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2009年高考数学试题分类汇编——三角函数


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2009 年高考数学试题分类汇编——三角函数
一、选择题 1.(2009 年广东卷文)已知 ?ABC 中,?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 且

?A ? 75o ,则 b ?
A.2 【答案】A 【解析】 sin A ? sin 75 ? sin(30

? 45 ) ? sin 30 cos 45 ? sin 45 cos30 ?
0 0 0 0 0 0 0

B.4+ 2 3

C.4— 2 3

D. 6 ? 2

2? 6 4

由 a ? c ? 6 ? 2 可知, ?C ? 75 ,所以 ?B ? 30 , sin B ?
0 0

1 2

由正弦定理得 b ?

a ? sin B ? sin A

2? 6 1 ? ? 2 ,故选 A 2? 6 2 4
2

2.(2009 年广东卷文)函数 y ? 2 cos ( x ? A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为 【答案】A 【解析】因为 y ? 2cos ( x ?
2

?
4

) ? 1是

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

?

2? ?? ? ? ? ,所以选 A. ) ? 1 ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x 为奇函数, T ? 2 4 2? ?

3. (2009 全国卷Ⅰ理) 如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ? 的最小值为(C) (A)

? 4? ? 那么 | ? | ,0 ? 中心对称, ? 3 ?
(D)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

? 解: ? 2

函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称 ? 3 ?

?2?

4? 4? ? ? ? ? k? ?? ? k? ? 2 ? (k ? Z ) 由此易得 | ? |min ? .故选 C 3 3 3

4.(2009 全国卷Ⅰ理)若 解:令 tan x ? t , ?

?

?
4

4

?x?

?

?x?

?
2

2

,则函数 y ? tan 2x tan x 的最大值为
3



?t ? 1,

--1--

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2 tan 4 x 2t 4 2 2 2 ? y ? tan 2 x tan x ? ? ? ? ? ? ?8 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ? tan x 1 ? t ? 2 ( 2? ) ? ? t4 t t 2 4 4
3

5.(2009 浙江理)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能是 ( ...

)

答案:D 【解析】对于振幅大于 1 时,三角函数的周期为 T ? 求,它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2? . 6.(2009 浙江文)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能是( ... )
w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

2? ,? a ? 1,?T ? 2? ,而 D 不符合要 a

D 【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题,但考查的知识点因含有参数而丰富, 结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度. 【解析】对于振幅大于 1 时,三角函数的周期为 T ? 求,它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2? . 7.(2009 北京文) ? ? “

2? ,? a ? 1,?T ? 2? ,而 D 不符合要 a

?
6

”是“ cos 2? ?

1 ”的 2
--2--

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A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】本题主要考查 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属 于基础知识、基本运算的考查.
.w .k

当? ?

?
6

时, cos 2? ? cos

?
3

?

反之,当 cos 2? ?

1 ? ? 时,有 2? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , 2 3 6

1 , 2

或 2? ? 2k? ? 8. ( 2009 (

?

3

? ? ? k? ?

?

北 京 理 )“ ??

?

6

? k ? Z ? ,故应选 A.

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

1 ? 2k? (k ? Z ) ” 是 “ c o ?s ? 2 ” 的 6 2

) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、 基本运算的考查. 当? ?

?

?? ? 1 ? ? 2k? (k ? Z ) 时, cos 2? ? cos ? 4k? ? ? ? cos ? , 6 3? 3 2 ?
1 ? ? 时,有 2? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , 2 3 6

反之,当 cos 2? ?

或 2? ? 2k? ?

?

3

? ? ? k? ?

?

6

? k ? Z ? ,故应选 A.
? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图 4

9.(2009 山东卷理)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 象的函数解析式是( A. y ? cos 2x ). B. y ? 2cos x
2

4 ? ? x 【解析】:将函数 y ? sin 2 的图象向左平移 个 单 位 , 得 到 函 数 y ? sin 2( x ? ) 即 4 4 ? y ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的 图 象 , 再 向 上 平 移 1 个 单 位 , 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 为 2

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?

)

D. y ? 2sin x
2

y ? 1 ? cos 2x ? 2cos2 x ,故选 B.
答案:B 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式 的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 10.(2009 山东卷文)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 象的函数解析式是( ).

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图 4

--3--

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A. y ? 2cos2 x

B. y ? 2sin 2 x

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)

D. y ? cos 2 x

x 【解析】:将函数 y ? sin 2 的图象向左平移

y ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的 图 象 , 再 向 上 平 移 1 个 单 位 , 所 得 图 象 的 函 数 解 析 式 为 2

?

? ? 个 单 位 , 得 到 函 数 y ? sin 2( x ? ) 即 4 4

y ? 1 ? cos 2x ? 2cos2 x ,故选 A.
答案:A 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式 的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 11.(2009 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中, cot A ? ? (A)

12 13

(B)

5 13

12 ,则 cos A ? 5 5 12 (C) ? (D) ? 13 13

答案:D

12 知 A 为钝角,cosA<0 排除 A 和 5 cos A 12 12 ? ? , 和 sin 2 A ? cos 2 A ? 1求得 cos A ? ? 选 D B,再由 cot A ? sin A 5 13 ? ? 12.(2009 全国卷Ⅱ文)若将函数 y ? tan( ?x ? )(? ? 0) 的图像向右平移 个单位长度后, 4 6 ? 与函数 y ? tan( ?x ? ) 的图像重合,则 ? 的最小值为 6 1 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 2 6 4 3
解析:本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA= ?
w.w. w.k.s.5. u.c. o.m

答案:D 解析:本题考查正切函数图像及图像平移,由平移及周期性得出ω min=

1 2

13. 2009 安徽卷理) ( 已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) ,y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的 两个相邻交点的距离等于 ? ,则 f ( x ) 的单调递增区间是 (A) [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z 12 12 (C) [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z 3 6 [解析]: f ( x) ? 2sin(? x ? 由 2 k? ? (B) [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 12 12 (D) [k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z 6 3

?
6

) ,由题设 f ( x) 的周期为 T ? ? ,∴ ? ? 2 ,

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

得, k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? z ,故选 C

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14.(2009 安徽卷文)设函数 数 A. 的取值范围是 B. C.
x ?1

,其中

,则导

D.

【解析】 f ?(1) ? sin ? ? x2 ? 3 cos ? ? x

? sin ? ? 3 cos ? ? 2sin(? ? ) 3

?

? ? 2 ? ? 5 ? ?? ? ?0, ? ? ? sin(? ? ) ? ? ,1? ? f ?(1) ? ? 2, 2 ? ,选 D。 ? ? 3 ? 2 ? ? 12 ?
【答案】D 15.(2009 江西卷文)函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期为 A. 2? 答案:A 【解析】由 f ( x) ? (1 ? 3 tan x) cos x ? cos x ? 3 sin x ? 2sin( x ? B.

3? 2

C. ?

D.

? 2

?
6

) 可得最小正周期为

2? ,故选 A.
16.(2009 江西卷理)若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ? C. 3 ? 1 D. 3 ? 2

?
2

,则 f ( x ) 的最大值为

A.1 答案:B

B. 2

【解析】因为 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x = cos x ? 3 sin x = 2 cos( x ? 当x?

?
3

)

?
3

是,函数取得最大值为 2. 故选 B

17.(2009 天津卷文)已知函数 f ( x) ? sin( wx ?

?
4

)( x ? R, w ? 0) 的最小正周期为 ? ,将

y ? f (x) 的图像向左平移 | ? | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的一个值是( )
A 【答案】D 【解析】由已知,周期为 ? ?

