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2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质


2.1.2 由曲线求它的方程、由方程

研究曲线的性质

1.复习引入 曲线的方程与方程的曲线: 在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0

之间具有如下关系:
⑴曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;

⑵以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.

那么,曲线C叫做 方程F(x,y)=0的曲线 ;方程

曲线C的方程 . F(x,y)=0叫做_______________

2.解析几何

根据已知条件,求出表示平面曲线 的方程
通过方程,研究平面曲线的性质

1.了解用坐标法研究几何问题的方法.(重点)
2.了解解析几何讨论的两个基本问题.(难点) 3.掌握由曲线的几何条件求曲线方程.(重点) 4.学会由曲线方程研究曲线的几何性质.(重点)

探究点 如何建立曲线的方程?如何利用方程研 究曲线的性质? 曲线 满足某种条件的点的集合或轨迹. (x,y) 坐标法 F(x,y)=0

借助坐标系研究几何图形的方法.

数形结合的完美体现

下面让我们通过实例,进一步体会如何建立曲线 的方程,以及如何利用方程研究曲线的性质. 例.设动点M与两条互相垂直的直线的距离的积等于 1,求动点M的轨迹方程并利用方程研究轨迹(曲线) 的性质.

解:(1)求动点M的轨迹方程:
① 建立直角坐标系. 取已知两条互相垂直的直线 为坐标轴,建立平面直角坐标系xOy; ② 设动点M的坐标为(x,y);

③ 把几何条件转化为坐标表示:
过点M分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为E,F, 由轨迹上的点M与两坐标轴的距离之积等于1,得 点M是轨迹上的点

?

|ME|·|MF|=1

因为点M与x轴的距离|ME|=|y|,与y轴的距离
|MF|=|x|,所以上述条件转化为方程的表示: |x|·|y|=1. 这个方程等价于xy=1或xy=-1.

这就是说,M(x,y)在曲线上,则它的坐标满足方 程,以|x|·|y|=1的解为坐标的点M(x,y)都在曲线 上.因此方程|x|·|y|=1为所求动点轨迹的方程.

④ 证明(略); (2)利用方程研究曲线的性质:
① 曲线的组成 由于方程|x|·|y|=1等价于下列两个方程xy=1或 xy=-1,每一个方程都表示一条曲线,由此可知表 示方程的曲线由上述两个方程的曲线组成;

② 曲线与坐标轴的交点 由方程|x|·|y|=1,可推知x≠0且y≠0,因此方
程的曲线与两坐标轴没有交点,方程对应的曲线被

两条坐标轴分开;
③ 曲线的对称性质

在方程|x|·|y|=1中,以-x代替x,这个方程并
未变化,因此方程的图象关于y轴对称.

在方程|x|·|y|=1中,以-y代替y,这个方程也 未变化,因此方程的图象关于x轴对称; 在方程|x|·|y|=1中,以-x代替x,同时以-y

代替y,这个方程也未变化,因此方程的图象关于原点
中心对称.

由以上分析可知,这个方程所表示的曲线,既是轴对
称图形,也是中心对称图形.因此我们在研究方程的 曲线时,只要研究它在第一象限的那一部分曲线即可.

④ 曲线的变化情况 由曲线的对称性质,我们只考虑第一象限的情况
(x>0,y>0),由方程可知,当变量x逐渐变大时,

变量y的值逐渐变小,曲线无限地靠近x轴;
当变量x逐渐变小时,变量y的值逐渐变大, 曲线无限地靠近y轴;

⑤ 画出方程的曲线 列表:

x y

… …

1 3

1 2

1 1

2
1 2

3
1 3

… …

3

2

由以上对方程的分析和列表,可以画出方程的曲线 在第一象限那一部分;再根据曲线的对称性,可画

出方程所表示的整个曲线.

y

[例1] 已知直角坐标平面上的点Q(2,0)和圆O:x2
+y2=1,动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常 数λ (λ >0),求动点M的轨迹方程,说明它表示什 么曲线. [分析]用直接法可求动点M的轨迹方程,并通过讨

论λ的取值范围来确定轨迹方程表示的曲线.

[ 解析 ] 如图所示,设 MN 切圆于 N ,于是动点 M 组成 的集合是P={M||MN|=λ|MQ|},常数λ>0, 因为圆的半径|ON|=1,所以|MN|2= |MO|2-|ON|2=|MO|2-1.

