) ? f (a) )的形式加以 解决。

情景再现
8.解方程 log12 ( x ?
4

1 x ) ? log 9 x 。 2

习题 13
3 1.若 loga <1,则 a 的取值范围是( 5 3 A.0<a< 5 3 C. <a<1 5 3 B.a> 且 a≠1 5 3 D.0<a< 或 a>1 5 。 )

(湖南省 2001 年高中数学竞赛) 2.设 y=logax 对一切 x∈ [2,+∞)都有|y|≥1,则实数 a 的取值范围是 (1993 年江苏省高中数学竞赛) - 3.若(log23)x-(log53) x≥ (log23) –y-(log53) y,则( ) A.x-y≥0 B.x+y≥0 C.x-y≤0 D.x+y≤0 (1999 年全国高中数学联赛) 4.已知函数 f ( x) ? A. k ? (0, )

e x ? e?x 的反函数是 f e x ? e ?x

?1

( x) ,且

| f ?1 (?0.8) | ? k ,则( | f ?1 (0.6) |



1 2 3 C. k ? (1, ) 2

B. k ? ( ,1)

1 2 3 D. k ? ( ,2) 2

(2004 年天津高中数学竞赛题) 5.不等式 1+2x<3x 的解是_____________. (上海市 2003 年高中数学竞赛) 6.已知 x,y>10,xy=1000,则(lgx)(lgy)的取值范围是 。 (1999 年第十届“希望杯”全国数学邀请赛) 7.若方程 lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,则实数 k 的取值范围是 (四川省 1993 年高中数学竞赛) 8.已知 f(x)=1+logx5,g(x)=logx29+logx38,试比较 f(x)与 g(x)的值的大小.



(1981 年上海市高中数学竞赛) 9.设 α,β 分别是方程 log2x+x-3=0 和 2x+x-3=0 的根,求 α+β 和 log2α+2β 的值 ( 1998 年第九届“希望杯”全国数学邀请赛)

4(a+1) 2a (a+1)2 10. 设对所有的实数 x, 不等式 x2log2 +2xlog2 +log2 >0 恒成立, 求 a 的范围. a a+1 4 a2 (1987 年全国高考题) 11.设 x、y、z 为非负实数,且满足方程 4
5x+9y+4z

-68?2

5x+9y+4z

+256=0,求 x+y+z 的最大

值与最小值的乘积。 (1986 年全国高中数学联赛) - - - 12.设 a=lgz+lg[x(yz) 1+1],b=lgx 1+lg(xyz+1),c=lgy+lg[(xyz) 1+1],记 a,b,c 中的最大 数为 M,求 M 的最小值 (1997 年全国高中数学联赛) 本节“情景再现”解答: 3 1.解:令 log2x=t≥1,则 t-1>2t-2.解得 t∈ [1,2),所以 x∈ [2,4)。选 C. 2.解:由 lg (a + b) = lg a + lg b 得 a+b=ab,即(a-1)(b-1)=1。由 a-1>0,b-1>0,故 lg(a -1)(b-1)=0。选 C. 3.解:因为a是对数的底.故有a>0,∴ u=2-ax是减函数。 ∵ y=loga (2-ax) 是减函数, 由复合函数的增减性可知 y=logau 是增函数, ∴ a>1, ∵ 0≤x≤1, ∴ 0≤ax≤a,0≥-ax≥-a,2≥2-ax≥2-a,∵ 2-ax>0,∴ 2-a>0,∴ a<2,∴ 1<a<2.选 B。 4.解:x=log32+log35=log310∈(2,3)。选 D. 5. 解: 因为 x∈(1, a), 故 a>1. x<x2, 0<logax<1, 于是 logalogax<0<(logax)2<logax<logax2. 选 B. (x-ak)2=x2-a2,⑴ ? ? ⑵ 6. 解: (方法一) 由对数函数的性质可知, 原方程的解 x 应满足? x-ak>0, 2 2 ? x - a >0 , ⑶. ? 当⑴,⑵同时成立时,⑶显然成立,因此只需解?
2

? (x-ak)2=x2-a2,⑴ ? x-ak>0,

⑵.

由⑴得 2kx=a(1+k ) ⑷ 当 k=0 时,由 a>0 知⑷无解,因而原方程无解. a(1+k2) 当 k≠0 时,⑷的解是 x= . 2k 把⑸代入⑵,得 1+k2 2k >k. ⑸

解得:-∞<k<-1 或 0<k<1. 综上所得,当 k 在集合(—∞,-1)∪(0,1)内取值时,原方程有解. (方法二)原方程即 x-ak= x2-a2(x<-a 或 x>a). 1 a ∴ k=a(x- x2-a2)= . x+ x2-a2 当 x<-a 时,k 单调增,故得 k∈(-∞,-1);当 x>a 时,k 单调减,得 k∈(0,1). ∴ k∈(-∞,-1)∪(0,1)时原方程有解. 7.解:由题意知,函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数. 且 f(2)=1,f(-1)=f(1)=0.

