角的概念和推广

专题 1

角的概念的推广

【学习目标】 1. 理解按旋转方向的不同产生正角、负角、零角的概念。 2．掌握终边相同的角的概念及它的一般表示法，即终边与 ? 相同的角。 3．掌握按终边的位置不同产生的象限角和轴上角。 4．注重数形结合思想与等价转化思想的培养。 【导学过程】 1．正角、负角、零角的概念： 角可以看成平面内一条射线绕着 端点 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 我们规定：按 逆 时针方向旋转形成的角为 正角 ；按 顺 时针方向旋转 形成的角为 负角 ；没有任何旋转时，我们称其形成的角为 零角 ； 【注】①“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ” ； ② 角α 在 0°-360°范围内是指 0°≤α ＜360° 例 1． （1）钟表经过 10 分钟，时针和分针分别转了多少度？【-5°，-60°】

（2）若将钟表拨慢 10 分钟，则时针和分针分别转了多少度？【5°，60°】 2．象限角的概念： 我们常在 平面直角坐标系中 讨论角，若将角顶点与 原点 重合， 角的始边与 x 轴正半轴 重合，那么角的终边(端点除外)在第 几象限，我们就说这个角是 第几象限角 ； 终边落在坐标轴上的角不属于 象限角 ，称为 轴线角 。 例 2．在直角坐标系中，作出下列各角，指出它们是第几象限的角 （1）60°； 120°； 240°； 300° （2）45°；-315°；405°；-675° 解： （1） 【一、二、三、四】 （2） 【一】

【变式 1】在－390°，－885°，1 351°，2 012°这四个角中，其中第四象限角的个数( A．0 B．1 C．2 D．3 【 C】

)

思考：第 2 组角有什么共同特征？如何表示与角α 终边相同的角组成的集合？

3．终边相同的角： 所有与角α 终边相同的角，连同α 在内，可构成一个集合 即任一与角α 终边相同的角，都可以表示成角α 与 360°k ， 的和．

【注】① k∈Z ； ②α 是任一角 ； ③ 终边相同的角 不一定 相等，但相等的角终边 一定 相同． 例 3．写出终边在 y 轴上的角的集合 (用 0°到 360°的角表示) ． 【解： 90°， 270°】

【变式 1】在 0°到 360°范围内，找出与下列各角终边相等的角并判断它们是第几象限角． ⑴ －120°； ⑵ 640 °； 【解： （1）240°，三； （2）280°，四】

【变式 2】 （1）分别写出终边落在第一、第二、第三、第四象限的角的集合可表示。

（2）分别写出： ① 终边落在 x 轴正半轴上的角的集合可表示为 ② 终边落在 y 轴负半轴上的角的集合可表示为 ③ 终边落在第四象限角平分线上的角的集合可表示为 ④ 终边落在 X 轴上的角的集合可表示为 ⑤ 终边落在 y 轴上的角的集合可表示为 。 。 。 。 。

4．

?
n

(n ? z ) 象限角的确定

例 4. 已知α 角是第三象限角，则

?
2

，

?
3

角所在范围.

【 （1）二、四； （2）一、三、四】

【变式 1】已知 ? 是第二象限的角, 则 【 （1）一、三 ； （2）一、二、四】

?
2

，

?
3

是第几象限的角？

【变式 2】已知 ? 是第四象限的角, 则 【 （1）二、四 ； （2）二、三、四】

?
2

，

?
3

是第几象限的角？

5. 数形结合的应用 例 5. 已知 A＝｛α ｜k·180°+30°≤α ≤k·180°+90°，k∈Z｝ ； B＝｛a｜k·360°+60°≤α ≤ k·360°+240°，k∈Z｝ ，

求 A∪B，A∩B.

【A∩B =｛α ｜k·360°+60°≤α ≤k·360°+ 90°或 k·360°+210°≤α ≤k·360°+ 240°，k∈Z｝ ； A∪B=｛α ｜k·360°+30°≤α ≤k·360°+ 270°k∈Z｝ 】

【变式 1】已知 A＝｛α ｜k·180°+30°＜α ＜k·180°+80°，k∈Z｝ ； B＝｛a｜k·360°﹣45°＜α ＜k·360°+45°，k∈Z｝ ，求 A∩B. 【A∩B =｛α ｜k·360°+30°＜α ＜k·360°+ 45°k∈Z｝ 】

【达标训练】
1. 下列命题正确的是（ ） 【C】 B. 小于 90 的角一定是锐角 D. 第一象限角一定是锐角
0

A. 第一象限角一定不是负角 C. 钝角一定是第二象限角

2. 集合

M ? {x x ? k ? 180 ? ? 90?, k ? Z } N ? {x x ? k ? 90 ? ? 180 ?, k ? Z } 则(
B. M ? N C. M ? N D. M ? N ? ? 【B】

)

A． M ? N

3. 设 E={小于 90 角},F={锐角},G={第一象限角},M={小于 90 但不小于 0 的角},则( A. F ? G ? E B.

?

?

?

) 【D 】

F ? E ?G

C. M ? ( E ? G)

D.

G?M ? F

4. 与 405°角终边相同的角是 ( A．k·360°－45°，k∈Z C．k·360°＋45°，k∈Z

)【 C】 B．k·180°－45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z

5． 若 α ＝45°＋k·180° (k∈Z)，则 α 的终边在 A．第一或第三象限

(

)【A】 D．第三或第四象限

B．第二或第三象限 C．第二或第四象限

6． 若 α 是第四象限角，则 180°－α 是 ( A．第一象限角 B．第二象限角

)【C】 C．第三象限角 D．第四象限角

7．已知 α 是第一象限角，则角 A．第一象限

α 的终边不可能落在 ( )【D】 3 B．第二象限 C．第三象限

D．第四象限

? ，且 ? 与 40 的角的终边相同，则 ? = 8． ? 540 ? ? ? ?180
?
?

。[-320°]

9． 下列说法中，正确的是 ．(填序号) 【②⑤】 ① 终边落在第一象限的角为锐角；② 锐角是第一象限的角； ③ 第二象限的角为钝角； ④ 小于 90°的角一定为锐角；

⑤ 角 α 与－α 的终边关于 x 轴对称．