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江苏省南通市2014届高三第一次调研测试数学[1]


南通市 2014 届高三第一次调研测试

数学Ⅰ 参考答案与评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上 . ........ 1. 已知集合 U ? {1,2,3,4,5},A ? {1,2,4},则 ?U A ? 【答案】{3,5}. 2. 已知复数 z1 ? 1 ? 3i , z2

? 3 ? i ( i 为虚数单位).在复平面内, z1 ? z2 对应的点在第 ▲ 象限. 【答案】二. 3. 命题: “ ?x ? R , x ≤0 ”的否定是 ▲ . 【答案】 ?x ? R , | x |? 0 . 4. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y 2 ? 8 x 上横坐标为 1 的点到其焦点的距离为 ▲ . 【答案】3.
? x≥0, ? y≥0, 5. 设实数 x , y 满足 ? 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值是 ? x ? y ≤ 3 , ? ? ?2 x ? y≤4,
开始

▲ .

输入 x

▲ .
y ? 1 x ?1 2
| y ? x |? 1
x? y

【答案】7. 6. 如图是一个算法的流程图.若输入 x 的值为 2,则输出 y 的 值是 ▲ . 【答案】 ? 3 . 2

N

Y
输出 y

结束

7. 抽样统计甲, 乙两个城市连续 5 天的空气质量指数(AQI), 数据如下: 城市 甲 乙 空气质量指数(AQI) 第1天 109 110 第2天 111 111 第3天 132 115 第4天 118 132 第5天 110 112

(第 6 题)

则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为 【答案】乙.

▲ (填甲或乙) .

8. 已知正三棱锥的侧棱长为 1,底面正三角形的边长为 2 .现从该正三棱锥的六条棱中随机选取
·1 ·

两条棱,则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ . 【答案】 2 . 5 9. 将函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? ? ? 0 ? ? ? ?? 的图象上所有点向右平移 ? 个单位后得到的图象关于原点对 ? 称,则 ? 等于 ▲ . 【答案】 ? . ? 1 1 4 10.等比数列{an}的首项为 2,公比为 3,前 n 项和为 Sn.若 log3[ an(S4m+1)]=9,则 + 的最小值 2 n m 是 ▲ . 【答案】 5 . 2 11.若向量 a ? ? cos ?, sin ? ? , b ? ? cos ?, sin ? ? ,且 a ? b ≤2a ? b ,则 cos(? ? ? ) 的值是 ▲ . 【答案】1. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? x ? b 是曲线 y ? a ln x 的切线,则当 a >0 时,实数 b 的最小 值是 ▲ . 【答案】 ?1 . 13.已知集合 M= {( x, y) | x ? 3 ≤y≤ x ? 1} ,N= {P | PA ≥ 2PB, A(?1, 0), B(1, 0)} ,则表示 M∩N 的图 形面积等于 ▲ . 【答案】 4 ? ? 2 3 . 3
t ? 1] 上总存在两实数 x1 、 x 2 , 14.若函数 f ( x) ? ax2 ? 20x ? 14 (a ? 0) 对任意实数 t ,在闭区间 [t ? 1,

使得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ≥8 成立,则实数 a 的最小值为 ▲ . 【答案】8. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字说明、证 ....... 明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB // CD , AB1 ? BC ,且 AA1 ? AB . (1)求证: AB ∥平面 D1DCC1 ; (2)求证: AB1 ⊥平面 A1 BC .
·2 ·

D1 A1 B1

C1

D A B

C

(1)证明:在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB // CD ,
AB ? 平面 D1 DCC1 , CD ? 平面 D1 DCC1 ,

所以 AB // 平面 D1DCC1 . ??????????????????????????6 分 (2)证明:在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,四边形 A1 ABB1 为平行四边形,又 AA1 ? AB , 故四边形 A1 ABB1 为菱形. 从而 AB1 ? A1 B .????????????????????????????? 9 分 又 AB1 ? BC ,而 A1 B
BC ? B , A1 B,BC ? 平面 A1 BC ,

