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2016年秋季学期新人教版九年级数学上册22.2-降次解一元二次方程(疑难解析)

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22.2 降次——解一元二次方程 疑难分析 1.通过配成完全平方形式来解一元二次方 程 的方法,叫做配 方法.可以看出, 配方是 为了降次 ,把一个一元二次方程转化成两个一元二次方程来解 . 2. 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根由方程的系数 a,b,c 确定.因此,解一元 二次方程时,可以先将方程化为一般形式 ax ? bx ? c ? 0 ,当 b ? 4ac ? 0 ,将 a,b,c 代入式 2 2 子x? ?b ? b 2 ? 4ac 就得到方程的根.这个式子就叫做一元二次方程的求根公式 ,利用它 2a 解一元二次方程 的方法叫做公式法.由求根公式可知, 一元二次方程最多有两个实数根. 3.用因式分解的方法使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式,再使这两个一次式 分别等于 0.从而实 现降次,这种解法叫做因式分解 法. 4. 配方法要先 配方,再降次;通过配方 法可以推出求根公式,公式法直接利用 求根公 式; 因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为 0,再分别使各个一次式等 于 0.配方法、公式法适用于所有一元 二次方程, 因式分解法用于某些一元二次方程.总之,解 一元二次方 程的基本思想是:将二次方程化为一次方程,即降次. 例题选讲 例1. 用配 方法解下列方程 : (1) x ? 8 x ? 2 ? 0 2 (2) 2 x ? 4 x ? 9 ? 0 2 解:(1 )移项,得 x ? 8 x ? ?2 2 配方 x ? 8 x ? 4 ? ?2 ? 4 2 2 2 ( x ? 4)2 ? 14 由此可得 x ? 4 ? ? 14 x1 ? 14 ? 4, x2 ? ? 14 ? 4 . (2) 移项,得 2 x ? 4 x ? 9 2 二次项系数化为 1,得 x ? 2 x ? 2 9 2 2 配方 x ? 2 x ? 1 ? 2 2 9 2 ?1 2 即 ( x ? 1) ? 11 2 ∴ x ?1 ? ? 22 22 22 ∴ x1 ? ? 1, x2 ? ? ?1 2 2 2 评注:运用配方法解一元二次方程,先移项把含有未知数的项移到方程左边,常数项移 到方程的右边,再在方程的两边同时除以二次项的系数,把二次项的系数化为“1” 的形式, 然后在方程的左右两边同时加上 一次项系数一半的平方,把方程化为 (ax ? b)2 ? m 的形式, 再用直接开平方的方法求解.配方的关键是在二次项系数为 1 的形式下,方程的两边同时加 上一次项系数一半的平方. 例 2. 解下列方程 (1) x ? 2 x ? 2 1 ?0 4 (2) x( x ? 3) ? x ? 3 ? 0 解:(1) a ? 1, b ? ? 2, c ? 1 2 1 2 , b ? 4ac ? (? 2) ? 4 ? 1? ? 1 4 4 x? ?(? 2) ? 1 2 ?1 ? 2 ?1 2 2 ?1 2 ?1 , x2 ? 2 2 x1 ? ( 2)因式分解,得 ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 于是得 x ?1 ? 0 或 x ? 3 ? 0 x1 ? 1, x2 ? 3 评注:掌握好一元二 次方程的求根公式是本节的重点,这是学好本章内容的关键. 因 式分解法求根,解答过程较简单,但并 不具有普遍意义 .解一元二次方 程具有普遍意义的是 一元二次方程的求根公式.

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