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北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题Word版含答案


北京市西城区 2012 — 2013 学年度第一学期期末试卷 高三数学(文科) 2013.1

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1.已知集合 A ? { x ? R | 0 ? x ? 1} , B ?

{ x ? R | (2 x ? 1)( x ? 1) ? 0} ,则 A ? B ? ( (A) (0, )
2 1



(B) ( ,1)
2 1

1

(C) ( ?? , ? 1) ? (0, )
2

(D) ( ?? , ? 1) ? ( ,1)
2

1

2.复数

?( 2?i (A) 1 ? 2i

5i

) (B) ? 1 ? 2i (C) ? 1 ? 2i ) (D) 1 ? 2i

3.执行如图所示的程序框图,则输出 S ? ( (A) 2 (B) 6 (C) 15 (D) 31

4.函数 f ( x ) ?

1 x

? ln x 的零点个数为(

) (D) 3

(A) 0 (B) 1 (C) 2 5.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积是( ) (A) 5 3
5 3 3

(B) 2 3
2 3 3

(C)

(D)

???? ???? 2 2 M B 6. 过点 M (2, 0) 作圆 x ? y ? 1 的两条切线 M A , B ( A , 为切点 ) , M A ? M B ?( 则
5 3 2



(A)

(B)

5 2

(C)

3 3 2

(D)

3 2

7.设等比数列 { a n } 的公比为 q ,前 n 项和为 S n .则“ | q | ? (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

2 ”是“ S 6 ? 7 S 2 ”的(



(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
第 1 页 共 9 页

8.已知函数 f ( x ) 的定义域为 R .若 ? 常数 c ? 0 ,对 ? x ? R ,有 f ( x ? c ) ? f ( x ? c ) , 则称函数 f ( x ) 具有性质 P .给定下列三个函数: ① f ( x) ? | x | ; ② f ( x ) ? sin x ; ) (C)①② 共 110 分) (D)②③ ③ f ( x) ? x3 ? x .

其中,具有性质 P 的函数的序号是( (A)① (B)③

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9.已知向量 a ? (1, 3) , b ? ( m , 2 m ? 1) .若向量 a 与 b 共线,则实数 m ? ______. 10.平行四边形 ABCD 中, E 为 C D 的中点.若在平行四边形 ABCD 内部随机取一点 M , 则点 M 取自△ A B E 内部的概率为______. 11.双曲线
x
2

?

y

2

? 1 的渐近线方程为______;离心率为______.

36

45

? log 2 x , x ? 0, 12.若函数 f ( x ) ? ? 是奇函数,则 g ( ? 8) ? ______. ? g ( x ), x ? 0

13.已知函数 f ( x ) ? sin( x ? 域是 [ ?
1 2

π 6

) ,其中 x ? [ ?

π 3

, a ] .当 a ?

? 2

时, f ( x ) 的值域是______;若 f ( x ) 的值

,1] ,则 a 的取值范围是______.
2

14.设函数 f ( x ) ? x ? 6 x ? 5 ,集合 A ? {( a , b ) | f ( a ) ? f ( b ) ? 0 ,且 f ( a ) ? f (b ) ? 0} .在直角坐标系
aOb 中,集合 A 所表示的区域的面积为______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分)

在△ ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 cos 2 B ? cos B ? 0 . (Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 b ?
7 , a ? c ? 5 ,求△ ABC 的面积.

16. (本小题满分 13 分) 为了解学生的身体状况,某校随机抽取了一批学生测量体重.经统计,这批学生的体重数据(单位: 50 55 60 千克) 全部介于 45 至 70 之间. 将数据分成以下 5 组: 1 组 [ 45, ) , 2 组 [ 50 , ) , 3 组 [ 55 , ) , 第 第 第 65 7 第 4 组 [ 60 , ) ,第 5 组 [65 , 0] ,得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层抽样的方法,从第 3,4, 5 组中随机抽取 6 名学生做初检. (Ⅰ)求每组抽取的学生人数; (Ⅱ)若从 6 名学生中再次随机抽取 2 名学生进行复检,求这 2 名学生不在同一组的概率.

第 2 页 共 9 页

17. (本小题满分 14 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C 1 中, AC ? BC , AC ? BC ? CC 1 ? 2 , M , N 分别 为 AC , B1C 1 的中点. (Ⅰ)求线段 MN 的长; (Ⅱ)求证: MN // 平面 ABB 1 A1 ; (Ⅲ)线段 CC 1 上是否存在点 Q ,使 A1 B ? 平面 MNQ ?说明理由. 18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
x x ?b
2

,其中 b ? R .