1 1 因为 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2),所以 f( ?2)=f( )+f(2)=0, 2 2 1 1 即 f(2)=-1,f(-2)=1. 所以当 x<-1 或 0<x<1 时 f(x)<0;当-1<x<0 或 x>1 时,f(x)>0. 因为 f(2x)=f(2)+f(x)=f(x)+1.即求 log2|f(2x)|<0.即 0<|f(2x)|<1, 所以 0<f(2x)<1,-1<f(2x)<0. 1 1 得-2<2x<-1,-1<2x<-2,2<2x<1,1<2x<2. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ 解集为{x|-1<x<- 或- <x<- 或 <x< 或 <x<1},即(-1,- )∪(- ,- )∪( , ) 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 2 1 ∪( ,1). 2

1 log 9 x ? t ,则 x ? 92t ,于是 log12 (9t ? 3t ) ? t , 2 3 t 1 t t t t 所以 9 ? 3 ? 12 ,所以 ( ) ? ( ) ? 1 。 4 4 3 t 1 t ? ?) 上递减。 构造函数 f (t ) ? ( ) ? ( ) , f (t ) 在 (??, 4 4
8.解:设 当 t>1 时, f (t ) <f(1)=1; 当 t<1 时, f (t ) >f(1)=1。 所以 t>1 和 t<1 时, f (t ) ? 1 。 而 t=1 时, f (t ) =1,此时 x ? 9 ? 81。
2

经检验,x=81 是原方程的解。 习题”解答: 3 3 3 1.解:当 a>1 时,loga <0<1,当 0<a< 时,loga <1.故选 D. 5 5 5 2.解:当 0<a<1,x≥2 时,logax<0,所以-logax≥logaa 恒成立, 1 所以2≤a<1; 当 a>1,x≥2 时,logax>0,所以 logax≥1 恒成立,所以 1<a≤2. 1 所以a的取值范围为[2,1)∪ (1,2]. 3.解:记 f(t)=(log23)t-(log53)t,则 f(t)在 R 上是严格增函数. 原不等式即 f(x)≥f(-y).故 x≥-y,即 x+y≥0.选 B 4.解:令 f

1 (?0.8) =t,则 f(t)=-0.8,解得 f ?1 (?0.8) ? ln ;同理可得 f ?1 (0.6) ? ln 2 , 3 ln 3 3 ? log 2 3 ? ( , 2) 。选 D。 所以 k ? ln 2 2
?1

5.解:令 1+2x=3x,由图象知,x=1.则不等式 1+2x<3x 的解是 x>1. 6.解:由 x,y>10,xy=1000 得 lgx+lgy=3,lgx>1,lgy>1。 记 lgx=a(1<a<2),则 lgy=3-a, 9 3 9 所以 (lgx)(lgy)=3a-a2=4-(a-2)2∈(2,4]. 7.解: kx>0,x+1>0. (1)若 k<0,则-1<x<0,此时 y=lg(kx)的图象与 y=2lg(x+1)的图象在(-1,0)内有唯一 交点; (2)当 k>0,则 x>0,得 kx=(x+1)2,即 x2+(2-k)x+1=0, △=(2-k)2-4. 若△=0,k>0,得 k=4. 若△>0,即 k>4,此时方程 x2+(2-k)x+1=0 有两个正实根. 综上可得 k=4 或 k<0. 8.解:由题意知,x>0 且 x≠1,f(x)=logx5x,g(x)=logx3+logx2=logx6. 6 6 当 x>1 时,若 5x>6,即 x> 时,f(x)>g(x),若 5x<6,即 1<x< 时,f(x)<g(x);若 5x=6, 5 5 6 即 x=5时,f(x)=g(x); 当 0<x<1 时,此时 0<5x<6,得 f(x)>g(x). 6 6 6 ∴ 当 0<x<1 或 x> 时,f(x)>g(x);当 1<x< 时,f(x)<g(x);当 x= 时,f(x)=g(x). 5 5 5 9.解:在直角坐标系内分别作出函数 y=3-x,⑴ y=log2x,⑵ y=2x ⑶的图象, x 由于 y=log2x 和 y=2 互为反函数,所以⑵、⑶的图象关于直线 y=x 对称,而⑴的图象也 关于 y=x 对称, 从而⑴、⑵交点的横坐标 α 与⑴、⑶交点的横坐标 β 之和=3.纵坐标之和也=3.故 α+β 和 log2α+2β 的值都为 3. a+1 10.解:令 log2 a =m, 原不等式化为 x2(m+2)+2x(1-m)+2(m-1)>0. 此不等式恒成立的条件为

? a >0, ? a >0, 即 ? m+2>0, ? m>-2, ? ?=(1-m) -2(m+2)(m-1)<0. ? m<-5,或m>1.
a+1 a+1
2

? a >0, 解得? a+1 所以 0<a<1. >2 . ? a
a+1 11.解:令 2
5x+9y+4z

=t,则 t2-68t+256=0,所以(t-64)(t-4)=0,

解得 t=4,t=64. 当 5x+9y+4z=2,则 5x+9y+4z=4,所以 9(x+y+z)=4+4x+5z≥4, 4 即 x+y+z≥9;

4(x+y+z)=4-x-5y≤4,即 x+y+z≤1, 4 所以 x+y+z∈[9,1]。 当 5x+9y+4z=6,则 5x+9y+4z=36,所以 9(x+y+z)=36+4x+5z≥36,即 x+y+z≥4; 4(x+y+z)=36-x-5y≤36,即 x+y+z≤9. 所以 x+y+z∈[4,9]。 4 所以 x+y+z 的最大值与最小值的乘积=9?9=4. x 1 1 12.解:a=log(y+z),b=log(yz+x ),c=log(xz+y). 1 1 ∴ a+c=log( + +yz+x)≥2log2.于是 a、c 中必有一个≥log2.即 M≥lg2,于是 M 的最小 yz x 值≥lg2. 又当取 x=y=z=1,得 a=b=c=lg2.即此时 M=lg2.于是 M 的最小值≤lg2.∴ 所求 M 的最小值 为 lg2.

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