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角的概念和推广


专题 1

角的概念的推广

【学习目标】 1. 理解按旋转方向的不同产生正角、负角、零角的概念。 2.掌握终边相同的角的概念及它的一般表示法,即终边与 ? 相同的角。 3.掌握按终边的位置不同产生的象限角和轴上角。 4.注重数形结合思想与等价转化思想的培养。 【导学过程】 1.正角、负角、零角的概念: 角可以看成平面内一条射线绕着 端点

从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 我们规定:按 逆 时针方向旋转形成的角为 正角 ;按 顺 时针方向旋转 形成的角为 负角 ;没有任何旋转时,我们称其形成的角为 零角 ; 【注】①“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ” ; ② 角α 在 0°-360°范围内是指 0°≤α <360° 例 1. (1)钟表经过 10 分钟,时针和分针分别转了多少度?【-5°,-60°】

(2)若将钟表拨慢 10 分钟,则时针和分针分别转了多少度?【5°,60°】 2.象限角的概念: 我们常在 平面直角坐标系中 讨论角,若将角顶点与 原点 重合, 角的始边与 x 轴正半轴 重合,那么角的终边(端点除外)在第 几象限,我们就说这个角是 第几象限角 ; 终边落在坐标轴上的角不属于 象限角 ,称为 轴线角 。 例 2.在直角坐标系中,作出下列各角,指出它们是第几象限的角 (1)60°; 120°; 240°; 300° (2)45°;-315°;405°;-675° 解: (1) 【一、二、三、四】 (2) 【一】

【变式 1】在-390°,-885°,1 351°,2 012°这四个角中,其中第四象限角的个数( A.0 B.1 C.2 D.3 【 C】

)

思考:第 2 组角有什么共同特征?如何表示与角α 终边相同的角组成的集合?

3.终边相同的角: 所有与角α 终边相同的角,连同α 在内,可构成一个集合 即任一与角α 终边相同的角,都可以表示成角α 与 360°k , 的和.

【注】① k∈Z ; ②α 是任一角 ; ③ 终边相同的角 不一定 相等,但相等的角终边 一定 相同. 例 3.写出终边在 y 轴上的角的集合 (用 0°到 360°的角表示) . 【解: 90°, 270°】

【变式 1】在 0°到 360°范围内,找出与下列各角终边相等的角并判断它们是第几象限角. ⑴ -120°; ⑵ 640 °; 【解: (1)240°,三; (2)280°,四】

【变式 2】 (1)分别写出终边落在第一、第二、第三、第四象限的角的集合可表示。

(2)分别写出: ① 终边落在 x 轴正半轴上的角的集合可表示为 ② 终边落在 y 轴负半轴上的角的集合可表示为 ③ 终边落在第四象限角平分线上的角的集合可表示为 ④ 终边落在 X 轴上的角的集合可表示为 ⑤ 终边落在 y 轴上的角的集合可表示为 。 。 。 。 。

4.

?
n

(n ? z ) 象限角的确定

例 4. 已知α 角是第三象限角,则

?
2



?
3

角所在范围.

【 (1)二、四; (2)一、三、四】

【变式 1】已知 ? 是第二象限的角, 则 【 (1)一、三 ; (2)一、二、四】

?
2



?
3

是第几象限的角?

【变式 2】已知 ? 是第四象限的角, 则 【 (1)二、四 ; (2)二、三、四】

?
2



?
3

是第几象限的角?

5. 数形结合的应用 例 5. 已知 A={α |k·180°+30°≤α ≤k·180°+90°,k∈Z} ; B={a|k·360°+60°≤α ≤ k·360°+240°,k∈Z} ,

求 A∪B,A∩B.

【A∩B ={α |k·360°+60°≤α ≤k·360°+ 90°或 k·360°+210°≤α ≤k·360°+ 240°,k∈Z} ; A∪B={α |k·360°+30°≤α ≤k·360°+ 270°k∈Z} 】

【变式 1】已知 A={α |k·180°+30°<α <k·180°+80°,k∈Z} ; B={a|k·360°﹣45°<α <k·360°+45°,k∈Z} ,求 A∩B. 【A∩B ={α |k·360°+30°<α <k·360°+ 45°k∈Z} 】

【达标训练】
1. 下列命题正确的是( ) 【C】 B. 小于 90 的角一定是锐角 D. 第一象限角一定是锐角
0

A. 第一象限角一定不是负角 C. 钝角一定是第二象限角

2. 集合

M ? {x x ? k ? 180 ? ? 90?, k ? Z } N ? {x x ? k ? 90 ? ? 180 ?, k ? Z } 则(
B. M ? N C. M ? N D. M ? N ? ? 【B】

)

A. M ? N

3. 设 E={小于 90 角},F={锐角},G={第一象限角},M={小于 90 但不小于 0 的角},则( A. F ? G ? E B.

?

?

?

) 【D 】

F ? E ?G

C. M ? ( E ? G)

D.

G?M ? F

4. 与 405°角终边相同的角是 ( A.k·360°-45°,k∈Z C.k·360°+45°,k∈Z

)【 C】 B.k·180°-45°,k∈Z D.k·180°+45°,k∈Z

5. 若 α =45°+k·180° (k∈Z),则 α 的终边在 A.第一或第三象限

(

)【A】 D.第三或第四象限

B.第二或第三象限 C.第二或第四象限

6. 若 α 是第四象限角,则 180°-α 是 ( A.第一象限角 B.第二象限角

)【C】 C.第三象限角 D.第四象限角

7.已知 α 是第一象限角,则角 A.第一象限

α 的终边不可能落在 ( )【D】 3 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

? ,且 ? 与 40 的角的终边相同,则 ? = 8. ? 540 ? ? ? ?180
?
?

。[-320°]

9. 下列说法中,正确的是 .(填序号) 【②⑤】 ① 终边落在第一象限的角为锐角;② 锐角是第一象限的角; ③ 第二象限的角为钝角; ④ 小于 90°的角一定为锐角;

⑤ 角 α 与-α 的终边关于 x 轴对称.


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