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江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试题(扫描版)


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A ? ? ?2,? B ? ? ?1, ? 1 2 2) 2, ) 1. 【答案】(?2, 【解析】 考查集合的运算, , , A U B ? (? 2 .



2. 【答案】 1 【解析】考查复数的四则运算.由 (3 ? 4i)z ? 5 ? 0 得

z?

?3 ? 4i , z ? 1. 5

3. 【答案】 2400 【解析】考查算法的流程图, 400 ? 800 ? 1200 ? 2400.
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4. 【答案】必要不充分【解析】考查充分必要条件。 5. 【答案】 15 【解析】考查统计中的总体分布的估计,应注意组距是 20. 6. 【答案】4【解析】考查抛物线的标准方程与简单性质,注意 p 的含义. 1 12 【解析】考查古典概型.符合条件的有(1,3),(2,6),(3,9)三个. 7. 【答案】 8. 【答案】 5 ? 2 【解析】考查圆与直线的位置关系.找出点 Q 在直线 x ? 2 y ? 6 ? 0 上, 转化为圆上的点到直线的距离求解.

?5 3 9. 【答案】 2 【解析】 考查 y ? A sin(? x ? ?) 的图象性质,周期性,诱导公式.由图知
A ? 5 , T ? 12 ,从而
10. 【答案】 2
a3 ?
n?1

???

?,

???

?5 3 6 ,则 f (2013) ? f (9) ? 2 .

2 【解析】考查等比数列和基本不等式,由 a2 ? a1a3 , a2 ? a1 ? 1 及 an ? 0 得

? a1 ? 1?
a1

2

? a1 ? 1 ? 2≥4 n ?1 a1 (当且仅当 a1 ? 1 时取等号) ,此时 a2 ? 2 ,则 an ? 2 .本题也

可以利用基本量思想求解. 11 . 答 案 】 【
?7 4 【解析】考查函数的图象与基本性质.由偶函数的性质,得到

? xD ? 3xC, ? t? 1 x ?1 2 a ? 1 b ? 2, ? ?1 .由题意知 ? xC ? xD ? 2,所以 C 2 ,则 , c

? ? ? 2 ? 1 ?1 ? ? 7 . 2 4
2

12. 【答案】
0

e ? n, n ?

x1 e x1 ? e e x1 ? 1 ,解得 x1 ? 0 , 【解析】考查导数与归纳推理.设 T1 ( x1, ) ,则
x1

e x2 ? e T1 (0, );设 T2 ( x2, ) ,则 e e e , x2 ,解得 x2 ? 1 ,所以 T2 (1 e) ;设 T3 ( x2, x2 ) ,则 所以
x2

x2

x3 e x3 ? e e e n x1 ? 1 ,解得 x3 ? 2 ,所以 T3 (2, 2 ) ;?,通过归纳可猜想: Tn ?1 (n, n ), ? N .讲评时

提醒学生本题可推导出

?xn ? 是等差数列用于求解.

? ??? ??? ???? ? 13. 【答案】 13 【解析】考查平面向量的数量积.由 2EF ? AB ? DC ,平方并整理得 ??? ???? ? AB ? DC ? 2 ,
??? ???? ??? ???? ? ? ???? ??? ? ? AB ? AC ? AB ? AD ? 2 ①,由 AD ? BC ? 15 ,得 即 ???? ???? ??? ? ???? ???? ???? ??? ? ? ???? ??? ? ???? ? ???? ? ??? ? AC AD AB AD ? AC ? AB ? AD ? AC ? AD ? AB ? 15 ? 13 . ②,② ? ①得 AC ? BD
??? ???? ???? ? AB ? AC ? AD

?

?

?

?

?

?

? ?1 ?2 14. 【答案】

?a1 ? a2 ? a3, 5 ,?1 ? 5 ? a ? a2 ? a3 ? 0, 2 【解析】方法一:因为 ? 1 所以 a1 ? 0 , a3 ? 0 ,

?

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消 去 a2 得
a4 2 ? 1 ?

?2 ?

a3 ??1 ? a1 2 , 且 a1 a24 ? ( a1

) 3 a4 a ?

a1 ?

a3 两 边 同 除 以 a1 得 0 ? ,

?

a3 a a3 a2 a2 ? 4 ?2 ? 4 -1 ? ? 1 a4 ? 1 ? 3 ? 0 a4 ? 1 -1 , 所 以 a4 ? 1 2 ,解得 a1 a1 , 解 得 a1

?

?1 ? 2

5? a ? ? ? 1 4 2

5 .

a2 ? a2 a3 ? ?1 ? a ? a , ?x ? a , ? ? 1 1 1 ? ? y ? x ? 1, ?a1 ? a2 ? a3, ?1 ? a2 ? a3 ? 0, ? y ? a3 , ? ? ? ? a ? a2 ? a3 ? 0 ? a1 a1 x ? y ? 1 ? 0, a1 方法二:由 ? 1 得? 令? 则? 利用线性规划知
a4 2 a a2 ? 2 a1 的取值范围,再结合 1 ? a4 a1 ,求出 a4 的取值范围. 识求出

a2 方法三:可以用求根公式求出 a4 ,再结合 a1 的取值范围,利用单调性求解.