? 2

B

3? 8

C

? 4

D

? 8

sin[ 2( x ? ? ) ?

?
4

2? , w ? 2 ,则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数, w

] ? ? cos 2 x ,故选 D

【考点定位】本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运 用。

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18.(2009 湖北卷理)函数 y ? cos(2 x ?

?
6

) ? 2 的图象 F 按向量 a 平移到 F ' , F ' 的函数解析式

为 y ? f ( x), 当 y ? f ( x) 为奇函数时,向量 a 可以等于

A.( ?

?
6

, ?2)

B. ( ?

?
6

, 2)

C. ( ? 2 ) , 6

?

D.( , 2) 6

?

【答案】B

? 【 解 析 】 直 接 用 代 入 法 检 验 比 较 简 单 . 或 者 设 a ? ( x , ?y ) 根 据 定 义 ,
y ? y? ? cos[2( x ? x?) ? ] ? 2 ,根据 y 是奇函数,对应求出 x? , y? 。 6
19.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x) ? sin( x ? A. 函数 f (x) 的最小正周期为 2 ? C.函数 f (x) 的图象关于直线 x =0 对称 【答案】D 【解析】∵ f ( x) ? sin( x ?

v

?

?

2

)( x ? R) ,下面结论错误的是 ..
B. 函数 f (x) 在区间[0, D. 函数 f (x) 是奇函数

? ]上是增函数 2

?
2

) ? ? cos x ,∴A、B、C 均正确,故错误的是 D 12 , 则 cos A ? 5 5 C. ? 13

【易错提醒】利用诱导公式时,出现符号错误。 20.(2009 全国卷Ⅱ理)已知 ?ABC 中, cot A ? ? A.

5 13 ? 12 解:已知 ?ABC 中, cot A ? ? ,? A ? ( , ? ) . 2 5
B.

12 13

D. ?

12 13

cos A ? ?

1 1 ? tan 2 A

??

1 5 1 ? (? ) 2 12

??

12 13

故选 D.

21.(2009 全国卷Ⅱ理) 若将函数 y ? tan ? ? x ?

? ?

??

? ? ?? ? 0 ? 的图像向右平移 6 个单位长度后, 4?

与函数 y ? tan ? ? x ? A.

? ?

??

? 的图像重合,则 ? 的最小值为 6?
B.

1 6

1 4
?

C.

1 3

D.

1 2

解: y ? tan ? ? x ?

? ?

??
?

向右平移 个单位 ? ? ?? ? 6 ? ? ?????? y ? tan[? ( x ? ) ? ] ? tan ? ? x ? ? 4? 6 4 6? ?

?

?
4

?

?
6

? ? k? ?

1 ? ? ? 6k ? ( k ? Z ) , 6 2
--6--

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又? ? ? 0 ??min ?

1 .故选 D 2

22.(2009 福建卷理)函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是 A.-1 【答案】 :B [解析]∵ f ( x) ? B. ?

1 2

C.

1 2

D.1

1 1 sin 2 x ∴ f ( x) min ? ? .故选 B 2 2

2 2 23.(2009 辽宁卷文)已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?

(A) ?

4 3
2

(B)

5 4
2

(C) ?

3 4

(D)

4 5

【解析】 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ?

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ?

= 【答案】D

tan 2 ? ? tan ? ? 2 4 ? 2 ? 2 4 = ? 4 ?1 5 tan 2 ? ? 1

24.(2009 辽宁卷理)已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

2

2 ,则 f (0) = 3

2 (A) ? 3

2 (B) 3

1 (C)- 2

1 (D) 2

w.w.w.k. s.5.u.c. o.m

2π 【解析】由图象可得最小正周期为 3 2π 2π π 7π 于是 f(0)=f( 3 ),注意到 3 与2关于12对称 2π π 2 所以 f( 3 )=-f(2)=

3

【答案】B 25.(2009 辽宁卷理)已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 (A) (

1 3

1 2 , ) 3 3

(B) [

1 2 , ) 3 3

(C)(

1 2 , ) 2 3

(D) [

1 2 , ) 2 3

【解析】由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|)

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∴得 f(|2x-1|)<f( 得|2x-1|<

1 3

1 ),再根据 f(x)的单调性 3 1 2 解得 <x< 3 3

【答案】A 26.(2009 宁夏海南卷理)有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是 (A) p1 , p4

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ? x、y ? R, sin(x-y)=sinx-siny p4 : sinx=cosy ? x+y=

1 ? cos 2 x =sinx 2

? 2

(B) p2 , p4
2

(3) p1 , p3

(4) p2 , p4

解析: p1 : ? x ? R, sin

x 1 2 x + cos = 是假命题; p2 是真命题,如 x=y=0 时成立; p3 是真 2 2 2

命题,? ? x ? ? 0, ? ? , sin x ? 0, ?

1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin x ? sin x =sinx; p4 是假命题, 2

如x=

?
2

,y=2? 时,sinx=cosy,但x+y ?
o

?
2

。选 A.

27.(2009 全国卷Ⅰ文) sin585 的值为 (A) ?

2 2

(B)

2 2

(C) ?

3 2

(D)

3 2

【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值,基础题。 解: sin585 ? sin( 360 ? 225 ) ? sin( 180 ? 45 ) ? ? sin45 ? ?
o o o o o o

2 ,故选择 A。 2

28.(2009 全国卷Ⅰ文)已知 tan a =4,cot ? = (A)

1 ,则 tan(a+ ? )= 3

7 11

(B) ?

7 11

(C)

7 13

(D) ?

7 13

【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式,基础题。 解:由题 tan? ? 3 , tan( ? ? ) ? ?

tan? ? tan ? 4? 3 7 ? ? ? ,故选择 B。 1 ? tan? ? tan? 1 ? 12 11
4? , 0) 中心对称, 那么 ? 的 3

29. 2009 全国卷Ⅰ文) ( 如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( 最小值为 (A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

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【解析】本小题考查三角函数的图象性质,基础题。 解: ? 函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称 ? 3 ?

?2?

4? ? 13? ? ? ? ? k? ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) 由此易得 | ? |min ? .故选 A 3 2 6 6

? 29.(2009 陕西卷文)若 tan ? ? 2 ,则 OA ? OB ? AB ? 2?AOB ? 60 的值为

(A)0 (B) 答案:B.

3 4

(C)1 (D)

5 4

解析: 利用齐次分式的意义将分子分母同时除以 cos ? (cos ? ? 0) 得,

2 sin ? ? cos ? 2 sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 3 cos ? 原式= = = ? 故选 B. sin ? ? 2 cos ? sin ? ? 2 cos ? tan? +2 4 cos ? ? 30.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x) ? sin( x ? )( x ? R) ,下面结论错误的是 .. 2
A. 函数 f (x) 的最小正周期为 2 ? C.函数 f (x) 的图象关于直线 x =0 对称 【答案】D 【解析】∵ f ( x) ? sin( x ? B. 函数 f (x) 在区间[0, D. 函数 f (x) 是奇函数

? ]上是增函数 2

?
2

) ? ? cos x ,∴A、B、C 均正确,故错误的是 D

【易错提醒】利用诱导公式时,出现符号错误。 31.(2009 湖北卷文) “sin ? = A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】A 【解析】由 cos 2a ? 故选 A.
1 1 ”是“ cos 2? ? ” 的 2 2
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 1 1 2 2 可得 sin a ? ? ,故 sin a ? 是sin a ? 成立的充分不必要条件, 2 2 2 4

? 32.(2009 湖北卷文)函数 y ? cos(2 x ? ) ? 2 的图像 F 按向量 a 平移到 F/,F/的解析式 y=f(x), 6
当 y=f(x)为奇函数时,向量 a 可以等于

? A. ( ,?2) 6
【答案】D

? B. ( ,2) 6

C. (?

?
6

,?2)

D. (?

?
6

,2)

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【解析】由平面向量平行规律可知,仅当 a ? ( ?