所以 AB1 ? 平面 A1 BC . ????????????????????????? 14 分 16.(本小题满分 14 分) 在△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边长,且 c=-3bcosA,tanC= 3 . 4 (1)求 tanB 的值; (2)若 c ? 2 ,求△ ABC 的面积. (1)解:由正弦定理,得 sin C ? ?3sin B cos A ,??????????????????2 分 即 sin( A ? B) ? ?3sin B cos A . 所以 sin A cos B ? cos A sin B ? ?3sin B cos A . 从而 sin A cos B ? ?4sin B cos A . 因为 cos A cos B ? 0 ,所以 tan A ? ?4 .????????????????????4 分 tan B
B ?3, 又 tan C ? ? tan( A ? B) ? tan A ? tan B ,由(1)知, 3tan tan A tan B ? 1 4 tan 2 B ? 1 4

解得 tan B ? 1 .??????????????????????????????6 分 2 (2)解:由(1) ,得 sin A ? 2 , sin B ? 1 , sin C ? 3 . ????????????10 分 5 5 5 由正弦定理,得 a ? c sin A ? sin C
2? 2 5 ? 4 5 .?????????????????12 分 3 3 5

4 5 ? 2? 1 ? 4 所以△ ABC 的面积为 1 ac sin B ? 1 ? . ????????????14 分 2 2 3 5 3

17.(本小题满分 14 分)
·3 ·

a3 已知 a 为实常数,y=f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当 x<0 时,f(x)=2x- 2 +1. x (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)≥a-1 对一切 x>0 成立,求 a 的取值范围. (1)解:由奇函数的对称性可知,我们只要讨论 f(x)在区间(-∞,0)的单调性即可. f ′(x)=2+ 2a3 ,令 f ′(x)=0,得 x=-a. ???????????????????2 分 x3

①当 a≤0 时,f ′(x)>0,故 f(x)在区间(-∞,0)是单调递增. ????????? 4 分 ②当 a>0 时,x ∈(-∞,-a ),f ′(x)>0,所以 f(x)在区间(-∞,-a )是单调递增. x ∈(-a,0),f ′(x)<0,所以 f(x)在区间(-a,0)是单调减.????????? 6 分 综上所述:当 a≤0 时,f(x)单调增区间为(-∞,0),(0,+∞);当 a>0 时,f(x)单调增区 间为(-∞,-a ),(a ,+∞),单调减区间为(-a,0),(0,a).???????? 7 分 (2)解:因为 f(x)为奇函数, a3 a3 所以当 x>0 时,f(x)=-f(-x)=-(-2 x- 2 +1)=2x+ 2 -1. ???????? 9 分 x x ①当 a<0 时,要使 f(x)≥a-1 对一切 x>0 成立,即 2x+ a3 ≥a 对一切 x>0 成立. x2

a 而当 x=- >0 时,有-a+4a≥a,所以 a≥0,则与 a<0 矛盾. 2 所以 a<0 不成立.???????????????????????????11 分 ②当 a=0 时,f(x)=2x-1>-1=a-1 对一切 x>0 成立,故 a=0 满足题设要求.?12 分 ③当 a>0 时,由(1)可知 f(x)在(0,a)是减函数,在(a ,+∞)是增函数. 所以 fmin(x)=f(a)=3a-1>a-1,所以 a>0 时也满足题设要求. ??????? 13 分 综上所述,a 的取值范围是 [0, ? ?) .???????????????????? 14 分 18.(本小题满分 16 分) 如图,一块弓形薄铁片 EMF,点 M 为 EF 的中点,其所在圆 O 的半径为 4 dm(圆心 O 在弓形 EMF 内) , ∠EOF= 2? . 将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片 ABCD(不计损耗), AD∥EF, 3 且点 A、D 在 EF 上,设∠AOD= 2? . (1)求矩形铁片ABCD的面积S关于 ? 的函数关系式; (2)当矩形铁片ABCD的面积最大时,求cos ? 的值. M ·

A

M ·

D

M ·

A
O O

D

O
O

B
F

E
(第 18 题)

E B

·4 ·

C F

E



F

C

(1)解:设矩形铁片的面积为 S , ?AOM ? ? .