15. 【解析】 (1)在矩形 ABCD 中, AB // CD , 又 AB ? 平面 PCD ,

P

CD ? 平面 PCD ,

A
所以 AB // 平面 PCD .
B

D
O C

(2)如图,连结 BD ,交 AC 于点 O ,连结 PO ,

(第 15 题)

BD 在矩形 ABCD 中,点 O 为 AC, 的中点,
又 PA ? PB ? PC ? PD , 故 PO ? AC , PO ? BD , 又 AC I BD ? O ,

AC, ? 平面 ABCD , BD
所以 PO ? 平面 ABCD , 又 PO ? 平面 PAC , 所以平面 PAC ? 平面 ABCD .
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16.【解析】 (1)在△ ABC 中,
2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c2 ? ?2ac cos B ? c cosB ? sin C cos B 2sin A ? sin C c ? a ? b ?2ab cos C b cos C sin B cos C ,

因为 sin C ? 0 ,所以 sin B cos C ? 2sin Acos B ? sin C cos B , 所以 2sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin( B ? C) ? sin A , 因为 sin A ? 0 ,所以
cos B ? 1 2,

因为 0 ? B ? π ,所以

B? π 3.

T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 1 (1 ? cos 2 A) ? 3 ? 1 (1 ? cos 2C ) 2 4 2 (2)

? 7 ? 1 (cos 2 A ? cos 2C) ? 7 ? 1 ?cos 2 A ? cos 4π ? 2 A ? ? 4 2 4 2? 3 ? ?
? 7 ? 1 1 cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 7 ? 1 cos 2 A ? π 4 2 2 2 4 2 3

?

?

?

?

?

?

因为

0 ? A ? 2π 0 ? 2 A ? 4π 3 ,所以 3 ,

π ? 2 A ? π ? 5π ?1≤ cos 2 A ? π ? 1 3 3 ,因此 3 2, 故3
3 ?T ≤9 4. 所以 2

?

?

17. 【解析】 (1)设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量分别为 T1 ? T2 ?3 T ? T2 1 Q1 , Q2 ,则 Q1 ? 4 ? 10 ? 8 ? 2 000 ,
Q2 ? 4 ? 10?3 ? T1 ? T1? T ? ? T2? T ? ? T2 ? 2.5 ? 10?4 ? 1 ? 4 ? 10?3 ? 2 4 x 4 T ?T? T ? ? T2? T ? ? T2 T1 ? T1? ? T1? ? T2? ? T2? ? T2 ? 1 1 ? 1 ? 2 ? T1 ? T2 4 x 4 4 ? x 4 ? ?3 ?4 ?3 ?3 ?4 ?3 ? 4 000 x ? 2 000 . 4 ? 10 2.5 ? 10 4 ? 10 4 ? 10 2.5 ? 10 4 ? 10

Q2 ? 1 Q1 2 x ? 1 , (2)由(1)知

1 ? 2 x ? 1 4%时,解得 x ? 12 (mm) 当 .
答:当 x ? 12 mm 时,双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的 4%. 18. 【解析】 (1)解:由题意,得 c ? 1 ,
2 2 2 从而 b ? a ? c ? 1 ,

e? c ? 2 a 2 ,故 a ? 2 ,

x2 ? y 2 ? 1 所以椭圆的方程为 2 .



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(2)证明:设直线 AB 的方程为 y ? kx , 直线 CD 的方程为 y ? ?k ( x ? 1) ,
?




2 2k 2 ? 1 ,

由①②得,点 A , B 的横坐标为

2k 2 ? 2(k 2 ? 1) 2k 2 ? 1 由①③得,点 C , D 的横坐标为 ,

kx k k kx 记 A( x1, 1 ) , B( x2, 2 ) , C( x3, (1 ? x3 )) , D( x4, (1 ? x4 )) ,

则直线 AC , BD 的斜率之和为
kx1 ? k (1 ? x3 ) kx2 ? k (1 ? x4 ) ? x1 ? x3 x2 ? x4 ?k? ?k? ( x1 ? x3 ? 1)( x2 ? x4 ) ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ? 1) ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ) 2( x1 x2 ? x3 x4 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x3 ? x4 ) ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 )

2(k 2 ? 1) ? 4k 2 2 ? ?2 ? ? 2 ??0? 2 2 2k ? 1 2k ? 1 ? 2k ? 1 ?k? ? ( x1 ? x3 )( x2 ? x4 ) ?0.
5?1 4 19.【解析】 (1)依题意, a5 ? b5 ? b1q ? 1? 3 ? 81 ,



d?

a5 ? a1 81 ? 1 ? ? 20 5 ?1 4 ,

所以 an ? 1 ? 20(n ? 1) ? 20n ? 19 ,
2 n ?1 令 Sn ? 1? 1 ? 21? 3 ? 41? 3 ? ??? ? (20n ? 19) ? 3 ,



则 3Sn ? ① ? ②得,
? 1+20 ?