?

?
6

, 2) 时,

F ? : f ( x ) ? cos[2( x ?

?
6

)?

?
6

] ? 2 = ? sin 2 x 为奇函数,故选 D.

33.(2009 宁夏海南卷文)有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是 (A) p1 , p4 【答案】A 【解析】因为 sin
2

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ?x, y ? R , sin( x ? y) ? sin x ? sin y p4 : sin x ? cos y ? x ? y ?

1 ? cos 2 x ? sin x 2

?
2

(B) p2 , p4

(3) p1 , p3

(4) p2 , p3

x 2 x + cos =1,故 p1 是假命题;当 x=y 时, p2 成立,故 p2 是真命题; 2 2

1 ? cos 2 x 1 ? (1 ? 2sin 2 x) =|sinx|,因为 x ? ? 0, ? ? ,所以,|sinx|=sinx, p3 正 ? 2 2
确;当 x=

9? ? ? ,y= 时,有 sin x ? cos y ,但 x ? y ? ,故 p4 假命题,选.A。 4 4 2

34.(2009 湖南卷理)将函数 y=sinx 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? <2 ? ) 的单位后,得到函数 y=sin ( x ? A.

? 6

? ) 的图象,则 ? 等于 6 5? B. 6

(D) C.

7? 6

D.

11? 6

w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

【答案】 :D 【解析】解析由函数 y ? sin x 向左平移 ? 的单位得到 y ? sin( x ? ? ) 的图象,由条件知函数

n y ? sin( x ? ? ) 可 化 为 函 数 y ? s i x ? ( 6 11? ? y ? sin( x ? ) ? s i x ? ( ,所以选 D 项。 n ) 6 6
35.(2009 四川卷理)已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

, )易 知 比 较 各 答 案 , 只 有

?

2

)( x ? R) ,下面结论错误的是 ..

A.函数 f ( x ) 的最小正周期为 2? C.函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? 0 对称

B.函数 f ( x ) 在区间 ? 0, D.函数 f ( x ) 是奇函数
- - 10 - -

? ?? 上是增函数 ? 2? ?

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【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等,基础题。 (同文 4) 解析:由函数的 f ( x) ? sin( x ? D. 36.(2009 重庆卷文)下列关系式中正确的是( A. sin11 ? cos10 ? sin168
0 0 0

?
2

) ? ? cos x( x ? R) 可以得到函数 f ( x) 是偶函数,所以选择


0 0 0

B. sin168 ? sin11 ? cos10
0 0

C. sin11 ? sin168 ? cos10
0 0

0

D. sin168 ? cos10 ? sin11

0

【答案】C 解析因为 sin160? ? sin(180? ?12? ) ? sin12? ,cos10? ? cos(90? ? 80? ) ? sin80? ,由于正弦函
? ? 数 y ? sin x 在 区 间 [ 0 , 9 0上] 为 递 增 函 数 , 因 此 sin11 ? sin12 ? sin 80 , 即
? s i n 1? 1 ? s i n?1 6 0 ? ? ? ?

c 。 os10

37.(2009 天津卷理)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? 到函数

?
4

)( x ? R,? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得

g ( x)? c o s x ? 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象

? 个单位长度 8 ? C 向左平移 个单位长度 4
A 向左平移

? 个单位长度 8 ? D 向右平移 个单位长度 4
B 向右平移

w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换,基础题。 解析:由题知 ? ? 2 ,所以

f ( x ) ? sin( x ? 2
二、填空题

?

) ? cos[ ? ( 2 x ? )] ? cos(2 x ? ) ? cos 2( x ? ) ,故选择 A。 4 2 4 4 8
4 , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? 5

?

?

?

?

1.(2009 北京文)若 sin ? ? ? 【答案】 ?

.

3 5
2

【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算. 属于基础知识、基本运算的考查.

3 3 ? 4? 由已知,? 在第三象限,∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ,∴应填 ? . 5 5 ? 5?
2

2.(2009 江苏卷)函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 为常数, A ? 0, ? ? 0 )在闭区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? = .

【解析】 考查三角函数的周期知识。

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3 2 T ? ? , T ? ? ,所以 ? ? 3 , 2 3

3.(2009 湖南卷文)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 2 cos A



AC 的取值范围为 ( 2, 3) .
解: 设 ?A ? ? , ? B ? 2? . 由正弦定理得
? ? ?

AC BC AC AC ? ,? ?1? ? 2. sin 2? sin ? 2 cos ? cos ?
?

由锐角 ?ABC 得 0 ? 2? ? 90 ? 0 ? ? ? 45 ,
? ? 又 0 ? 180 ? 3? ? 90 ? 30 ? ? ? 60 ,故 30 ? ? ? 45 ?
? ? ? ? ?

2 3 , ? cos ? ? 2 2

? AC ? 2cos? ? ( 2, 3).
4.(2009 宁夏海南卷理)已知函数 y=sin( ? x+ ? ) ? >0, - ? ? ? < ? )的图像如图所示,则 ( ? =________________

T?
解析:由图可知,

5? 4 ?4 ? ,?? ? , 把 ? 2? ,1? 代入y=sin ? x ? ? ? 有: 2 5 ?5 ?

9? ?8 ? 1=sin ? ? ? ? ? ,?? ? 10 ?5 ?

答案:

9? 10

? x 5. ( 2009 宁 夏 海 南 卷 文 ) 已 知 函 数 f ( x)? 2 s i n (? ? 的 )图 像 如 图 所 示 , 则
? 7? ? f? ?? ? 12 ?


w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

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【答案】0 【解析】由图象知最小正周期 T= =0,即 2 sin(3 ?

2 5? ? 2? 2? ? ? )= ( = ,故 ? =3,又 x= 时,f(x) 3 4 4 3 ? 4

?
4

? ? )=0,可得 ? ?

?
4

,所以, f ?

? 7? ? 12

7? ? ? ? ? 2 sin( 3 ? 12 ? 4 ) =0。 ?

6.(2009 湖南卷理)若 x∈(0, 【答案】 2 2 : 【 解 析 】 由

? ? )则 2tanx+tan( -x)的最小值为 2 2 . 2 2

2 t ? ?n a

? ? 1 x ? (0, ) , 知 t a? n ? 0 , ? ?a n ( ? ?) t ? c 所 t以 o ? 2 2 t? n a ? 1 t ?a n ? ? ( ? ) ? 2 t a 当 且 仅 当 tan ? 2 时 取 等 号 , 即 最 小 值 是 ?n 2 , 2 t? n a

0 ,

2 2。
7.(2009 年上海卷理)函数 y ? 2cos2 x ? sin 2x 的最小值是_____________________ . 【答案】 1 ? 2 【解析】 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ?

2 sin(2 x ? ) ? 1 ,所以最小值为: 1 ? 2 4

?

8.(2009 年上海卷理)在极坐标系中,由三条直线 ? ? 0 , ? ? 成图形的面积是________. 【答案】

?

