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证明数列不等式的常用放缩方法技巧(不含答案)


证明数列不等式的常用放缩方法技巧
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能 全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素 材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进 行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,

如: ⑵将分子或分母放大(或缩小)

a2 ?1 ? a



n(n ? 1) ? n

⑶利用基本不等式,如: lg 3 ? lg 5 ? (

n(n ? 1) ?
⑷二项式放缩:

n ? (n ? 1) 2

lg 3 ? lg 5 2 ) ? lg 15 ? lg 16 ? lg 4 ; 2

0 1 n 1 , 2 n ? C n0 ? C n 2 n ? (1 ? 1) n ? C n ? Cn ? ? ? Cn ? n ? 1,
0 1 2 2 n ? Cn ? Cn ? Cn ?

n2 ? n ? 2 2

2 n ? n(n ? 1)( n ? 2)

(5)利用常用结论: Ⅰ. 1
k

的放缩 :

2 2 2 ? ? k ? k ?1 2 k k ? k ?1

Ⅱ. 1 的放缩(1) :
k
k
2

1 1 1 (程度大) ? 2? k (k ? 1) k k (k ? 1)
k 1 1 1 1 1 (程度小) ? ? ( ? ) k ? 1 (k ? 1)(k ? 1) 2 k ? 1 k ? 1
2

Ⅲ. 1 的放缩(2): 1 ? 2 2

4 1 1 (程度更小) Ⅳ. 1 的放缩(3): 12 ? 2 ? 2( ? ) 2 k 4k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 k

Ⅴ. 分式放缩还可利用真(假)分数的性质: b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 和 b ? b ? m (a ? b ? 0, m ? 0)
a a?m a a?m

记忆口诀“小者小,大者大”。 解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之亦然. Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。例: f ( x) ?

x ( x ? 0) ,从而实现利用函数单调性质的放缩: 1? x

f (a?b) ? f (a ? b) 。
一. 先求和再放缩

例 1. a n ?

1 ,前 n 项和为 Sn ,求证: sn ? 1 n ? (n ? 1)

例 2. an ? ( )

1 3

n

, 前 n 项和为 Sn ,求证: sn ?

1 2

1 / 14

二. 先放缩再求和 (一)放缩后裂项相消

例 3.数列

{an }



an ? (?1) n ?1

2 1 s2 n ? s 2 n ,其前 n 项和为 n ,求证:

(二)放缩后转化为等比数列。 例 4.

{bn }

满足:

b1 ? 1, bn ?1 ? bn 2 ? (n ? 2)bn ? 3

(1) 用数学归纳法证明:

bn ? n

Tn ?
(2)

1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? Tn ? 3 ? b1 3 ? b2 3 ? b3 3 ? bn ,求证: 2

三、裂项放缩 例 5.(1)求 ?
k ?1 n

2 4k ? 1
2

的值;

n (2)求证: ? 1 ? 5 . 2 k ?1

k

3

奇巧积累: (1) (3) T
1 4 4 1 ? ? 1 ? ? ? 2? ? ? n 2 4 n 2 4 n 2 ? 1 ? 2n ? 1 2 n ? 1 ?
r ?1 r ? Cn ?

(2)

1 2 1 1 ? ? ? 1 2 ( n ? 1 ) n ( n ? 1 ) n ( n ? 1 ) n ( n ? 1) Cn C ?1 n

1 n! 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? (r ? 2) n r r!(n ? r )! n r r! r (r ? 1) r ? 1 r

(4) (1 ? 1 ) n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?
n 2 ?1 3? 2

1 5 ? n(n ? 1) 2

(5)

1 1 1 ? ? 2 (2 n ? 1) 2 n ? 1 2 n
n

(6)

1 ? n?2 ? n n?2

2 / 14

(7) 2( n ? 1 ? n ) ? 1 ? 2( n ? n ? 1)
n

2 1 ? 1 (8) ? ? ? ?? n ? ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 2

1 1 ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 (2n ? 3) ? 2 n

(9)

1 1 1? 1 1 1 ?1 1 ? ? ?? ? ? , ? ? ? ? k ( n ? 1 ? k ) ? n ? 1 ? k k ? n ? 1 n( n ? 1 ? k ) k ? 1 ? n n ? 1 ? k ?
n 1 1 ? ? (n ? 1) ! n ! (n ? 1) !

