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二次函数,幂函数


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二次函数,幂函数
【自主梳理】 1.二次函数解析式的三种形式:一般式: 顶点式: 交点式: 2.二次函数的图象和性质: 解析式 f(x)= ax +bx+c(a>0)
2

. f(x)= ax +bx+c(a<0)
2

图象 定义域

值域 在 x∈______时单调递减 单调性 在 x∈______时单调递增 在 x∈______时单调递增 在 x∈______时单调递减

奇偶性 顶点 对称性

______时为偶函数,______时为非奇非偶函数

图象关于直线________成轴对称图形

3. 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系: ?=b -4ac y=ax +bx+c 的图象(a>0)
2 2

? >0

? =0

? <0

x1 ?
方程 ax +bx+c=0 的解
2

_______

x2 ? ________
ax +bx+c>0 的解集
2 2

ax +bx+c<0 的解集 【自我检测】 2 1. 已知函数 y=x +bx+c 是偶函数,则函数 y =cx+b-1 必过定点 2. 已知 2 x ? 3x ? 0 ,那么函数 f ( x) ? x ? x ? 1 的最大值是
2

. .

2

3. 如果函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 对任意实数 t 都有 f (2 ? t ) ? f (2 ? t ) , 那么 ( f 2) ,
2

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f(1) ,f(4)的大小关系是 . 2 4. 已知函数 f ( x ) =ax +(1-3a)x+a 在区间[1,+∞ ) 上递增,则 a 的取值范围 是 . 5. 若函数 f ?x? ? x ? 2 x ? 3 在区间 [ m,0] 上的最大值为 3,最小值为 2,则实数 m 的取值
2

范围是

.

6. 设 b ? 0 ,二次函数 y ? ax2 ? bx ? a 2 ? 1 的图象为下列图象之一:
y

y

y

y

-1

o

1

x

-1

o

1

x

o

x

o

x

则 a 的值为 . 课堂活动: 【例 1】填空题: (1) 已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过一、二、四象限,则直线 y=ax+b 不经过第 ________象限. (2) 函数 f(x)= ? x ? 2 x ? 3 的值域为
2



(3) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 2b , 设 f ( x) ? 0 的两根为 x1 、 x2, 且 x1∈(0, 1), x2∈(1, 2),则

b?2 的取值范围是 a ?1



(4) 二次函数 f ?x ? 满足 f ?x ? 2? ? f ?? x ? 2? ,又 f ?0? ? 3 , f ?2? ? 1 ,若在[0, m ]上有 最大值 3,最小值 1,则 m 的取值范围是 . 2 【例 2】 设 f(x)=x +ax+3-a,若 f(x)在闭区间[-2,2]上恒为非负数,求实数 a 的取值范 围.

【例 3】设 f(x)=ax2+bx+c,若 6a+2b+c=0,f(1)· f(3)>0, (1)若 a=1,求 f(2)的值; (2)求证:方程 f(x)=0 必有两个不等实根 x1、x2,且 3<x1+x2<5.

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三、课后作业 1.函数 f(x)= f(x)=(x-1) 2-1,x∈[0,2]的值域为________. 2.f(x)=x2+(m+2)x+1 是偶函数,则 m=________. 3. f(x)=x2-2ax+3 的增区间为[4,+∞),则 a=________. 4.二次函数 f(x)的图象的顶点为(2,4)且过点(3,0),则 f(x)=________________. 5.若不等式 x2+bx+c<0 的解集是(-1,2),则 b+c=________. 6 . 已 知 函 数 f(x)=x - 2x + 2 , 那 么 f(1) , f( - 1) , f( 为
7.若函数
2

3 )之间的大小关系

.

f (2x ? 1) ? x 2 ? 2x ,则 f (3) =
y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )的图象如图所示,
2 ② b ? 4ac ? 0

8.已知二次函数

y

有下列四个结论:① b ? 0

③ 4a ? 2b ? c ? 0 ④ a ? b ? c ? 0 , 其中正确结论的序号有__________ (写出所有正确结论的序号) 9.求函数 y ? x2 ? 4x ? 3 在区间 ?t, t ?1? 上的最小值.

-2

O

1

x

10.已知函数 f ( x) ? ?

x2 ? x 在区间 [m, n] 上的值域是 [3m,3n] ,求 m,n 的值 2

11.当 x ? [0,1] 时,求函数 f ( x) ? x2 ? (2 ? 6a) x ? 3a2 的最小值.

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二次函数根的分布 1. 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.

2. 如果二次函数 y=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,试求 m 的取值范围.

2 3.若不等式 x ? ax ? 1 ? 0 对于一切 x ? (0, ) 成立,求 a 的取值范围.

1 2

2 4.若关于 x 的方程 x ? mx ? 4 ? 0 在 [?1,1] 有解,求实数 m 的取值范围是

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幂函数 1、形如
q

的函数叫幂函数.

2、幂函数 y ? x p 有哪些性质?(分析幂函数在第一象限内图像的特点. )

y

q ?1 p

q ?1 p 1? q ?0 p

1

q ?0 p
1 点.

O
(1)图像必过 (2)

x
1? n ?0 m

q ? 1 时,随 x 的增大,函数图像向 y 轴方向延伸。在第一象限是 p q ? 0 时,随 x 的增大,函数图像向 x 轴方向延伸。在第一象限是 p

函数.

(3) 1 ?

函数.

(4)

q ? 0 时,随 x 的增大,函数图像与 x 轴、y 轴无限接近,但永不相交,在第一象限是 p

函数. 习题 1.有下列各式 ① y ? 3x
1 2

②y?x

x

③y?x

2 3

④y?2 ⑤y?
x

7

x4



y ? x0.5 ⑦ y ? x 2 其中表示幂函数的序号有
2.函数 y ? x
? 3 2

. . . .

的定义域是

3. 幂函数f ( x)的图象过点( 3, 4 27),则f ( x) 的解析式是 4. y ? x
a 2 ?4a ?9

是偶函数,且在 (0,??) 是减函数,则整数 a 的值是
m2 ?2m?3

5. 已知幂函数 f ( x) ? x

(m ? Z)的图象与x轴,y轴都无交点,且关于y 轴对称,

试确定 f ( x ) 的解析式.


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