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课时跟踪检测(二十七) 平面向量的数量积与平面向量应用举例

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课时跟踪检测(二十七) 平面向量的数量积与平面向量应用举例

1.(2012· 豫东、豫北十校阶段性测试)若向量 a=(x+1,2)和向量 b=(1,-1)平行,则|a +b|=( A. 10 C. 2 ) B. D. 10 2 2 2

2.(2012· 山西省考前适应性训练)已知向量 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投 影为( ) B. D. 13 5 65 5
??? ?

A. 13 C. 65

A 3.已知 A,B,C 为平面上不共线的三点,若向量 A B =(1,1),n=(1,-1),且 n· C

????

B =2,则 n· C 等于(

????

) B.2 D.2 或-2
??? ???? ?

A.-2 C.0

B 4.(2012· 湖南高考)在△ABC 中,AB=2,AC=3, A B · C =1,则 BC=(

)

A. 3 C.2 2

B. 7 D. 23 2 3 |a|,则 a+b 与 a-b 的夹角 θ 为( 3 )

5.已知非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|= A.30° C.120°

B.60° D.150°

???? ???? ??? ? 6.如图,在△ABC 中,AD⊥AB, B C = 3 B D ,| A D |=1,则 ???? ???? A C · D =( A )

A.2 3 C. 3 2

B.3 3 D. 3

7. (2013· “江南十校”联考)若|a|=2, |b|=4, 且(a+b)⊥a, a 与 b 的夹角是________. 则 8.(2012· 新课标全国卷)已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|= ________. 9.(2012· 大连模拟)已知向量 a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若 a∥b,(a+b)

⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量 M N 的模为________. 10.已知 a=(1,2),b=(-2,n),a 与 b 的夹角是 45° . (1)求 b; (2)若 c 与 b 同向,且 a 与 c-a 垂直,求 c. 11.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120° . (1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|; (2)当 k 为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)? 1 3 12.设在平面上有两个向量 a=(cos α,sin α)(0° ≤α<360° ),b=?- , ?. ? 2 2? (1)求证:向量 a+b 与 a-b 垂直; (2)当向量 3a+b 与 a- 3b 的模相等时,求 α 的大小.

???? ?

1.已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( A.a∥b C.|a|=|b| B.a⊥b D.a+b=a-b

)

2.(2012· 山东实验中学四诊)△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,若 A B + A C = 2 A O ,且| O A |=| A C |,则向量 B A 在向量 B C 方向上的射影为( 3 A. 2 C.3
??? ?

??? ?

????

????

??? ?

????

??? ?

????

)

B.

3 2 3 2

D.-
???? ??? ?

3.已知 A B =(6,1), B C =(x,y), C D =(-2,-3). (1)若 B C ∥ D A ,求 x 与 y 之间的关系式; (2)在(1)条件下,若 A C ⊥ B D ,求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积. [答 题 栏] 1._________ 2._________ 3._________ 4._________ A级 5.__________ 6._________ 7. __________ 8. __________ 9. __________ B级 1.______ 2.______
????
??? ?

????

??? ?





课时跟踪检测(二十七)

A级

1.C 2.D 3.B

4.A

5.选 B 将|a+b|=|a-b|两边同时平方得 a· b=0; 将|a-b|= 1 b2= a2, 3 ?a+b?· ?a-b? a2-b2 1 所以 cos θ= = = . 4 2 2 |a+b|· |a-b| a 3 6.选 D 建系如图. 设 B(xB,0),D(0,1),C(xC,yC),
???? B C =(xC-xB,yC), ??? ? B D =(-xB,1), ???? ???? ??? ? ∵ B C = 3 B D , C-xB=- 3xB?xC=(1- 3)·B,C= 3,A C =((1- 3)xB, 3), ∴x x y ???? ???? ???? A D =(0,1), A C · D = 3. A

