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第七章空间几何体的结构特征及三视图与直观图

时间:2017-05-04


A 组 考点能力演练 1.如图所示,△A′B′C′是△ABC 的直观图,其中 A′C′=A′B′,那么△ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 解析:由题图知 A′C′∥y′轴,A′B′∥x′轴,由斜二测画法知,在△ABC 中,AC ∥y 轴,AB∥x 轴,∴AC⊥AB.又因为 A′C′=A′B′,∴AC=2AB≠AB,∴△ABC 是直 角三角形.B 项正确. 答案:B 2.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图为正三角形,则侧视图的面积为( )

A.8 C.4 2

B.4 3 D.4

解析:由三视图可知,该几何体是一个正三棱柱,高为 4,底面是一个边长为 2 的正三 角形.因此,侧视图是一个长为 4,宽为 3的矩形,其面积 S= 3×4=4 3. 答案:B 3.(2016· 武昌调研)已知以下三视图中有三个同时表示某个三棱锥,则不是该三棱锥的 三视图是( )

解析: 易知该三棱锥的底面是直角边分别为 1 和 2 的直角三角形, 注意到侧视图是从左 往右看得到的图形,结合 B、D 选项知,D 选项中侧视图、俯视图方向错误,故选 D.

答案:D 4.若一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的 四个面中,直角三角形的个数为( )

A.1 C.3

B.2 D.4

解析: 观察三视图, 可得直观图如图所示. 该三棱锥 ABCD 的底面 BCD 是直角三角形, AB⊥平面 BCD,CD⊥BC,侧面 ABC,ABD 是直角三角形,由 CD⊥BC,CD⊥AB,知 CD ⊥平面 ABC,CD⊥AC,侧面 ACD 也是直角三角形,故选 D. 答案:D 5.(2016· 长沙模拟)某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示,则在图乙的四个图中可 以作为该几何体的俯视图的是( )

A.①③ C.①②③

B.①③④ D.①②③④

解析:若图②是俯视图,则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切,故图 ②不合要求;若图④是俯视图,则正视图和侧视图不相同,故图④不合要求,故选 A. 答案:A 6.给出下列命题:①在正方体上任意选择 4 个不共面的顶点,它们可能是正四面体的 4 个顶点;②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;③若有两个侧

面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱.其中正确命题的序号是________. 解析:①正确,正四面体是每个面都是等边三角形的四面体,如正方 体 ABCD A1B1C1D1 中的四面体 A CB1D1;②错误,反例如图所示,底面 △ABC 为等边三角形,可令 AB=VB=VC=BC=AC,则△VBC 为等边三 角形,△VAB 和△VCA 均为等腰三角形,但不能判定其为正三棱锥;③错误,必须是相邻 的两个侧面. 答案:① 7.如图所示,△A′B′C′是△ABC 的直观图,且△A′B′C′是边 长为 a 的正三角形,则△ABC 的面积为________. 解析:如图所示,△A′B′C′是边长为 a 的正三角形,作 C′D′∥A′B′交 y′轴 于点 D′,则 C′,D′到 x′轴的距离为 3 a. 2

∵∠D′A′B′=45° ,∴A′D′= 由斜二测画法的法则知,

6 a, 2

1 在△ABC 中,AB=A′B′=a,AB 边上的高是 A′D′的二倍,即为 6a,∴S△ABC= 2 a· 6a= 6 2 a. 2 6 2 a 2

答案:

8.(2016· 武邑一模)某几何体的一条棱长为 7,在该几何体的正视图中,这条棱的投影 是长为 6的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线 段,则 a+b 的最大值为________. 解析:本题构造长方体,体对角线长为 7,其在侧视图中为侧面对角线 a,在俯视图中 为底面对角线 b, 设长方体底面宽为 1, 则 b2-1+a2-1=6, 即 a2+b2=8, 利用不等式?
2

a+b? ? 2 ?

a2+b2 ≤ =4,则 a+b≤4. 2 答案:4 9.已知正四棱锥的高为 3,侧棱长为 7,求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高). 解:如图所示,正四棱锥 S-ABCD 中,高 OS= 3, 侧棱 SA=SB=SC=SD= 7,

在 Rt△SOA 中, OA= SA2-OS2=2,∴AC=4. ∴AB=BC=CD=DA=2 2. 作 OE⊥AB 于 E,则 E 为 AB 中点. 连接 SE,则 SE 即为斜高, 1 在 Rt△SOE 中,∵OE= BC= 2,SO= 3, 2 ∴SE= 5,即棱锥的斜高为 5. 10.如图,在四棱锥 PABCD 中,底面为正方形,PC 与底面 ABCD 垂直, 下图为该四棱锥的正视图和侧视图,它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三 角形.

(1)根据所给的正视图、侧视图,画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积; (2)求 PA. 解:(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为 6 cm 的正方形,如图, 其面积为 36 cm2. (2)由侧视图可求得 PD= PC2+CD2= 62+62=6 2. 由正视图可知 AD=6, 且 AD⊥PD, 所以在 Rt△APD 中, PA= PD2+AD2= ?6 2?2+62 =6 3 cm. B 组 高考题型专练 1.(2014· 高考新课标全国卷Ⅰ)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一 个几何体的三视图,则这个几何体是( )

A.三棱锥 C.四棱锥

B.三棱柱 D.四棱柱

解析:由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示,则这个几何体是三棱柱,故选 B.

答案:B 2.(2014· 高考湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨, 加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )

A.1

B.2 C.3

D.4

解析:由题图可知该几何体为三棱柱,最大球的半径为 r,则 8-r+6-r= 82+62, 得 r=2. 答案:B 3.(2013· 高考湖南卷)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧 视图是一个面积为 2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( A. 3 2 2+1 2 B.1 D. 2 )

C.

解析: 由题意可知该正方体的放置如图所示, 侧视图的方向垂 直于面 BDD1B1,正视图的方向垂直于面 A1C1CA,且正视图是长 为 2,宽为 1 的矩形,故正视图的面积为 2,因此选 D. 答案:D 4.(2014· 高考福建卷)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( A.圆柱 C.四面体 B.圆锥 D.三棱柱 )

解析:圆柱的正视图是矩形,则该几何体不可能是圆柱. 答案:A

5.(2015· 高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为(

)

A.1 C. 3

B. 2 D.2

解析:由题中三视图知,此四棱锥的直观图如图所示,其中侧棱 SA⊥底 面 ABCD,且底面是边长为 1 的正方形,SA=1,所以四棱锥最长棱的棱长 为 SC= 3,选 C. 答案:C


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