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高中数学:坐标系与参数方程


第3讲 坐标系与参数方程 感悟高考 明确考向
(2010· 广东)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ(cos θ +sin θ)=1与ρ(sin θ-cos θ)=1的交点的极坐标为_____.
? π? ? ? ?1,2? ? ?

解析 曲线 ρ(cos θ+sin θ)=1 化为直角坐标方程为 x +y=1,ρ(si

n θ-cos θ)=1 化为直角坐标方程为 y-x
?x+y=1, ? = 1. 联 立 方 程 组 ? ?y-x=1, ? ? π? ? (0,1),对应的极坐标为?1,2?. ? ? ? ?x=0, ? 得? ?y=1, ?

则交点为

考题分析

本小题考查了极坐标的概念,曲线的极坐

标方程以及利用曲线的极坐标方程求曲线的交点问 题.考查了极坐标的基础知识以及运用极坐标解决问 题的能力.

易错提醒

(1)易忽略 ρ≠0 的条件和 0≤θ<2π.

(2)忽视极坐标与直角坐标的互化.

主干知识梳理
1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极 轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.设 M 是 平面内的任意一点, 它的直角坐标、 极坐标分别为 (x,y)和(ρ,θ),则 ?ρ2=x2+y2 ?x=ρcos θ ? ? ? ,? . y ?y=ρsin θ ? ?tan θ=x(x≠0) ? 2.直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为 α, 则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).

几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点:θ=α; (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a; π (3)直线过 M(b, )且平行于极轴:ρsin θ=b. 2 3.圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0,θ0),半径为 r 的圆方程为: ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ2-r2=0 0 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点,半径为 r:ρ=r; (2)当圆心位于 M(r,0),半径为 r:ρ=2rcos θ; π (3)当圆心位于 M(r, ),半径为 r:ρ=2rsin θ. 2

4.直线的参数方程 过定点 M(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方 ?x=x0+tcos α, ? 程为? (t 为参数). ?y=y0+tsin α ? 5.圆的参数方程 圆心在点 M(x0,y0),半径为 r 的圆的参数方程为 ?x=x0+rcos θ ? ? (θ 为参数,0≤θ≤2π). ?y=y0+rsin θ ?

6.圆锥曲线的参数方程
?x=acos θ ? x2 y2 (1)椭圆 2+ 2=1 的参数方程为? (θ 为 a b ?y=bsin θ ?

参数).
?x=asec θ ? x2 y2 (2)双曲线 2- 2=1 的参数方程为? (θ 为 a b ?y=btan θ ?

参数). (3)抛物线
?x=2pt2 ? 2 y =2px(p>0)的参数方程为? ?y=2pt ?

.

热点分类突破
题型一 极坐标与直角坐标(方程)的互化 例 1 (1)点 P 的直角坐标为(1,- 3),求点 P 的极坐 标(0≤θ<2π); 1 (2)将曲线的极坐标方程 sin θ= 化为直角坐标方程. 3 思维启迪 用极坐标与直角坐标的互化公式求解.
解 (1)∵P 的直角坐标为(1,- 3), y 2 2 ∴ρ= 1 +(- 3) =2,tan θ= =- 3. x 5π 又点 P 在第四象限,0≤θ<2π,∴θ= . 3 5π ∴P 的极坐标为(2, ). 3

1 1 (2)∵sin θ= ,∴ρsin θ= ρ, 3 3 1 2 2 ∴y= x +y ,∴x2=8y2, 3 2 2 1 2 2 ∴y= x,y=- x.又 y= x +y >0, 4 4 3 2 2 ∴y= x(x>0)和 y=- x(x<0). 4 4
探究提高 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一

定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐 标将不唯一. (2)在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范 围.要注意转化的等价性.

变式训练 1 求曲线 ρ=4sin θ 的直角坐标方程.
解 ∵ρ=4sin θ, ∴ρ2=4ρsin θ, ∴x2+y2=4y, 即 x2+(y-2)2=4. ∴曲线的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4.

题型二

曲线的极坐标方程的应用

例 2 (2010· 广东)在极坐标系(ρ, θ)(0≤θ<2π)中, 曲线 ρ = 2sin θ 与 ρcos θ = - 1 的 交 点 的 极 坐 标 为
3 ( 2 , π) ________. 4

思维启迪

(1)化为直角坐标方程求交点,再将交点

坐标化为极坐标. (2)直接联立极坐标方程求解.
解析 曲线ρ=2sin θ化为直角坐标系方程为x2+y2-2y= 0. 由ρcos θ=-1可化为x=-1.将x=-1代入x2+y2-2y=0 得x=-1,y=1,因此交点的直角坐标为(-1,1),化为 ? 3π? 极坐标为? 2, 4 ?. ? ?