3

, ? cos? ? ? sin ? ? 1围

3? 3 4

【解析】化为普通方程,分别为:y=0,y= 3 x,x+y=1,画出三条直线的图象如右图,可

求得 A(

3 ?1 3 ? 3 1 3 ? 3 3? 3 , ) ,B(1,0) ,三角形 AOB 的面积为: ? 1 ? = 4 2 2 2 2

9..(2009 年上海卷理)当 0 ? x ? 1时 ,不等式 sin _______________. 【答案】k≤1 【 解 析 】 作 出 y1 ? sin

?x
2

? kx 成立,则实数 k 的取值范围是

?x
2

与 y 2 ? kx 的 图 象 , 要 使 不 等 式

sin

?x
2

? kx 成立,由图可知须 k≤1。

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10. (2009 年上海卷理)已知函数 f ( x) ? sin x ? t anx .项数为 27 的等差数列 ?an ? 满足

? ? ?? an ? ? ? , ? ,且公差 d ? 0 .若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a27 ) ? 0 ,则当 k =____________ ? 2 2?
是, f (ak ) ? 0 . 【答案】14 【解析】函数 f ( x) ? sin x ? tan x 在 ( ?

? ?

, ) 是增函数,显然又为奇函数,函数图象关于原 2 2

点对称,因为 a1 ? a27 ? a2 ? a26 ? ? ? ? ? 2a14 , 所以 f (a1 ) ? f (a27 ) ? f (a2 ) ? f (a26 ) ? ??? ? f (a14 ) ? 0 ,所以当 k ? 14 时, f (ak ) ? 0 . 11.(2009 上海卷文)函数 f ( x) ? 2cos2 x ? sin 2 x 的最小值是 【答案】 1 ? 2 【解析】 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? 。

2 sin(2 x ? ) ? 1 ,所以最小值为: 1 ? 2 4

?

12.(2009 上海 卷文 )已 知 函数 f ( x) ? sin x ? tan x 。 项 数为 27 的 等 差数 列 {an } 满 足

? ? ?? an ? ? ? , ? , 且公差 d ? 0 ,若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ... ? f (a27 ) ? 0 ,则当 k= ? 2 2?

时,

f (ak ) ? 0. 。
【答案】14 【解析】函数 f ( x) ? sin x ? tan x 在 ( ?

? ?

, ) 是增函数,显然又为奇函数,函数图象关于原 2 2

点对称,因为 a1 ? a27 ? a2 ? a26 ? ? ? ? ? 2a14 , 所以 f (a1 ) ? f (a27 ) ? f (a2 ) ? f (a26 ) ? ??? ? f (a14 ) ? 0 ,所以当 k ? 14 时, f (ak ) ? 0 . 13.(2009 湖北卷理)已知函数 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 则 f ( ) 的值为

?

?

4

4

.

【答案】1 【解析】因为 f '( x) ? ? f '( ) ? sin x ? cos x 所以 f '( ) ? ? f '( ) ? sin

?

?

?

?
4

? f '( ) ? 2 ? 1 故 f ( ) ? f '( ) cos ? sin ? f ( ) ? 1 4 4 4 4 4 4
14.(2009 辽宁卷文)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象如图所示, 则? =
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?

4

?

?

?

4

?

4

? cos

?
4

?

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4π 【解析】由图象可得最小正周期为 3 2π 4π ∴T= = ω 3 【答案】 ? ω=

3 2

3 2

三、解答题 1.(2009 年广东卷文)(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值 (2)若 5 cos( ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ? ?

?
2

)

? ,求 cos ? 的值 2

【解析】 (1) Q a ? b ,? a g ? sin ? ? 2cos ? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? b 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2 2 ∴ 4cos ? ? cos ? ? 1,即 cos ?
2

v

v

v v

1 4 2 ,∴ sin ? ? 5 5



? 2 5 5 ? ? (0, ) ? sin ? ? , cos ? ?
2 5 5

(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ?

?cos ? ? sin ? ,?cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ,即 cos 2 ? ?
又 0 ?? ?

1 2

? 2 , ∴ cos ? ? 2 2

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2.(2009 全国卷Ⅰ理) (本小题满分 10 分) ............ (注意:在试题卷上作答无效) 在 ?ABC 中 , 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c , 已 知 a ? c ? 2b , 且
2 2

sin A cos ? 3 cos sin 求 b C A C ,
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) a ? c ? 2b 左侧
2 2

是 二 次 的 右 侧 是 一 次 的 , 学 生 总 感 觉 用 余 弦 定 理 不 好 处 理 , 而 对 已 知 条 件 (2)

sin A cos C ? 3cos Asin C, 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已

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经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解 法 一 : 在 ?ABC 中 ? sin A cos C ? 3cos A sin C, 则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理

有 : a?

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c2 ? a 2 ?3 ?c, 化 简 并 整 理 得 : 2(a 2 ? c 2 ) ? b2 . 又 由 已 知 2ab 2bc

a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) .
解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 。
2 2 2 2 2

所以 b ? 2c cos A ? 2 ?????????????① 又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4 cos A sin C
由正弦定理得 sin B ?

b sin C ,故 b ? 4c cos A ?????????② c

由①,②解得 b ? 4 。 评析:从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高 自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒: 两纲中明确不再考的 知识和方法了解就行,不必强化训练。 3.(2009 浙江理) (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足

cos

A 2 5 , ? 2 5 ??? ??? ? ? A B? A C 3 . ?

(I)求 ?ABC 的面积;

(II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

解析: (I)因为 cos

??? ??? ? ? 3 4 A 2 5 2 A ? 1 ? ,sin A ? ,又由 AB ? AC ? 3 , ,? cos A ? 2 cos ? 2 5 5 2 5
1 bc sin A ? 2 2
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得 bc cos A ? 3, ? bc ? 5 ,? S?ABC ?

( II ) 对 于 bc ? 5 , 又 b ? c ? 6 , ? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 , 由 余 弦 定 理 得

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5

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4.(2009 浙江文) (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足

cos

A 2 5 ? , 2 5 ??? ??? ? ? A B? A C 3 . ?

(I)求 ?ABC 的面积;

(II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

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解析: (Ⅰ) cos A ? 2 cos

2

A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ?1 ? 2 5 5
2

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又 A ? (0, ? ) , sin A ? 1 ? cos A ? 以 bc ? 5 ,所以 ?ABC 的面积为:

4 3 ,而 AB . AC ? AB . AC . cos A ? bc ? 3 ,所 5 5

1 1 4 bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5 所以 a ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ?

25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

5.(2009 北京文) (本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上 的最值等基础知识,主要考查基本运算能力. (Ⅰ)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2x , ∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)由 ?

?
6

?x?

?
2

??

?
3

? 2 x ? ? ,∴ ?

3 ? sin 2 x ? 1 , 2

∴ f ( x ) 在区间 ? ?

3 ? ? ?? . , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 ? 6 2?

6.(2009 北京理) (本小题共 13 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ?

?
3

, cos A ?

4 ,b ? 3 。 5

(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积. 【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基 础知识,主要考查基本运算能力. (Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B ? ∴C ?

?
3

, cos A ?

2? 3 ? A,sin A ? , 3 5

4 , 5

∴ sin C ? sin ?

3 1 3? 4 3 ? 2? ? . ? A? ? cos A ? sin A ? 2 10 ? 3 ? 2

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(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A ? 又∵ B ?

