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第一章 第二讲 简易逻辑

时间:2017-07-02


第一章

集合与简易逻辑
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●基础知识 一、逻辑联结词 1.逻辑联结词有或、且、 非 . 2.不含 单命题和 逻辑联结 词的命题叫做简单命题,由简 逻辑联结词 构成的命题叫做复合命题.

3.复合命题的构成形式有p 或 q、p 且 q、非p. 4.判断下表中复合命题的真假: ①④⑥⑨?? 假 , 为 其余为真.

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第一章 p 真 真 假 假

集合与简易逻辑 q 真 假 真 假 非p ① ④ ⑦ ⑩ p或q ② ⑤ ⑧ ? p且q ③ ⑥ ⑨ ?
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二、四种命题 1.四种命题:一般地,用p和q分别表示原命题的条 件和结论,用┑ p和┑ q分别表示p和q的否定.于是四种命 题的形式为: 原命题:若p则q; 逆命题:若q则p;
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否命题: 若┑p则┑q ; 逆否命题: 若┑q则┑p .

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2.四种命题的关系:

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3.原命题为真,它的逆命题 不一定 为真; 原命题为真,它的否命题 不一定 为真; 原命题为真,它的逆否命题 一定为真. 4.反证法 欲证“若p则q”为真命题,从否定其结论即“非q”

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出发,经过正确的逻辑推理导出矛盾,从而“非q”为假, 真 即原命题为 ,这样的方法称为反证法.
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三、充分必要条件 1.若p?q,则p叫做q的 充分 条件;若q?p,则p叫 必要 做q的 条件;如果p?q,则p叫做q的 2.判断充要条件的方法: (1)定义法;(2)逆否法;(3)集合法. 逆否法: 若┑A?┑B,则A是B的 必要 条件,B是A的 充分 条 件; 若┑A?┑B且┑B/?┑A,则A是B的 件;
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充要 条件.

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必要非充分 条

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若┑A?┑B,则A与B互为 充要 条件; 若┑A/?┑B且┑B/?┑A,则A既不是B的 充分条 件 也 不是B的 必要条件. 集合法: 从集合观点看,建立命题p,q相应的集合.p:A= {x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立},那么: 若A?B,则p是q的 充分 条件;若A?B,则p是q的 充分非必要 条件;

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若B?A,则p是q的 必要 条 件 ; 若 B?A , 则 p 是 q 的 必要非充分 条件;
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若A=B,则p是q的 充要 条件;若AB且BA,则p既不 是q的 条件,也不是 充分 示意图为下图. 条件. 必要

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●易错知识 一、数学中的“或”与生活中的“或”混淆 1.命题:方程x2 -4=0的解为x=±2,使用的逻辑 联结词为________. 答案:“或”

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二、已知命题p、q写出复合命题“p或q”,“p且q”一 定注意所写命题要符合真值表. 2.下面写法对吗?它们与真值表相符吗? (1)p或q:方程(x-1)(x-2)=0的根是x=1或x=2; (2)p且q:四条边相等且四个角相等的四边形是正方 形. 你知道应该怎样写吗? 答案:不对,与真值表不相符. p或q:方程(x-1)(x-2)=0的根是x=1或方程(x-1)(x -2)=0的根为x=2. p且q:四个角相等的四边形是正方形且四条边相等的四 边形是正方形.
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三、命题的否定与否命题的混淆 3 . 存 在 一 个 实 数 x , 使 得 x2 + x + 1≤0 的 否 定 是 ________________________________ ; 否 命 题 是 __________________________________________________ __________. 答案:命题的否定是:“不存在实数x使得x2 +x+ 1≤0”,即“对所有的实数x,有x2 +x+1>0” 否命题是:

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“不存在实数x,使得x2 +x+1>0”,即“对所有的实数x, 有x2+x+1≤0”

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4. 已知全集 U=R, A?U, B?U, 如果命题 p: 3∈A∪B, 则命题“非 p”是 A. 3?A C. 3?A∩B
`

( B. 3∈?UB D. 3∈(?UA)∩(?UB)

)

解题思路:由题意,非 p: 3?A∪B, ∴ 3∈?U(A∪B),即 3∈(?UA)∩(?UB).故选 D.

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失分警示: ∵U=R, 3?A∪B, 3∈?U(A∪B). ∴ 即 然 后根据?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB)即得结果.此题考查的是 “非 p”命题的表达,不要与否命题混淆,误区中易犯此 错误.解题时一定要注意区分清楚.

