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东城区2013—2014学年第一学期期末统一测试(含答案)


东城区 2013—2014 学年第一学期期末统一测试 初三数学
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个 是符合题意的. .. 1.以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志,其中为中心对称图形的是 2014.1

A
2

B B. ( x ? 1)2 ? 0

/>C C. ( x ? 1)2 ? 2

D D. ( x ? 1)2 ? 2

2.用配方法解方程 x - 2x - 1=0 时,配方后得到的方程为 A. ( x ? 1)2 ? 0 3.袋子中装有 4 个黑球和 2 个白球,这些球的形状、大小、质地等完全相同,在看不到球的 条件下,随机地从袋子中摸出三个球.下列是必然事件的是 A.摸出的三个球中至少有一个球是黑球 B.摸出的三个球中至少有一个球是白球 C.摸出的三个球中至少有两个球是黑球 D.摸出的三个球中至少有两个球是白球 4.如图,已知⊙O 是△ABD 的外接圆,AB 是⊙O 的直径, CD 是⊙O 的弦,∠ABD=58°,则∠BCD 等于 A.116° B.64° C.58° D.32° 5.如图,电线杆上的路灯距离地面 8 米,身高 1.6 米的小明 (AB)站在距离电线杆的底部(点 O)20 米的 A 处, 则小 明的影子 AM 长为 A.4 米 C.6 米
2

B.5 米 D.8 米

6.二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正 确的是 A.a>0 C.c<0 B.当 -1<x<3 时,y>0 D.当 x≥1 时,y 随 x 的增大而增大

7.如图,四边形 ABCD 是菱形,∠A=60°,AB=2,扇形 BEF 的半 径为 2,圆心角为 60°,则图中阴影部分的面积是

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A.

2π 3

- 3
3

B.

2π 3



3 2

D.π- 3 2 8.如图,正方形 ABCD 中,AB=8cm,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 A E,F 分别从 B,C 两点同时出发,以 1cm/s 的速度沿 BC,CD 运动, 到点 C,D 时停止运动.设运动时间为 t(s),△OEF 的面积为 S(cm2), 则 S(cm2)与 t(s)的函数关系可用图象表示为 B E O

C.π-

D

F C

A

B

C

D

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9.若关于 x 的一元二次方程 kx2 ? 2x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围 是 . 10.请写出一个开口向上,并且与 y 轴交于点(0,-1)的抛物线 的解析式__________. 11.如图,在 Rt△OAB 中,∠B=90°∠AOB=30°,将△OAB 绕 点 O 逆时针旋转 100°得到△OA1B1,则∠A1OB= 12.射线 QN 与等边△ABC 的两边 AB,BC 分别交 于 点 M , N , 且 AC ∥ QN , AM=MB=2cm , QM=4cm.动点 P 从点 Q 出发,沿射线 QN 以 每秒 1cm 的速度向右移动,经过 t 秒,以点 P 为圆心, 3 cm 为半径的圆与△ ABC 的边相切, 请写出 t 可取的所有值 三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.解方程: x2 ? 10 x ? 9 ? 0 . 14 . 如 图 , △ ABC 和 △ A?B?C? 是 两 个 完 全 重 合 的 直 角 三 角 板 , . °.

?B ? ?B? ? 30? ,斜边长为 10cm.三角形板 A?B?C? 绕直角顶点 C

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顺时针旋转,当点 A? 落在 AB 边上时,求 C?A? 旋转所构成的扇形 的弧长 ? AA? .

15.如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 CD 上一点,连结 AE,BD,且 AE,BD 交于点 F, S△DEF∶S△ABF = 4∶25,求 DE∶EC 的值.

16.二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴交于点 A(-1, 0) ,与 y 轴交于点 C(0,-5) ,且经 过点 D(3,-8). (1)求此二次函数的解析式和顶点坐标; (2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在原点处,并写出平移后抛物 线的解析式. 17.画图: (1)如右图,已知△ ABC 和点 O.将△ ABC 绕点 O 顺时针 旋转 90°得到△ A1 B1C1 ,在网格中画出△ A1 B1C1 ; (2)如图,AB 是半圆的直径,图 1 中,点 C 在半圆外;图 2 中,点 C 在半圆内,请仅用无刻度 的直尺(只能画线) ... 按要求画图. (i)在图 1 中,画出△ ABC 的三条高的交点; (ii)在图 2 中,画出△ ABC 中 AB 边上的高.

