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江苏省淮安市淮海中学2014届高三决战四统测试数学试题(一) word版

时间:2016-07-07


江苏省淮安市淮海中学 2014 届高三决战四统测试数学试题(一)
注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题)。本试卷满分 160 分, 考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试号用的 0.5 毫米黑色墨水的签字

笔填写在试 卷及答题纸上的规定位置。 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答,在其它 位置作答一律无效。 一、填空题:本大题共 14 小题, 每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题 卡 相应位置上 . .. . ..... 1. 已知集合 A ? ??1, 0,1? , B ? x 0 ? x ? 2 ,则 A ? B ? 2. 已知 (1 ? i ) ? z ? ?2i ,那么复数 z ? ▲ . 开始 P←0

?

?





3. 从 1, 2,3, 4,5 这五个数中任取两个数,这两个数的和是奇数的 概率为 ▲ .

4. 已知等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 a1 , 数列,则

1 a3 ,2a 2 成等差 2

n←1 1 P ←P+ n(n+1) n ← n+1 P<0.70 N 输出 n 结束 ( 第6题 ) Y

a8 ? a9 等于▲ . a6 ? a7

5. 为了解某地区高三学生的身体发育情况, 抽查了该地区 100 名高 三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重(单位:kg)数据绘 制的频率分布直方图如图所示, 则这 100 名学生中体重值在区间 [56.5,64.5)的人数是 ▲ .

(第 5 题)

6.如图所示的流程图,最后输出的 n 的值是 ▲ . 7.已知向量 a,b,满足|a|=1,| b |= 3,a+b=( 3,1),则向量 a+b 与向量 a-b 的夹角是 ▲ . 8.如图,正三棱锥 P-ABC 的所有棱长都为 4.点 D,E,F 分别 在棱 PA,PB,PC 上,满足 PD=PF=1,PE=2,则三棱锥 P – DEF 的体积是 ▲ .

P D A B 第 8 题图 F E C

9.在 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 4, BC ? 5 , O 点是内心,且 AO ? ?1 AB ? ? 2 BC ,

uuu r

uu u r

uuu r

则 ?1 ? ?2 ?



. .

10.已知锐角 A,B 满足 tan(A+B)=2tanA,则 tanB 的最大值是 ▲

x2 y2 11.如图,点 A, F 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的上顶点 a b
和右焦点,直线 AF 与椭圆交于另一点 B ,过中心 O 作直线

C

y A

x
O
F D
第 11 题图 .

CD 5 AF 的平行线交椭圆于 C , D 两点,若 ? , 则椭圆的离 AB 2
心率为 ▲ .

B

12.已知圆 O : x2 ? y 2 ? 1 , O 为坐标原点,若正方形 ABCD 的 一边 AB 为圆 O 的一条弦,则线段 OC 长度的最大值是 ▲

0? x?3 ? log 3 x , ? d 满 足 13. 已 知 函 数 f ( x ) ? ? 1 2 10 , 若 存 在 实 数 a, b, c, , ? x ? x ? 8, x ? 3 3 ?3
f ( a) ? f( b ?) f (?c) ,其中 f ( dd ) ? c ? b ? a ,则 abcd 取值范围是 ▲
. .

?x+y=2a-1, 14.设实数 a,x,y,满足? 2 2 则 xy 的取值范围是 ▲ 2 ?x +y =a +2a-3, 二、解答题: 15.(本小题满分 14 分)

π 设△ABC 三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 C=3,acosA=bcosB. (1)求角 A 的大小; (2)如图,在△ABC 的外角∠ACD 内取一点 P,使得 PC=2.过点 P 分别作直线 CA、CD 的垂线 PM、PN,垂足分别是 M、N.设∠PCA=α,求 PM+PN 的最大值及此时 α 的取值.
A

A P
A1

M B

α C N D
B1

B

D

C

(第 15 题) 16.(本小题满分 14 分)

C1

在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,点 D 是 BC 的中点, BC ? BB1 . (1)求证: AC 1 ∥平面 AB 1D ;

(2)试在棱 CC1 上找一点 M ,使 MB ? AB1 . 17.(本小题满分 14 分) 如图,2014 年春节,摄影爱好者 S 在某公园 A 处,发现正前方 B 处有一立柱,测得立柱顶 端 O 的仰角和立柱底部 B 的俯角均为 30 ? , 已知 S 的身高约为 3 米(将眼睛距地面的距离 按 3 米处理) (1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度; (2) 立柱的顶端有一长 2 米的彩杆 MN 绕中点 O 在 S 与立柱所在的平面内旋转. 摄影者有一 视角范围为 60 ? 的镜头,在彩杆转动的任意时刻,摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面? 说明理由.
O N S M

B

A

18.(本小题满分 16 分) x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C: a2+ b2=1 (a>b>0) 的上顶点到焦点的距离为 2, 3 离心率为 2 . (1)求 a,b 的值. (2)设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点,过点 P 作斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两 点. (ⅰ)若 k=1,求△OAB 面积的最大值; (ⅱ)若 PA2+PB2 的值与点 P 的位置无关,求 k 的值.