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答案:D
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四、判断充分必要条件时,因分不清命题的条件和结 论而失误. 5 . 若 p : α = β , q : tanα = tanβ , 则 p 是 q 的 ____________________条件. 答案:既不充分也不必要

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五、用反证法证明问题时,结论的反面不能一一列举 出来. 6.用反证法证明命题:“若整数系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么a、b、c中至少有一个 是偶数”,则应假设____________________________. 答案:a、b、c都不是偶数

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●回归教材 1.命题“2012≥2011” A.使用了逻辑联结词“或” B.使用了逻辑联结词“且” C.使用了逻辑联结词“非” D.是假命题 解 析 : “ 2012≥2011” 是 指 “ 2012 > 2011 或 2012 = 2011”,故选A. 答案:A ( )

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2.(2009·江西,1)下列命题是真命题的为 1 1 A.若x =y ,则 x=y
2

B.若 x =1,则 x=1
2 2

D.若 x<y,则 x <y C.若 x=y,则 x= y 1 1 解析:对于 A,由 = 可得 x=y,因此 A 正确;对于 B, x y

由 x2=1 不能确定 x=1,因此 B 不正确;对于 C,由 x=y 不能得出 x= y,因为 x,y 可能取负值,因此 C 不正确; 对于 D,由 x<y 不能得出 x2<y2,如-3<2,而(-3)2>22, 因此 D 不正确.综上所述,选 A. 答案:A
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3.用反证法证明“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0”时 的假设应为 A.x=1或x=2 C.x2-3x+2≤0 ( )

B.x2-3x+2=0 D.x2-3x+2>0

解析:用反证法证明命题中的假设是原命题结论的否
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定,“x2-3x+2≠0”的否定为“x2-3x+2=0”,故选B. 答案:B
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4.(教材改编题)设集合P={x|-1≤x≤1},Q={x|- 2≤x≤1}.则“x∈P”是“x∈Q”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:∵P?Q,∴“x∈P”是“x∈Q”的充分不必 要条件. 答案:A ( )

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5.(2010·安徽,11)命题“存在x∈R,使得x2+2x+ 5=0”的否定是________________________. 解析:“存在”的否定是“任何”,“=”的否定是 “≠”. 答案:对任何x∈R,都有x2+2x+5≠0

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命题是数学中最基本的判断语句,命题的基本要素就 是“条件”与“结论”.一个命题的“真”或“假”是唯 一确定的,不存在亦真亦假的命题.复合命题的真假常借 助真值表判断.
【例 1】 已知命题 p:不等式|x-1|>m 的解集是 R.命

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2-m 题 q:f(x)= x 在区间(0,+∞)上是减函数.若命题“p 或 q”为真,命题“p 且 q”为假,则实数 m 的取值范围是 (
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集合与简易逻辑 B.(0,2) D.(-∞,2)
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A.(-∞,0) C.[0,2)

解析:方法一:由题意可知p、q两命题有且只有一个 是真命题. (1)p真q假:当p真时,m<0;当q假时,m≥2;此种情 况不可能. (2)p假q真:当p假时,m≥0;当q真时,m<2;此时

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0≤m<2. 由(1)(2)可得m的取值范围是[0,2),故选C.

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方法二:(1)当m=0时,命题p为“不等式|x-1|>0的 解集是R”,是假命题;命题q为“f(x)=在区间(0,+∞) 上是减函数”,是真命题,此时“p或q”为真,“p且q” 为假,符合题意,所以排除选项A、B.(2)类似地,可以验 证m=-1不符合题意,排除选项D,故选C. 答案:C 点评:方法一中,由已知判定“p、q中有且只有一个 命题是真命题”为解题的关键.方法二中,特殊值的恰当 选取是验证法解题的关键.

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指出下列复合命题的形式及其构成,并判断复合命题 的真假: (1)10≤10; (2)方程x2-6x+1=0没有实数根; (3)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 解析:(1)是“p或q”形式的复合命题, 其中p:10=10;q:10<10,为真命题; 也可认为是“非p”形式的复合命题,其中p:10>10.

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(2)是“非p”形式的复合命题, 其中p:方程x2-6x+1=0有实根,为假命题. (3)是“p且q”形式的复合命题, 其中p:有两个角为45°的三角形是等腰三角形; q:有两个角为45°的三角形是直角三角形,为真命 题. 反思归纳:学习逻辑知识,要学会把复杂命题分拆成 简单命题的组合,从而化归为对简单命题的判断,达到判 定复合命题真假的结果,并会运用简单命题去构造新的命 题.
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《走 向 高

四种命题反映出命题之间的内在联系,要注意结合实 际问题,理解其关系.在判断四种命题之间的关系时,首 先要注意分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件 与结论之间的关系.这种关系是相对的,一旦一个命题定 为原命题,也就相应地有了它的逆命题,否命题,逆否命 题.

