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(衡水金卷)2016届高考数学二轮复习 十八 立体几何作业专练4 文


衡水万卷作业卷十八文数 立体几何作业专练
姓名:__________班级:__________考号:__________ 题号 得分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项 是符合题目要求的) 1.正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A 1∶ 3 B 1∶3 C 1∶3 3 D 1∶9 ) 一 二

三 总分

C. 11? a 2
3

D. 5? a 2 )

7.若三棱锥的三条侧棱锥两两垂直,且侧棱长都相等,其外接球的表面积是 4? ,则其侧棱长为( A. 3 B. 2 3 3 3 2 2 C. D. 2 3 3 8.已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为( A. 1 B. 3 C. 2 D. 3 9.将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折叠,使 ) BD ? a ,则三棱锥 D ? ABC 的体积为( A. a
3

)

6

B. a

3

12

2.若正方体的棱长为 2 ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( A. C.
2 6 2 3

B.3 D.

D. 2 a 3 12 10.正四面体的内切球球心到一个面的距离等于这个正四面体高的( A. 1 2 1 C. 4

C. 3 a 3 12

)

2 3 3.在二面角 ? ? l ? ? 的两个面 ? , ? 内,分别有直线 a , b ,它们与棱 l 都不垂直,则(



B. 1 3 1 D. 5 11.设球的体积为 V1 ,它的内接正方体的体积为 V 2 ,下列说法最合适的是( A. V1 比 V 2 大约多一半 C. V1 比 V 2 大约多一倍 B. V1 比 V 2 大约多两倍半 D. V1 比 V 2 大约多一倍多

)

A.当该二面角是直二面角时,可能 a / / b ,也可能 a ? b B.当该二面角是直二面角时,可能 a / / b ,但不可能 a ? b C.当该二面角不是直二面角时,可能 a / / b ,但不可能 a ? b D.当该二面角不是直二面角时,不可能 a / / b ,也不可能 a ? b 4.如图, 体积为 V 的大球内有 4 个小球, 每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点, 4 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的 4 个顶点. V1 为小球相交部分(图中阴影部分)的 体积, V 2 为大球内.小球外的图中黑色部分的体积,则下列关系中正确的是(
V V1 ? 2 A. V V2 ? 2 B.

12.已知平面 ? 截球面的圆 M 。过圆心 M 且与 ? 成 60? 二面角的平面 ? 截该球面得圆 N .若该球的半径 为 4,圆 M 的面积为 4? ,则圆 N 的面积为( ). A. 7? B. 9? C. 11? D. 13? 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.已知三棱锥 O ? ABC , ?BOC ? 90? , OA ? 平面 BOC ,其中 AB ? 10, BC ? 13,



AC ? 5 , O, A, B, C 四点均在球 S 的表面上,则球 S 的表面积为 __________ __ .
14.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20cm ,若要使圆锥形漏斗的体积最大,则其高应为

cm 。

C. V1 ? V2

D. V1 ? V2

5.已知球的直径 SC ? 4 ,A,B 是该球面上的两点, AB ? 2 , ?ASC ? ?BSC ? 45? ,则棱锥 S ? ABC 的体 积为( ) A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 5 3 3 3 3 3 6.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所成棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( ) A. ? a 2 B. 7 ? a 2
3

15.已知一个实心铁质的几何体的正视图.侧视图和俯视图都是半径为 3 的圆,将 8 个这样的几何体熔 成一个实心的球,则该球的表面积为 。 16.已知 SA ? 平面 ABC , 平面 SAB ? 平面 SBC , SC ? a, 则三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积 为 。

1

三、解答题(本大题共 2 小题,共 24 分) 17. 如图,四凌锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥面 ABCD,E 为 PD 的中点。 (I)证明:PB//平面 AEC; (II)设置 AP=1,AD= 3 ,三棱锥 P-ABD 的体积 V=

18.

