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2013-2014海淀区高三年级第一学期期末练习 数学(理科--含答案)


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海淀区高三年级第一学期期末练习 数学(理科)
2014.01

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共

8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1.复数 i(i ? 1) 等于( A. 1 ? i B. ?1 ? i ) C.

1? i

D. ?1 ? i ) D. a ? b ? 0

2.设非零实数 a , b 满足 a ? b ,则下列不等式中一定成立的是( A.

1 1 ? a b

B. ab ? b 2 )

C. a ? b ? 0

3.下列极坐标方程表示圆的是( A. ? ? 1 B. ? ?

?
2

C. ? sin ? ? 1 D. ? (sin ? ? cos? ) ? 1

开始 输入 n i=0

4.阅读如右图所示的程序框图,如果输入的 n 的值为 6,那么运行相应程 序,输出的 n 的值为( )

n 是奇数




A. 3 B. 5 C. 10 D. 16

n?

n=3n+1 i=i+1


n 2

2? ? 5. ? x 2 ? ? 的展开式中的常数项为( x? ?
A. 12 B. ?12 C. 6

3

)

i<3

D. ?6


输出 n 结束

? x ? y ? 2 ? 0, ? 6.若实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? 3x ? 4 y 的最大值是( ? y ? 3, ?
A. ?13 7.已知椭圆 C : B. ?3 C. ? 1 D. 1

)

x2 y 2 ? ? 1 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 ,椭圆 C 上点 A 满足 AF2 ? F1F2 . 若点 P 是椭圆 4 3 ???? ???? ? C 上的动点,则 F1P ? F2 A 的最大值为( )
A.
3 2

B.

3 3 2

C.

9 4

D.

15 4
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8.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了 3 个水果,且从这周的第二天开始,每天所吃水果的 个数与前一天相比,仅存在三种可能:或“多一个”或“持平”或“少一个”,那么,小明在这一周中每 天所吃水果个数的不同选择方案共有( A.50 种 B.51 种 C.140 种 D.141 种 )

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.已知点 F (1, 0) 是抛物线 C : y 2 ? 2 px 的焦点,则 p ? _______. 10.在边长为 2 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M ,用随机模拟方法来估计不规则图形的面 积.若在正方形 ABCD 中随机产生了 10000 个点,落在不规则图形 M 内的点数恰有 2000 个,则在 这次模拟中,不规则图形 M 的面积的估计值为__________. 11.圆 C : ?

? x ? 2cos ? , ( ? 为参数)的圆心坐标为__________;直线 l : y ? 2 x ? 1 被圆 C 所截得的弦 ? y ? 1 ? 2sin ?

长为__________. 12.如图, AB 与圆 O 相切于点 B ,过点 A 作圆 O 的割线交圆 O 于 C , D 两点,

D

BC ? AD , AB ? 2 AC ? 2 ,则圆 O 的直径等于______________.
O C
13. 已知直线 l 过双曲线的左焦点 F ,且与以实轴为直径的圆相切,若直线 l 与 双曲线的一条渐近线恰好平行,则该双曲线的离心率是_________.

A

B

14. 已知某四棱锥,底面是边长为 2 的正方形,且俯视图如右图所示. (1)若该四棱锥的左视图为直角三角形,则它的体积为__________; (2)关于该四棱锥的下列结论中: ①四棱锥中至少有两组侧面互相垂直; ②四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形; ③四棱锥中不 可能存在四组互相垂直的侧面. . 所有正确结论的序号是___________.
2

1 1

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三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。 15. (本小题共 13 分)

cos2 x ? 2sin x . sin x ? cos x 3 (Ⅰ)在 ?ABC 中, cos A ? ? ,求 f ( A) 的值; 5
函数 f ( x) ? (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程.