(Ⅰ)若 x ? ? 1 是 f ( x ) 的一个极值点,求 b 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间.

19. (本小题满分 14 分) 如图, A , B 是椭圆 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 平行于 A B ,与 x , y 轴分别交于点 M , N ,与椭圆相交于 C , D .证明:△ OCM 的面积等 于△ ODN 的面积.
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0) 的两个顶点. | A B | ?

5 ,直线 A B 的斜率为 ?

1 2



第 3 页 共 9 页

20. (本小题满分 13 分) 如图, A 是由 n ? n 个实数组成的 n 行 n 列的数表, 设 其中 a ij ( i , j ? 1, 2, 3, ? , n ) 表示位于第 i 行第 j 列 的实数,且 a ij ? {1, ? 1} .记 S ( n , n ) 为所有这样的数表构成的集合. 对 于 A ? S( n, n) , 记 r i ( A ) 为 A 的 第 i 行 各 数 之 积 , c j ( A ) 为 A 的 第 j 列 各 数 之 积 . 令
l ( A) ?

?
i ?1

n

ri ( A ) ?

?c
j ?1

n

j

( A) .

(Ⅰ)对如下数表 A ? S ( 4, 4 ) ,求 l ( A ) 的值;

(Ⅱ)证明:存在 A ? S ( n , n ) ,使得 l ( A ) ? 2 n ? 4 k ,其中 k ? 0,1, 2, ? , n ; (Ⅲ)给定 n 为奇数,对于所有的 A ? S ( n , n ) ,证明: l ( A ) ? 0 .

第 4 页 共 9 页

北京市西城区 2012 — 2013 学年度第一学期期末

高三数学(文科)参考答案及评分标准
2013.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.B; 2.A; 3.C; 4.B; 5.C; 6.D; 7.A; 8.B.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9. ? 1 ; 12. ? 3 ;

10.

1 2


1 2 ? 3 , ?] ;

11. y ? ?
,1] , [

5 2

x,

3 2



13. [ ?

14. 4 π .

注:11、13 题第一空 2 分,第二空 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由已知得 2 cos 2 B ? cos B ? 1 ? 0 , 即 (2 cos B ? 1)(cos B ? 1) ? 0 . 解得 cos B ? ,或 cos B ? ? 1 . 2 因为 0 ? B ? π ,故舍去 cos B ? ? 1 . 所以 B ?
π 3 1

??????2 分

??????4 分 ??????5 分 ??????6 分 ??????8 分



(Ⅱ)解:由余弦定理得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ac cos B . 将B ?
π

,b ?

7 代入上式,整理得 ( a ? c ) ? 3 ac ? 7 .
2

3 因为 a ? c ? 5 ,

所以 ac ? 6 . 所以 △ ABC 的面积 S ?
1 2 a c sin B ? 3 3 2

??????11 分 . ??????13 分

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由频率分布直方图知,第 3 , 4 , 5 组的学生人数之比为 3 : 2 :1 . ????2 分 所以,每组抽取的人数分别为: 第 3 组: ? 6 ? 3 ;第 4 组:
6 3 2 6 ? 6 ? 2 ;第 5 组: 1 6 ? 6 ? 1.

所以从 3 , 4 , 5 组应依次抽取 3 名学生, 2 名学生, 1 名学生. ??????5 分 (Ⅱ)解:记第 3 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ;第 4 组的 2 位 同学为 B1 , B 2 ;第 5 组的 1 位同学为
C.
第 5 页 共 9 页

??????6 分

则从 6 位同学中随机抽取 2 位同学所有可能的情形为: ( A1 , A2 ), ( A1 , A3 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B 2 ), ( A1 , C ), ( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B 2 ), ( A2 , C ), ( A3 , B1 ),
( A3 , B 2 ), ( A3 , C ), ( B1 , B 2 ), ( B1 , C ), ( B 2 , C ) ,共 15 种可能. ( B1 , C ), ( B 2 , C ) 这 11 种情形符合 2 名学生不在同一组的要求.

??????10 分 ??????12 分 ??????13 分

其中, ( A1 , B1 ), ( A1 , B 2 ), ( A1 , C ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B 2 ), ( A2 , C ), ( A3 , B1 ), ( A3 , B 2 ), ( A3 , C ),
11 15

故所求概率为 P ?



