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江苏省南京市第十二中学2015-2016学年高二数学上学期期终考试模拟卷D


南京市第十二中学高二数学第一学期期终练习 D 卷
姓名 一、填空题: 1.直线 3 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角 ? ? 2.命题“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0 ”的否定为 . . 成绩

x2 y 2 3.已知椭圆 ? ? 1 ( m ? 0 )的左焦点为 F1 ? ?4, 0 ? ,则 m ? 25 m 2
4.在平

面直角坐标系 xOy 中,焦点为 ( ?2,0) 的抛物线的标准方程为 5.“a=-1”是“直线 ax+y+1=0 与直线 x+ay+2=0 平行”的 6.已知点 M (5,?1), 则它关于直线 l : x ? y ? 6 ? 0 的对称点的坐标为



. 条件. .

7.圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 与圆 C 2 : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 6 ? 0 的公切线有且只 有 条.
x

8.已知函数 y ? e 在点 P 处的切线经过原点,则此切线的方程为 9.函数 f ( x ) ?



sin x , 则 f ' (0) 的值为 2 ? cos x



x-y≥0, ? ? 10.已知 x,y 满足约束条件?x+y≤2,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a= ? ?y≥0, x2 y2 a b



11.双曲线 2- 2=1 的左焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线右支上任意一点,则分别以线 段 PF1、A1A2 为直径的两圆的位置关系为 12.已知椭圆 .

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 A 为右顶点,点 B 为上顶点,坐标原点 O 到直线 a 2 b2

AB 的距离为

30 c (其中 c 为半焦距) ,则椭圆的离心率 e 为 5



3 2 13.若直线 y ? kx 是曲线 y ? x ? x ? x 的切线,则 k 的值为



14 . 已 知 关 于 x 的 不 等 式 x ? 2 ? x ? m 至 少 有 一 个 负 数 解 , 则 实 数 m 的 最 小 值
2




-1-

二、解答题: 15.已知命题 p:方程 2 x 2 ? ax ? a 2 ? 0 在[-1,1]上有解,命题 q:只有一个实数 x0 满足不 等式

x0 ? 2 ax 0 ? 2 a ? 0

2

,若命题“ p ? q ”是假命题,求实数 a 的取值范围。

16.已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 (1)若圆 C2 经过 E (1, ?3), F (0, 4) ,且圆 C2 与圆 C1 的公共弦平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 ,求 圆 C2 的方程. (2)求证:不论实数 ? 取何实数时,直线 l1 : 2? x ? 2 y ? 3 ? ? ? 0 与圆 C1 恒交于两点,并求 出交点弦长最短时直线 l1 的方程。

-2-

17.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 点在棱 DD1 上. (1) 当 E 是 DD1 的中点时,求异面直线 AE 与 BD1 所成角的余弦; (2) 当二面角 E ? AC ? B1 的平面角 ? 满足 cos? ? 求 DE 的长.

6 时, 6

D1

A1
E D A

C1 B1

C
B

(第 17 题图)

18.某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,其周长为 4 米,这种薄板须沿其对 角线折叠后使用.如图所示, ABCD( AB ? AD) 为长方形薄板,沿 AC 折叠后, AB? 交 DC 于点

P.当△ADP 的面积最大时最节能,凹多边形 ACB?PD 的面积最大时制冷效
果最好. (1)设 AB=x 米,用 x 表示图中 DP 的长度,并写出 x 的取值范围; (2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? (3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽? A D P

B?
C

(第 18 题)

B

19.如图,椭圆 E :

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 A(0, ?1) ,且离心率为 . 2 a b 2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)经过点 (1,1) , 且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同

-3-

两点 P, Q (均异于点 A ) ,证明:直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.

20.已知函数 (1)当 (2)若函数 (3)已知 时,求函数 在

,其中 处的切线方程;

.

在区间(1,2)上不是单调函数,试求 的取值范围; ,如果存在 ,使得函数 在

处取得最小值,试求 的最大值.

南京市第十二中学高二数学第一学期期终练习 D 卷 一、填空题: 1.直线 3 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角 ? ? 2.命题“ ?x ? R, x ? 1 ? 0 ”的否定为
2

60 ?

. .

?x ? R , x 2 ? 1 ? 0

-4-

3.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( m ? 0 )的左焦点为 F1 ? ?4, 0 ? ,则 m ? 25 m 2

.

