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2013高三数学复习函数部分第一讲


第一讲 函数定义域、值域、解析式 一、知识导学 1.映射:一般地,设 A、B 两个集合,如果按照某种对应法则 f,对 于集合 A 中的任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和 它对应,那么这样的单值对应叫做集合 A 到集合 B 的映射, 记作 f:A→B.(包括集合 A、B 及 A 到 B 的对应法则) 2.函数: 设 A,B 都是非空的数集,如果按某种对应法则 f,对于集

合 A 中每一个元素 x ,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应, 且 B 中每一个元素都的原象,这样的对应叫做从集合 A 到集 合 B 的一个函数,记作 y ? f ( x) .其中所有的输入值 x 组成的 集合 A 称为函数 y ? f ( x) 定义域. 对于 A 中的每一个 x ,都有一个输出值 y 与之对应,我们将所有输出 值 y 组成的集合称为函数的值域 二、疑难知识导析 1.对映射概念的认识 (1) f : A ? B 与 f : B ? A 是不同的,即 A 与 B 上有序的.或者说:映 射是有方向的, (2) 输出值的集合是集合 B 的子集.即集合 B 中可能有元素在集合 A 中找不到对应的输入值.集合 A 中每一个输入值, 在集合 B 中 必定存在唯一的输出值.或者说:允许集合 B 中有剩留元素; 允许多对一,不允许一对多. (3)集合 A,B 可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合.

2.对函数概念的认识 (1)对函数符号 f ( x) 的理解知道 y ? f ( x) 与 f ( x) 的含义是一样的,它 们都表示 y 是 x 的函数,其中 x 是自变量, f ( x) 是函数值, 连接的纽带是法则 f.f 是单值对应. (2)注意定义中的集合 A,B 都是非空的数集,而不能是其他集合; (3)函数的三种表示法:解析法,列表法,和图像法. 3.对反函数概念的认识 (1)函数 y= f ( x) 只有满足是从定义域到值域上一一映射,才有反 函数; (2)反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域,因此 反函数的定义域一般不能由其解析式来求,而应该通过原函 数的值域而得. (3)互为反函数的函数有相同的单调性,它们的图像关于 y=x 对 称.
三、高考题型讲解 考点一:函数与映射的概念
题型1、相同函数的判断问题

例1.判断下列函数是否表示同一函数:
(1) f ( x) ? x2 , g( x) ? 3 x3 ; (3) f ( x) ? x x ?1, g ( x) ? x2 ? x
(4) f ( x) ? x2 ? 2x ?1, g (t ) ? t 2 ? 2t ?1

(2) f ( x) ?

?1, x ? 0 , g ( x) ? ? x ??1, x ? 0 x

变式训练:下列各组函数中,表示相同函数的是 ( ) ?C ? f ?x ? ? 1 ? x 2 , g ?x ? ? 1 ? x ( x ? ?? 1,1? ? A? f ?x? ? ln x2 , g ?x? ? 2 ln x

?B? f ?x? ? alog ?a ? 0, a ? 1?
x a

, g ?x ? ? x

?D ? f ?x ? ? log a a

x

(a ? 0, a ? 1),

g ?x ? ? 3 x 3

题型 2 判断是否是映射 例 2 以下给出的对应那些不是从集合 A 到集合 B 的映射

(4)A={平面 a 内的矩形},B={平面 a 内的圆},f:作矩形的外 接圆 变式训练: 设 对应关系能构成 A 到 B 的映射的是( ) 下列

[例

31]设 M={a,b,c},N={-2,0,2},求(1)从 M 到 N 的映

射种数; (2) M 到 N 的映射满足 f(a)>f (b)≥f(c),试确定这样的映射 f 的种 从 数
考点二:函数定义域问题:

题型 1:给解析式求定义域: 例题:求下列函数定义域:
(1) y ?

1 ? x2 ? 1 ; 2? x

(2) y ?

lg( x ? x) x2 ?1

;

题型 2:给 f ( x) 定义域求 f ? g ( x)? 定义域,或给 f ? g ( x)? 定义域求 f ( x) 例题:(1)已知 f ( x) 的定义域为 ??2,3? ,求 f (2 x ?1) 定义域。 (2)已知 f ( x 2 ? 1) 的定义域为 ??2,3? ,求 f ( x) 的定义域。

变式训练:设 f ( x) ? lg

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为( 2? x 2 x



题型 3:给定义域求参数 例题:已知函数 f ( x) ? 围是(
x?4 的定义域为 R,则实数 m 的取值范 mx ? 4mx ? 3
2



考点三:函数值域问题——求函数值域(最值)的一般方法: 1、利用基本初等函数的值域; 2、配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数); 3、换元法(无理函数) 4、分离常数法 5、变量反表示法 6、判别式法(分式函数) 7、函数的单调性:特别关注 y ? x ? (k ? 0) 的图象及性质 8、导数法(高次函数) 9、 不等式法(利用基本不等式, 尤其注意形如 y ? x ? (k ? 0) 型函数) 10、数形结合法 例题:求下列函数的值域。
(1) y ? f ( x) ? x2 ? 4 x ? 6 , x ? [1,5) (2) y ?

k x

k x

3 ? 2x ? x 2 ;

(3) y ? 2 x ? 1 ? x ;

(4) y ?

2x ? 1 ; x?3

2 ? 2x (5) y ? x 2 ?1

x 2 ? 7 x ? 10 (6) y ? x ?1

(7) y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

2 (8) f ( x ) ? 2 x ?

1 3 x , x ? [- , 1 5] 3

(9) y ?

sin x ? 4 cos x ? 2

变式训练:1.已知 3x 2 ? 2 y 2 ? 6x ,试求 x 2 ? y 2 的最大值. 2. 已知函数 y ? log3 的值。
mx 2 ? 8 x ? n 的定义域为 R, 值域为[0, 求常数 m, n 2], x2 ? 1

考点四:求函数的解析式——求解析式的方法
1、整体代换(配凑法) 2、换元法( 注意新元的取值范围) 3、待定系数法(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等) 4、构造方程组(如自变量互为倒数、已知 f(x)为奇函数且 g(x)为偶函数 等) 5、赋值法

例题:(1)若 f ( x ? 1 ) ? x 2 ?
x

1 ,则函数 f ( x) =_____________. x2

(2)已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x )

(3)已知 f ( x ) 是二次函数,若 f (0) ? 0, f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1,求 f ( x )

(4)若 f ( x ) 满足 f ( x ) ? 2 f ( ) ? ax, 求 f ( x )

1 x

( 5 ) 设 f ( x ) 是 R 上 的 函 数 , 且 满 足 f (0) ? 1, 并 且 对 任 意 的 实 数 x , y 都 有

f ( x? y ? f( x ? y 2 ? ) ) ( x

? ,求 f ( x) 的表达式. y 1)

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