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集合与简易逻辑 判断命题“若a≥0,则x2 +x-a=0有实根”
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【例2】

的逆否命题的真假. 命 题 意 图: 本 题 主 要 考 查 四种 命 题 及 其 真 假 的 判 定.考查分析、推理的能力. 分析:先写出逆否命题,再判断真假或利用原命题与 其逆否命题同真假的关系等方法解决. 解答:解法1:写出逆否命题,再判断其真假. 原命题:若a≥0,则x2+x-a=0有实根, 逆否命题:若x2+x-a=0无实根,则a<0,

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判断如下: ∵x2+x-a=0 无实根, 1 ∴?=1+4a<0,∴a<- <0, 4

∴“若x2+x-a=0无实根,则a<0”为真命题. 解法2:利用命题之间的关系:原命题与逆否命题同 真同假(即等价关系)证明. ∵a≥0,∴4a≥0,∴4a+1>0, ∴方程x2+x-a=0的判别式△=4a+1>0,

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∴方程x2+x-a=0有实根, 故原命题“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”为真. 又因原命题与其逆否命题等价, 所以“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命题为 真. 解法3:利用充要条件与集合的包含、相等关系. 命题p:∵a≥0,q:x2+x-a=0有实根, ∴p:A={a∈R|a≥0},
)

(

q:B={a∈R|方程x2+x-a=0有实根}
1 ={a∈R|a≥- }. 4
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即A?B,∴“若p则q”为真, ∴“若p则q”的逆否命题“若┑q则┑p”为真. ∴若a≥0,则x2+x-a=0有实根的逆否命题为真. 解法4:设p:a≥0,q:x2+x-a=0有实根, 则┑p:a<0,┑q:x2+x-a=0无实根, ∴┑p:A={a∈R|a<0},
┑q:B={a∈R|方程x2+x-a=0无实根}

(

? ? ? 1 ?a∈R?a<- = 4 ? ? ?

? ? ? ? ?

)

.

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∵B?A,∴“若┑q则┑p”为真,即“若方程x2+x- a=0无实根,则a<0”为真.
1 总结评述:理解“a<0”与“a<- ”的关系时易出现失 4 1 1 误,实际上 a<- ?a<0.但 a<0 不一定有 a<- . 4 4

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写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并分别 判断它们的真假: (1)若a=b,则a2=b2; (2)若x2+y2+2x+1=0(x、y∈R),则x=-1且y=0; (3)若△ABC≌△PQR,则S△ABC=S△PQR. 解析:(1)逆命题为:若a2=b2,则a=b,此命题为假; 否命题为:若a≠b,则a2≠b2,此命题为假; 逆否命题为:若a2≠b2,则a≠b,此命题为真.

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(2)逆命题为:若x=-1且y=0,则x2+y2+2x+1=0, 此命题为真; 否命题为:x2+y2+2x+1≠0,则x≠-1或y≠0,此命题 为真; 逆否命题为:若x≠-1或y≠0(x、y∈R),则x2+y2+2x +1≠0,此命题为真. (3)逆命题为:若S△ABC=S△PQR,则△ABC≌△PQR, 此命题为假;否命题为:若△ABC与△PQR不全等,则 S△ABC≠S△PQR,此命题为假;逆否命题为:若S△ABC≠S△PQR, 则△ABC与△PQR不全等,此命题为真.
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判断充分、必要条件时就必须结合相应的知识点来判 断,对相关知识点的掌握与否直接关系到充分、必要条件 判断的正确与否. 【例3】 指出下列各组命题中,p是q的什么条件(在

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“充分而不必要条件”、“必要而不充分”、“充要条 件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC; (2)对于实数x、y、p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6;

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(3)在△ABC中,p:sinA>sinB,q:tanA>tanB; (4)已知x,y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0, q:(x-1)(y-2)=0. 解析:(1)在△ABC中,显然有∠A>∠B?BC>AC, ? ∴p是q的充要条件. (2)∵逆否命题:x=2且y=6?x+y=8, ? ∴p是q的充分不必要条件. (3)取A=120°,B=30°,p 又取A=30°,B=120°,q q, p,

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∴p是q的既不充分也不必要条件.
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(4)∵p:x=1且y=2,q:x=1或y=2, ∴p是q的充分不必要条件. 反思归纳:(1)分析p是q的什么条件时,一定要结合 命题p与q所涉及的知识,进而全面分析,严格按四种条件 的结构和定义进行判断. (2)分析判断时,为了得出命题p与q的准确关系,有 时需对命题p与q进行化简,然后再分析. (3)如果p,q满足:若p?q,则有綈 q?綈 p;若q?p, 则綈 p?綈 q;若p?q,则綈 p?綈 q.

