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椭圆性质应用

时间:2015-01-17


导 学 案
学科 数学 年级 高二 主笔人 张瑞雪 审核人
数学组 (2 )

本课课题
学习目标

椭圆的简单性质
1.了解椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等简单性质.(重点) 2.掌握椭圆离心率对椭圆形状的影响.(难点) 3.能用椭圆的简单性质求椭圆标准方程.(难点)

自学检


1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)椭圆 x ? y ? 1 (a>b>0)的长轴长等于 a. 2 2 (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 a-c. (3)椭圆的离心率 e 越小,椭圆越圆. ( )
2 2

( (

) )

a

b

2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)椭圆 x2+9y2=36 的短轴的端点为
2 2

.

x y . ? ? 1的离心率 e= 4 9 2 2 y (3)设 P(m,n)是椭圆 x 上任意一点,则 m 的取值范围是
(2)椭圆

25

?

9

?1

.

合作探究
类型一 利用简单性质求椭圆的标准方程

例 1(1)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 ( )

x 2 y2 A. ? ?1 3 4 x 2 y2 C. ? ?1 4 2

x 2 y2 B. ? ?1 4 3 x 2 y2 D. ? ?1 4 3

1 2

,则 C 的方程是

(2)已知椭圆在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为 8,求 椭圆的标准方程.

【变式训练】若椭圆中心在原点,对称轴为坐标轴,长轴长为2 3, 离心率为 该椭圆的方程为 ( ) A. x ? y ? 1
2 2 2 2 2 2



12 8 x 2 y2 C. ? ?1 3 2

x y y x 3, ? ? 1或 ? ?1 12 8 12 8 3 x 2 y2 y2 x 2 D. ? ? 1或 ? ?1 3 2 3 2 B.

类型二

与离心率有关的问题

例 2(1)椭圆为

x 2 y2 ? ?1 (a>b>0)的左顶点为 A,左、 右焦点分别为 F1,F2,D 是它短 a 2 b2
)

轴的一个端点,若 3DF1 ? DA ? 2DF , 则该椭圆的 2 离心率为 (

A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 5
1

(2) 设 椭 圆

(a>b>0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1,F2,A 是 椭 圆 上 的 一 1 点,|AF2|<|AF1|且 AF1⊥AF2,原点 O 到直线 AF1 的距离为 |OF1|,则椭圆的离心率 2 为 ( )

x 2 y2 ? ?1 a 2 b2

A.

1 3

B. 3 ? 1

C.

2 2

D. 2 ? 1

(3)已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线 交椭圆于 A,B 两点,若△ABF2 是正三角形,求该椭圆的离心率.

【延伸探究】题(3)中将条件“过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点, 若△ABF2 是正三角形”改为“A 为 y 轴上一点,且 AF1 的中点 B 恰好在椭圆上,若△ AF1F2 为正三角形”.如何求椭圆的离心率?
2 2 【变式训练】设椭圆 C: x ? y ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1,F2,过 F2 作 x 轴的 2 2

垂线与 C 交于 A,B 两点,F1B 与 y 轴交于点 D,若 AD⊥F1B,则椭圆 C 的离心率等 于 .

a

b

巩固练习:
1. 已知椭圆方程为 6x2+y2=6. 它的长轴长是: 焦距是: 焦点坐标是: 顶点坐标是: 外切矩形的面积等于: 2.从椭圆 椭圆与 .短轴长是: .离心率等于: . . . . .

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P 向 a 2 b2

x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1 ,A 是


x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点, 且 AB / / OP( O
B.

是坐标原点) ,则该椭圆的离心率是( A.
2 4

1 2

C.

2 2

D.

3 2

3.已知椭圆的焦点 F1,F2 分别为(-10,0),(10,0),且椭圆上的动点 M 到两焦点 F1, F2 的距离之和等于 24,则椭圆的标准方程为__________. 4.求椭圆 16x2+25y2=400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

2


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