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重庆一中2015届高三一诊模拟考试数学(理)试题


2015 年重庆一中高 2015 级高三上学期一诊 模拟考试
【试卷综述】全卷重点考查中学数学主干知识和方法;侧重于中学数学学科的基础知识和基 本技能的考查;侧重于知识交汇点的考查。高中数学的主干知识如函数、导数、圆锥曲线、 等仍然是支撑整份试卷的主体内容,尤其是解答题,涉及内容均是高中数学的重点知识。明 确了中学数学的教学方向和考生的学习方向. 【题文】一、选择题(本

大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 。 【题文】1.复数 z= (其中 i 为虚数单位)在复平面内对应的点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【知识点】复数代数形式的乘除运算.L4 【答案】 【解析】D 复数 z= 故选:D. 【思路点拨】化简复数为 a+bi 的形式,即可得到复数在复平面内对应的点所在象限. 【题文】2.已知集合 围是( A. (0,1) ) B. (1, 2) C. (0,1) ? (1, 2) D. (0, 2) 解析:复数 z= = =3﹣i, )

(其中 i 为虚数单位)在复平面内对应的点(3,﹣1) .在第四象限.

A ? ?0,1, m?



B ? ? x 0 ? x ? 2?

,若

A ? B ? ?1, m?

,则 m 的取值范

【知识点】交集的运算.A1 【答案】 【解析】C 解析:因为由

A ? B ? ?1, m?

可知 0 < m < 2 ,再根据集合中元素的互异

性可得 m ? 1 ,所以 m 的取值范围是 (0,1) ? (1, 2) ,故选 C. 【思路点拨】先由集合的交集的概念可知 0 < m < 2 ,再根据集合中元素的互异性可得 m ? 1 即可。 【题文】3.设有算法如右图所示:如果输入 A ? 144, B ? 39 ,则输出的结果是( ) A.144 B.3 C.0 D.12

-1-

【知识点】程序框图.L1 【答案】 【解析】B 解析: (1)A=144,B=39,C=27,继续循环; (2)A=39,B=27,C=12,继续循环; (3)A=27,B=12,C=3,继续循环; (4)A=12,B=3,C=0,退出循环. 此时 A=3.故选 B。 【思路点拨】由已知中的程序框图,我们可得这是一个利用循环,求最大公约数的程序,模 拟程序的运行结果,即可得到. 【题文】4.下列命题错误的是(
2


2

A.若命题 P:?x0∈R,x0 ﹣x0+1≥0,则¬P:?x∈R,x ﹣x+1<0, B.若命题 p∨q 为真,则 p∧q 为真 C.一组数据 1,2,3,3,4,5 的平均数、众数、中位数都相同 D.根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为 y ? b x ? a ,若
? ? ?

b ? 2 , x ? 1 , y ? 3, 则 a ? 1
【知识点】命题的真假判断与应用.A2 【答案】 【解析】B 解析:若命题 P:?x0∈R,x0 ﹣x0+1≥0,则¬P:?x∈R,x ﹣x+1<0, 故 A 正确; 若命题 p∨q 为真,则命题 p,q 中存在真命题,但可能一真一假,此时 p∧q 为假,故 B 错误; 数据 1,2,3,3,4,5 的平均数、众数、中位数均为 3,故 C 正确; 回归直线必要样本数据中心点,当 b ? 2 , x ? 1 , y ? 3, 则 a ? 1 ,故 D 正确; 故选:B 【思路点拨】根据存在性命题的否定方法,可判断 A;根据复合命题真假判断的真值表,可判 断 B;计算出数据的平均数、众数、中位数,可判断 C;根据回归直线必要样本数据中心点, 可判断 D.
? ?

?

?