2

图1

图2

18. 如图, ⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C, 连结 AO 并延长交⊙O 于点 E, 连结 EC. 若 AB=8, CD=2,求 EC 的长.

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分)
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19.如图,有四张背面相同的纸牌 A,B,C,D,其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花, 其中红桃、方块为红色,黑桃、梅花为黑色.小明将这 4 张纸牌背面朝上洗匀后,摸出一 张, 将剩余 3 张洗匀后再摸出一张. 请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色 的概率.

20.在一幅长 8 分米,宽 6 分米的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边,制成 一幅矩形挂图(如图②) .如果要使整个挂图的面积是 80 平方分米,求金色纸边的宽.

图①

图②

21.在 Rt△ACB 中,∠C=90°,点 O 在 AB 上,以 O 为圆心,OA 长为半径的圆与 AC,AB 分 别交于点 D,E,且∠CBD=∠A. (1)判断直线 BD 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论; (2)若 AD∶AO=8∶5,BC=3,求 BD 的长.

22.阅读理解: 如图 1,若在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E(点 E 与点 A,B 不重合) ,分别连结 ED,EC,可以把四边形 ABCD 分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把 E 叫 做四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点; 如果这三个三角形都相似, 我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的强相似点.解决问题: (1)如图 1,若∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似 点,并说明理由;

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(2)如图 2,在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=2,且 A,B,C,D 四点均在正方形网格(网 格中每个小正方形的边长为 1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图 2 中画 出矩形 ABCD 的边 AB 上的一个强相似点 E; 拓展探究: (3)如图 3,将矩形 ABCD 沿 CM 折叠,使点 D 落在 AB 边上的点 E 处.若点 E 恰好是 BC 四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点,请直接写出 的值. AB

图1

图2

图3

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.已知二次函数 y ? a ( x ? m) ? 2a( x ? m) (a, m 为常数,且 a≠0). (1)求证:不论 a 与 m 为何值,该函数的图象与 x 轴总有两个公共点; (2)设该函数的图象的顶点为 C,与 x 轴交于 A,B 两点,当△ABC 是等腰直角三角形时, 求 a 的值.
2

24.如图 1,将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置,其中 ?C ? 90?,

?B ? ?E ? 30? .
(1)操作发现 如图 2,固定 △ABC ,使 △DEC 绕点 C 顺时针旋 转.当点 D 恰好落在 AB 边上时,填空:
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图1

图2

① 线段 DE 与 AC 的位置关系是

; ,证明

② 设 △BDC 的面积为 S1 ,△AEC 的面积为 S 2 ,则 S1 与 S 2 的数量关系是 你的结论; (2)猜想论证 当 △DEC 绕点 C 旋转到图 3 所示的位置时,小明猜想(1) 中 S1 与 S 2 的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了 △BDC 和
△AEC 中 BC,CE 边上的高,请你证明小明的猜想.

图3 25. 在平面直角坐标系 xOy 中, 二次函数 y ? ? x ? (m ? 1) x ? 4m 的图象与 x 轴负半轴交于点 A, 与 y 轴交于点 B(0,4) ,已知点 E(0,1) . (1)求 m 的值及点 A 的坐标; (2)如图,将△AEO 沿 x 轴向右平移得到△A′E′O′,连结 A′B、BE′. ①当点 E′落在该二次函数的图象上时,求 AA′的长; ②设 AA′=n,其中 0<n<2,试用含 n 的式子表示 A′B2+BE′2,并求出使 A′B2+BE′2 取 得最小值时点 E′的坐标; ③当 A′B+BE′取得最小值时,求点 E′的坐标.
2

东城区 2013-2014 学年第一学期期末统一测试 初三数学参考答案及评分标准
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 D 5 B 6 B 7 A 8 B 2014.1

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二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 题号 答案 9 k>-1 且 k≠0 10
y =x ? 1 答案不唯一
2

11 70

12 t=2 或 3≤t≤7 或 t=8

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.解方程: x ? 10 x ? 9 ? 0 . 解:变形为 x ? 10 x ? ?9 . 配方, x ? 10 x ? 25 ? ?9 ? 25 . 整理,得 ( x ? 5) ? 16 . 解得, x1 ? 1,
x2 ? 9 .
2

2

2

………………..1 分 …………..……..2 分 ………………..3 分 ………………..5 分 ………………..2 分 ………………..5 分

2

14.解:由题意可求,∠AC A′=60°,CA=5. 所以 ? AA? ?
60 π ? 5 180 ? 5π 3

cm .