19. (本题满分 16 分) 设函数 f ? x ? ? x ? b ln ? x ? 1? .
2

(1)若 x =1 时,函数 f ? x ? 取最小值,求实数 b 的值; (2)若函数 f ? x ? 在定义域上是单调函数,求实数 b 的取值范围; (3)若 b ? ?1 ,证明对任意正整数 n ,不等式

? f ( k )<1 ? 2
k ?1

n

1

1
3

?

1 1 ? ......? 3 都成立. 3 3 n

2 2 20.已知数列{an}的首项 a1=a,Sn 是数列{an}的前 n 项和,且满足:S2 an≠0, n=3n an+Sn-1,

n≥2,n∈N*. (1)若数列{an}是等差数列,求 a 的值; (2)确定 a 的取值集合 M,使 a∈M 时,数列{an}是递增数列.

数学参考答案
一、填空题 1. {1} 2 7 . 3π 2. ? 1 ? i 3.

3 5
2 10 . 4

4 . 3 ? 2 2 5 . 40

6.4

8.

2 6

9.

5 6

11.

1 2

12. 2 ? 1

13. (21,24)

11 3 11 3 14.[ 4 -2 2, 4 +2 2]

二、解答题 15.(本小题满分 14 分) 解(1)由 acosA=bcosB 及正弦定理可得 sinAcosA=sinBcosB, 即 sin2A=sin2B,又 A∈(0,π),B∈(0,π), π 所以有 A=B 或 A+B=2. ………………… 2 分

A P

π 2π π 又因为 C=3,得 A+B= 3 ,与 A+B=2矛盾,所以 A=B, π 因此 A=3. (2)由题设,得 在 Rt△PMC 中,PM=PC·sin∠PCM=2sinα; 在 Rt△PNC 中,PN=PC·sin∠PCN= PC·sin(π-∠PCB) π π 2π =2sin[π-(α+3)]=2sin (α+3),α∈(0, 3 ). …………………4 分
B

M 60°

α C N D

(第 15 题)

……………… 6 分 π π 所以,PM+PN=2sinα+2sin (α+3)=3sinα+ 3cosα=2 3sin(α+6). ……………… 10 分 2π π π 5π π 1 因为 α∈(0, 3 ),所以 α+6∈(6, 6 ),从而有 sin(α+6)∈(2,1], π 即 2 3sin(α+6)∈( 3,2 3]. π π π 于是,当 α+6=2,即 α=3时,PM+PN 取得最大值 2 3. …………… 14 分

16. (1)证明:连接 A 1B ,交 AB1 于点 O , 连接 OD . ∵ O 、 D 分别是 A 1B 、 BC 的中点, ∴ AC 1 ∥ OD . ???3 分
A1 A

∵ AC ? 平面 AB1D , OD ? 平面 AB1D , 1 ∴ AC 1 ∥平面 AB 1D . (2) M 为 CC1 的中点. 证明如下: ∵在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BC ? BB1 ,∴四边形 ???6 分 ???7 分

O B D C M B1 C1

BCC1B1 是正方形.
∵ M 为 CC1 的中点, D 是 BC 的中点,∴ ?B1BD ? ?BCM , ∴ ?BB1D ? ?CBM , ?BDB1 ? ?CMB . 又∵ ?BB1 D ? ?BDB1 ? ???9 分

?
2

, ???11 分

?CBM ? ?BDB1 ?

?
2

,∴ BM ? B1D .

∵ ?ABC 是正三角形, D 是 BC 的中点, ∴ AD ? BC . ∵平面 ABC ? 平面 BB1C1C , 平面 ABC ? 平面 BB1C1C ? BC , AD ? 平面 ABC , ∴ AD ? 平面 BB1C1C .