2

2

??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ? BC ? 2 BD , AC ? 3 AE ? BAC ? 120 , AB ? AC ? 2 ? ABC 【题文】5.在等腰 中, , ,则 AD ? BE
的值为( )
-2-

2 A. 3 ?

1 B. 3 ?

1 C. 3

4 D. 3

【知识点】平面向量数量积的运算.F3 【答案】 【解析】A ∴ =( 解析:在等腰△ ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC=2, )?( )= | |﹣ |
2

, ×2×2×(﹣

|

2

?

= ×4﹣ ×4

)=﹣ . 故选:A 【思路点拨】在等腰△ ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC=2, 量数量积的运算即可。 【题文】6 .定义在 R 上的函数 ,再利用平面向

f ? x?

满足 f (? x) ? ? f ( x), f ( x) ? f ( x ? 4) ,且 x ? (?1, 0) 时,

f ? x ? ? 2x ?

1 5 ,则 f (log 2 20) ? ( 4 B. 5



A.1

C. ?1

4 D. 5 ?

【知识点】函数的周期性;函数的值.B1 B4 【答案】 【解析】C 解析:∵定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(﹣x)=﹣f(x) , ∴函数 f(x)为奇函数 又∵f(x﹣2)=f(x+2) ∴函数 f(x)为周期为 4 是周期函数 又∵log232>log220>log216 ∴4<log220<5 ∴f(log220)=f(log220﹣4)=f(log2 )=﹣f(﹣log2 )=﹣f(log2 又∵x∈(﹣1,0)时,f(x)=2 + , ∴f(log2 )=1
x



故 f(log220)=﹣1 故选 C. 【思路点拨】根据对数函数的单调性,我们易判断出 log220∈(4,5) ,结合已知中 f(﹣x)= ﹣f (x) , f (x﹣2) =f (x+2) 且 x∈ (﹣1, 0) 时, 利用函数的周期性与奇偶性, 即可得到 f (log220) 的值.

-3-

| x| ? kx 2 x x ? 4 【题文】7.若关于 的方程 有四个不同的实数解,则 k 的取值范围为(
1 ( ,1) B. 4 1 ( , ??) C. 4

)

A. (0,1)

D. (1, ??)

【知识点】根的存在性及根的个数判断.B9

【答案】 【解析】C

| x| ? kx 2 解析:要使方程 x ? 4 有四个不同的实数解,

当 x=0 时,是方程的 1 个根,

| x| ? kx 2 x ? 4 所以只要方程 有 3 个不同的实数解,
变形得 = 如图 ,设函数 g(x)= ,

所以只要 0< <4 即可,所以 k> ;故选 C.

| x| ? kx 2 x ? 4 【思路点拨】欲使方程 有四个不同的实数解,当 x=0 时,是方程的 1 个根,则只要
| x| ? kx 2 x ? 4 方程 有 3 个不同的实数解,

,结合函数 g(x)

=

的图象可求.

【题文】8.数列 {ak } 共有 11 项, a1 ? 0, a11 ? 4, 且 | ak ?1 ? ak |? 1, k ? 1, 2,?,10 。满足这种条件的 不同数列的个数为( )
-4-

A. 100 B. 120 【知识点】数列的应用.D5

C. 140

D. 160

【答案】 【解析】B 解析:∵|ak+1﹣ak|=1, ∴ak+1﹣ak=1 或 ak+1﹣ak=﹣1 设有 x 个 1,则有 10﹣x 个﹣1 ∴a11﹣a1=(a11﹣a10)+(a10﹣a9)+…+(a2﹣a1) ∴4=x+(10﹣x)?(﹣1) ∴x=7 ∴这样的数列个数有 故选:B. 【思路点拨】根据题意,先确定数列中 1 的个数,再利用组合知识,即可得到结论.
2 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 【 题 文 】 9 . 抛 物 线 y ? 2x 上 两 点 关于直线 y ? x ? m 对称,若

=120.

x1 x2 ? ?