3 3? 4 3 , ,sin C ? 5 10

, b ? 3 ,∴在△ABC 中,由正弦定理,得 3 b sin A 6 ? . ∴a ? sin B 5
∴△ABC 的面积 S ?

?

1 1 6 3 ? 4 3 36 ? 9 3 . ab sin C ? ? ? 3 ? ? 2 2 5 10 50

7.(2009 江苏卷) (本小题满分 14 分) 设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 【解析】 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的 正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

8.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ (1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB=

? 2 )+sin x. 3

1 c 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4

解: (1)f(x)=cos(2x+

? ? ? 1 ? cos 2 x 1 3 2 )+sin x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? ? ? sin 2 x 3 3 3 2 2 2
1? 3 ,最小正周期 ? . 2
所以 sin C ?

所以函数 f(x)的最大值为

(2) f ( ) =

c 2

1 1 3 ? sin C =- , 4 2 2

3 , 2

因为 C 为锐角,

所以 C ?

?
3

,

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又因为在 ? ABC 中, cosB=

1 , 3

所以

sin ? B

2 3

,3

所以

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

2 1 1 3 2 2? 3 . 2? ? ? ? 3 2 3 2 6

【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性 质以及三角形中的三角关系. 9.(2009 山
2







)(











12



)







f(x)=2 sin x cos

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(3) 求 ? .的值; (4) 在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 解: (1) f ( x) ? 2sin x ?

2, f ( A) ?

3 ,求角 C.. 2

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因 为 函 数 f(x) 在 x ? ? 处 取 最 小 值 , 所 以 sin(? ? ? ) ? ?1 , 由 诱 导 公 式 知 sin ? ? 1 , 因 为

0 ? ? ? ? ,所以 ? ?
(2)因为 f ( A) ?

?
2

.所以 f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x

? 3 3 ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? .又因为 6 2 2
a b b sin A 1 2 ? ? 2? ? ,也就是 sin B ? , sin A sin B a 2 2

a ? 1, b ? 2, 所以由正弦定理,得
因为 b ? a ,所以 B ?

3? . 4 4 ? 3? ? ? 7? ? 3? ? ? . 当 B ? 时, C ? ? ? ? ? ;当 B ? 时, C ? ? ? ? 4 4 6 4 12 6 4 12

?

或B ?

【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的 性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. 10.(2009 全国卷Ⅱ文) (本小题满分 12 分)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、 c, cos( A ? C ) ? cos B ?

3 2 , b ? ac ,求 B. 2

解析:本题考查三角函数化简及解三角形的能力,关键是注意角的范围对角的三角函数值的 制约,并利用正弦定理得到 sinB=

3 ? (负值舍掉),从而求出 B= 。 2 3

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解:由

cos(A ? C)+cosB=

3 及 B=π ? (A+C)得 2 3 cos(A ? C) ? cos(A+C)= , 2
cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)= sinAsinC=

3 , 2

3 . 4
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又由 b =ac 及正弦定理得
2 s i n B ? s iA n
2 s i nB ?

2

sC n i

,



3 , 4

sin ? B
于是 B= 又由

3 2



sin ?? B

3 (舍去) , 2

2 π π 或 B= . 3 3

b2 ? a c b ? a 或 b ? c 知

所以

B=

π 。 3

11.( 2009广 东 卷 理 ) (本小题满分12分) 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

? 解 : 1 ) ∵ a 与 b 互 相 垂 直 , 则 a ? b ? s i n ? 2 c o s ? 0 , 即 s i n ? 2 co s? , 代 入 ( ? ?
sin 2 ? ? cos2 ? ? 1


sin ? ? ?

2 5 5 , cos? ? ? 5 5





? ?(

?

0 2

, , )∴

sin ? ?
( 2

2 5 5 , cos? ? . 5 5
) ∵

0?? ?

?
2



0 ?? ?

?
2





?


?
2

? ? ?? ?

?
2





cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ?

3 10 10
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cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ?
12.(2009 安徽卷理) (本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积.

2 . 2

1 . 3

本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力。本小 题满分 12 分 解: (Ⅰ) C ? A ? 由

? ? B , C ? A ? ?? B , A ? ? , sn A ?( 且 ∴ ∴i sn i 2 4 2

? B 2 B ? ? (o sn ? ) cs i ) 4 2 2 2
C

B , 2

2 ∴ sin A ?

1 1 3 (1 ? sin B) ? ,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? 2 3 3
A

AC BC ? (Ⅱ)如图,由正弦定理得 sin B sin A

B

∴ BC ?

AC sin A ? sin B

6? 1 3

3 3 ? 3 2 ,又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3 1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3

∴ S?ABC ?

13.(2009 安徽卷文)(本小题满分 12 分)



ABC 中,C-A=

, sinB=



(I)求 sinA 的值; (II)设 AC= ,求 ABC 的面积。

【思路】 (1)依据三角函数恒等变形可得关于 sin A 的式子,这之中要运用到倍角公式; (2)应用正弦定理可得出边长,进而用面积公式可求出 S? . ? ? B 【解析】 (1)∵ c ? A ? 且c ? A ? ? ? B ∴ A ? ? 2 4 2 ∴ sin A ? sin(

?
4

?

B 2 B B )? (cos ? sin ) 2 2 2 2

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1 B B 1 1 ∴ sin2 A ? (cos ? sin )2 ? (1 ? sin B) ? 2 2 2 2 3

又 sin A ? 0 ∴ cos A ?

3 3

AC ? sin A AC BC ? (2)如图,由正弦定理得 BC ? ∴ BC ? ? sin B sin B sin A

6? 1 3

3 3 ?3 2

又sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A ? sin B ? 3 2 2 1 6 ? ?? ? 3 3 3 3
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1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2. 2 2 3 14.(2009 江西卷文) (本小题满分 12 分)

∴ S ? ABC ?

在△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A ? (1)求 C ; (2)若 CB ? CA ? 1 ? 3 ,求 a , b , c . 解: (1)由 (1 ? 3)c ? 2b

?
6

, (1 ? 3)c ? 2b .

??? ??? ? ?



b 1 3 sin B ? ? ? c 2 2 sin C

sin(? ?
则有

?

6 sin C

? C)

?

sin

得 cot C ? 1 即 C ?

?
4

5? 5? cos C ? cos sin C 1 3 1 3 6 6 = cot C ? ? ? 2 2 2 2 sin C

. 推出 ab cos C ? 1 ? 3 ;而 C ?

(2) 由 CB ? CA ? 1 ? 3

??? ??? ? ?

?
4

,

即得

2 ab ? 1 ? 3 , 2
?a ? 2 ? ? 解得 ?b ? 1 ? 3 ?c ? 2 ? ?

? 2 ab ? 1 ? 3 ? ? 2 ? 则有 ?(1 ? 3)c ? 2b ? a c ? ? ? sin A sin C ?

15.(2009 江西卷理) (本小题满分 12 分) △ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

tan C ?

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B
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(1)求 A, C ; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c . 解:(1) 因为 tan C ?