4.在平面直角坐标系 xOy 中,焦点为 ( ?2,0) 的抛物线的标准方程为 y 2 ? ?8 x



5.“a=-1”是“直线 ax+y+1=0 与直线 x+ay+2=0 平行”的_充分不必要条件 6.已知点 M (5,?1), 则它关于直线 l : x ? y ? 6 ? 0 的对称点的坐标为 (7,1) .

7.圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 与圆 C 2 : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 6 ? 0 的公切线有且只 有 3 条. 8.已知函数 y ? e 在点 P 处的切线经过原点,则此切线的方程为
x



9.函数 f ( x ) ?

sin x , 则 f ' (0) 的值为 2 ? cos x

1



x-y≥0, ? ? 10.已知 x,y 满足约束条件?x+y≤2,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a=___2___ ? ?y≥0,
11.双曲线 2- 2=1 的左焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线右支上任意一点,则分别以线 段 PF1、A1A2 为直径的两圆的位置关系为_内切___. 12.已知椭圆

x2 y2 a b

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 A 为右顶点,点 B 为上顶点,坐标原点 O 到直线 a 2 b2

AB 的距离为

30 c (其中 c 为半焦距) ,则椭圆的离心率 e 为 5

3 3
1或



3 2 13.若直线 y ? kx 是曲线 y ? x ? x ? x 的切线,则 k 的值为

3 4



14 . 已 知 关 于 x 的 不 等 式 x 2 ? 2 ? x ? m 至 少 有 一 个 负 数 解 , 则 实 数 m 的 最 小 值 为

?

9 4



二、解答题:
2 2 15.已知命题 p:方程 2 x ? ax ? a ? 0 在[-1,1]上有解,命题 q:只有一个实数 x0 满足不

等式

x0 ? 2 ax 0 ? 2 a ? 0

2

,若命题“ p ? q ”是假命题,求实数 a 的取值范围。

-5-

a ? 1或 ?a ? 1? a ? 2 . 2 2 又“只有一个实数 x0 满足 x0 即抛物线 y ? x2 ? 2ax ? 2a 与 x 轴只有一个 ? 2ax0 ? 2a ? 0 ”,
∴当命题 p 为真命题时
2 交点,∴ ? ? 4a ? 8a ? 0 ,∴ a ? 0 或 a ? 2 . ∴当命题 q 为真命题时, a ? 0 或 a ? 2 .

∴命题“p∨q”为真命题时, a ? 2 .∵命题“p∨q”为假命题,∴ a ? 2 或 a ? ?2 . 即 a 的取值范围为 (??, ?2) ? (2, ??) .

16.已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 (Ⅰ)若圆 C2 经过 E (1, ?3), F (0, 4) ,且圆 C2 与圆 C1 的公共弦平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 ,求 圆 C2 的方程. (Ⅱ)求证:不论实数 ? 取何实数时,直线 l1 : 2? x ? 2 y ? 3 ? ? ? 0 与圆 C1 恒交于两点,并 求出交点弦长最短时直线 l1 的方程。

17.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 点在棱 DD1 上. (1) 当 E 是 DD1 的中点时,求异面直线 AE 与 BD1 所成角的余弦;

-6-

(2) 当 二 面 角 E ? AC ? B1 的 平 面 角 ? 满 足

D1 A1
E D A

c o?s ?

6 时,求 DE 的长. 6

C1
B1

C
B

(第 17 题图)

17.以 DA, DC, DD1 为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz ,设 DE ? t , 则 A(1,0,0) , B(1,1,0) , E (0,0, t ) , D(0,0,1) .????????????????2 分 ⑴当 E 点为 DD1 中点时,t ?

??? ? ???? ???? ?

??? ? ? ??? ? 1 ??? 5 1 , AE ? (?1,0, ) , BD ? (?1,?1,1) , AE ? , BD ? 3 , 2 2 2

??? ? ??? ? 15 15 所以 cos ? AE , BD ?? ,所以异面直线 AE 与 BD1 所成角余弦为 .????8 分 5 5
⑵取 AC 中点 M ,由题意知 EM ? AC , B1M ? AC ,所以 ?B1ME 是二面角 B1 ? AC ? E 的

???? ? ???? ? 1 1 ???? 1 1 平面角, 因为 MB1 ? ( , ,1) , ME ? (? , ? , t ) ,MB1 ?

2 2

2

2

z 3 ???? 1 2 ? t , D1 ,ME ? 2 2 A1

C1 B1

10 分

E 1 D ? ?t 1 4 ? 10 2 2 C y ? 所以 ,两边平方整理得 6t ? 8t ? 1 ? 0 ,所以 t ? . A M 2 B 6 6 3 1 ? 2t x (第 17 题图) 2 2 因为 E 在棱 DD1 上, 0 ≤ t ≤ 1 ,所以 t ?