15.解:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD. ∴ △DEF∽△BAF. ∴ ∴
S△DEF S△ABF ?? 4 ? DE ? ? = . ? AB ? 25
2

………………..1 分 ………………..2 分 ………………..3 分 ………………..4 分 ………………..5 分

. AB 5 又∵ AB ? CD ,
=

DE

2

∴ DE∶EC=2∶3 . 16.解: (1)由题意,有

?a ? 1, ?a ? b ? c ? 0, ? ? 解得 ?b ? ?4, ?c ? ?5, ?9a ? 3b ? c ? ?8. ?c ? ? 5 . ? ?
∴此二次函数的解析式为 y ? x ? 4 x ? 5 .
2

………………..2 分 ………………..4 分
2

∴ y ? ( x ? 2) ? 9 ,顶点坐标为(2,-9).
2

(2)先向左平移 2 个单位,再向上平移 9 个单位,得到的抛物线的解析式为 y = x . ………………..5 分 17. (1)

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………………..3 分 (2) (i)如图 1,点 P 就是所求作的点; (ii)如图 2,CD 为 AB 边上的高.

图1 18.解:∵ OD⊥AB, ∴ AC=BC ? 设 AO = x. 在 Rt△ACO 中, AO ? AC ? OC . ∴ x ? 4 ? ( x ? 2) . 解得 x ? 5 . 连结 BE. ∵ AE 是直径, ∴ ∠ABE=90°. 由 OC 是△ABE 的中位线可求 BE ? 2OC ? 6 . 在 Rt△CBE 中, CE ? BC ? BE . ∴ CE ? BC ? BE ? 16 ? 36 ? 2 13 . 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19. 解: (1)树状图: A B C 列表法: D A B C D A
2 2 2 2 2

图2

………………..5 分

1 2

AB .

………………..1 分

2

2

2

………………..2 分

∴ AE=10,OC=3. ………………..3 分

………………..4 分 ………………..5 分

2

2

2

C B D A

D B C

A A B C D AB AC AD

B AB CB DB

C AC BC DC

D AD BD CD

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………………..3 分 ………………..5 分 12 20.解:设金色纸边的宽为 x 分米 . ………………..1 分 (2)P= = 根据题意,得 (2x+6)(2x+8)=80. 答:金色纸边的宽为 1 分米. 21.解: (1)直线 BD 与⊙O 的位置关系是相切. 证明:连结 OD,DE. ∵∠C=90°, ∴∠CBD +∠CDB=90°. ∵∠A=∠CBD, ∴∠A+∠CDB=90°. ∵OD = OA, ∴∠A=∠ADO. ∴∠ADO + ∠CDB=90°. ∴∠ODB = 180° - 90°=90°. ∴OD⊥BD. ∵OD 为半径, ∴BD 是⊙O 切线. (2)∵AD : AO=8 : 5, ∴ . AE 10 ∴由勾股定理得 AD : DE : AE = 8 : 6 : 10. ∵∠C=90°,∠CBD=∠A. ∴△BCD∽△ADE. ∴DC : BC : BD= DE : AD : AE=6 : 8 : 10. ∵BC=3, . ………………..5 分 4 22.解: (1)点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点. 理由:∵∠A = 55°, ∴∠ADE +∠DEA = 125°. ∵∠DEC = 55°, ∴∠BEC +∠DEA=125°. ∴∠ADE =∠BEC.
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2

1 . 6

………………..3 分 ………………..4 分 ………………..5 分

解得:x1=1,x2=-8(不合题意,舍去) .

………………..2 分

AD

=

8

∴BD=

15

∵∠A =∠B, ∴△ADE∽△BEC. ∴点 E 是四边形 ABCD 的 AB 边上的相似点. (2)作图如下: ………………..2 分

图1
BC AB 3 2

图2

………………..4 分

(3)

?