(10)

(11)

1 n

? 2 ( 2 n ? 1 ? 2 n ? 1) ?

2 2 2n ? 1 ? 2n ? 1

?

2 1 1 n? ? n? 2 2

(12) (13)

2n 2n 2n 2 n ?1 1 1 ? n ? n ? n ? ? (n ? 2) 2 n n (2 ? 1) (2 ? 1)( 2 ? 1) (2 ? 1)( 2 ? 2) (2 ? 1)( 2 n ?1 ? 1) 2 n ?1 ? 1 2 n ? 1
n

1 n
3

?

1 n?n
2

?

? ? 1 1 1 ?? ?? ? ? n(n ? 1)( n ? 1) ? n(n ? 1) n(n ? 1) ? n ? 1 ? n ?1 ? 1

1 ? n ?1 ? n ?1 ? 1 ?? ? ? ?? n ?1 ? 2 n ? n ?1

1 n ?1

?

1 n ?1

(14) (15)

2n ?1 ? 2 ? 2n ? (3 ? 1) ? 2n ? 3 ? 3(2n ? 1) ? 2n ? 2n ? 1 ?
k?2 1 1 ? ? k!?(k ? 1)! ? (k ? 2)! (k ? 1) ! (k ? 2) !

2n 1 2n ? n ? 3 2 ?1 3

(16)

1 ? n ? n ? 1(n ? 2) n(n ? 1)

(17)

i2 ? 1 ? j2 ? 1 i2 ? j2 ? i? j (i ? j )( i 2 ? 1 ?

j ? 1)
2

?

i? j i ?1 ?
2

j2 ?1

?1

例 6.(1)求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 2 2
3 5

1 7 1 ? ? (n ? 2) 2 6 2(2n ? 1) (2n ? 1)

(2)求证: 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 4 16 36 4 n 2 2 4n 1 1 ? 3 1 ? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) (3)求证: ? ? ??? ? 2n ? 1 ? 1 2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n (4) 求证: 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ( 2n ? 1 ? 1)
2 3 n

3 / 14

例 7.求证:

6n 1 1 1 5 ? 1? ? ??? 2 ? (n ? 1)( 2n ? 1) 4 9 n 3

例 8.已知 an ? 4n ? 2n , T ? n

2n a1 ? a2 ? ? ? an

,求证: T ? T ? T ? ? ? T ? 3 . 1 2 3 n
2

四、分式放缩 姐妹不等式: b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 和 b ? b ? m (a ? b ? 0, m ? 0)
a a?m a a?m

记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之亦然. 例 9. 姐妹不等式: (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ? 1 ) ? 2n ? 1 和
3 5 2n ? 1 1 1 1 1 1 也可以表示成为 (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 4 6 2n 2n ? 1
1 2n ? 1

和 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 ? 4 ? 6 ? ? 2n ? 2n ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n 1? 3 ? 5 ?? ? (2n ? 1)

1 1 1 例 10.证明: (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3n ? 1. 4 7 3n ? 2

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五、均值不等式放缩 例 11.设 S n ? 1 ? 2 ?

2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) . 求证 n(n ? 1)
2

? Sn ?

(n ? 1) 2 . 2

例 11. 已知 函数 f ( x) ?

1 , a>0,b>0, 若 1 ? a ? 2 bx
1 1 ? . 2 n?1 2

f (1) ?

4 5

,且

f ( x) 在 [0 , 1] 上的最大值为

1 , 求证: 2

f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ?

例 12.求证:1 ?

1 1 1 ? ??? ?2 n ?1 n ? 2 3n ? 1

六、二项式放缩
0 1 n 1 , 2 n ? C n0 ? C n 2 n ? (1 ? 1) n ? C n ? Cn ? ? ? Cn ? n ? 1,
0 1 2 2 n ? Cn ? Cn ? Cn ?

n2 ? n ? 2 2

2 n ? n(n ? 1)( n ? 2)
3 8 . (n ? 1)( n ? 2)

例 13.设 n ? 1, n ? N ,求证 ( 2 ) n ?

5 / 14

例 14.

an ? 2 ? 3n ,

试证明:.

n 1 1 1 1 ≤ ? ?? ? ? 4n ? 2 a1 a2 an 4

例 15. 求证: 2 ? (1 ? 1 ) n ? 3.
n

例 16.求证: ln 3 ? ln 2 ? ln(1 ?
n

1 ln 2 . )? 2n n

七、部分放缩(尾式放缩) 例 17.求证: 1 ?

