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广东省东莞市第一中学2012届高三上学期期中考试数学理试题

时间:2012-12-28


东莞一中 2011~2012 第一学期期中考试
高三理科数学试题
命题人:陈青(2011 年 10 月 28 日)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.复数

1? i 的值是( 1? i

) C. i D. ?i )

A.1

B. ?1

2.已知向量 a = (1, ?2) , b = ( x, 2) ,若 a ⊥ b ,则| b |=( A. 5 B. 2 5 C. 5 D. 20

3.下面四个条件中,使 a> b 成立的充分而不必要的条件是( A. a>b ? 1 4.已知 f ( x) ? A.奇函数 B. a>b ? 1 ) C.非奇非偶函数 )
2 2 C. a >b

) D. a >b
3 3

1 1 ? , 则f ( x)是 ( x 1? 2 2
B.偶函数

D.既奇且偶函数

5.已知直线 l 、 m ,平面 ?、? ,则下列命题中真命题有( ... ①.若 ? // ? , l ? ? ,则 l // ? ②.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l // ? ③.若 l // ? , m ? ? ,则 l // m ④.若 ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? l ,则 m ? ? , A.0 个 6.给出计算 B.1 个 C.2 个 D.3 个

1 1 1 1 ? ? ??? 的值的一个程序框图如右图, 2 4 6 20
) . C.i ? 20
2

其中判断框内应填入的条件是( A.i ? 10 B.i ? 10

D.i ? 20

(第 6 题图)

7.规定记号“ ? ”表示一种运算,即 a ? b ? ab ? a ? b 则 k =( A. ?2 ) B.1 C. ?2 或 1

(a, b为正实数) ,若1 ? k ? 3 ,

D.2

?x ? y ? 2 ? 8.已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1) ,若点 M(x,y)为平面区域 ? x ? 1 上的一个动点, ? y?2 ? ??? ???? ? ? 则 OA · OM
的取值范围是( A.[-1,0] ) B.[0,1] C.[0,2] D.[-1,2]

二.填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分, 共 30 分. ) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答.

1 4 ? 的最小值是 a b 2 10.已知命题 p : ?x ? R , x ? 2ax ? a ? 0 .若命题 p 是假命题,
9. 已知 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? 2 ,则 y ? 则实数 a 的取值范围是 。



11.右图是底面半径为 1,母线长均为 2 的圆锥和圆柱的组合体,则该组合体的 侧视图的面积为 .

第 11 题图

12.如右图所示,一个水平放置的正方形 ABCD,它在直角坐标系 xOy 中, 点 B 的坐标为(2,2) ,则在用斜二测画法画出的正方形的直观图

A?B ?C ?D? 中,顶点 B ? 到 x ? 轴的距离为



13.设函数 y ? f ( x)在( ??, ??) 内有定义,对于给定的正数 K,定义函数:

? f ( x ), f ( x)≤K , 1 取函数 f ( x) ? a ?|x| ( a>1).当K ? 时 ,函数 f K ( x) 在下列区 f K ( x) ? ? a ? K , f ( x )>K .
间上单 调递减的是 。

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做其中一题,两题全答的,只计前一题 的得分。 14. (坐标系与参数方程选做题)过点 (2, ____. 15. (几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A ,
? 直线 PO 交圆 O 于 B, C 两点, AC ? 2 , ?PAB ? 120 ,则

?
3

) 且平行于极轴的直线的极坐标方程为____

A P C

B

圆 O 的面积为



三、 解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16 .( 本 小 题 满 分 12 分 ) 记 函 数 f ( x ) =

2-

x?3 x ?1

的定义域为 A,

(1)求 A; (2)若 B ? A ,求 g ( x) ? lg??x ? a ? 1??2a ? x ??,(a<1)的定义域为 B. 实数 a 的取值范围. 17. (本小题满分 12 分)已知向量 m ? (a ? c, b), n ? (a ? c, b ? a), 且 m ? n ? 0, ,其中

?

?

? ?

A, B, C 是 ?ABC 的内角, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边.(1)求角 C 的大小; (2)
求 sin A ? sin B 的取值范围.

18. (本小题满分 14 分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般 情况下, 大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数。当桥 上的的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明;当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ) 0 ? x ? 200 时, 当 求函数 v(x) 的表达式; Ⅱ) ( 当车流密度 x 为多大时, 车流量 (单 位时 间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆/每小时) f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求 出最大 值(精确到 1 辆/小时)
P

19. (本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 为矩形, 且 AD ? 2, AB ? 1 , PA ? 平面ABCD , E 为 BC 上的动点。 (1) 当 E 为 BC 的中点时,求证: PE ? DE ; (2) 设 PA ? 1 ,在线段 BC 上存在这样的点 E,使得
B E 第 18 题图 C A D

二面角 P ? ED ? A 的平面角大小为

? . 试确定点 E 的位置. 4
?

20. (本小题满分 14 分)已知向量 a ? ( x2 ? 3,1), b ? ( x, ? y) , (其中 x ? 0 ) ,当 | x |? 2 时, 有 a ? b, 当 | x |? 2 时, a // b . (1)求函数式 y ? f ( x) ; (2)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (3) 若对

?

?

?

? ?

?x ? (??, ?2] ? ?2, ??? ,都有 mx2 ? x ? 3m ? 0 ,求实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分)已知二次函数 y ? g (x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且

y ? g (x) 在

x =-1 处取得最小值 m-1(m ? 0 )。设函数 f ( x) ?

g ( x) 。(1)求函数 f (x) 的表达式。 x

( m 为非零常数)(2) 若曲线 y ? f (x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值。(3) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点。


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