17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连接 CN . 因为 ABC ? A1 B1C 1 是直三棱柱, 所以 CC 1 ? 平面 ABC , 所以 AC ? C C 1 . 因为 AC ? BC , ??????1 分 ??????2 分 所以 AC ? 平面 BC C 1 B1 .
C C1 ? C1 N
2 2

??????3 分

因为 MC ? 1 , C N ? 所以 MN ?
6.

?

5,

??????4 分 ??????5 分
1 2 BC . 1 2 BC .

(Ⅱ)证明:取 AB 中点 D ,连接 DM , DB 1 . 在△ ABC 中,因为 M 为 AC 中点,所以 DM // BC , DM ?

在矩形 B1 BC C 1 中,因为 N 为 B1C 1 中点,所以 B1 N // BC , B1 N ? 所以 DM // B1 N , DM ? B1 N . 所以 四边形 MDB 1 N 为平行四边形,所以 MN // DB 1 . 因为 MN ? 平面 ABB 1 A1 , DB 1 ? 平面 ABB 1 A1 , 所以 MN // 平面 ABB 1 A1 .

??????7 分 ??????8 分 ??????9 分

(Ⅲ)解:线段 CC 1 上存在点 Q ,且 Q 为 CC 1 中点时,有 A1 B ? 平面 MNQ . ???11 分 证明如下:连接 BC 1 . 在正方形 BB 1C 1C 中易证 QN ? BC 1 . 又 A1C 1 ? 平面 BB 1C 1C ,所以 A1C 1 ? QN ,从而 NQ ? 平面 A1 BC 1 .????12 分 所以 A1 B ? Q N .
第 6 页 共 9 页

??????13 分

同理可得 A1 B ? M Q ,所以 A1 B ? 平面 MNQ . 故线段 CC 1 上存在点 Q ,使得 A1 B ? 平面 MNQ . 18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: f ? ( x ) ?
b?x
2 2 2

??????14 分

( x ? b)



??????2 分

依题意,令 f ?( ? 1) ? 0 ,得 b ? 1 . 经检验, b ? 1 时符合题意. 当 b ? 0 时, f ( x ) ?
1 x

??????4 分 ??????5 分(Ⅱ)解:①

. ??????6 分

故 f ( x ) 的单调减区间为 ( ?? , 0) , (0, ?? ) ;无单调增区间.
b?x
2 2 2

② 当 b ? 0 时, f ? ( x ) ?

( x ? b)



令 f ?( x ) ? 0 ,得 x1 ?

b , x2 ? ? b .

??????8 分

f ( x ) 和 f ?( x ) 的情况如下:
x

( ?? , ?

b)

? b
0

(? b ,
?

b)

b
0

( b, ? ?)

f ?( x ) f ( x)

?

?







故 f ( x ) 的单调减区间为 ( ? ? , ? b ) , ( b , ? ? ) ;单调增区间为 ( ? b ,

b).

??????11 分 ③ 当 b ? 0 时, f ( x ) 的定义域为 D ? { x ? R | x ? ? ? b } . 因为 f ?( x ) ?
b?x
2 2 2

( x ? b)

? 0 在 D 上恒成立,

故 f ( x ) 的单调减区间为 ( ? ? , ? ? b ) , ( ? ? b , ? b ) , ( ? b , ? ? ) ;无单调增区间. ??????13 分 19. (本小题满分 14 分)
1 ?b ? ? , (Ⅰ)解:依题意,得 ? a 2 ? a2 ? b2 ? ?

??????2 分
5.

解得 a ? 2 , b ? 1 .
第 7 页 共 9 页

??????3 分

所以 椭圆的方程为

x

2

? y ? 1.
2

??????4 分

4

(Ⅱ)证明:由于 l // A B ,设直线 l 的方程为 y ? ?

1 2

x ? m ,将其代入

x

2

? y ? 1 ,消去 y ,
2

4

整理得 2 x 2 ? 4 mx ? 4 m 2 ? 4 ? 0 . 设 C ( x1 , y1 ) , D ( x 2 , y 2 ) .
? ? ? 16 m 2 ? 32( m 2 ? 1) ? 0, ? 所以 ? x1 ? x 2 ? 2 m , ??????8 分 ? 2 ? x1 x 2 ? 2 m ? 2.

