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湖南师范大学附属中学高一数学课件 3.1.1倾斜角与斜率


3 .1
3 .1 .1

直线的倾斜角与斜率
倾斜角与斜率

问题提出

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t

1.在平面直角坐标系中,一次函数 y=kx+b的图象是什么?其中k,b的几 何意义如何? 2.在平面直角坐标系中,经过一点P 可以作无

数条直线,如何区别这些 直线的不同位置?

知识探究(一):直线的倾斜角

思考1:在直角坐标系中,下图中的四 条直线在位置上有什么联系和区别?
y P
o

x

思考2:在直角坐标系中,任何一条 直线与x轴都有一个相对倾斜度,可 以用一个什么几何量来反映一条直 线与x轴的相对倾斜程度呢?
y

o

x

思考3:当直线l与x轴相交时,取x轴 作为基准,x轴正向与直线l向上方 向之间所成的角α 叫做直线l的倾斜 角.
y

o

x

下列各图中标出的角α 是直线的倾 斜角吗?
y o y y α x oα x y o α x

α x
o

思考4:下图中直线l1,l2,l3的倾斜角 大致是一个什么范围内的角?
y l3

l1

l2

o

x

思考5:特别地,当直线l与x轴平行或 重合时,规定它的倾斜角为0°,那么 直线的倾斜角的取值范围是什么? 0°≤α <180°

思考6:任何一条直线都有倾斜角吗? 不同的直线其倾斜角一定不相同吗?

知识探究(二):直线的斜率

思考1:函数 y ? x, y ? 3x 的图象是 直线,这两条直线的倾斜角分别是 多少?
y

y=x

y

y ? 3x

o

x

o

x

思考2:上述两条直线的倾斜角分别 与x的系数有什么关系?

思考3:初中学过的“坡度(比)”是 什么含义?它能否表示直线的倾斜程 度?它与这条直线的倾斜角之间有什 么关系?

升高量 坡度(比)= 前进量
α 前进量

升 高 量

思考4:我们把一条直线的倾斜角α 的 正切值叫做这条直线的斜率.常用小 写字母k表示,即k=tanα ,那么任何 一条直线都有斜率吗?
0 倾斜角是90 的直线(垂直与x轴的

直线)没有斜率.

思考5:当倾斜角α 600时,这条直线的斜率分别等于多 少?
0 0 0 =0 ,30 ,45 ,

思考6:当α 是锐角时,有 tan(1800-α )=-tanα . 那么当 倾斜角α =1200,1350,1500时,这 条直线的斜率分别等于多少?

思考7:倾斜角为锐角、钝角的直线的 斜率的取值范围分别是什么?一般地, 直线的斜率的取值范围是什么?

倾斜角为锐角时,k>0; 倾斜角为钝角时,k<0; 倾斜角为00时,k=0.
思考8:斜率相等的直线其倾斜角相 等吗?斜率大的直线其倾斜角也大 吗?

知识探究(三):直线的斜率公式

思考1:在直角坐标系中,经过两点 A(2,4)、B(-1,3)的直线有 几条?直线AB的斜率是多少?
y B α α C o

A

x

思考2:一般地,已知直线上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),且直 线P1P2与x轴不垂直,即x1≠x2,直 线P1P2的斜率是什么?
y P2 y P2

P1 α α o

Q
x
y 2 ? y1 k? (x1 ? x 2 ) x 2 ? x1

θ Q o

P1

α

x

思考3:当直线P1P2平行于x轴或与x轴 重合时,上述公式还适用吗?为什 么?

思考4:当直线P1P2平行于y轴或与y轴 重合时,上述公式还适用吗?为什 么?

思考5:经过点A(a,b)、B(m,n) (a≠m)的直线的斜率是什么?

kAB ? kAC

b?n n?b k? ? a?m m?a

思考6:对于三个不同的点A,B,C, 若 k AB ? k AC,则这三点的位置关系如 何?

理论迁移

例1 已知点A(3,2),B(-4, 1),C(0,-l),求直线AB,BC, CA的斜率,并判断这些直线的倾斜 角是锐角还是钝角.

例2 在平面直角坐标系中,画出 经过原点且斜率分别为l,-1,2 及-3的直线l1,l2,l3及l4.
l4
l2 y

l3

l1

o

x

作业: P86练习:2,3,4. P89习题3.1A组:3,4,5. P90习题3.1B组:5,6.


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