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《经济数学1》试题(A)答案


临沂大学 2010-2011 学年度第二学期

从上式中解出 y ? ,得 y ? ? 4.计算不定积分 ?

e x ?y ? y . …………………6 分 x ? e x ?y

《经济数学 1》试题(A)答案及评分标准
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 4 分,本题满分 20 分,答案直接写在横线 上

) 1. 0;2. ? f ?(x ) ;3. (0, 0) ;4.2;5.0. 二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 4 分,本题满分 20 分.每小题都有四个 选项,其中只有一个是正确的,将正确选项前面的字母写在题干后面的方括号 内) 1.(A) ;2.(D) ;3.(D);4. (C) ;5. (C). 注意:以下各大题都要写出必要的计算步骤或推导过程,直接写出答案者 不得分. 三、计算题(本题共 6 小题,每小题 6 分,本题满分 36 分) 1.计算 lim

e3

x

x

dx .

5.计算定积分 ? arcsin xdx .

1 2 0

6.计算广义积分 ? te ?t dt .
0

??

sin 2 3x . x ?0 ln 2 (1 ? 2x )
3x , ln(1 ? 2x ) 2x …………………2 分

解:当 x ? 0 时,有 sin 3x

lim

sin 2 3x 9x 2 9 ? lim ? …………………6 分 x ?0 ln 2 (1 ? 2x ) x ?0 4x 2 4

四、证明题(本题共 2 小题,每小题 7 分,本题满分 14 分). 1.证明方程 x 5 ? 3x ? 1 至少有一个根介于 1 和 2 之间. 证明:令 f (x ) ? x 5 ? 3x ?1 ,…………………2 分 则 f (x ) 在区间 [1, 2] 上连续,且 f (1) ? ?3 ? 0 , f (2) ? 25 ? 0 ,…………4 分 由零点定理知,在区间 (1, 2) 内至少存在一点 x 0 ,使得 f (x 0 ) ? 0 .

2.计算 lim
x ?0

?

1

cos x

e t dx
2

2

x



dy 3.设 y ? y (x ) 是由方程 xy ? e 所确定的函数,求 . dx 解:运用隐函数求导法,对等式两边同时关于 x 求导得到
x ?y

即 x 5 ? 3x ? 1 至少有一个根介于 1 和 2 之间. …………………7 分 2 . 若 函 数 f (x ) 在 (a ,b) 内 具 有 二 阶 导 函 数 , 且

xy ? ? y ? e x ?y (1 ? y ?), …………………3 分
1

f (x1 ) ? f (x 2 ) ? f (x 3 )(a ? x1 ? x 2 ? x 3 ? b), 证 明 :在 (a ,b) 内 至 少 有一 点 ? , 使 得

f ??(? ) ? 0 .

证明:由题设知 f (x ) 在 (a ,b) 内连续可导, 故 f (x ) 在 [x1 , x 2 ] 及 [x 2 , x 3 ] 上连续,在 (x1 , x 2 ) 及 (x 2 , x 3 ) 内可导.…………………2 分 又 f (x1 ) ? f (x 2 ) ? f (x 3 ) , 由 罗 尔 定 理 知 ??1 ? (x 1, x 2 ) ,? ? x( 2 x, , 2 3 )使 得

f ?(?1 ) ? f ?(?2 ) ? 0

(?1 ? ?2 ) …………………4 分

又 [?1 , ?2 ] ? (a ,b) ,故 f ?(x ) 在 [?1 , ?2 ] 上连续,在 (?1 , ?2 ) 内可导,由罗尔定理知至 少存在一点 ? ? (?1 , ?2 ) ? (a ,b) ,使得 f ??(? ) ? 0 .…………………7 分 五、应用题(本题满分 10 分) 求由抛物线 y ? 1 ? x 2 与直线 y ? 1 ? x 所围成的图形的面积.

2


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