∵ BM ? 平面 BB1C1C , ∴ AD ? BM . ∵ AD ? B1D ? D , ∴ BM ? 平面 AB1D . ∵ AB1 ? 平面 AB1D , ∴ MB ? AB1 . ???14 分 ???13 分

17.(本小题满分 14 分) 考点: 平面向量数量积坐标表示的应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)摄影者眼部记为点 S,作 SC⊥OB 于 C,则有∠CSB=30°,∠ASB=60°.SA= , 在 Rt△ SAB 中,由三角函数的定义可求 AB;再由 SC=3,∠CSO=30°, 在 Rt△ SCO 中由三角函数的定义可求 OC,进而可求 OB (2)以 O 为原点,以水平方向向右为 x 轴正方向建立平面直角坐标系. 设 M(cosα,sinα) ,α∈[0,2π) ,则 N(﹣cosα,﹣sinα) ,由(Ⅰ)知 S(3,﹣ ) , 利用向量的数量积的坐标表示可求 cos∠MSN= ∈[ ,1],结合余弦函数的性质可求答案.

解答: 解: (1)如图,不妨将摄影者眼部记为点 S,作 SC⊥OB 于 C, 依题意∠CSB=30°,∠ASB=60°. 又 SA= ,故在 Rt△ SAB 中,可求得 BA= =3,

即摄影者到立柱的水平距离为 3 米.…(3 分) 由 SC=3,∠CSO=30°,在 Rt△ SCO 中 OC=SC?tan30°= , 又 BC=SA= ,故 OB=2 ,即立柱的高度为 2 米.…(6 分) (2)如图,以 O 为原点,以水平方向向右为 x 轴正方向建立平面直角坐 标系.设 M(cosα,sinα) ,α∈[0,2π) , 则 N(﹣cosα,﹣sinα) ,由(Ⅰ)知 S(3,﹣ ) .…(8 分) 故 =(cosα﹣3,sinα+ ∴ | = ? |?| ) , =(﹣cosα﹣3,﹣sinα+ ) , )=11(10 分)

=(cosα﹣3) (﹣cosα﹣3)+(sinα﹣ |= ×

) (﹣sinα﹣ ×

= = 由 α∈[0,2π)知| 所以 cos∠MSN= |?| |∈[11,13]…(12 分) ∈[ ,1],

∴∠MSN<60°恒成立 故在彩杆转动的任意时刻,摄影者都可以将彩杆全部摄入画面

18.(本小题满分 16 分) c 3 解(1)由题设可知 a=2,e=a= 2 ,所以 c= 3,故 b=1. 因此,a=2,b=1. x 由(1)可得,椭圆 C 的方程为 4 +y2=1. 设点 P(m,0) (-2≤m≤2) ,点 A(x1,y1) ,点 B(x2,y2) . (ⅰ)若 k=1,则直线 l 的方程为 y=x-m. =x-m ? ?y2 x 联立直线 l 与椭圆 C 的方程,即? .将 y 消去,化简得 2 ? 4 +y =1 ? 2(2m- 1-m2) 2(2m+ 1-m2) 5 2 2 x - 2 mx + m - 1 = 0 .解之得 x , x , 1= 2= 4 5 5 4(m2-1) 8m 从而有,x1+x2= 5 , x1· x2= , 5 而 y1=x1-m,y2=x2-m, 因此,∣AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= 2(x1-x2)2= 2 (x1+x2)2-4 x1·x2 4 =5 2· 5-m2, ∣m∣ 点 O 到直线 l 的距离 d= , 2 1 2 所以,S△OAB=2×|AB|×d=5 5-m2×|m|,
2

………………… 2 分(2)

4 4 5-m2+m2 2 2 2 因此,S △OAB=25( 5-m )×m ≤25·( ) =1. 2
2

………………… 6 分 又-2≤m≤2,即 m ∈[0,4]. 5 10 所以,当 5-m2=m2,即 m2=2, m=± 2 时,S△OAB 取得最大值 1. ………………… 8 分 (ⅱ)设直线 l 的方程为 y=k(x-m). k(x-m) ?y=2 ? x 将直线 l 与椭圆 C 的方程联立,即? . 2 ? 4 +y =1 ? 将 y 消去,化简得(1+4k2)x2-8mk2x+4(k2m2-1)=0,解此方程,可得, x1+x2= 所以, 3 PA2+PB2=(x1-m)2+y12+(x2-m)2+y22=4(x12+x22)-2m(x1+x2)+2m2+2 m2·(-8k4-6k2+2)+(1+4k2)·(8k2+8) = (*). (1+4k2)2 1 所以有-8k4-6k2+2=0,解得 k=±2. 1 所以,k 的值为±2. 19.解:(1)由 x + 1>0 得 x> – 1∴f(x)的定义域为( - 1,+ ∞), 对 x∈ ( - 1,+ ∞),都有 f(x)≥f(1),∴f(1)是函数 f(x)的最小值,故有 f/ (1) = 0, …………………16 分 …………………14 分 4(k2m2-1) 8mk2 , x · x = . 1+4k2 1 2 1+4k2 ………………… 10 分
2