16. (本小题共 13 分) 根据以往的成绩记录,甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示.
频率
0.45 0.30 0.25 0.29 0.19 0.20 0.15 0.10

频率 0.35

a
0.01

0.05

O

甲击中环数

O

乙击中环数

假设每名队员每次射击相互独立. (Ⅰ)求上图中 a 的值; (Ⅱ)队员甲进行三次射击,求击中目标靶的环数不低于 8 环的次数 X 的分布列及数学期望(频率 当作概率使用) ; (Ⅲ)由上图判断,在甲、乙两名队员中,哪一名队员的射击成绩更稳定?(结论不需证明)

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17. (本小题共 14 分) 如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面四边形 ABCD 是菱形,

P

AC ? BD ? O , ?PAC 是 边 长 为

2

的 等 边 三 角 形 ,

PB ? PD ? 6 , AP ? 4 AF .
(Ⅰ)求证: PO ? 底面 ABCD ; A (Ⅱ)求直线 CP 与平面 BDF 所成角的大小; (Ⅲ)在线段 PB 上是否存在一点 M ,使得 CM ∥平面 BDF ?如果存在, 求

F

D
O C

B

BM 的值,如果不存在,请说明理由. BP

18.(本小题共 13 分) 已知关于 x 的函数 f ( x ) ?

ax ? a ( a ? 0) ex

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)若函数 F ( x) ? f ( x) ? 1 没有零点,求实数 a 取值范围. 19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 G :

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过椭圆 G 右焦点 F 的直线 m : x ? 1 与椭圆 2 2 a b

G 交于点 M (点 M 在第一象限). (Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)已知 A 为椭圆 G 的左顶点,平行于 AM 的直线 l 与椭圆相交于 B, C 两点.判断直线 MB, MC 是 否关于直线 m 对称,并说明理由.

20.(本小题共 13 分) 若函数 f ( x) 满足:集合 A ? { f (n) | n ? N*} 中至少存在三个不同的数构成等比数列,则称函数 f ( x) 是等比源函数. (Ⅰ)判断下列函数:① y ? x2 ;② y ?

1 ;③ y ? log2 x 中,哪些是等比源函数?(不需证明) x

(Ⅱ)判断函数 f ( x) ? 2x ? 1 是否为等比源函数,并证明你的结论; (Ⅲ)证明: ?d , b ? N* ,函数 g ( x) ? dx ? b 都是等比源函数.
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15. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)由 sin x ? cos x ? 0 得 x ? kπ ? 因为, f ( x) ?

π ,k ? Z . 4

cos2 x ? 2sin x sin x ? cos x cos2 x ? sin 2 x ? ? 2sin x sin x ? cos x

-----------------------------------2 分
? cosx ? sin x

π ? 2 sin( x ? ) , 4
因为在 ?ABC 中, cos A ? ? ? 0 ,

---------------------------4 分

3 5

π ? A ? π ,-------------------------------------5 分 2 4 所以 sin A ? 1 ? cos2 A ? , 5 4 3 1 所以 f ( A) ? sin A ? cos A ? ? ? . 5 5 5 π (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f ( x) ? 2 sin( x ? ) , 4
所以 所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2 π . 因为函数 y ? sin x 的对称轴为 x ? kπ+

------------------------------------7 分 -----------------------------------8 分

------------------------10 分

π ,k ? Z , -----------------------11 分 2 π π π 又由 x ? ? kπ+ , k ? Z ,得 x ? kπ+ , k ? Z , 4 2 4
所 以

f ( x)

















π x ? kπ+ , k ? Z 4

.

----------------------------------13 分 16. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)由上图可得 0.01 ? a ? 0.19 ? 0.29 ? 0.45 ? 1 , 所以 a ? 0.06 . (Ⅱ)由图可得队员甲击中目标靶的环数不低于 8 环的概率为 -------------------------3 分

0.45 ? 0.29 ? 0.01 ? 0.75
由题意可知随机变量 X 的取值为:0,1,2,3.

----------------------------------4 分 ----------------------------------5 分

事件“ X ? k ”的含义是在 3 次射击中,恰有 k 次击中目标靶的环数不低于 8 环.
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k ? 3? P( X ? k ) ? C3 ? ? ?4? k

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? 3? ?1 ? ? ? 4?

3?k

(k ? 0,1,2,3)

----------------------------------8 分

即 X 的分布列为

X

0

1

2

3

P
所以 X 的期望是 E( X ) ? 0 ?