当 0 ? ? ? ? 时(如图①) , AB ? 4 cos ? ? 2 , AD ? 2 ? 4sin ? , 3
S ? AB ? AD ? ? 4cos? ? 2?? 2 ? 4sin ? ? ? 16sin ? ? 2cos? ? 1? .??????????? 3 分

当 ? ≤ ? ? ? 时(如图②) , AB ? 2 ? 4 cos ? , AD ? 2 ? 4sin ? , 3 2 故 S ? AB ? AD ? 64sin ? cos ? ? 32sin 2? . 综上得,矩形铁片的面积 S 关于 ? 的函数关系式为
?16sin ? ? 2cos ? ? 1?, 0 ? ? ? ?, ? 3 ????????????????????? 7 分 S ?? ?32sin 2?,? ≤ ? ? ? . 3 2 ?

(2)解:当 0 ? ? ? ? 时,求导,得 3
2 S ? ? 16 ? ?cos? ? 2cos? ? 1? ? sin? ? ?2sin? ?? ? ? 16 ? 4cos ? ? cos? ? 2? .

令 S ? ? 0 ,得 cos? ? 33 ? 1 .??????????????????????? 10 分 8 记区间 (0,? ) 内余弦值等于 33 ? 1 的角为 ? 0 (唯一存在) .列表: 3 8
?
S?

?0 ? ? 0,
?
增函数

?0
0 极大值

(?0,? ) 3
?

S

减函数

又当 ? ≤ ? ? ? 时, S ? 32sin 2? 在 [ ?,? ) 上的单调减函数, 3 2 3 2 所以当 ? ? ? 0 即 cos? ? 33 ? 1 时,矩形的面积最大.????????????? 16 分 8 19.(本小题满分 16 分)
2 y2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, 3 ) ,离心率为 3 ,又椭 2 2 a b

P ?P C 2 圆内接四边形 ABCD (点 A、 B、 C、 D 在椭圆上)的对角线 AC, BD 相交于点 P (1,1 ) , 且A 4
BP ? 2PD .



y A O D P · C x B
(第 19 题) ·5 ·

(1)求椭圆的方程; (2)求直线 AB 的斜率.

?c 3 ?a ? 2 , 2 ? ? ?1 ? a = 4, 3 (1)解:依题意, ? 2 ? 2 ? 1,解得 ? 2 4b ? ?a ?b =1. ?c 2 ? a 2 ? b 2 . ? ?

所求椭圆的方程为 x ? y 2 ? 1 . ?????????????????????? 6 分 4 (2)解:设 A ? x1, y1 ? ,则

2

x12 ? y12 ? 1 . 4 3 ? x1 3 ? 4 y1 由 AP ? 2PC ,得 C .???????????????????? 8 分 , 2 8

?

?

3 ? x1 2 2 2 x 代入椭圆方程 ? y ? 1 ,得 4 4

?

?

2

?

?

3 ? 4 y1 8

? ?1.
2

整理,得

x12 ? y12 ? 3 ( x1 ? y1 ) ? 19 ? 0 ,??????????????????? 10 分 4 2 16
③ ????????????????? 12 分 ④ ????????????????? 14 分

即 x1 ? y1 ? ? 1 . 8
y2 ? ,同理可得 x2 ? y2 ? ? 1 . 设 B ? x2, 8

③ ? ④,得

y2 ? y1 y ? y1 ? ?1 ,即直线 AB 的斜率为 k ? 2 ? ?1. ???????? 16 分 x2 ? x1 x2 ? x1

20.(本小题满分 16 分) 已知等差数列{an}、等比数列{bn}满足 a1+a2=a3,b1b2=b3,且 a3,a2+ b1,a1+ b2 成等差数列, a1,a2,b2 成等比数列. (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式; (2)按如下方法从数列{an}和数列{bn}中取项: 第 1 次从数列{an}中取 a1, 第 2 次从数列{bn}中取 b1,b2, 第 3 次从数列{an}中取 a2,a3,a4, 第 4 次从数列{bn}中取 b3,b4,b5,b6, ?? 第 2n-1 次从数列{an}中继续依次取 2n-1 个项, 第 2n 次从数列{bn}中继续依次取 2n 个项, ?? 由此构造数列{cn}:a1,b1,b2,a2,a3,a4,b3,b4,b5,b6,a5,a6,a7,a8,a9,b7,b8, b9,b10,b11,b12,?,记数列{cn}的前 n 和为 Sn.求满足 Sn<22014 的最大正整数 n. (1)解:设等差数列{an}的公差为 d ,等比数列{bn}的公比为 q ,

·6 ·

?a1 ? (a1 ? d ) ? a1 ? 2d, ? 2 依题意,得 ?b1 (b1q) ? b1q , ? ?(a1 ? 2d ) ? (a1 ? b1q) ? 2[(a1 ? d ) ? b1 ], ?(a ? d )2 ? a (b q). ? 1 1 1

解得 a1=d=1,b1=q=2.