………….. 5 分

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23. 解: (1)证明:
y ? a ( x ? m ) ? 2 a ( x ? m) ? ax ? (2am ? 2a ) x ? am ? 2am.
2 2 2 2 2

……………………………..1 分

当a ? 0时,? =(2am ? 2a) ? 4a(am ? 2am) ? 4a .
2

…………………………..2 分

∵ a ? 0, ∴ 4a ? 0. ∴不论 a 与 m 为何值,该函数的图象与 x 轴总有两个公共点.…………..3 分 (2) y ? a ( x ? m) ? 2a( x ? m)
=a( x ? m ? 1) ? a. ? C (m ? 1, ?a). …………………………4 分
2 2

2

当 y=0 时, 解得 x1 = m,x2 = m + 2. ∴AB=(m + 2)- m = 2. ∴ ?a ? 1 . ∴ a ? ?1 . ……………………………………………..7 分 . …………………..1 分 ………………………………..5 分 当△ABC 是等腰直角三角形时,可求出 AB 边上高等于 1.

24.解: (1)①线段 DE 与 AC 的位置关系是 平行 ②S1 与 S2 的数量关系是 相等 .

证明: 如图 2, 过 D 作 DN⊥AC 交 AC 于点 N, 过 E 作 EM⊥AC 交 AC 延长线于 M,

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过 C 作 CF⊥AB 交 AB 于点 F. 由①可知 △ADC 是等边三角形, DE ∥ AC , ∴DN=CF, DN=EM. ∴CF=EM. ∵ ?ACB ? 90?, ?B ? 30? , ∴ AB ? 2 AC . 又∵ AD ? AC , ∴ BD ? AC . ∵ S1 ?
1 2 CF ?BD , S 2 ? 1 2 AC ?EM ,
图2

∴ S1 = S 2 .

…………………..3 分

(2)证明:如图 3,作 DG⊥BC 于点 G,AH⊥CE 交 EC 延长线于点 H. ∵ ?DCE ? ?ACB ? 90?, ??DCG ? ?ACE ? 180? . 又∵ ?ACH ? ?ACE ? 180?, ??ACH ? ?DCG . 又∵ ?CHA ? ?CGD ? 90? , AC ? CD , ∴△AHC≌△DGC. ∴AH=DG. 又∵CE=CB, ∴ S1 ? S 2 . ……………………..7 分
2

图3

25.解:(1)由题意可知 4m ? 4 , m ? 1 . ∴ 二次函数的解析式为 y ? ? x ? 4 . ∴ 点 A 的坐标为(- 2, 0). (2)①∵ 点 E(0,1),由题意可知,
?x ? 4 ? 1 .
2

…………………………..2 分

解得 x ? ? 3 . ∴ AA′= 3 . ②如图,连接 EE′. 由题设知 AA′=n(0<n<2) ,则 A′O = 2 - n. 在 Rt△ A′BO 中,由 A′B = A′O + BO , 得 A′B =(2–n) + 4 = n - 4n + 20. ∵△A′E′O′是△ AEO 沿 x 轴向右平移得到的,
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2 2 2 2 2 2 2

……………………………..3 分

∴EE′∥AA′,且 EE′=AA′. ∴∠BEE′=90°,EE′=n. 又 BE=OB - OE=3. ∴在 Rt△ BE′E 中,BE′ = E′E + BE = n + 9, ∴A′B + BE′ = 2n - 4n + 29 = 2(n–1) + 27. 当 n = 1 时,A′B + BE′ 可以取得最小值,此时点 E′的坐标是(1,1) . ……………………………..5 分 ③如图,过点 A 作 AB′⊥x 轴,并使 AB′ = BE = 3. 易证△ AB′A′≌△EBE′, ∴B′A′ = BE′, ∴A′B + BE′ = A′B + B′A′. 当点 B,A′,B′在同一条直线上时,A′B + B′A′最小,即此时 A′B+BE′取得最小值. 易证△ AB′A′∽△OBA′, ∴
AA? AB? 3 ? ? , A?O OB 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 6 ∴AA′= ? 2 ? , 7 7 6 ∴EE′=AA′= , 7

∴点 E′的坐标是(

6 7

,1) .

………………………………………….8 分

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