1 64

9 64

27 64

27 64

1 9 27 27 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? . ------------------------10 分 64 64 64 64 4
---------------------------------13

(Ⅲ)甲队员的射击成绩更稳定. 分 17. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)因为底面 ABCD 是菱形, AC ? BD ? O , 所以 O 为 AC , BD 中点. 又因为 PA ? PC , PB ? PD , 所以 PO ? AC , PO ? BD , 所以 PO ? 底面 ABCD . (Ⅱ)由底面 ABCD 是菱形可得 AC ? BD , 又由(Ⅰ)可知 PO ? AC , PO ? BD . 如图,以 O 为原点建立空间直角坐标系 O ? xyz . 由 ?PAC 是边长为 2 的等边三角形, PB ? PD ? 6 , 可得 PO ? 3, OB ? OD ? 3 . 所以 A(1,0,0), C(?1,0,0), B(0, 3,0), P(0,0, 3) . 所以 CP ? (1,0, 3) , AP ? (?1,0, 3) . 由已知可得 OF ? OA ?

-------------------------------------1 分 ---------------------------------------3 分 ----------------------------------------4 分

z

P

F
x A

D
O C

By
---------------------------------------5 分

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? 1 ??? 3 3 AP ? ( ,0, ) 4 4 4

-----------------------------------------6 分

设平面 BDF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

??? ? ? 3 y ? 0, ? ? n ? OB ? 0, ? 即 ?3 ? ? ??? 3 z ? 0. ? ? n ? OF ? 0, ? x ? ?4 4
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令 x ? 1 ,则 z ? ? 3 ,所以 n ? (1,0, ? 3) .

----------------------------------------8 分

??? ? ??? ? CP ? n 1 ? 因为 cos ? CP ? n ?? ??? ?? , 2 | CP | ? | n |
所以直线 CP 与平面 BDF 所成角的正弦值为

----------------------------------------9 分

1 , 2
?

所以直线 CP 与平面 BDF 所成角的大小为 30 . (Ⅲ)设

-----------------------------------------10 分

BM ? ? (0 ? ? ? 1) ,则 BP

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? CM ? CB ? BM ? CB ? ? BP ? (1, 3(1 ? ? ), 3? ) . ---------------------------------11 分
若使 CM ∥平面 BDF ,需且仅需 CM ? n ? 0 且 CM ? 平面 BDF ,---------------------12 分

???? ?

1 ? [0,1] , 3 所以在线段 PB 上存在一点 M ,使得 CM ∥平面 BDF . BM 1 此时 = . BP 3
解得 ? ? 18.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ) f '( x) ?

---------------------------------13 分

-------------------------14 分

?ae x ( x ? 2) ?a( x ? 2) , x?R . ? (e x )2 ex

------------------------------------------2 分

当 a ? ?1 时, f ( x ) , f '( x) 的情况如下表:

x
f '( x )

(??,2)
?


2 0 极小值

(2, ??)

?
↗ -----------------------------------------6 分

f ( x)

所以,当 a ? ?1 时,函数 f ( x ) 的极小值为 ?e?2 . (Ⅱ) F '( x ) ? f '( x ) ?

?a ( x ? 2) . ex

①当 a ? 0 时, F ( x ), F '( x ) 的情况如下表:

x
f '( x )

(??,2)

2 0

(2, ??)

?
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?

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f ( x)



极小值



--------------------------------7 分 因为 F (1) ? 1 ? 0 , 若使函数 F ( x ) 没有零点,需且仅需 F (2) ? 所以此时 ?e 2 ? a ? 0 ; ②当 a ? 0 时, F ( x ), F '( x ) 的情况如下表: ------------------------------8 分

a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?e 2 ,-------------------9 分 2 e

-----------------------------------------------10 分

x
f '( x ) f ( x)

(??,2)

2 0 极大值

(2, ??)
?
↘ --------11 分

?


因为 F (2) ? F (1) ? 0 ,且 F (1 ?

10 e )? a

1?

10 a

? 10

e

10 1? a

?

e ? 10 e
1? 10 a

? 0 ,---------------------------12 分

所以此时函数 F ( x ) 总存在零点.