2 3 |a|两边同时平方得 3

7.解析:设向量 a,b 的夹角为 θ.由(a+b)⊥a 得(a+b)· a=0,即|a|2+a· b=0, 1 2π ∵|a|=2,∴a· b=-4,∴|a|· cos θ=-4,又|b|=4,∴cos θ=- ,即 θ= .∴向量 a, |b|· 2 3 2π b 的夹角为 . 3 2π 答案: 3 8.解析:∵a,b 的夹角为 45° ,|a|=1, ∴a· b=|a|· cos 45° |b|· = ∴|2a-b|2=4-4× ∴|b|=3 2. 答案:3 2 9.解析:∵a∥b,∴x=4.∴b=(4,-2), ∴a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y). ∵(a+b)⊥(b-c),∴(a+b)· (b-c)=0, 即 6-3(-2-y)=0,解得 y=-4. ∴向量 M N =(-8,8),∴| M N |=8 2. 答案:8 2 10.解:(1)∵a· b=2n-2,|a|= 5,
???? ? ???? ?

2 |b|, 2

2 |b|+|b|2=10. 2

|b|= n2+4, ∴cos 45° = 2 = , 2 5· n +4
2

2n-2

∴3n2-16n-12=0(n>1). 2 ∴n=6 或 n=- (舍).∴b=(-2,6). 3 (2)由(1)知,a· b=10,|a|2=5. 又∵c 与 b 同向,故可设 c=λb(λ>0). ∵(c-a)· a=0, |a|2 5 1 ∴λb· a-|a|2=0.∴λ= = = . b· 10 2 a 1 ∴c= b=(-1,3). 2 1 11.解:由已知得,a· b=4×8×?-2?=-16. ? ? (1)①∵|a+b|2=a2+2a· 2 b+b =16+2×(-16)+64=48, ∴|a+b|=4 3. ②∵|4a-2b|2=16a2-16a· b+4b2 =16×16-16×(-16)+4×64=768, ∴|4a-2b|=16 3. (2)∵(a+2b)⊥(ka-b), ∴(a+2b)· (ka-b)=0, ∴ka2+(2k-1)a· b-2b2=0, 即 16k-16(2k-1)-2×64=0. ∴k=-7. 即 k=-7 时,a+2b 与 ka-b 垂直. 1 3 12.解:(1)证明:因为(a+b)· (a-b)=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)- + =0, 4 4 所以 a+b 与 a-b 垂直. (2)由| 3a+b|=|a- 3b|,两边平方得 3|a|2+2 3a· b+|b|2=|a|2-2 3a· b+3|b|2, 所以 2(|a|2-|b|2)+4 3a· b=0. 而|a|=|b|,所以 a· b=0, 1 3 则?-2?×cos α+ ×sin α=0, ? ? 2

即 cos(α+60° )=0, 所以 α+60° 180° =k· +90° , 即 α=k· +30° 180° ,k∈Z. 又 0° ≤α<360° ,则 α=30° α=210° 或 . B级 1.选 B 因为|a+b|=|a-b|,所以(a+b)2=(a-b)2,即 a· b=0,故 a⊥b. 2.选 A 由已知条件可以知道,△ABC 的外接圆的圆心在线段 BC 的中点 O 处,因此
??? ? ??? ? π π π △ABC 是直角三角形,且∠A= .又| O A |=| C A |,所以∠C= ,∠B= ,AB= 3,AC=1, 2 3 6 ???? ??? ? ??? ? π 3 故 B A 在 B C 上的射影| B A |cos = . 6 2

3.解:(1)∵ A D = A B + B C + C D =(x+4,y-2), ∴ D A =- A D =(-x-4,2-y). 又∵ B C ∥ D A 且 B C =(x,y), ∴x(2-y)-y(-x-4)=0, 即 x+2y=0.① (2)由于 A C = A B + B C =(x+6,y+1),
???? ??? ? ??? ? B D = B C + C D =(x-2,y-3), ???? ??? ? 又 AC ⊥BD , ???? ??? ? B 所以 A C · D =0, ????
??? ?
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????

????

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????

????

即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.② 联立①②化简,得 y2-2y-3=0. 解得 y=3 或 y=-1. 故当 y=3 时,x=-6, 此时 A C =(0,4), B D =(-8,0), 1 ???? ???? 所以 SABCD= | A C |·B D |=16; | 2 当 y=-1 时,x=2, 此时 A C =(8,0), B D =(0,-4), 1 ???? ???? ∴SABCD= | A C |·B D |=16. | 2
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