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sin A ? sin B sin C sin A ? sin B ? ,即 , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) . 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). ? 2? 即 2C ? A ? B , 得 C ? ,所以. B ? A ? 3 3 1 ? 5? 又因为 sin( B ? A) ? cos C ? ,则 B ? A ? ,或 B ? A ? (舍去) 2 6 6 ? 5? 得 A ? ,B ? 4 12 1 6? 2 (2) S?ABC ? ac sin B ? ac ? 3 ? 3 , 2 8 a c a c ? ? 又 , 即 , sin A sin C 2 3 2 2 得 a ? 2 2, c ? 2 3.
w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

16.(2009 天津卷文) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
4

) 的值。

【答案】

2 10
AB BC ? ,于是 sin C sin A

【 解 析 】( 1 ) 解 : 在 ?A B C 中 , 根 据 正 弦 定 理 ,

AB ? s i n C

BC ? 2 BC ? 2 5 sin A

(2)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos A ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 AB ? AC

于是 sin A ? 1 ? cos2 A =

5 , 5
4 3 , cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 5 5

从而 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

- - 23 - -

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? ? ? 2 sin(2 A ? ) ? sin 2 A cos ? cos 2 A sin ? 4 4 4 10
【考点定位】本题主要考查正弦定理,余弦定理同角的三角函数的关系式,二倍角的正弦 和余弦,两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。 17.(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分) 、 、 , 在 ?ABC 中 , A、B 为 锐 角 , 角 A、 B C所 对 的 边 分 别 为 a、 b c 且

sin? A

5 5

, Bi n s?

10 10

(错误!未找到引用源。 )求 A ? B 的值; (错误!未找到引用源。 )若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
5 10 ,sin B ? 5 10

【解析】 (错误!未找到引用源。 )∵ A、B 为锐角, sin A ?

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ?

?
4

????????????????6 分

(错误!未找到引用源。 )由(错误!未找到引用源。 )知 C ? 由

3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1 2b ? b ? 2 ?1


b ?1

a ? 2, c ? 5

????????????????12 分

18.(2009 全国卷Ⅱ理) (本小题满分 10 分)

B C b c cos( A ? C ) ? cos B ? 设 ?ABC 的内角 A 、 、 的对边长分别为 a 、 、 ,
求B 。

3 2 b , ? ac , 2

s 分 析 : 由 c o A ?( C ? )

3 B ? , 易 想 到 先 将 B ? ? ? ( A ? C) 代 入 c o s 2
- - 24 - -

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cos( A ? C ) ? cos B ?
开得 sin A sin C ? 进而得 sin B ?

3 3 得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? 然后利用两角和与差的余弦公式展 2 2。

3 2 2 ;又由 b ? ac ,利用正弦定理进行边角互化,得 sin B ? sin A sin C , 4

2? ? 2? 3 .故 B ? 或 。 大部分考生做到这里忽略了检验, 事实上, B ? 当 时, 3 3 3 2

由 cos B ? ? cos( A ? C ) ? ?

1 3 ,进而得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? ? 2 ? 1 ,矛盾,应舍去。 2 2 2? 2 也可利用若 b ? ac 则 b ? a或b ? c 从而舍去 B ? 。不过这种方法学生不易想到。 3

评析:本小题考生得分易,但得满分难。 19.(2009 湖南卷文) (每小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (Ⅰ)若 a / / b ,求 tan ? 的值; (Ⅱ)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。 解: (Ⅰ) 因为 a / / b ,所以 2sin ? ? cos ? ? 2sin ? , 于是 4sin ? ? cos ? ,故 tan ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

1 . 4

(Ⅱ)由 | a |?| b | 知, sin 2 ? ? (cos ? ? 2sin ? )2 ? 5, 所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin ? ? 5.
2

?

?

从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 ,即 sin 2? ? cos 2? ? ?1 , 于是 sin(2? ? 所以 2? ?

?
4

)??

? ? 9? 2 .又由 0 ? ? ? ? 知, ? 2? ? ? , 4 4 4 2

5? ? 7? ,或 2? ? ? . 4 4 4 4 3? ? . 因此 ? ? ,或 ? ? 4 2 ?
20.(2009 福建卷理) (本小题满分 13 分) 如图,某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动 赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ? x(A>0,

?

? >0) x ? [0,4]的图象,且图象的最高点为

- - 25 - -

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S(3,2 3 );赛道的后一部分为折线段 MNP,为保证参赛 运动员的安全,限定 ? MNP=120 (I)求 A ,
o

? 的值和 M,P 两点间的距离;

(II)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长? 18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识,考查运算求解能力以及应 用数学知识分析和解决实际问题的能力,考查化归与转化思想、数形结合思想, 解法一 (Ⅰ)依题意,有 A ? 2 3 , 当 x ? 4 是,? y ? 2 3 sin
? M (4, 3) 又 p(8, 3)

T 2? ? ? ,? ? ? 。? y ? 2 3 sin x ? 3 ,又 T ? 4 ? 6 6

2? ?3 3

? MP ? 42 ? 32 ? 5

(Ⅱ)在△MNP 中∠MNP=120°,MP=5, 设∠PMN= ? ,则 0°< ? <60° 由正弦定理得
? NP ? MP NP MN ? ? 0 sin ? sin(60 0 ? ? ) sin 120

10 3 10 3 sin ? , ? MN ? sin(600 ? ? ) 3 3 10 3 10 3 10 3 1 3 sin ? ? sin(600 ? ? ) ? ( sin ? ? cos ? ) 3 3 3 2 3

故 NP ? MN ?
?

10 3 sin(? ? 600 ) 3

? 0°< ? <60°,? 当 ? =30°时,折线段赛道 MNP 最长

亦即,将∠PMN 设计为 30°时,折线段道 MNP 最长 解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)在△MNP 中,∠MNP=120°,MP=5, 由余弦定理得 MN 2 ? NP 2 ? 2MN ?NP?cos ∠MNP= MP 2 即 MN 2 ? NP 2 ? MN ?NP ? 25 故 (MN ? NP)2 ? 25 ? MN ?NP ? (
MN ? NP 2 ) 2

10 3 3 从而 (MN ? NP)2 ? 25 ,即 MN ? NP ? 3 4 当且仅当 MN ? NP 时,折线段道 MNP 最长 注:本题第(Ⅱ)问答案及其呈现方式均不唯一,除了解法一、解法二给出的两种设计方式,

还可以设计为:① N ( 分线上等

12 ? 3 9 ? 4 3 12 ? 3 9 ? 4 3 , ) , ) ;② N ( ;③点 N 在线段 MP 的垂直平 2 6 2 6

21.(2009 辽宁卷文) (本小题满分 12 分)
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如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量 船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均 为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点距离相等,然后求 B,D 的距离(计 算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449) (18)解:
0 0 0

? ? 在 ?ACD 中, DAC =30°, ADC =60°- ?DAC =
30°, 所以 CD=AC=0.1 又 ?BCD =180°-60°-60°=60°, 故 CB 是 ?CAD 底边 AD 的中垂线, 所以 BD=BA 在 ?ABC 中, 5分

AB AC ? , sin?BCA sin?ABC

即 AB=

AC sin 60? 3 2 ? 6 ? sin15? 20 3 2? 6 ? 0.33km 20

因此, BD ?

