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【步步高】2014届高考数学一轮复习 章末检测1备考练习 苏教版


章末检测
一、填空题 1. 双曲线 3x -y =9 的实轴长是________. 2. 以 - =-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为______________. 4 12 3. 对抛物线 y=4x ,开口向________(填“上”“下”“左”“右”),焦点坐标为____. 4. 若 k∈R,则 k>3 是方程
2 2 2 2 2


x2

y2

- =1 表示双曲线的______________条件. k-3 k+3

x2

y2

x 16y 2 5. 若双曲线 - 2 =1 的左焦点在抛物线 y =2px (p>0)的准线上,则 p 的值为________. 3 p x2 y2 6. 设双曲线 2- =1(a>0)的渐近线方程为 3x±2y=0,则 a 的值为________. a 9 2 x y2 x2 2 7. 设椭圆 + =1 和双曲线 -y =1 的公共焦点为 F1、F2,P 是两曲线的一个公共点,则
6 2 3 cos ∠F1PF2=________. 8. 过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点.若 AF=3,则 △AOB 的面积为________. 9. 等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y =16x 的准线交于 A,B 两点,
2 2

AB=4 3,则 C 的实轴长为________.
10.已知长方形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率为 ______. 11.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,若在双曲线的右支上存在 一点 P,使得 PF1=3PF2,则双曲线的离心率 e 的取值范围为__________. 12.椭圆 +y =1 的两个焦点 F1,F2,过点 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,其中一个交 4 点为 P,则 PF2=______. 13.双曲线 8kx -ky =8 的一个焦点为(0,3),那么 k=________. 14.若椭圆 mx +ny =1 (m>0,n>0)与直线 y=1-x 交于 A、B 两点,过原点与线段 AB 的中点 2 n 的连线斜率为 ,则 的值为________. 2 m 二、解答题 15.已知双曲线与椭圆 + =1 有公共的焦点,并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为 36 49 3 ,求双曲线的方程. 7 16.已知双曲线 - =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2=90°, 9 16 求△F1PF2 的面积. 17.已知椭圆 + =1 的弦 AB 的中点 M 的坐标为(2,1),求直线 AB 的方程,并求弦 AB 的长. 16 4
2 2 2 2

x 2 y2 a b

x2

2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

-1-

18.过抛物线 y =4x 的焦点 F 作直线 l 与抛物线交于 A、B 两点.求证:△AOB 是钝角三角形. x2 y2 6 19.已知椭圆 G: 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率为 ,右焦点为(2 2,0),斜率为 1 的直线 l a b 3 与椭圆 G 交于 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积.

2

-2-

答案 1.2 3 3 2 8. 2 2. + =1 4 16 1 9.4 10. 2
2 2

x

2

y

2

1? ? 3.上 ?0, ? 16? ? 7 11.(1,2] 12. 2

1 4.充分不必要 5.4 6.2 7. 3 13.-1 14. 2

x y 13 15.解 椭圆 + =1 的焦点为(0,± 13),离心率为 e1= .由题意可知双曲线的焦点 36 49 7
为(0,± 13), 13 离心率 e2= ,∴双曲线的实轴长为 6. 3 ∴双曲线的方程为 - =1. 9 4 16.解 由双曲线方程 - =1, 9 16 可知 a=3,b=4,c= a +b =5. 由双曲线的定义, 得 PF1-PF2=±2a=±6, 将此式两边平方, 得 PF1+PF2-2PF1?PF2=36, ∴PF1+PF2=36+2PF1?PF2.
2 2 2 2 2 2

y2 x2 x2

y2

又∵∠F1PF2=90°, ∴PF1+PF2=100 =36+2PF1?PF2, ∴PF1?PF2=32, 1 ∴S△F1PF2= PF1?PF2 2 1 = ?32=16. 2 17.解 方法一 易知直线斜率 k 存在. 设所求直线的方程为 y-1=k(x-2),
2 2

?y-1=k? x-2? , ? 由? x2 y2 ?16+ 4 =1, ?
得(4k +1)x -8(2k -k)x+4(2k-1) -16=0. 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1、x2 是上述方程的两根, 2 8? 2k -k? 于是 x1+x2= . 2 4k +1 又 M 为 AB 的中点,
-32 2 2 2



x1+x2 4? 2k2-k? = =2, 2 2 4k +1

1 解得 k=- ,且满足 Δ >0. 2 故所求直线的方程为 x+2y-4=0. ∵x1+x2=4, 2 4? 2k-1? -16 x1?x2= =0. 2 4k +1 ∴AB= 1+k ? x1+x2? -4x1x2 ? 1?2 2 = 1+?- ? 4 -0=2 5. ? 2? 方法二 设 A(x1,y1)、B(x2,y2). ∵M(2,1)为 AB 的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.又 A、B 两点在椭圆上, 则 x1+4y1=16,x2+4y2=16, 两式相减,得(x1-x2)+4(y1-y2)=0, 于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. y1-y2 x1+x2 ∴ =- x1-x2 4? y1+y2? 4 1 =- =- , 4?2 2 1 即 kAB=- . 2 故所求直线的方程为 x+2y-4=0.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

AB 求法同上.
18.证明 ∵焦点 F 为(1,0),过点 F 且与抛物线交于点 A、B 的直线可设为 ky=x-1,代入 抛物线 y =4x, 得 y -4ky-4=0,则有 yAyB=-4, 则 xAxB= ? =1. 4 4 → → 又 OA?OB?cos∠AOB=OA?OB =xAxB+yAyB=1-4=-3<0, 得∠AOB 为钝角, 故△AOB 是钝角三角形. 19.解 (1)由已知得 c=2 2, =
2 2 2 2 2

y2 y2 A B

c a

6 . 3

解得 a=2 3,又 b =a -c =4. 所以椭圆 G 的方程为 + =1. 12 4 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m.

x2

y2

?y=x+m ? 由? x2 y2 ?12+ 4 =1 ?



-4-

得 4x +6mx+3m -12=0.① 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2) (x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0), x1+x2 3m m 则 x0= =- ,y0=x0+m= ; 2 4 4 因为 AB 是等腰△PAB 的底边,所以 PE⊥AB. 2- 4 所以 PE 的斜率 k= =-1. 3m -3+ 4 解得 m=2. 此时方程①为 4x +12x=0. 解得 x1=-3,x2=0. 所以 y1=-1,y2=2. 所以 AB=3 2.此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 |-3-2+2| 3 2 d= = , 2 2 1 9 所以△PAB 的面积 S= AB?d= . 2 2
2

2

2

m

-5-


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