1 2 ,则 2m 的值是(
B.4

). C.5 D.6

A.3

【知识点】直线与圆锥曲线的关系.H8 【答案】 【解析】A 解析:由已知得 kAB=﹣1,且 AB 的中点 C(x0,y0)在直线 y=x+m 上, ,消去 y 并整理得 2x +x﹣n=0,
2

设直线 AB 的方程为 y=﹣x+n,联立

依题意得, ∴n=1. 又 x1+x2=﹣ , ∴x0=﹣ ,y0=﹣x0+1= . ∵C(x0,y0)在直线 y=x+m 上, ∴ =﹣ +m, 解得 m= .所以 2m=3,故选 A. 【思路点拨】由已知先求出 kAB,然后由 AB 的中点 C(x0,y0)在直线 y=x+m 上,可设直线 AB 的方程为 y=﹣x+n,联立直线 AB 与抛物线方程,根据方程的根与系数关系即可求解 n,然 后再由中点在直线 y=x+m 上,代入其中即可求 m 即可得到结论。

-5-

【题文】10. sin 10? ? sin 50? ? sin 70? ? (
4 4 4



A.1

9 B. 8

C.

5 4

3 D. 2

【知识点】二项展开式;两角和与差的正弦公式 J3 C7 【答案】 【解析】B
4 0
4 0 4 0 0 4 0 0 解析:原式= sin 10 + sin 60 - 10 + sin 60 +10

(

)

(

)

骣3 1 0 0 = sin 10 + 琪 琪2 cos10 - 2 sin10 桫

4

骣3 1 0 0 +琪 琪2 cos10 + 2 sin10 桫

4

轾 9 18 1 = sin 4 100 + 2 犏 cos4 100 + cos 2 100 sin 2 100 + sin 4 100 犏 16 16 16 臌
9 18 9 = cos 4 100 + cos 2 100 sin 2 100 + sin 4 100 8 8 8 9 = 轾 cos 4 100 + 2 cos 2 100 sin 2 100 + sin 4 100 8臌 2 9 9 = cos 2 100 + sin 2 100 = ,故选 B. 8 8

(

)

【思路点拨】先利用二项展开式,再结合两角和与差的正弦公式展开即可。 【题文】二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,请按要求作答 5 小题,共 25 分) 【题文】11.已知随机变量 ? 满足正态分布 N (u , ? ) ,且 P
2



(? ? 1) ?

1 2 ,P (? ? 2) ? 0.4 ,则

P( 0 ? ? ? 1 )=__________



【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.I3 【答案】 【解析】0.1 解析:随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ) , ∴曲线关于 x=1 对称, ∵P(ξ<2)=0.6, ∴P(0<ξ<1)=0.6﹣0.5=0.1, 故答案为 0.1. 【思路点拨】随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ) ,得到曲线关于 x=1 对称,根据曲线的对称 性得到 P(0<ξ<1) .
2 2

x2 y 2 ? 2 ?1 2 FF FF b 【题文】12.设 1, 2 为双曲线 a 的左右焦点,以 1 2 为直径作圆与双曲线左支交于
A, B 两点,且 ?AF1 B ? 120 .则双曲线的离心率为 __________
【知识点】双曲线的应用.H6
-6?

【答案】 【解析】 3 +1 ∠AF1B=120°, ∴△OF1A 是等边三角形 ∴|AF1|=c, ∴ ∴ =

解析:∵以线段 F1F2 为直径的圆交双曲线左支于 A,B 两点,且

, ,

故答案为 3 +1 。 【思路点拨】根据以线段 F1F2 为直径的圆交双曲线左支于 A,B 两点,且∠AF1B=120°,可得 △ OF1A 是等边三角形,再利用双曲线的定义,即可求得离心率,从而可得结论.

【题文】13.设 x, y 满足约束条件

?3 x ? y ? 2 ? 0 ? ? x? y ?0 ? x ? 0, y ? 0 ?