故 an=n,bn=2n.????????????????????????????? 6 分 (2)解:将 a1,b1,b2 记为第 1 组,a2,a3,a4,b3,b4,b5,b6 记为第 2 组,a5,a6,a7,a8, a9,b7,b8,b9,b10,b11,b12 记为第 3 组,??以此类推,则第 n 组中,有 2n-1 项选取 于数列{an},有 2 n 项选取于数列{bn},前 n 组共有 n2 项选取于数列{an},有 n2+n 项选取 于数列{bn},记它们的总和为 Pn,并且有 Pn ?
n 2 ? n 2 ? 1? 2 ? 2n
2

? n ?1

? 2 . ???? 11 分

P45 ? 22014 ? P44 ? 22014 ?
当 Sn ?

452 (452 ? 1) ? 22071 ? 22014 ? 2 ? 0 , 2 442 (442 ? 1) 1981 33 ? 2 (2 ? 1) ? 2 ? 0 . 2

452 (452 ? 1) +(2+22+?+22012)时, 2 452 (452 ? 1) ? 0 .??????????????????? 13 分 2

Sn ? 22014 ? ?22013 ? 2 ?
当 Sn ?

452 (452 ? 1) +(2+22+?+22013)时, 2 452 (452 ? 1) ?0. 2
2

Sn ? 22014 ? ?2 ?

可得到符合 Sn ? 22014 的最大的 n=45 +2012=4037.?????????????? 16 分

·7 ·

数学Ⅱ (附加题)参考答案与评分标准
21. 【选做题】 A. 选修 4—1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) 在△ABC 中,已知 CM 是∠ACB 的平分线,△AMC 的外接圆交 BC 于点 N,且 BN ? 2AM. 求证:AB ? 2 AC. 证明:如图,在△ABC 中,因为 CM 是∠ACM 的平分线, A M O 所以 AC ? AM , ① ??????????? 3 分 BC BM 又因为 BA 与 BC 是圆 O 过同一点 B 的割线, 所以 BM ? BA ? BN ? BC , C 即 BA ? BN ,?????????????? 6 分 BC BM 又 BN=2AM, 所以 BA ? 2 AM , ②??????????? 8 分 BC BM 由①②,得 AB ? 2 AC. ????????? 10 分 B. 选修 4—2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分)
?1 2 ? ?1 0 ? ?1 设二阶矩阵 A , B 满足 A?1 ? ? , ? BA? ? ? ,求 B ?1 . ? ? ?3 4 ? ?0 1 ? ?a b ? ?1 ?1 ?1 解:设 B ?1 ? ? ? ,因为 ? BA? ? A B ,??????????????????? 2 分 c d ? ?
? a ? 2c ? 1, ?b ? 2d ? 0, ?1 0 ? ?1 2 ? ? a b ? ? ? 所以 ? ,即 ????????????????? 6 分 ? ? ? ? ? ? ? 0 1 ? ?3 4 ? ? c d ? ?3a ? 4c ? 0, ? ?3b ? 4d ? 1,

B

N
(第 21—A 题)

·8 ·

?a ? ?2, ?b ? 1, ? ? ?2 1 ? ? ? .???????????????????? 10 分 解得 ?c ? 3 , 所以 B ?1 ? ? 3 ? 1? ? 2 ? ?2 2? ? 1 d ?? , ? ? 2

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知曲线 C : ? ? 2sin ? ,过极点 O 的直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,
AB ? 3 ,求直线 l 的方程.