--------------------------------------------13 分

综上所述,所求实数 a 的取值范围是 ?e 2 ? a ? 0 . 19.(本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)由题意得 c ? 1 , 由 ---------------------------------------1 分 ------------------------------------------2 分 -------------------------------------------3 分

c 1 ? 可得 a ? 2 , a 2
2 2 2

所以 b ? a ? c ? 3 ,

所以椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3
3 2

---------------------------------------------4 分

(Ⅱ)由题意可得点 A( ?2,0), M (1, ) , 所以由题意可设直线 l : y ? 设 B( x1, y1 ), C( x2 , y2 ) ,

--------------------------------6 分 ------------------------------------------7 分

1 x ? n ,n ?1. 2

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? x2 y 2 ? ? 1, ? ?4 2 2 3 由? 得 x ? nx ? n ? 3 ? 0 . ? y ? 1 x?n ? ? 2 2 由题意可得 ? ? n ? 4(n2 ? 3) ? 12 ? 3n2 ? 0 ,即 n ? (?2,2) 且 n ? 1 . -------------------------8 分 -------------------------------------9 分 x1 ? x2 ? ?n, x1x2 ? n2 ? 3 . 3 3 y1 ? y2 ? 2? 2 因为 k MB ? k MC ? -----------------------------------10 分 x1 ? 1 x2 ? 1 1 3 1 3 x1 ? n ? x2 ? n ? 2?2 2 ? 1? n ?1 ? n ?1 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1
? 1? ( n ? 1)( x1 ? x2 ? 2) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ( n ? 1)( n ? 2) ? 1? ? 0, n2 ? n ? 2

---------------------------------13 分 ---------------------------------14 分 ---------------------3 分 -----------------------4 分

所以直线 MB , MC 关于直线 m 对称. 20.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)①②③都是等比源函数. (Ⅱ)函数 f ( x) ? 2x ? 1 不是等比源函数. 证明如下:

假设存在正整数 m, n, k 且 m ? n ? k ,使得 f (m), f (n), f (k ) 成等比数列,

(2n ? 1)2 ? (2m ? 1)(2k ? 1) ,整理得 22 n ? 2n ?1 ? 2m ?k ? 2m ? 2k ,
等式两边同除以 2 m , 得 22 n ?m ? 2n ?m?1 ? 2k ? 2k ?m ? 1 . 因为 n ? m ? 1, k ? m ? 2 ,所以等式左边为偶数,等式右边为奇数, 所以等式 22 n ?m ? 2n ?m?1 ? 2k ? 2k ?m ? 1 不可能成立, 所以假设不成立,说明函数 f ( x) ? 2x ? 1 不是等比源函数. (Ⅲ)法 1: 因为 ?b, n ? N* ,都有 g (n ? 1) ? g (n) ? d ,

-------------------5 分

--------------------8 分

所以 ?d , b ? N* ,数列 {g (n )} 都是以 g (1) 为首项公差为 d 的等差数列.

?d , b ? N* , g (1), g (1)(1 ? d ), g (1)(1 ? d )2 成等比数列,
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因为 g (1)(1 ? d ) ? g (1) ? ( g (1) ? 1 ? 1)d ? g[ g (1) ? 1] ,

g (1)(1 ? d )2 ? g (1) ? (2 g (1) ? g (1)d ? 1 ? 1)d ? g[2 g (1) ? g (1)d ? 1] ,
所以 g (1), g[ g (1) ? 1], g[2 g (1) ? g (1)d ? 1] ?{g (n) | n ? N*} , 所以 ?d , b ? N* ,函数 g ( x) ? dx ? b 都是等比源函数. ------------------------------13 分 (Ⅲ)法 2: 因为 ?b, n ? N* ,都有 g (n ? 1) ? g (n) ? d , 所以 ?d , b ? N* ,数列 {g (n )} 都是以 g (1) 为首项公差为 d 的等差数列. 由 g 2 (m) ? g (1) ? g (k ) , (其中 1 ? m ? k )可得

[ g (1) ? (m ? 1)d ]2 ? g(1) ? [ g(1) ? (k ? 1)d ] ,整理得
(m ? 1)[2 g (1) ? (m ? 1)d ] ? g (1)(k ? 1) , 令 m ? g (1) ? 1,则 g (1)[2 g (1) ? g (1)d ] ? g (1)(k ? 1) , 所以 k ? 2 g (1) ? g (1)d ? 1 ,
所以 ?d , b ? N* ,数列 {g (n )} 中总存在三项 g (1), g[ g (1) ? 1], g[2 g (1) ? g (1)d ? 1] 成等比数列. 所以 ?d , b ? N* ,函数 g ( x) ? dx ? b 都是等比源函数.------------------ --------------13 分

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