,若目标函数 z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 的最

1 1 ? ? ? y ? sin(mx ? ) 3 的图象向右平移 6 后的表达式为 大值为 2,当 a b 的最小值为 m 时,则
_____________。 【知识点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;简单线性规划.C4 E5

【答案】 【解析】 y = sin 2 x

解析:设 x、y 的线性约束条件

?3 x ? y ? 2 ? 0 ? ? x? y ?0 ? x ? 0, y ? 0 ?

解得 A(1,1)目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 2 即:a+b=2 所以: 则:则 y=sin(2x+ 故答案为:y=sin2x 【思路点拨】首先根据线性规划问题和基本不等式求出函数的最值,再利用正弦型函数的图 象变换问题,求出结果. 【题文】考生注意:14~16 题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 【题文】 14. 如图, ?ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. 若 ?ABC 的面积 )的图象向右平移 后的表达式为:y=sin2x

-7-

S?

1 AD ? AE 2 ,则 ?BAC 的大小为________

.

【知识点】与圆有关的比例线段。N1 【答案】 【解析】

p 2

解析:∵△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于 E,

∴∠BAE=∠CAD, ∵∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角, ∴∠AEB=∠ACD, ∴△ABE∽△ADC,∴ ∵S= ,即 AB?AC=AD?AE, ,且 S= ,

∴AB?AC?sin∠BAC=AD?AE, ∴sin∠BAC=1, 又∵∠BAC 是三角形内角,

p . 2 p 故答案为: . 2
∴∠BAC= 【 思 路 点 拨 】 由 题 设 条 件 推 导 出 △ ABE∽△ADC , 从 而 得 到 AB?AC=AD?AE , 再 由 S= ,且 S= ,能求出 sin∠BAC=1,由此能求出∠BAC.

【题文】15. 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直

? ? x ? 2 ? 3t ? ? y ? 1 ? t ( t 为参数)与曲线 ? ? 2a sin ? ( θ 为参数且 a ? 0 )相切,则 a ? ______. 线?
【知识点】极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程;直线与圆的位置关系.N3

【答案】 【解析】

23

3

解析:由 ? ? 2a sin ? ,得 r

2

= 2r a sinq



所以 x

2

ì 2 ? x = 2 + 3t 得直线方程为 + y 2 = 2ax ,即曲线 C 的方程为 ( x - a) + y 2 = a 2 ,又由 í ? y = 1 + t ?

-8-

x - 3 y + 3 - 2 = 0 ,则
23 3
2-

a+ 3- 2 2
3 3


= a ,解得 a = 3 - 2 或

23

3

,因为 a ? 0 ,所以

a=

,故答案为

【思路点拨】把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程,根据直线和圆相切的性质求出 m 的值. 【题文】 16.若不等式

x ?1 ? x ? 2 ? a2 ? a ? 1

的解集不为 ? , 则实数 a 的取值范围是______.

【知识点】绝对值不等式的解法.N4 【答案】 【解析】 (- ? , 1] ? [0, +? )
2

解析:∵|x﹣1|﹣|x﹣2|=|x﹣1|﹣|2﹣x|≤|x﹣1﹣x+2|=1

若不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a +a+1(x∈R)的解集不为空集, 2 即 a +a+1≥1,解得 x≤﹣1 或 x≥0 ∴实数 a 的取值范围是 (- ? , 1] ? [0, +? ) 故答案为: (- ? , 1] ? [0, +? ) 【思路点拨】根据绝对值的性质,我们可以求出|x﹣1|﹣|x﹣2|的最大值,结合不等式|x﹣1| ﹣|x﹣2|≥a +a+1(x∈R)的解集不为空集,即 a +a+1≥1,解不等式可得实数 a 的取值范围. 【题文】 三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 75 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.)
2 2

13 a S q 【题文】17.(本题满分 13 分) 已知等比数列{ n }的公比 =3,前 3 项和 3 = 3 .若函数
f ( x) = A sin(2 x ? ? ) ( A >0,0< ? < ? )在
(1)求函数 f ( x) 的解析式.

x?