故 B、D 的距离约为 0.33km。 12 分 22.(2009 辽宁卷理) (本小题满分 12 分) 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船 于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均 为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距离 (计算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449)
0 0 0

(17)解: 在△ABC 中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA, 在△ABC 中, sin ?BCA ? sin ?ABC ,
AB AC

……5 分

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ACsin60 ? 3 2? 6 , 即 AB= sin 15? ? 20

因此,BD=

3 2? 6 ? 0.33km 。 20

故 B,D 的距离约为 0.33km。

……12 分

23.(2009 宁夏海南卷理) (本小题满分 12 分) 为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿水平方向在 A,B 两点进行测量,A,B,M,N 在同 一个铅垂平面内(如示意图) ,飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离,请设计一个方 案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出) ;②用文字和公式写出计算 M,N 间的距离的步骤。

?1 , ?1

(17) 解: 方案一:①需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角;B 点到 M, ……….3 分 ;

N 的俯角 ?2 , ?2 ;A,B 的距离 d (如图所示) . ②第一步:计算 AM . 由正弦定理 AM ?

d sin ? 2 sin(?1 ? ? 2 )

第二步:计算 AN . 由正弦定理 AN ?

d sin ? 2 sin( ? 2 ? ?1 )



第三步:计算 MN. 由余弦定理 MN ? 方案二:①需要测量的数据有:

AM 2 ? AN 2 ? 2 AM ? AN cos(?1 ? ?1 ) .

A 点到 M,N 点的俯角 ?1 , ?1 ;B 点到 M,N 点的府角 ? 2 , ? 2 ;A,B 的距离 d (如 图所示). ②第一步:计算 BM . 由正弦定理 BM ?

d sin ?1 sin(?1 ? ? 2 )



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第二步:计算 BN . 由正弦定理 BN ?

d sin ?1 sin( ?2 ? ?1 )



第三步:计算 MN . 由余弦定理 MN ? 24.(2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分)

BM 2 ? BN 2 ? 2 BM ? BN cos( ? 2 ? ? 2 )

已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 象上一个最低点为 M (

?
2

)的周期为 ? ,且图

2? , ?2) . 3

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [0, 解析:(1)由最低点为 M (

?
12

] ,求 f ( x) 的最值.

2? 2? 2? , ?2)得A ? 2 由 T ? ? 得? ? ? ?2 3 T ? 2? 4? 4? , ?2) 在图像上得 2sin( ? ? ) ? ?2 即 sin( ? ? ) ? ?1 由点 M ( 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? 2 k? ? 故 ? ? 2 k? ? (k ? Z ) 所以 3 2 6
又 ? ? (0,

?

2

) ,所以 ? ?

?

(Ⅱ)因为 x ? [0, 所以当 2x+

?
12

6

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

], 2 x ?

?

?

当2x+

?
6

?

?

6 3

?

?
6

?[ , ] 6 6 3

? ?

6

)

时,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1;

, 即x ?

?
12

时,f ( x)取得最大值 3 ;

25.(2009 陕西卷理)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 点中,相邻两个交点之间的距离为

?
2

)的图象与 x 轴的交

? 2? , ?2) . ,且图象上一个最低点为 M ( 2 3 ? ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [ , ] ,求 f ( x ) 的值域. 12 2 2? , ?2) 得 A=2. 17、解(1)由最低点为 M ( 3 ? T ? 2? 2? ? ?2 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ,即 T ? ? , ? ? 2 2 2 T ? 2? 2? 4? , ?2) 在图像上的 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2, 即sin( ? ? ) ? ?1 由点 M ( 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? 2 k? ? , k ? Z ?? ? 2 k? ? 故 3 2 6 ? ? ? 又 ? ? (0, ),?? ? , 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 2 6 6
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(2)? x ? [ 当 2x ?

? ? ? ? 7? = ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最大值 2;当 2 x ? ? 6 2 6 6 6 ? 即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值-1,故 f ( x ) 的值域为[-1,2] 2
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? ? 7? , ],      2 x ? ? [ , ] ? 12 2 6 3 6

? ?

26.(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分) 、 、 , 在 ?ABC 中 , A、B 为 锐 角 , 角 A、 B C所 对 的 边 分 别 为 a、 b c 且

sin? A

5 5

, Bi n s?

10 10

(错误!未找到引用源。 )求 A ? B 的值; (错误!未找到引用源。 )若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。

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【解析】 (错误!未找到引用源。 )∵ A、B 为锐角, sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ?

?
4

????????????????6 分

(错误!未找到引用源。 )由(错误!未找到引用源。 )知 C ? 由

3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1

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2b ? b ? 2 ?1



b ?1

a ? 2, c ? 5

????????????????12 分

27.(2009 湖北卷文) (本小题满分 12 分) 在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小:
- - 30 - -

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(Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

解(1)由 3a ? 2c sin A 及正弦定理得,

a 2sin A sin A ? ? c sin C 3

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Q sin A ? 0,? sin C ?

3 2

Q ?ABC 是锐角三角形,? C ?
(2)解法 1: Q c ?

?
3

7, C ?

?
3

. 由面积公式得

1 ? 3 3 ab sin ? ,即ab ? 6        ① 2 3 2
由余弦定理得
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a 2 ? b 2 ? 2ab cos

?
3

? 7, 即a 2 ? b 2 ? ab ? 7     ②

2 由②变形得 (a+b) ? 25, 故a ? b ? 5

解法 2:前同解法 1,联立①、②得

?a 2 ? b2 ? ab ? 7 ?a 2 ? b2=13   ? ? ? ?ab ? 6 ?ab ? 6
消去 b 并整理得 a ? 13a ? 36 ? 0 解得 a ? 4或a ? 9
4 2 2 2

所以 ?

?a ? 2 ?a ? 3 故a ?b ? 5 或? ?b ? 3 ?b ? 2

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28.(2009 宁夏海南卷文) (本小题满分 12 分) 如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点 进行测量,已知 AB ? 50m ,BC ? 120m ,于 A 处测得水深 AD ? 80m , 于 B 处测得水深 BE ? 200m ,于 C 处测得水深 CF ? 110m ,求∠DEF 的余弦值。 (17) 解: 作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.
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DF ? MF 2 ? DM 2 ? 302 ?1702 ? 10 198 ,

- - 31 - -

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DE ? DN 2 ? EN 2 ? 502 ?1202 ? 130 ,
EF ? ( BE ? FC ) 2 ? BC 2 ? 902 ? 1202 ? 150 . ... 分 ...6
在 ?DEF 中,由余弦定理,

cos ?DEF ?
... ...12 分

DE 2 ? EF 2 ? DF 2 1302 ? 1502 ? 102 ? 298 16 ? ? . 2 DE ? EF 2 ?130 ?150 65

29.(2009 湖南卷理)(本小题满分 12 分)

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在 ?ABC ,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,求角 A,B,C 的大小。
2

??? ???? ?

??? ???? ?

解:设 BC ? a, AC ? b, AB ? c

由 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC 得 2bc cos A ? 3bc ,所以 cos A ? 又 A ? (0, ? ), 因此 A ?

??? ???? ?

??? ???? ?

3 2

?
6
2

2 2 由 3 AB ? AC ? 3BC 得 bc ? 3a ,于是 sin C ? sin B ? 3 sin A ?

??? ???? ?

3 4

所以 sin C ? sin(

5? 3 1 3 3 ? C) ? sin C ) ? , sin C ? ( cos C ? ,因此 6 4 2 2 4

? 2sin C ? cos C ? 2 3sin 2 C ? 3,sin 2C ? 3 cos 2C ? 0 ,既 sin(2C ? ) ? 0 3 ? ? 5? ? 4? 由 A= 知 0 ? C ? ,所以 ? , 2C ? ? ,从而 3 6 6 3 3 ? 2? ? ? ,故 2C ? ? 0, 或 2C ? ? ? , ,既 C ? , 或 C ? 6 3 3 3 ? 2? ? ? ? 2? A? ,B ? ,C ? , 或 A ? , B ? ,C ? 。 6 3 6 6 6 3
30.(2009 天津卷理) (本小题满分 12 分) 在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin ? 2 A ?