解:设直线 l 的方程为 ? ? ? 0 (ρ∈R), A ? 0, 0 ? , B ? ?1, ?0 ? , ?????????????2 分 则 AB ?| ?1 ? 0 |? | 2sin ?0 | .????????????????????????? 5 分 又 AB ? 3 ,故 sin ?0 ? ? 3 . ??????????????????????? 7 分 2 解得 ?0 ? ? +2kπ 或 ?0 ? ? ? +2kπ,k∈Z. 3 3 所以直线 l 的方程为 ? ? ? 或 ? ? ?? (ρ∈R). ???????????????? 10 分 3 3 D.选修 4—5:不等式选讲 (本小题满分 10 分)

y 已知 x,y,z 均为正数,求证: x ? ? z ≥ 1 ? 1 ? 1 . yz zx xy x y z y y 证明:因为 x,y,z 均为正数,所以 x ? ≥ 1 ? x ≥ 2 .???????????? 4 分 yz zx z x y z y 同理可得 z ? ≥ 2 , x ? z ≥ 2 . ??????????????????? 7 分 yz xy y xy zx x
当且仅当 x ? y ? z 均时,以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边左,右两边分别相加,并除以 2, y 得 x ? ? z ≥ 1 ? 1 ? 1 .??????????????????????? 10 分 yz zx xy x y z 【必做题】 22. (本小题满分 10 分) 如图,设 P1 , P2 ,?, P6 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点.现任选其中三个不同点构成一 个三角形,记该三角形的面积为随机变量 S .
·9 ·

?

?

(1)求 S ? 3 的概率; 2 (2)求 S 的分布列及数学期望 E ( S ) . P1
P2
O

解: (1)从六个点任选三个不同点构成一个三角形共
P6

3 的为有一个角是 有 C3 6 种不同选法,其中 S ? 2
30 的直角三角形(如△ P ,共 6 ? 2 ? 12 种, 1P 4P 5)

P3 P4
(第 22 题)

P5

? 3 . ??????? 3 分 所以 P S ? 3 ? 12 3 2 C6 5

?

?

(2)S 的所有可能取值为 3 , 3 ,3 3 .S ? 3 的为顶角是 120 的等腰三角形 (如△ P , 1P 2P 3) 4 2 4 4 共 6 种,所以 P S ? 3 ? 63 ? 3 . ???????????????????? 5 分 4 C6 10 ,共 2 种,所以 P S ? 3 3 ? 23 ? 1 .?? 7 分 S ? 3 3 的为等边三角形(如△ P 1P 3P 5) 4 4 C6 10
? 3 ,故 S 的分布列为 又由(1)知 P S ? 3 ? 12 2 5 C3 6

?

?

?

?

?

?

S

3 4
3 10

3 2
3 5

3 3 4
1 10

P

所以 E(S ) ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 3 ? 1 ? 9 3 .??????????????? 10 分 4 10 2 5 4 10 20 23. (本小题满分 10 分) 已知 1,2,?, n 满足下列性质 T 的排列 a1 , a 2 ,?, a n 的个数为 f (n) (n≥2,且 n∈N*) . 性质 T:排列 a1 , a 2 ,?, a n 中有且只有一个 ai ? ai ?1 ( i ? {1,2,?, n ? 1 }) . (1)求 f (3) ; (2)求 f (n) . 解: (1)当 n ? 3 时,1,2,3 的所有排列有 (1 ,2, 3) , (1 ,3, 2) , (2 ,1, 3) , (2 ,3, 1) ,
·10·

(3 ,1, 2) , (3 ,2, 1) ,其中满足仅存在一个 i ? {1,2,3},使得 ai ? ai ?1 的排列有 (1 ,3, 2) , (2 ,1, 3) , (2 ,3, 1) , (3 ,1, 2) , 所以 f (3) ? 4 .???????????????????????????? 3 分

(2)在 1,2,?, n 的所有排列 (a1 , a 2 ,?, an ) 中, 若 ai ? n(1≤i≤n ? 1) ,从 n ? 1 个数 1,2,3,?, n ? 1 中选 i ? 1 个数按从小到大的顺序 排列为 a1 , a 2 ,?, ai ?1 ,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排 列个数为 Cin??11 .??????????????????????????? 6 分 若 an ? n ,则满足题意的排列个数为 f (n ? 1) .??????????????? 8 分 综上, f (n) ? f (n ? 1) ? 从而 f (n) ?
2 ?1 ? 2
3 n ?3

?C
i ?1

n ?1

i ?1 n ?1

? f (n ? 1) ? 2n?1 ? 1 .
n

1? 2

? ? (n ? 3) ? f (3) ? 2

? n ? 1 . ???????????? 10 分

·11·


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