1? 3 ? 21? 32 ? ??? ? (20n ? 39) ? 3n?1 ? (20n ? 19) ? 3n , ②
?2Sn ? 1+20 ? ? 3 ? 32 ? ? ? ? ? 3n ?1 ? ? (20n ? 19) ? 3n



3(1 ? 3n?1 ) ? (20n ? 19) ? 3n 1? 3

? (29 ? 20n) ? 3n ? 29 ,

所以

Sn ?

(20n ? 29) ? 3n ? 29 2 .

(2)因为 ak ? bk ,

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所以 1 ? (k ? 1)d ? q ,即 q k ?1 ? 1 an ? 1 ? (n ? 1) k ?1 , 故
n ?1 又 bn ? q ,

k ?1

d?

qk ?1 ? 1 k ?1 ,

? q k ?1 ? 1? bn ? an ? q n ?1 ? ?1 ? (n ? 1) k ?1 ? ? ? 所以

? 1 ?(k ? 1) ? qn?1 ? 1? ? (n ? 1) ? qk ?1 ? 1?? ? k ?1 ?
? q ?1 ? (k ? 1) ? qn?2 ? qn?3 ? ??? ? q ? 1? ? (n ? 1) ? q k ?2 ? q k ?3 ? ??? ? q ? 1?? ? k ?1 ?

(ⅰ)当 1 ? n ? k 时,由 q ? 1 知

bn ? an ? ?

q ?1 ? (k ? n) ? q n?2 ? q n?3 ? ??? ? q ? 1? ? (n ? 1) ? q k ?2 ? q k ?3 ? ??? ? q n?1 ?? ? k ?1 ?

q ?1 ?(k ? n)(n ? 1)qn?2 ? (n ? 1)(k ? n)q n?1 ? ? k ?1 ?
(q ? 1)2 qn ?2 (k ? n)(n ? 1) k ?1 ?0,

??

(ⅱ)当 n ? k 时,由 q ? 1 知

bn ? an ? ?

q ?1 ? (k ? 1) ? q n?2 ? q n?3 ? ??? ? q k ?1 ? ? (n ? k ) ? q k ?2 ? q k ?3 ? ??? ? q ? 1?? ? k ?1 ?

q ?1 ?(k ? 1)(n ? k )q k ?1 ? (n ? k )(k ? 1)q k ?2 ? ? (q ? 1)2 q k ? 2 (n ? k ) ? ?0, k ?1 ?

, 综上所述,当 1 ? n ? k 时, an ? bn ;当 n ? k 时, an ? bn ;当 n ? 1 k 时, an ? bn .
(注:仅给出“ 1 ? n ? k 时, an ? bn ; n ? k 时, an ? bn ”得 2 分. )
f ( x) a ? 4 ? 12 ? 1 x x x 20.【解析】 (1)依题意, 在 (0,? ?) 上单调递增, 4a 2 1 [ g1 ( x)]? ? ? 5 ? 3 ≥ 0 a ≤ x2 x x 2 , 故 恒成立,得 g1 ( x) ?

因为 x ? 0 ,所以 a ≤ 0 . 而当 a ≤ 0 时, 所以 a ≤ 0 . (2)①先证 f ( x)≤0 :

g1 ( x) ? a4 ? 12 ? 1 ? 0 x x 显然在 (0,? ?) 恒成立,

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若不存在正实数 x0 ,使得 g2 ( x0 ) ? 0 ,则 g 2 ( x)≤0 恒成立. 假设存在正实数 x0 ,使得 g2 ( x0 ) ? 0 ,则有 f ( x0 ) ? 0 ,
? 由题意,当 x ? 0 时, g 2 ( x)≥0 ,可得 g 2 ( x) 在 (0,? ?) 上单调递增,

当 x ? x0 时,

f ( x) f ( x0 ) ? x2 x0 2

f ( x) ?

恒成立,即
f ( x0 ) 2 ? x1 ? m x0 2

f ( x0 ) 2 ?x x0 2

恒成立,

故必存在 x1 ? x0 ,使得

f ( x1 ) ?

(其中 m 为任意常数) ,

这与 f ( x) ? c 恒成立(即 f ( x) 有上界)矛盾,故假设不成立, 所以当 x ? 0 时, g 2 ( x)≤0 ,即 f ( x)≤0 ; ②再证 f ( x) ? 0 无解: 假设存在正实数 x2 ,使得 f ( x2 ) ? 0 ,
f ( x3 ) f ( x2 ) ? ?0 x32 x2 2

则对于任意 x3 ? x2 ? 0 ,有

,即有 f ( x3 ) ? 0 ,

这与①矛盾,故假设不成立, 所以 f ( x) ? 0 无解, 综上得 f ( x) ? 0 ,即 g2 ( x) ? 0 , 故所有满足题设的 f ( x) 都是“2 阶负函数” .

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