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(2010·山东,7)设{an}是首项大于零的等比数列, 则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:a1<a2 且a1>0,则a1(1-q)<0,a1>0且q>1,则 数列{an}递增;反之亦然. 答案:C
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π (2010·浙江,6)设 0<x< ,则“xsin2x<1”是“xsinx<1” 2 的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

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π 解析: 先证必要性, ∵0<x< , ∴0<sinx<1, ∴sin2x<sinx, 2 ∴x·sin x<x·sinx.又∵xsinx<1, ∴xsin x<1. 不充分:令 f(x)=xsinx-1, π π ∴f(0)=-1<0,f( )= -1>0, 2 2 π ∴由根的存在性定理知,f(x)在区间(0, 2)上存在一个
x0,使 f(x0)=0,即 x0·sinx0=1.尽管此时 x0·sin2x0=sinx0<1, 但不能推出 x0·sinx0<1.故不充分.故选 B. 答案:B
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2

2

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《走 向

反证法的适用题型:常用在直接证明较因难或结论涉 及“不可能”“不是”“至少”“至多”“唯一”等字眼 时的题目.反证法的步骤: (1)假设结论的反面成立;

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(2)从这个假设出发,经推理论证,得出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正
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确.

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集合与简易逻辑 已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a、
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【例4】

b∈R , 对 命 题 “ 若 a + b≥0 , 则 f(a) + f(b)≥f( - a) + f( - b)”. (1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论; (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结 论. 分析:已知a+b≥0,判断f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)时, 由自变量的关系到函数值的关系,常常利用函数的单调 性.

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解析:(1)逆命题:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+ b≥0,真命题. 用反证法证明:假设a+b<0,则a<-b,b<-a. ∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数, 则f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与题设相矛盾.∴逆 命题为真.

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(2)逆否命题:若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b), 则a+b<0,为真命题. ∵原命题?它的逆否命题, ∴证明原命题为真命题即可. ∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a. 又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a). ∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). ∴逆否命题为真.

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规律总结:“正难则反”是常用的数学思想方法.当 证明一个否定性命题、带有至多(少)等词的命题较为困难 时, 通常利用反证 法,转而去判断它的逆否 命题的真 假.互为逆否命题的两个命题同真同假就是反证法的逻辑 基础.

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设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中的a,b,c都是整 数,且f(0),f(1)均为奇数,求证:方程f(x)=0没有整数 根. 证明:假设方程f(x)=0有整数根,其中一整数根为x1, 则ax+bx1=-c. 又f(0)=c,f(1)=a+b+c为奇数,

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则a+b必为偶数,即a,b同为奇数或同为偶数. 若x1为偶数,则ax+bx1必为偶数.
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但c为奇数,与ax+bx1=-c矛盾. 若x1为奇数,设x1=2k+1(k∈Z), 则ax+bx1 =a(2k+1)2+b(2k+1) =4ak2+(4a+2b)k+a+b. ∵4ak2,4ak+2bk,(a+b)都为偶数, ∴ax+bx1为偶数,而c为奇数, 与ax+bx1=-c矛盾.

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综上可知,假设不成立,即方程f(x)=0没有整数根.

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集合与简易逻辑
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1.否命题与命题的否定是两个易混的问题,要注意 其区别,另外要掌握一些常见词的否定词. 2.原命题?原命题的逆否命题,(原命题的否命题? 原命题的逆命题)因此,判断四种命题的真假时,可只判 断其中的两个;当一个问题的真假不易判断时,可通过判 断此命题的逆否命题解决问题.

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第一章

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3.若p?q,则p是q的充分条件,同时q也是p的必要 条件;若p?q,则p与q互为充要条件,应理解充分条件、 必要条件、充要条件的形式化定义,整理出命题的“条件” 与“结论”,画出“?”图是解决“充分条件与必要条件” ? 问题的一种好的方法,注意运用.对论证充要条件题要分 清 “ 充分性”与“ 必要性 ”,然后分 别作出 相应的证 明.但要判断两个涉及具体内容的命题p与q之间的关系,

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掌握涉及的具体数学知识是关键.

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