设点M的坐标为(x,y),则
x2+y2-1=λ (x-2)2+y2. 整理得(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(1+4λ2)=0. 经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合 P,故 这个方程为所求的轨迹方程.

5 当 λ=1 时,方程化为 x= ,它表示一条直线,该直 4 5 线与 x 轴垂直且交 x 轴于点( ,0);当 λ≠1 时,方程化为 4
2 2λ2 2 2 1+3λ (x - 2 ) +y = 2 2,它表示圆,该圆的圆心坐标为 λ -1 (λ -1)

1+3λ2 2λ2 ( 2 ,0),半径为 2 . λ -1 |λ -1|
注意挖掘问题

中的隐含条件

【变式练习1】
方程|x|-1= 2y-y2表示的曲线是( A ) A.两个半圆 C.半个圆 B.一个圆 D.两个圆

整理

[例2] 在△ABC中,B(-1,0),C(1,0),若BC边上 的高为2,求垂心H的轨迹方程. [分析] 由三角形垂心的定义得出:AC⊥BH,如图 所示,则可由kAC· kBH=-1,得到关于x,y的方

程.

[解析] 顶点 A 可在直线 BC 上方,也可在下方. 若点 A 在 BC 上方,设 H(x,y),则 A(x,2). 2 y 当 x≠± 1 时,kAC= ,kBH= , x-1 x+1 2 y 由 AC⊥BH,得 kAC· kBH=-1,即 · =-1, x-1 x+1 1 2 化简得 y=-2(x -1). 而当 x=1 时,垂心 H 与点 C 重合;

当x=-1时,垂心H与点B重合,这两点均
适合轨迹方程.

所以当点A在x轴上方时,垂心H的轨迹方程为
1 2 y=- (x -1)(y>0). 2

若点A在BC下方,则A(x,-2),同理可得
? 1 2 ? (x ? 1), y ? 0, ? ? 2 综上,垂心H的轨迹方程为 y ? ? ? 1 (x 2 ? 1), y ? 0. ? ?2

y=

1 2 (x -1)(y<0), 2

【变式练习2】
已知一条曲线在 x轴的上方,它上面的每一点到点

A(0,2) 的距离减去它到 x 轴的距离的差都是 2 ,求
这条曲线的方程. [ 分析 ] 因为曲线在 x 轴上方,所以曲线上点的纵 坐标 y>0,动点 M(x, y) 到定点 A(0,2)的距离|MA| -y=2,由此可求得曲线的方程.

1.与x轴距离等于2的点的轨迹方程是( B ) A .y =2 C .x =2 B.y=±2 D.x=±2

2.直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨 迹方程是( C ) A.|x|-|y|=1

B.|x-y|=1
C.|x|-|y|=±1

D.|x±y|=1

3.方程x2+xy=x的曲线是( C )
A.一个点 C.两条直线 解析: B.一条直线 D.一个点和一条直线

由x2+xy=x得x(x+y-1)=0,所以x=0

或x+y-1=0,所以表示两条直线.

4.讨论方程x2y+y-2x=0的曲线的性质,并描绘 其曲线. [分析] 将方程转化为函数,利用函数的性质作图. 2x [解析] 由方程得 y=f(x)= 2. 1+x
(1)截距:令 x=0,得 y=0,说明曲线过原点(0,0). (2)对称性:f(-x)=-f(x). 所以曲线关于原点对称.

(3)范围:y· x2-2x+y=0, 由判别式求得-1≤y≤1. 2|x| 也可由不等式的性质来求, 因为 1+x ≥2|x|? 2≤1 1+x
2

2x ?-1≤ 2≤1,即-1≤y≤1. 1+x 所以定义域为 R,值域为[-1,1].

(4) 单调性:在x∈(-∞,- 1] 和x∈[1 ,+∞ )

时,y递减,在x∈[-1,1]时,y递增.
(5) 作图:通过列表描点作出函数在x≥0 时的图 如图所示.

象,再利用关于原点的对称性可画出它的全部图象,

求曲线的方程的一般步骤: 1.建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示 曲线上任意一点M的坐标;(建系设点) 2.写出适合条件p的点M的集合;(找等量关系) 3.用坐标表示条件p(M),列出方程F(x,y)=0;

(列方程)
4.化简方程F(x,y)=0; 5.证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上 的点.(一般情况下可省略)

看书和学习是思想的经常营养,是思想的 无穷发展。


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