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河北省保定市八校联合体2012-2013学年第二学期期末联考高二文科数学试卷


河北省保定市八校联合体 2012-2013 学年第二学期期末联考 高二文科数学试卷
( 满分 150 分,考试时间:120 分钟)

一.

(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)
1、已知全集 U ? {0, ? 1, ? 2,

? 3, ? 4} ,集合 M ? {0, ? 1, ? 2} , N ? {0, ? 3, ? 4} ,则

(CU M ) ? N ? (
A、{0}

) B、{-3,-4}
?x

C、{-4,-2}

D、 ?

1 ? ? 2.已知集合 A ? ? y | y ? 2 , x ? 0? , B ? ? x | y ? x 2 ? ,则 A ? B ? ( ) ? ?

A. ?1, ?? ? 3、设函数 f ( x) ? log 3 A、 (log3 2 , 1)

B. ?1, ?? ?

C.

?0,???
C、 (0 , log3 2)

D. ?0,???

x?2 ? a 在区间(1,2)内有零点,则实数 a 的取值范围是: x
B、 (?1 , ? log3 2) D 、 (1 ,

4.若函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ln x 在其定义域的一个子区间 ?k ? 1, k ? 1? 上不是单调函数,则实数

log3 4)

k 的取值范围(
A. 1, ? ?

) B. ? ??, ?

? 3? ? 2?

? ?

1? ? 2?

C. ?

?3 ? , ?? ? ?2 ?

D. ?

?1 3? , ? ?2 2?

5.下面几种推理中是演绎推理的序号为 ( ) .... A.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电; B.猜想数列
1 1 1 1 (n ? N ? ) ; , , ,? 的通项公式为 an ? n(n ? 1) 1? 2 2 ? 3 3 ? 4

2 C.半径为 r 圆的面积 S ? ? r ,则单位圆的面积 S ? ? ;

D.由平面直角坐标系中圆的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,推测空间直角坐标系中球
2 2 2

的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? ( z ? c) ? r
2 2 2

2



6.在下列命题中,真命题是(
2


2

A. “x=2 时,x -3x+2=0”的否命题; B.“若 b=3,则 b =9”的逆命题; C.若 ac>bc,则 a>b; D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题

7、函数 y ?

ln x x

的图象大致是( )

8.已知命题 p: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)≥0,则 ? p 是( ) A. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)≤0 C. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)<0 B. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)≤0 D. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1)(x2 ? x1)<0

9.已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数且它图象是一条连续不断的曲线,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,若 f (lg x) ? f (1) ,则 x 的取值范围是( ) A. (

1 ,1) 10

B. (0,

1 ) ? (1,?? ) 10

C. (

1 ,10) 10

D. (0,1) ? (1,??) ,则关

?log 1 ( x ? 1), x ?[0,1) ? x ? 0 时, f ( x) ? ? 2 10、定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 ?1? | x ? 3 |, x ?[1, ??) ?
于 x 的函数 F ( x) ? f ( x) ? a(0 ? a ? 1)
a A. 2 ? 1

的所有零点之和为( ) C. 2
?a

B.1 ? 2

a

?1

D.1 ? 2

?a

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.)
11、若函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的单调递增区间是 [3, ??) ,则 a ? _____

1 3 2 x ? x 在点 (1, ? ) 处的切线斜率为 3 3 2 ? x ? 3 ( x ? 0) 13、已知函数 f ( x) ? ? ,则 f (4) = ? f ( x ? 2) ( x ? 0)
12、曲线 y ?