如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? BC, A 1 B ? BB 1. (1)求证: A1C1 ? CC1 ; (2)若 AB ? 2, AC ? 3, BC ? 7 ,问 AA1 为何值时,三棱柱 ABC ? A1B1C1 体积最大,并 求此最大值。

3 ,求 A 到平面 PBC 的距离。 4

2

0.衡水万卷作业卷十八文数答案解析 一、选择题 1.C 2.C 3.B 4.D 5.C【解析】由题可知 AB 一定在直径 SC 垂直的小圆面上,作过 AB 的小圆交直径 SC 于 D,如图所示,设 SD ? x ,则 DC ? 4 ? x ,此时所求的棱锥即分割成两个 棱锥 S ? ABD 和 C ? ABD ,在 ?SAD 和 ?SBD 中, 由已知条件可得 AD ? BD ? x , 又因为 SC 为直径, 所以 ?SBC ? ?SAC ? 90? 所以 ?DBC ? ?DAC ? 45? ,所以在 ?BDC 中 BD ? 4 ? x ,所以 x=4-x,解 得 x ? 2 ,所以 AD ? BD ? 2 ,所以 ?ABD 为正三角形,所以 V ?
1 3

BE ? DE,所以 DE ? 平面 ABC ,于是三棱锥 D ? ABC 的高为 DE ?

2 a ,所以三棱锥 D ? ABC 的 2

体积 V

?

1 1 3 2
?

a

2

?

2 2

a?

2 12

a .

3

10.C【解析】本题考查三棱锥的体积公式的应用.割补法解题的思想.球心到四面体各个面的距离都相 等,都等于内切球的半径 r ,连接求心与正四面体的四个顶点.把正四面体分成四个三棱锥,这四 个三棱锥相等,高都为 r 所以 4 ? S ? r ?
3 r? 1 4 1 1 3 ? S ? h,

h (其中 S 为正四面体,一个面的面积, h 为正四面体的高)

S?ABD ? 4 ?

4 3 3

.

11.D【解析】设正方体的棱长为 a ,则正方体的体积为 V1 ? a3 , 则球半径为
V1 ? V2 ? 3 3 3 a ,球体积 V2 ? ? a ,则 2 2

3 3 3 ? a ? a3 ? ( ? ? 1)a3 ? 1.72a3 选 D. 2 2

12.D【解析】设圆 N 的半径为 r ,球心为 O ,平面 ? ? ? ? AB ,其中线段 AB 是圆 M 的一条直径,连 接 OM,ON,MN,NA,NB 过点 M 在平面 ? 内作 AB 的垂线交圆 M 于点 C.由题意知 AB 是圆 N 的一条弦, 则有 NA ? NB 又 M 为 AB 的中点,于是有 NM ? AB , ?NMC ? 60? 又 AB ? OM , AB ? ON 因此 AB ? 平面 OMN ,又 AB ? 平面 CMN 因此平面 OMN 平面与 CMN 重合,即点 O,C,M,N 四点共面,在四 边 形 中 , O N C 6.B 【解析】 三棱锥如 (答图) , 由题意可知: 球心在三棱柱上.下底面的中心 O1 . O2 的连线的中点 O 处, 连接 O1 B .
O1O . OB ,其中 OB 即为球的半径 R ,由题意知:
2 3a 3a ,所以半经 R 2 ? ? 3 2 3 7? a 2 的表面积是 S ? 4? R2 ? . 3
O1B ? ?( ) ?(

?OMN ? ?OMC ? ?NMC ? 9 ? ?

? ? 30??ONM = 0 ? , OM ? 42 ? 22 ? 2 3, ON 6 ? OM

1 2

?

0 3 .因此,球

心 O 到 截 面 ? 的 距 离 ON ? 3 , 截 面圆 N 的 半 径 r
? r ? 13? ,选 D
2

?

