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2017优化方案高考总复习·数学理(新课标)第七章第7讲第2课时知能训练轻松闯关

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1.在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:选 C.不妨设 AB=AC=AA1=1,建立空间直角坐标系如图所示,则 B(0,-1, 0),A1(0,0,1),A(0,0,0),C1(-1,0,1), → 所以BA1=(0,1,1), →

AC1=(-1,0,1), → → 所以 cos〈BA1,AC1〉 → → BA1·AC1 1 1 = = = , → → 2× 2 2 |BA1|·|AC1| → → 所以〈BA1,AC1〉=60°, 所以异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 60°. 2.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 E 为 BB1 的中点,则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成 的锐二面角的余弦值为( ) 1 2 A. B. 2 3 3 2 C. D. 3 2 解析:选 B. 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,设棱长为 1,则 A1(0,0, 1), 1 → 1,0, ?,D(0,1,0),所以A1D=(0,1,-1), E? 2? ? 1? → A1E=? ?1,0,-2?, 设平面 A1ED 的一个法向量为 n1=(1,y,z),则 y-z=0, ? ? ? ?y=2, ? 1 所以? ?z=2. ? ?1-2z=0, ? 所以 n1=(1,2,2).因为平面 ABCD 的一个法向量为 n2=(0,0,1),所以 cos〈n1, 2 2 n2〉= = . 3×1 3 2 即所成的锐二面角的余弦值为 . 3 3.(2016· 云南省第一次检测)在正三棱柱 ABCA1B1C1 中,AB=1,点 D 在棱 BB1 上,若 BD=1,则 AD 与平面 AA1C1C 所成角的正切值为________. 解析: 如图,设 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 α,E 为 AC 的中点,连接 BE,则 BE⊥AC, 3 3 3 3 → → → → → → → 所以 BE⊥平面 AA1C1C, 可得AD· EB=(AB+BD)· EB=AB·EB=1× × = = 2× × 2 2 4 2 6 → → cos θ(θ 为AD与EB的夹角),所以 cos θ= =sin α,所以所求角的正切值为 tan α= 4 cos θ 15 = . 5 sin θ 15 答案: 5 4. 如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为________. 解析:不妨令 CB=1,则 CA=CC1=2,可得 O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0), A(2,0,0),B1(0,2,1), → → 所以BC1=(0,2,-1),AB1=(-2,2,1), → → BC1·AB1 4-1 1 5 → → 所以 cos〈BC1,AB1〉= = = = >0. → → 5× 9 5 5 |BC1||AB1| → → 所以BC1与AB1的夹角即为直线 BC1 与直线 AB1 的夹角, 5 所以直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 . 5 5 答案: 5 5.已知单位正方体 ABCDA1B1C1D1,E,F 分别是棱 B1C1,C1D1 的中点.试求: (1)AD1 与 EF 所成角的大小; (2)AF 与平面 BEB1 所成角的余弦值. 解: 1 ? 建立如图所示的空间直角坐

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