? ?

??

? 的值 4?

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本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两 角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。满分 12 分。

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(Ⅰ)解:在△ABC 中,根据正弦定理, 于是 AB=
sinC BC ? 2BC ? 2 5 sin A

AB BC ? sinC sin A

(Ⅱ)解:在△ABC 中,根据余弦定理,得 cosA= 于是 sinA= 1 ? cos2 A ?
5 5

AB2 ? AC2 ? BD2 2 5 ? 2 AB ? AC 5

从而 sin2A=2sinAcosA= 所以 sin(2A-

4 3 ,cos2A=cos2A-sin2A= 5 5

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? ? ? 2 )=sin2Acos -cos2Asin = 4 4 4 10 31.(2009 四川卷理) (本小题满分 12 分)

在 ? ABC 中, A, B 为锐角, A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c , c s2 A ? ,si 角 且 o n (错误!未找到引用源。 )求 A ? B 的值; (错误!未找到引用源。 )若 a ? b ?

3 5

B?

1 0 1 0

2 ? 1 ,求 a, b, c 的值。

本小题主要考查同角三角函数间的关系,两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基 础知识及基本运算能力。 解: (Ⅰ)? A 、 B 为锐角, sin B ?

10 3 10 2 ,? cos B ? 1 ? sin b ? 10 10
2

又 cos 2 A ? 1 ? 2sin A ?

3 , 5

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? sin A ?

5 2 5 2 , cos A ? 1 ? sin A ? , 5 5 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? 5 10 5 10 2

? cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
?0 ? A ? B ? ?

?A? B ?

?
4

????????????????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C ? 由正弦定理

3? 2 ,? sin C ? . 4 2

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a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b , c ? 5b

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Q a ? b ? 2 ? 1, ? 2b ? b ? 2 ?1 ,? b ? 1

?a ? 2,c ? 5

??????????????12 分
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32.(2009 福建卷文) (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |? (I)若 cos

?
4

cos, ? ? sin

?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; 4

? 2

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

? ,求函 3

数 f ( x ) 的解析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应的函 数是偶函数。 解法一: (I)由 cos 即 cos(

?
?
4

cos ? ? sin

3? ? ? sin ? ? 0 得 cos cos ? ? sin sin ? ? 0 4 4 4

4

? ? ) ? 0 又 | ? |?

?

2

,?? ?

?

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(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ? 依题意, 又T ?

?
4

4

)

2?

T ? ? 2 3

, 故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3x ? ) ? 4

?

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为

?? ? g ( x)? s i?n 3 ( m ) ? x ? ? 4? ?
g ( x) 是偶函数当且仅当 3m ?
即m ?

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

从而,最小正实数 m ? 解法二: (I)同解法一

? 12

(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ? 依题意,

?
4

)

T ? ? 2 3

w.w.w.k.s.5 .u. c.o. m

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又T ?

2?

?

,故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3 x ?

?
4

)

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g ( x) ? sin ?3( x ? m) ?

? ?

??
4? ?

g ( x) 是偶函数当且仅当 g (? x) ? g ( x) 对 x ? R 恒成立
亦即 sin( ?3 x ? 3m ?

?

) ? sin(3 x ? 3m ? ) 对 x ? R 恒成立。 4 4

?

? sin(?3x) cos(3m ? ) ? cos(?3 x) sin(3m ? ) 4 4

?

?

? sin 3x cos(3m ? ) ? cos 3 x sin(3m ? ) 4 4
即 2sin 3 x cos(3m ?

?

?

?

? cos(3m ? ) ? 0 4
故 3m ?

?

4

) ? 0 对 x ? R 恒成立。

?

?m ?

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

4

? k? ?

?
2

(k ? Z )
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

从而,最小正实数 m ?

? 12

33.(2009 重庆卷理) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分. ) 设函数 f ( x) ? sin(

?x ?

?x ? ) ? 2 cos 2 ?1 . 4 6 8

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期. ( Ⅱ ) 若 函 数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的 图 像 关 于 直 线 x ? 1 对 称 , 求 当 x ? [ 0 ,

4 ]时 3

y ? g ( x) 的最大值.
解: (Ⅰ) f ( x ) = sin

?
4
=

x cos

?
6

? cos

?
4

x sin

?
6

? cos

?
4

x

3 ? 3 ? sin x ? cos x 2 4 2 4

= 3 sin(

?

x? ) 4 3

?

w.w.w.k.s .5.u. c.o.m

故 f ( x ) 的最小正周期为 T =

2?

? 4

=8

(Ⅱ)解法一: 在 y ? g ( x) 的图象上任取一点 ( x, g ( x)) ,它关于 x ? 1 的对称点 (2 ? x, g ( x)) .
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由题设条件,点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上,从而

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

g ( x )? f ( ? x ?) 2

3 s i n [? x ( ? 2 ) 4 3

?

?

]

= 3 sin[

?

2

?

?

x? ) 4 3 4 3 ? ? ? 2? 当 0 ? x ? 时, ? x ? ? ,因此 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 3 4 3 4 3 3
= 3 cos(

?

x? ] 4 3

?

?

? 3 gm a ? 3 c o s? x 3 2
解法二:

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

因区间 [0, ] 关于 x = 1 的对称区间为 [ , 2] ,且 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于 x = 1 对称,故 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值 由(Ⅰ)知 f ( x ) = 3 sin( 当

4 3

2 3

?

4 3

2 ? ? ? ? ? x ? 2 时, ? ? ? ? 3 6 4 3 6 4 因此 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 3

x? ) 4 3

?

2 3

w.w.w.k.s.5.u. c. o.m

gmax ? 3 sin

?
6

?

3 . 2

34.(2009 重庆卷文) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分. ) 设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x) ? 2cos
2 2

? x(? ? 0) 的最小正周期为

(Ⅰ)求 ? 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移

2? . 3

? 个单位长度得到,求 2

y ? g ( x) 的单调增区间.
解: (Ⅰ)

f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2? x ?1 ? 2cos 2? x
? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 sin(2? x ? ) ? 2 4 3 2? 2? ? 依题意得 ,故 ? 的最小正周期为 . 2 2? 3
w.w.w.k.s.5 .u. c.o. m

?

(Ⅱ)依题意得: g ( x) ?

? ?? 5? ? 2 sin ?3( x ? ) ? ? ? 2 ? 2 sin(3x ? ) ? 2 2 4? 4 ?
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5? ? ≤ 2 k? ? (k ? Z ) 2 4 2 2 ? 2 7? (k ? Z ) \ 解得 k? ? ≤ x ≤ k? ? 3 4 3 12 2 ? 2 7? ] (k ? Z ) 故 y ? g ( x) 的单调增区间为: [ k? ? , k? ? 3 4 3 12
由 2 k? ?

?

≤ 3x ?

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

35.(2009 上海卷文) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满 分8分 . 已知Δ ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m ? (a, b) ,

??

? n?( s i B n

? ? , s, p ? () ? 2, a ? 2) . Ai n b

(1) 若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形; (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = 证明: (1) Q m // n,? a sin A ? b sin B,

??
??

?

??

? ,求Δ ABC 的面积 . 3

u v v

a b ? b? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b 2R 2R ? ?ABC 为等腰三角形 u u v v 解(2)由题意可知 m // p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0
即a?

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

? a ? b ? ab
由余弦定理可知, 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab
2 2 2

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0
? ab ? 4(舍去ab ? ?1)
?S ?
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3

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