?
6 处取得最大值,且最大值为 a3 。

f ( ) ? 1 ? ? ( ,? ) sin(a ? ) 2 2 2 的值。 (2)若 , ,求
【知识点】函数的解析式;三角函数的恒等变形.B1 C7 【答案】 【解析】 (1) f ( x) = 3sin(2 x + ) ; (2)

?

?

?

p 6

1- 2 6 6

S3 ?
解析: (1)由

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? 27) 13 1 ? ? a1 ? 2 1? q 1? 3 3得 3 ,? a3 ? a1q ? 3

-9-

2?
由已知有 A=3,

?
6

?? ?

?
2

? 2 k?

?? ? 2 k? ?


?
6

,k ?Z

?? ?


?
6

? f ( x) ? 3sin(2 x ? ) 6
(6 分)

?

? ? ? 1 f ( ) ? 3sin(? ? ) ? 1 ? sin(? ? ) ? 2 6 6 3。 (2)

? 2 2 ? ? 2? 7? ?0 ?? ? ( , ? ) ?? ? ? ( , ) ? cos(? ? ) ? ? 6 3 2 6 3 6
? ? ?? ? ? ? ? 1? 2 6 ? ? sin(? ? ) ? cos ? ? cos ?(? ? ) ? ? ? cos(? ? ) cos ? sin(? ? ) sin ? 2 6 6? 6 6 6 6 6 ?
(13 分) 【思路点拨】 (1)先由得到 S3 得到 a1 ,进而可得 A 以及 j 的值,然后写出解析式即可; (2) 根据已知得到 sin(a + ) =

p 6

1 ,再进行变角,结合两角差的余弦公式即可得到结果。 3

【题文】18. (本题满分 13 分)现有 3 所重点高校 A,B,C 可以提供自主招生机会,但由于时间 等其他客观原因,每位同学只能申请其中一所学校,且申请其中任一所学校是等可能的。现 某班有 4 位同学提出申请,求: (1)恰有 2 人申请 A 高校的概率; (2)4 人申请的学校个数 的分布列和期望. 【知识点】离散型随机变量的期望与方差.K6 【答案】 【解析】 (1)

?

8 ; (2)见解析。 27

解析: (I)由题意知本题是一个等可能事件的概率 试验发生包含的事件是 4 个人中,每一个人有 3 种选择,共有 34 种结果, 满足条件的事件是恰有 2 人申请 A 学校,共有 种

∴根据等可能事件的概率公式得到 P= (II)由题意知 ξ 的可能取值是 1,2,3

=

(6 分)

P(ξ=1)=

, P(ξ=2)=



P(ξ=3)= ∴ξ 的分布列是:
- 10 -

ξ P

1

2

3

∴Eξ=

(13 分)

【思路点拨】 (1)所有可能的方式有 3 种,恰有 2 人申请 A 大学的申请方式有

4

种,从

而然后利用概率公式进行求解; (2) =1,2,3,然后分别求出相应的概率,列出分布列,根 据数学期望公式进行求解即可; 【题 文】 19. (本 题满分 13 分) 已知函 数 ( x?R ) . (1)求 f ( x) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC 中, B 为锐角,且 f ( B) ? 3 , AC ? 4 3 , D 是 BC 边上一点, AB ? AD ,试 求 ?ADC 周长的最大值. 【知识点】两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;正弦函数的单调性;正弦定理.C5 C6 C4
5? ? ? ? ? ? 12 ? k? , 12 ? k? ? ? (2) 8 ? 4 3 【答案】 【解析】 (1) ?
f ( x) ? 2sin( x ?

?

?
3

) cos x ? sin x cos x ? 3 sin 2 x

1 3 f ( x) ? 2( sin x ? cos x) cos x ? sin x cos x ? 3 sin 2 x 2 2 解析: (1)

? 2sin x cos x ? 3(cos 2 x ? sin 2 x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x
? 2sin(2 x ? ) 3 .