14、把数列 {2n ? 1} 依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第 四个括号四个数,第五个括号一个数,第六个括号两个数,??,循环下去,如: , (3) (5,7)(9,11,13)(15,17,19,21)(23)(25,27) , , , , ,??,则第 104 个括号 内各数字之和为

?ax ? 1, ?1 ? x ? 0 ? 15. f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 设 在区间 ??1,1? 上, f ( x) ? ? bx ? 2 ? x ?1 , 0 ? x ? 1 ?
其中 a, b ? R ,若 f ( ) ? f ( ) ,则 a ? 3b 的值为

1 2

3 2

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 50 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤)
16、 (本题满分 8 分) 已知命题 p : ?2 ? x ? 10 , 命题 q : ( x ? m ? 1)(x ? m ? 1) ? 0(其中 m > 0) ,且 ?p是?q 的必要条件,求实数 m 的取值范围。 17. (本题满分 8 分) 设 x=1 和 x=2 是函数 f(x)=alnx+bx +x 的两个极值点 (1)求 a,b 的值; (2)求 f(x)的单调区间。 18. (本题满分 10 分)
x 已 知 命 题 p : 不 等 式 ?2 ? m ? 1, x ???1,0? 恒 成 立
2

; 命 题 q : 函 数

? y ? l o 2g ?

2 x4?

4 ( m ?

? ) ? x2 的定义域为 ? ??, ??? ,若“ p ? q ”为真, p ? q ”为假, 1 “ ?

求 m 的取值范围。 19. (本题满分 12 分) P、Q 是抛物线 C : y ? x2 上两动点,直线 l1 , l2 分别是 C 在点 P、点 Q 处的切线,

l1 ? l2 ? M , l1 ? l2 .
求证:点 M 的纵坐标为定值,且直线 PQ 经过一定点; 20. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ln | x | , (Ⅰ)判断函数 f (x) 的奇偶性; (Ⅱ)求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅲ)若关于 x 的方程 f ( x)? kx ? 1 有实数解,求实数 k 的取值范围.

高二数学试卷答案
一、选择题 BBAAC 二、填空题 11.-6;12.0; 13.3;14. 2072;15。-10 三、解答题: 16、 (本题满分 8 分) 已知命题 p : ?2 ? x ? 10 , 命题 q : ( x ? m ? 1)(x ? m ? 1) ? 0(其中 m > 0) ,且 ?p是?q 的必要条件,求实数 m 的取值范围。 解:? ?p是?q 的必要条件 ? ?p ? ?q 即 p ? q DACCB

由 p : ?2 ? x ? 10

q :1 ? m ? x ? m ? 1 得

?1 ? m ? ?2 ? ?1 ? m ? 10 ?m ? 0 ?
解得 m ? 9 17. (本题满分 8 分) 设 x=1 和 x=2 是函数 f(x)=alnx+bx +x 的两个极值点 (1)求 a,b 的值; (2)求 f(x)的单调区间。
a (1) f ?( x ) ? ? 2bx ? 1 x
f ?(1) ? 0 f ?( 2) ? 0
2

?a ? 2b ? 1 ? 0 ? ?1 ? 2 a ? 4b ? 1 ? 0 ?

2 ? ?a ? ? 3 ? ? ?b ? ? 1 ? 6 ?

2 1 ? x ? 1 ? 0( x ? 0) x 2 ? 3 x ? 2 ? 0( x ? 0) 1 ? x ? 2 3x 3 ∴f(x)在(2,+∞)及(0,1)上是减函数,在(1,2)上为增函数 18. (本题满分 10 分)

(2) f ?( x ) ? ?

已 知 命 题 p : 不 等 式 ?2 ? m ? 1, x ???1,0? 恒 成 立
x

; 命 题 q : 函 数

? y ? l o 2g ?

2 x4?

4 ( m ?

? ) ? x2 的定义域为 ? ??, ??? ,若“ p ? q ”为真, p ? q ”为假, 1 “ ?

求 m 的取值范围。 解:对于 p : m ? 1 ? 2 , x ???1,0? 恒成立,而当 x?? ?1,0? 时,由指数函数性质知 1 ? 2 的
x
x

最小值为 2 ,得 m ? 2.