探究提高

解决这类问题一般有两种思路.一是将极

坐标方程化为直角坐标方程,求出交点的直角坐标, 再将其化为极坐标;二是将曲线的极坐标方程联立, 根据限制条件求出极坐标.要注意题目所给的限制条 件及隐含条件.

变式训练 2 在极坐标系中,已知直线 l 的极坐标方程 π π 为 ρsin(θ+ )=1,圆 C 的圆心是 C(1, ),半径为 1. 4 4 (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长.
解 (1)设O为极点,OD为圆C的直径,A(ρ,θ)为圆C π π 上的一个动点,则∠AOD=4-θ或∠AOD=θ-4, π π OA=ODcos( -θ)或OA=ODcos(θ- ), 4 4 π 所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ-4). (2)直线l的直角坐标方程为x+y- 2=0, 2 2 圆心C的直角坐标为( , ), 2 2 故C点满足直线l的方程,则直线l经过圆C的圆心, 故直线被圆所截得的弦长为直径,为2.

题型三 参数方程及其应用 例3 (2009· 海南)已知曲线
?x=-4+cos ? C1:? ?y=3+sin t ?

t,

(t 为参数),曲线

?x=8cos θ, ? C2:? ?y=3sin θ ?

(θ 为参数).

(1)化 C1, 2 的方程为普通方程, C 并说明它们分别表 示什么曲线; π (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ,Q 为 C2 上的 2 ?x=3+2t, ? 动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3:? (t 为 ?y=-2+t ? 参数)距离的最小值. 思维启迪 点用参数表示,直线用普通解法的形式表

示,将点 M 到直线的距离表示成参数的函数.

x 2 y2 解 (1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2: + =1. 64 9 C1 为圆心是(-4,3),半径为 1 的圆. C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8, 短半轴长是 3 的椭圆. π (2)当 t= 时,P(-4,4).由于 Q 为 C2 上的动点, 2 因此 Q(8cos θ,3sin θ), ? ? 3 ? 故 M?-2+4cos θ,2+2sin θ?, ? ? ? 直线 C3 的方程为: x-2y-7=0, 故点 M 到 C3 的距离 5 为 d= |4cos θ-3sin θ-13|. 5 4 3 8 5 从而当 cos θ= ,sin θ=- 时,d 取得最小值 . 5 5 5

探究提高

(1)参数方程化普通方程的关键是消参

数.要根据参数的特点进行. (2)利用参数方程解决问题,关键是选准参数,如本例 以 θ 为参数,就比较有利于问题的解决.

变式训练 3

?x=1+tcos ? ? (2010· 全国)已知直线 C1: ?y=tsin α ? ?x=cos θ, ? C2:? ?y=sin θ ?

α,

(t 为参数),圆

(θ 为参数).

π (1)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点,当 α 变化时,求 P 点轨迹的参数方程,并 指出它是什么曲线. π 解 (1)当 α= 时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1),C2 3 ?y= 3(x-1), ? 2 2 的普通方程为 x +y =1,联立方程组? 2 2 ?x +y =1, ? 1 3 解得 C1 与 C2 的交点坐标为(1,0),( ,- ). 2 2

(2)C1 的普通方程为 xsin α-ycos α-sin α=0. A 点坐标为(sin2α,-cos αsin α), 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为 ? 1 2 ?x=2sin α ? ?y=-1sin αcos α 2 ? (α 为参数).

12 2 1 P 点轨迹的普通方程为(x- ) +y = . 4 16 1 1 故 P 点轨迹是圆心为( ,0),半径为 的圆. 4 4

规律方法总结
?x=ρcos θ ? 1.极坐标方程与普通方程互化核心公式:? ?y=ρsin θ ?



2 2 2 ?ρ =x +y ? ? . y ?tan θ=x ? 2.过点 A(ρ0,θ0) 倾斜角为 α 的直线方程为 ρ= ρ0sin(θ0-α) .特别地,①过点 A(a,0),(a>0),垂直于极 sin(θ-α) 轴的直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ=a.②平行于极轴且 π 过点 A(b, ) (b>0)的直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ=b. 2 3.圆心在点 A(ρ0,θ0)半径为 r 的圆方程为 r2=ρ2+ρ2 0 -2ρρ0cos(θ-θ0).

?x=x0+tcos θ ? 4.重点掌握直线的参数方程? ?y=y0+tsin θ ?