4 ?3?
2

13, 截 面 圆 N 的 面积 等 于

a 2

2

3a 2 ) 3

?

7a 2 所以球 12

7.B【解析】依题意可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.设侧棱长为 a ,球半径为 r ,
r ? 1,∴ 3a ? 2r ? 2 , ∴ a ?

二、填空题 13. 14? 14.
20 3 3

2 3 . 3
2

8.C【解析】设正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长为 2x ,则
AC ? BD ? 2 2 x 高 h ? 12 ? 2 x ,所以体积
V ?
x
2

1 3

3 ? x ? (12 ? 2 x ) ? 12 为定值,由均值不等式可得 3 3 x2 ? x2 ? (12 ? 2 x2 ) ≤12 ,即
2
2

? 4 x ? 12 ? 2 x ?
2
2

4

x 2 ? x 2 ? (12 ? 2 x 2 ) .因为

4 2 2 4 3 x ? x ? (12 ? 2 x 2 ) ≤ 4 ,当且仅当 x 2 ? 12 ? 2 x 2 , 3 3 32 即 x ? 2 时, Vmax ? ,此时高 h ? 12 ? 2 ? 22 ? 2 3 V?

15. 144? 16. ? a 2 三、解答题 17.解: (I)连接 BD 交 AC 于点 O,连结 EO。 因为 ABCD 为矩形, 所以 O 为 BD 的中点。 又 E 为 PD 的中点, 所以 EO∥PB。 EO ? 平面 AEC,PB ? 平面 AEC,所以 PB∥平面 AEC.

9.D 【解析】设正方形 ABCD 的对角线 AC . BD 相较于点 E 沿 AC 折起后依题意得,当 BD ? a 时,

3

,所以AC ? CC1. (4 分) 1
A B = A1B1 -BB1 = 4 ? x (2)设 AA1 ? x, 在 Rt△ A 1BB 1 中, 1
2 2 2

同理, A1C= A1C1 ? CC1 ? 3 ? x ,在△ A 1BC 中
2 2 2

cos ? BA1C =
(II)

A1 B 2 ? A1C 2 ? BC 2 x2 ?? , 2 A1 B?A1C (4 ? x 2 )(3 ? x 2 )

1 3 PA· AB· AD ? AB, 6 6 3 3 由V ? ,可得AB ? 。 4 2 V?
作 AH ? PB交PB于H 由题设知 BC ? 平面 PAB,所以 BC ? AH , 故 AH ? 平面PBC 又 AH ?

sin ? BA1C =

12 ? 7 x 2 , (6 分) (4 ? x 2 )(3 ? x 2 )

所以 S△A1BC ?

1 12 ? 7 x 2 . A1B?A1C ? sin ? BA1C ? 2 2 x 12 ? 7 x 2 (8 分) 2

PA?AB 3 13 ,所以 A ? PB 13

从而三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积 V ? S ? l ? S△A1BC ? AA1 ?

到平面 PBC 的距离为

3 13 。 13

(x - )+ 因 x 12 ? 7 x = 12 x ? 7 x = -7
2 2 4
2 2

6 7

36 (10 分) 7

18.(1)证明:三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

故当 x =

42 42 3 7 即 AA1 = 体积 V 取到最大值 (12 分) 时, 时, 7 7 7

? AA1 ? BC ? BB1 ? BC ,
又 BB1 ? A1B 且

试题分析:本题第一小问考查了立体几何空间垂直关系,属于容易题,大部分考生可以轻松解决, 第二小问考查了棱柱体积的求法并且与解三角形和二次函数结合考查最值问题, 有一定的综合性, 属于中档题,解决该类问题关键在于合适的引入变量,建立函数模型,另外在计算过程中应谨慎 小心,避免粗心。

BC ? A1B ? C

? BB1 ? 面BCA1,
又 BB1∥CC1

?CC1 ? 面BCA1,
又? AC1 ? 面BCA 1,

4

5


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