2 m x ? 1 对于 q : ? 函数 y ? log2 ? 4x ? 4( ? 2) ? ? 的定义域为 ?

? ??, ???
?4x2 ? 4 ? m ? 2? x ?1 ? 0, x ? R恒成立, ? ? 16(m ? 2)2 ?16 ? 0 ,解得1 ? m ? 3 . 即
? p ? q 为真, p ? q 为假,? p 为真, q 为假;或 p 为假, q 为真。
即?

m?2 ? m?2 或? ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3 ?

解 得 m ? 3或1? m ? 2 . 故

m 的取值范围为

m ? 3或 ? m ? 2. 1
19. (本题满分 12 分) P、Q 是抛物线 C : y ? x 上两动点,直线 l1 , l2 分别是 C 在点 P、点 Q 处的切线,
2

l1 ? l2 ? M , l1 ? l2 .
求证:点 M 的纵坐标为定值,且直线 PQ 经过一定点;
2 2 解: (1)设 P( x1 , x1 ), Q( x2 ,.x2 ) , 又 y ? ? 2 x


2 则 l1方程为y ? x1 ? 2x1 ( x ? x1 )

2 即 y ? 2x1 x ? x1



2 l2 方程为 y ? 2x2 x ? x2 ②



由①②解得 yM ? x1 x2 , xM ?

x1 ? x2 2
程 为

由 l1 ? l2得2x1 2x2 ? ?1



即 x1 x2 ? ?

1 1 所以 yM ? ? , PQ 4 4



y ? x12 ? ( x1 ? x2 )( x ? x1 )
1 1 由此得直线 PQ 一定经过点 (0, ) 4 4 k 1 ( 2 ) 令 x1 ? x2 ? k , 则 由 ( 1 ) 知 点 M 坐 标 ( ,? )直 线 PQ 方 程 为 2 4 1 1 y ? kx ? , 即kx ? y ? ? 0 4 4
即 y ? ( x1 ? x2 ) x ? x1 x2 即 y ? ( x1 ? x2 ) x ?


20. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ln | x | , (Ⅰ)判断函数 f (x) 的奇偶性; (Ⅱ)求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅲ)若关于 x 的方程 f ( x)? kx ? 1 有实数解,求实数 k 的取值范围. 解: (Ⅰ)函数 f (x) 的定义域为{ x | x ? R 且 x ? 0 }

f (? x) ? (? x) 2 ln | ? x |? x 2 ln x ? f ( x)
2 (Ⅱ)当 x ? 0 时, f ?( x) ? 2 x ? ln x ? x ?

∴ f (x) 为偶函数

1 ? x ? (2 ln x ? 1) x

若0 ? x ? e 若x ?e
? 1 2

?

1 2

,则 f ?( x) ? 0 , f (x) 递减; 则 f ?( x) ? 0 , f (x) 递增.



再由 f (x) 是偶函数, 得 f (x) 的递增区间是 (?? , ? e 递减区间是 ( ? e
? 1 2
? 1 2

) 和 (e

?

1 2 ?

, ? ?) ;
1 2

, 0) 和 (0 , e ) .
1 ?k x
令 g (x) ? x ln | x | ? 显然 g ?(1) ? 0

(Ⅲ)由 f ( x) ? kx ? 1 ,得: x ln | x | ? 当 x ? 0 , g ?(x) ? ln x ? 1 ?

1 x

1 x2 ?1 ? ln x ? 2 x2 x

0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g (x) ?
∴ x ? 0 时, g ( x) min ? g (1) ? 1 又 g (? x) ? ? g ( x) , ? g (x) 为奇函数

x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g (x) ?

∴ x ? 0 时, g ( x) max ? g (?1) ? ?1

∴ g (x) 的值域为(-∞,-1]∪[1,+∞) ∴若方程 f ( x) ? kx ? 1 有实数解, 则实数 k 的取值范围是 (-∞, -1]∪[1, +∞) .


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