(t 为参

数),理解参数 t 的几何意义.

知能提升演练
一、填空题 1. 极坐标方程分别为 ρ=cos θ 与 ρ=sin θ 的两个圆的 2 圆心距为________. 2

1 1 解析 圆心分别为( ,0)和(0, ). 2 2

π 2. 设直线过极坐标系中的点 M(2, ), 且平行于极轴, 2 ρsin θ=2 则它的极坐标方程为________.
解析 在相应的直角坐标系中,直线的方程为 y=2.

?x=3+4t ? 3.直线? ?y=4-5t ?

5 - (t 为参数)的斜率为________. 4

解析

y-4 -5t 5 k= = =- . 4t 4 x-3

π 4.已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α= ,直线l的 6

? 3 x=1+ t ? 2 ? (t 为参数) 1 ?y=1+ t 2 参数方程为_______________________________. ?

解析 直线l的参数方程为 π ? ?x=1+tcos6, ? ?y=1+tsinπ, 6 ? ? 3 ?x=1+ 2 t, 故答案为? ?y=1+1t. 2 ?

(t为参数).

?x=-2+4t, ? 5.直线? ?y=-1-3t ?

(t

?x=2+5cos θ, ? 为参数)被圆? ?y=1+5sin θ ?

(θ 为参数)所截得的弦长为________. 6

解析 将直线化为普通方程:3x+4y+10=0; 将圆化为普通方程为:(x-2)2+(y-1)2=25, 圆心为(2,1),半径为 5, 则圆心到直线 3x+4y+10=0 的距离 |3×2+4×1+10| 20 d= = =4, 2 2 5 3 +4 则弦长的一半为 3,则弦长为 6.

6. (2010· 陕西)已知圆 C

?x=cos α, ? 的参数方程为? ?y=1+sin α ?



为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ=1,则直线
(-1,1),(1,1) l 与圆 C 的交点的直角坐标为________________.

解析 ∵y=ρsin θ, ∴直线 l 的直角坐标方程为 y=1. ?x=cos α, ? 由? 得 x2+(y-1)2=1. ?y=1+sin α ?
?y=1, ? 由? 2 ?x +(y-1)2=1 ? ?x=-1, ? 得? ?y=1 ? ?x=1, ? 或? ?y=1. ?

∴直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为(-1,1)和(1,1).

7.直线 l

?x=a+t ? 的参数方程为? ?y=b+t ?

(t 为参数),l 上的点

P1 对应的参数是 t1,则点 P1 与 P(a,b)之间的距离 2|t1| 是________.
解析 |P1P|= [(a+t1)-a]2+[(b+t1)-b]2 = 2t2= 2|t1|. 1

?x=tcos θ ? 8.直线? ?y=tsin θ ?

?x=4+2cos ? 与圆? ?y=2sin α ?

α

相切,则 θ=

π 5π 或 ________. 6 6

解析 直线为 xtan θ-y=0,圆为(x-4)2+y2=4, ? sin θ ? ? ? 4 ? cos θ? |4tan θ| ? ? 圆心为(4,0),∵ 2 = ? 1 ? =|4sin θ|=2, 1+tan θ ? ? ?cos θ? ? ? 1 1 ∴sin θ= 或 sin θ=- , 2 2 π 5π ∴θ= 或 θ= . 6 6

二、解答题 9.在平面直角坐标系 xOy 中,动圆 x2+y2-8xcos θ -6ysin θ+7cos2θ+8=0(θ∈R)的圆心为 P(x,y), 求 2x-y 的取值范围.

解 ∵x2+y2-8xcos θ-6ysin θ+7cos2θ+8=0 的圆 心为(4cos θ,3sin θ), 又圆心为 P(x,y), ?x=4cos θ ? ∴? (θ 为参数,θ∈R), ?y=3sin θ ? ∴2x-y=8cos θ-3sin θ= 73cos(θ+φ), ∴- 73≤2x-y≤ 73. 即 2x-y 的取值范围是[- 73, 73].`

10. 求圆 ρ=3cos θ 的弦长.

?x=2+2t, ? 被直线? ?y=1+4t ?

(t 是参数)截得

解 将极坐标方程转化成直角坐标方程: ρ=3cos θ 即:x2+y2=3x, 32 2 9 即(x- ) +y = ; 2 4 ?x=2+2t ? 又? 即:2x-y=3, ?y=1+4t ? 3 |2× -0-3| 2 所以圆心到直线的距离 d= 2 2 =0, 2 +(-1) 即直线经过圆心,所以被直线截得的弦长为 3.
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