??????6 分

证法一:记△ OCM 的面积是 S 1 ,△ ODN 的面积是 S 2 . 由 M (2 m , 0) , N (0, m ) , 则 S1 ? S 2 ?
1 2 ? | 2 m | ? | y1 | ? 1 2 ? | m | ? | x 2 | ? | 2 y1 | ? | x 2 | . ??????10 分

因为 x1 ? x 2 ? 2 m , 所以 | 2 y1 | ? | 2 ? ( ? 从而 S 1 ? S 2 . 证法二:记△ OCM 的面积是 S 1 ,△ ODN 的面积是 S 2 . 则 S 1 ? S 2 ? | M C | ? | N D | ? 线段 CD , M N 的中点重合. 因为 x1 ? x 2 ? 2 m , 所以
x1 ? x 2 2 ?m, y1 ? y 2 ?? 1 x1 ? x 2 1 ? ?m? m. 2 2 2 1 2 x1 ? m ) | ? | ? x1 ? 2 m | ? | x 2 | ,

??????13 分 ??????14 分

??????10 分

2 1 故线段 C D 的中点为 ( m , m ) . 2

因为 M (2 m , 0) , N (0, m ) , 所以 线段 M N 的中点坐标亦为 ( m , 从而 S 1 ? S 2 . 20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: r1 ( A ) ? r3 ( A ) ? r4 ( A ) ? 1 , r2 ( A ) ? ? 1 ; c1 ( A ) ? c 2 ( A ) ? c 4 ( A ) ? ? 1 , c 3 ( A ) ? 1 ,
第 8 页 共 9 页

1 2

m) .

??????13 分 ??????14 分

所以 l ( A ) ?

?
i ?1

4

ri ( A ) ?

?c
j ?1

4

j

( A) ? 0 .

??????3 分

(Ⅱ)证明: (ⅰ)对数表 A0 : a ij ? 1 ( i , j ? 1, 2, 3, ? , n ) ,显然 l ( A0 ) ? 2 n . 将数表 A0 中的 a1 1 由 1 变为 ? 1 ,得到数表 A1 ,显然 l ( A1 ) ? 2 n ? 4 . 将数表 A1 中的 a 22 由 1 变为 ? 1 ,得到数表 A2 ,显然 l ( A2 ) ? 2 n ? 8 . 依此类推,将数表 Ak ?1 中的 a kk 由 1 变为 ? 1 ,得到数表 Ak . 即数表 Ak 满足: a11 ? a 22 ? ? ? a kk ? ? 1 (1 ? k ? n ) ,其余 a ij ? 1 . 所以 r1 ( A ) ? r2 ( A ) ? ? ? rk ( A ) ? ? 1 , c1 ( A ) ? c 2 ( A ) ? ? ? c k ( A ) ? ? 1 . 所以 l ( Ak ) ? 2[( ? 1) ? k ? ( n ? k )] ? 2 n ? 4 k ,其中 k ? 0,1, 2, ? , n .?????7 分 【注:数表 Ak 不唯一】 (Ⅲ)证明:用反证法. 假设存在 A ? S ( n , n ) ,其中 n 为奇数,使得 l ( A ) ? 0 . 因为 r i ( A ) ? {1, ? 1} , c j ( A ) ? {1, ? 1} (1 ? i ? n ,1 ? j ? n ) , 所以 r1 ( A ) , r2 ( A ) , ? , rn ( A ) , c1 ( A ) , c 2 ( A ) , ? , c n ( A ) 这 2 n 个数中有 n 个 1 , n 个 ? 1 . 令 M ? r1 ( A ) ? r2 ( A ) ? ? ? rn ( A ) ? c1 ( A ) ? c 2 ( A ) ? ? ? c n ( A ) . 一方面,由于这 2 n 个数中有 n 个 1 , n 个 ? 1 ,从而 M ? ( ? 1) ? ? 1 .
n



另 一 方 面 , r1 ( A ) ? r2 ( A ) ? ? ? rn ( A ) 表 示 数 表 中 所 有 元 素 之 积 ( 记 这 n 2 个 实 数 之 积 为 m ) ;
c1 ( A ) ? c 2 ( A ) ? ? ? c n ( A ) 也表示 m ,

从而 M ? m ? 1 .
2



①、②相互矛盾,从而不存在 A ? S ( n , n ) ,使得 l ( A ) ? 0 . 即 n 为奇数时,必有 l ( A ) ? 0 . ??????13 分

第 9 页 共 9 页


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