1 1 4 ??? ? 3 ?1 3? 2 ?1 3 ? 2 n?1 ? 1 7

例 18. 设 a

n

? 1?

1 1 1 ? a ? ? ? a , a ? 2. 求证: an ? 2. n 2a 3

6 / 14

2 例 19. 设 数 列 ?a n ? 满 足 a n?1 ? a n ? nan ? 1?n ? N ? ? , 当 a1 ? 3 时 证 明 对 所 有 n ? 1, 有 (i)a n ? n ? 2 ;

(ii)

1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an 2

八、借助数列递推关系 例 20. 若 a1 ? 1, an?1 ? an ? n ? 1 ,求证: 1 ?
a1

1 1 ??? ? 2( n ? 1 ? 1) a2 an

例 21.求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2n ? 2 ? 1

例 22. 求证: 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n

2n ? 1 ? 1

7 / 14

九、函数放缩 例 23.求证: ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln 3 ? 3n ? 5n ? 6 (n ? N * ) . n
n

2

3

4

3

6

? ? ? 2 例 24.求证: ? ? 2, ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? 2n ? n ? 1 (n ? 2) ? ? ?

2

3

n

2(n ? 1)

例 25. 求证: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln(n ? 1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1
2 3 n ?1 2

n

十、分类放缩 例 26.求证:1 ? 1 ? 1 ? ? ?
2 3

1 n ? 2n ? 1 2

8 / 14

例 27. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b ? 1, c ? R) ,若 f ( x) 的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].若 数列 {bn } 满足 b
n

?

数 n 都有 Tn ? A ?并证明你的结论。

f ( n) (n ? N * ) ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,问是否存在正常数 n3

A,使得对于任意正整

练习: 1、添加或舍弃一些正项(或负项) 例 1、已知 an ? 2 ? 1(n ? N ). 求证:
n *

a n 1 a1 a2 ? ? ? ? ... ? n (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1

2、先放缩再求和(或先求和再放缩) 例 2、函数 f(x)=
4x 1? 4
x

,求证:f(1)+f(2)+?+f(n)>n+

1 2
n ?1

1 ? (n ? N * ) . 2

9 / 14

3、先放缩,后裂项(或先裂项再放缩)
n

例 3、已知 an=n ,求证:∑
k=1

k <3. a2 k

4、放大或缩小“因式” ; 例 4、已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an , 0 ? a1 ?
2
n 1 1 , 求证: ?(ak ? ak ?1 )ak ? 2 ? . 32 2 k ?1

5、逐项放大或缩小 例 5、设 a n ? 1 ? 2 ?

2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n(n ? 1) 求证:

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? an ? 2 2

6、固定一部分项,放缩另外的项; 例 6、求证:

1 1 1 1 7 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 1 2 3 n 4

10 / 14

1、设 n 为大于 1 的自然数,求证

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? . n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 2

2、设 n 为自然数,求证 (2 ? )( 2 ? )( 2 ? ) ?(2 ?

1 n

3 n

5 n

2n ? 1 1 )? . n n!

3、若 n 是自然数,求证

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2. 2 1 2 3 n

4、求证: 1 ? ?

1 1 1 1 ? ??? ? 3. 1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? ?? n

5、若 a, b, c, d?R ,求证: 1 ?
+

a b c d ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c

11 / 14

6、当 n > 2 时,求证: log n (n ? 1) log n (n ? 1) ? 1

7、

7 完全解读: 对于学生来说,他们非常清楚证明此题的方向,即先放缩再求和,但是学生的问题就是放缩的误差过 大,而不能判断是什么原因导致的误差过大 . 学生解法:

12 / 14

提出以下改进方案 . 方案 1 :通项放缩不变,减少放缩的项数 尝试 1 :第一项不放缩,从第二项开始放缩

仍然失败,不过离成功更近了 . 尝试 3 :前三项不放缩,从第四项开始放缩

终于成功了! 方案 2 :减小通项的放缩误差

13 / 14

反思:对于改进 1 ,尽管最后没有成功,但从上面方案 1 的最终成功可以得到启发,改进为在求和 时第一项不放缩,从第二项开始放缩。

不等式得证 . 解题要在已有的知识基础上,探索解题思路的发现过程。

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