4 ? 10 4 ? 10 , 所以 DE 的长为 . 6 6

18.某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,其周长为 4 米,这种薄板须沿其对 角线折叠后使用.如图所示, ABCD( AB ? AD) 为长方形薄板,沿 AC 折叠 后,AB? 交 DC 于点 P. 当△ADP 的面积最大时最节能, 凹多边形 ACB?PD 的 D P
-7-

B?
C

A
(第 18 题)

B

面积最大时制冷效果最好. (1)设 AB=x 米,用 x 表示图中 DP 的长度,并写出 x 的取值范围; (2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? (3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?

解: (1)由题意, AB ? x , BC ? 2 ? x .因 x ? 2 ? x ,故 1 ? x ? 2 . 设 DP ? y ,则 PC ? x ? y . 因△ ADP ≌△ CB?P ,故 PA ? PC ? x ? y . 由
PA2 ? AD 2 ? DP 2 ,得

( x ? y ) 2 ? (2 ? x) 2 ? y 2 ? y ? 2(1 ? 1 ) , 1 ? x ? 2 . x

(2)记△ ADP 的面积为 S1 ,则
S1 ? (1 ? 1 )(2 ? x) x ? 3 ? (x ? 2) ? 2 ? 2 2 , x

当且仅当 x ? 2 ∈(1,2)时,S1 取得最大值. 故当薄板长为 2 米,宽为 2 ? 2 米时,节能效果最好. (3)记△ ADP 的面积为 S2 ,则
S2 ? 1 x(2 ? x) ? (1 ? 1 )(2 ? x) ? 3 ? 1 ( x 2 ? 4 ) , 1 ? x ? 2 . 2 x 2 x
3 于是, S2? ? ? 1 (2 x ? 42 ) ? ? x 2? 2 ? 0 ? x ? 3 2 . 2 x x

关于 x 的函数 S2 在 (1, 3 2) 上递增,在 ( 3 2, 2) 上递减. 所以当 x ? 3 2 时, S2 取得最大值. 故当薄板长为 3 2 米,宽为 2 ? 3 2 米时,制冷效果最好.

19.如图,椭圆 E :

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 A(0, ?1) ,且离心率为 . 2 a b 2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)经过点 (1,1) ,且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P, Q (均异于点 A ) ,证明:直 线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.

-8-

解析:(I)由题意知

c 2 ? ,b ? 1, a 2

综合 a ? b ? c ,解得 a ?
2 2 2

2,

所以,椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

x2 ? y 2 ? 1 ,得 (II)由题设知,直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1(k ? 2) ,代入 2

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k (k ? 1) x ? 2k (k ? 2) ? 0 ,
由已知 ? ? 0 ,设 P ? x1 y1 ? , Q ? x2 y2 ? , x1 x2 ? 0 则 x1 ? x2 ?

4k (k ? 1) 2k ( k ? 2) , x1 x2 ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和

k AP ? k AQ ?

y1 ? 1 y2 ? 1 kx1 ? 2 ? k kx2 ? 2 ? k ? ? ? x1 x2 x1 x1

?1 1? x ?x ? 2k ? (2 ? k ) ? ? ? ? 2k ? (2 ? k ) 1 2 x1 x2 ? x1 x2 ?
? 2k ? ? 2 ? k ? 4k (k ? 1) ? 2k ? (2k ? 1) ? 2 . 2k (k ? 2)

20.已知函数 (1)当 (2)若函数 (3)已知 时,求函数 在

,其中 处的切线方程;

.

在区间(1,2)上不是单调函数,试求 的取值范围; ,如果存在 ,使得函数 在

处取得最小值,试求 的最大值.

-9-

(1)解:当 又切点为

时, ,故所求切线方程为

,则 ,即

,故

(2)由题意知,

在区间(1,2)上有不重复的零点,



,得

,因为

,所以

7

分令

,则

,故

在区间 (1,2) 上是增函数 , 所以其

值域为 (3) 由题意知

,从而 的取值范围是 , 对 恒成立,即 恒成立,即 ①对 当 恒成立 时 , ① 式 可 化 为 对



时 , ① 式 显 然 成 立 ; ②,



, 则 其 图 象 是 开 口 向 下 的 抛 物 线 , 所 以

13 分



,其等价于

③,

因为③在

时有解,所以

,解得

,

从而 的最大值为

- 10 -


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