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直线的参数方程


直线的参数方程能将一些复杂的距离问题 很简单的解决。随着新一轮高中教材的改革, 它成为高考青睐的对象,也是近年高考的热点 之一。应深入研究、熟练掌握。

第一课时

教学目标
知识与能力:

掌握直线参数方程的标准式,理解其参数的几何 意义,并学会应用其解决与距离有关的问题; 过程与方法:
通过本

节课的学习,得出直线参数方程与普通方 程互化的方法;树立数形结合的思想.; 情感态度与价值观: 在参数方程的推导过程中,培养逻辑思维的严谨 性;在师生间平等、和谐的交流中,激发学生学习数 学的热情.

预习检测
1.设直线过点M(x0,y0)、倾斜角为α ,则 直 线的参数方程为: ?x=x0 ? t cos ? (t是参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?

2.直线参数方程中什么是常数,什么是参数? α、x0、y0,都是常数,t才是参数 3.设直线l 过点M(1,5)、倾斜角为 ,求直线 3 1 l 的参数方程。 x=1+ t
2
3 y=5+2

?

t

(t为参数)

合作探究1 设直线过点M(x0,y0)、倾斜角为
α ,怎样得出这条直线的参数方程?

?x=x0 ? t cos ? (t是参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?

y
t M0(x0,y0)

M(x,y)

C

这就是直线 参数方程的 标准形式

?
O A B x

巩固练习1
下列参数方程中表示直线的是(D
x=5cosα A. y=3sinα (α为参数) (t为参数) C. y=2t2+1 x=3t x=3+2cosα



B. y=-1+2sinα (α为参数)
x=-1+

D.

1 y=2+ 2 t

3 2

t (t为参数)

合作探究2
你对直线参数方程中参数t的几何意义如何 y 理解? ?x=x0 ? t cos ? (t是参数) ? M0(x0,y0) y ? y ? y0 ? t sin ? 0

直线参数方程中参数t 的绝对值等于直线上动 点M到定点M0的距离.
|t|=|M0M|

M(x,y)

t y x0 O x

?

x

这就是t的几何 意义,要牢记

知识应用
例:已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0 与抛物线y ? 点M(-1,2)
y

x 2 交于A、B两点

(1)求线段AB的长度;

(2)求点M到A、B两点的距离之积。

A

解:因为点M在直线上.
3? 易知直线的倾斜角为 4

M(-1,2)

O

B

x

所以直线的参数方程可以写成
? 2 3? ? t x=-1+tcos ? x ? ?1 ? ? ? ? 2 4 (t为参数) 即 (t为参数) ? ? ? y ? 2 ? t sin 3? ?y ? 2? 2 t ? ? 4 ? ? 2

把它代入抛物线y=x2的方程,得

t ? 2t ? 2 ? 0
2

? t1 ? t 2 ? ? 2 , t1t 2 ? ?2 t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? 10

由参数t的几何意义得

AB ? t1 ? t2 ? 10
MA ? MB ? t1 ? t2 ? t1t2 ? 2

当堂检测
1.直线
2 y ? 2? t 2

2 x ? 3? t 2

(t为参数) 的倾斜角是 135 °

2.设直线过点P(2,0)、倾斜角为120°,求 直线的参数方程。 x ? 2 ? 1 t 3.直线
3 1 y? t 2 x=2+ 2 t

2

(t为参数)

y=

x2-y2=1交于A、B两点,求弦长 AB
答案:AB = 2 10

3 t 2

(t为参数) 与双曲线

课时小结
1.直线参数方程标准形式

?x=x0 ? t cos ? (t是参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?
2.利用直线参数方程中参数t的几何意义, 简化求直线上两点间的距离. (1)参数t的几何意义: |t|=|M0M|

(2)弦长:

课时作业
1.一类作业:课本P39,习题2.3 1、2题;

2.二类作业:《学业质量模块测评》题型一、

题型二。

新课导学
1.写出直线y=x-1的参数方程,并思考它的形式 是不是唯一的? X=1+2t 2.直线 (t为参数) 中参数t的几何意 y=2+t 义再是动点到定点(1,2)的距离吗,为什么?
3.直线 与曲线y=x2交于A、B

两点,对应的参数分别为t1、t2,那么线段AB 的中点C对应的参数t的值是多少?


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