因为 PA2+PB2 的值与点 P 的位置无关,即(*)式取值与 m 无关,

f / ( x) ? 2 x ?

b b ,? 2 ? ? 0, 解得 b= - 4. 经检验,列表(略) ,合题意; x ?1 2
/

(2)∵ f ( x) ? 2 x ?

b 2x 2 ? 2x ? b ? , 又函数 f(x)在定义域上是单调函数, x ?1 x ?1

∴f/ (x) ≥0 或 f/(x)≤0 在( - 1,+ ∞)上恒成立. 若 f/ (x) ≥0,∵x + 1>0,∴2x2 +2x+b≥0 在( - 1,+ ∞)上恒成立, 即 b≥-2x2 -2x = ? 2( x ?

1 2 1 1 ) ? 恒成立,由此得 b≥ ; 2 2 2

若 f/ (x) ≤0, ∵x + 1>0, ∴2x2 +2x+b≤0,即 b≤- (2x2+2x)恒成立, 因-(2x2+2x) 在( - 1,+ ∞)上没有最小值,∴不存在实数 b 使 f(x) ≤0 恒成立.

1 综上所述,实数 b 的取值范围是 ? ,?? ? ?. ?2 ? ?
(3)当 b= - 1 时,函数 f(x) = x2 - ln(x+1),令函数 h(x)=f(x) – x3 = x2 – ln(x+1) – x3,

则 h/(x) = - 3x2 +2x -

1 3x 3 ? ( x ? 1) 2 ?? , x ?1 x ?1

∴当 x ? ?0,??? 时,h/(x)<0 所以函数 h(x)在 x ? ?0,??? 上是单调递减. 又 h(0)=0,∴当 x ? ?0,??? 时,恒有 h(x) <h(0)=0,[ 即 x2 – ln(x+1) <x3 恒成立. 故当 x ? ?0,???时,有 f(x) <x3.. ∵ k ? N ? ,? ? ? 0, ?? ? , 取 x ?

1 k

1 1 1 , 则有 f ( ) ? 3 , k k k

n 1 1 1 1 ∴? f ( ) <1 ? 3 ? 3 ? ......? 3 ,故结论成立。 k 2 3 n k ?1

2 2 20 解: (1)在 S2 n=3n an+Sn-1中分别令 n=2,n=3,及 a1=a 得

(a+a2)2=12a2+a2,(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2, 因 an≠0,所以 a2=12-2a,a3=3+2a. ????2 分 因数列{an}是等差数列,所以 a1+a3=2a2,即 2(12-2a)=a+3+2a,解得 a=3.?4 分 3n(n+1) 3n(n-1) 2 2 经检验 a=3 时,an=3n,Sn= ,Sn-1= 满足 S2 n=3n an+Sn-1. 2 2
2 2 2 2 2 2 (2)由 S2 n=3n an+Sn-1,得 Sn-Sn-1=3n an,即(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=3n an,

即(Sn+Sn-1)an=3n2an,因为 an≠0,所以 Sn+Sn-1=3n2,(n≥2),① ??6 分 2 所以 Sn+1+Sn=3(n+1) ,② ②-①,得 an+1+an=6n+3,(n≥2).③ ????8 分 所以 an+2+an+1=6n+9,④ ④-③,得 an+2-an=6,(n≥2) 即数列 a2,a4,a6,?,及数列 a3,a5,a7,?都是公差为 6 的等差数列, ???10 分 因为 a2=12-2a,a3=3+2a.

? ?a,n=1, 所以 an=?3n+2a-6,n为奇数且n≥3, ? ?3n-2a+6,n为偶数,

????12 分

要使数列{an}是递增数列,须有 a1<a2,且当 n 为大于或等于 3 的奇数时,an<an+1,且当 n 为偶数时,an<an+1, 即 a<12-2a, 3n+2a-6<3(n+1)-2a+6(n 为大于或等于 3 的奇数), 3n-2a+6<3(n+1)+2a-6(n 为偶数), 9 15 9 15 解得4<a< 4 .所以 M=(4, 4 ),当 a∈M 时,数列{an}是递增数列. ???16 分

综上所述,对任意正整数 c,存在“4 次方数列”{an}(n∈N*)和正整数 p,使得 ap=c. ………………… 16 分


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