?

由 2

?

?

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k?

,得 12

?

?

? k? ? x ?

5? ? k? 12 ( k ? Z ).

5? ? ? ? ? ? 12 ? k? , 12 ? k? ? ? ,k ?Z ? 单调递增区间为 ?

(7 分)

(2)由 f ( B) ? 3 得
2B ?

? 3 ? ? ? 2? sin(2 B ? ) ? 0?B? ? ? 2B ? ? 3 2 .又 2 ,则 3 3 3 ,从而
由 AB ? AD 知 ?ABD 是正三角形, AB ? AD ? BD ,

?
3

?

?
3 ,∴

B?

?
3.

∴ AD ? DC ? BD ? DC ? BC ,
- 11 -

4 3
在 ?ABC 中,由正弦定理,得

sin

?
3

?

BC sin ?BAC
,即 BC ? 8sin ?BAC .
3 2? ? sin ?BAC ? 1 3 ,∴ 2 ,知 4 3 ? BC ? 8 .

?
∵ D 是 BC 边上一点,∴ 3
?BAC ?

? ?BAC ?

2 6 时, AD ? CD 取得最大值 8,周长最大值为 8 ? 4 3 。 当 (13 分) 【思路点拨】 (1)利用两角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函数的单调性即可得出;

?

,C ?

?

(2)利用(1)的结论可得 B,得出三角形为等边三角形,再利用正弦定理即可得出.

f ( x) ? ln( x ? 1) ?
【题文】20. (本题满分 12 分)已知函数 (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的最小值; (2)若

2 ? ax ? 2 x ?1 (其中 a ? 0 ) 。

x ? ? 0, 2?

时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值.B12 【答案】 【解析】 (1)0; (2)

?1, ?? ?

? ?1, ?? ? 解析: (1) f ( x) 的定义域为
当 a ? 1 时,

f ( x) ? ln( x ? 1) ?

2 ? x?2 x ?1 ,

f ?( x) ?


1 2 x( x ? 3) ? ?1 ? 2 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1) 2 =0 得 x ? 0

? ?1, 0 ? 上单调递减,在 ? 0, ?? ? 上单调递增, 且 f ( x) 在
? 此时 f ( x) 的最小值为 f (0) ? 0
(2)由(1)知当 a ? 1 时 f ( x) ? 0 恒成立,即 (6 分)

ln( x ? 1) ?

2 ? x?2?0 x ?1 恒成立;

所以当 a ? 1 ,

x ? ? 0, 2?

f ( x) ? ln( x ? 1) ?
时,

2 2 ? ax ? 2 ? ln( x ? 1) ? ? x?2?0 x ?1 x ?1

? a ? 1 符合要求

- 12 -

当 0 ? a ? 1 时,
2

f ?( x) ?

1 2 ax 2 ? (2a ? 1) x ? a ? 1 ? ? a ? x ? 1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2

x ,x 由于方程 ax ? (2a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 的 ? ? 8a ? 1 ? 0 ,所以该方程有两个不等实根 1 2 ,且 x1 ? x2 。由
x1 x2 ? a ?1 ?0 x ?0? x 2。 a 知 1

? f ( x) 在 ? 0, x2 ? 上单调递减。
若 若

0 ? x2 ? 2 ,则 f ( x2 ) ? f (0) ? 0 ,矛盾; x2 ? 2 ,则 f (2) ? f (0) ? 0 ,也与条件矛盾。

综上可知, a 的取值范围为

?1, ?? ?

(12 分) . 由

【思路点拨】 (1) 当 a=1 时, ( f x) =lnx+ +x﹣3, 定义域为 (0, +∞) . 此利用导数性质能求出函数 f(x)的最小值.

(2)当 a=1 时,f(x)=lnx+ +x﹣3≥0 恒成立;当 a≥1 且 x∈[1,3]时,f(x)=lnx+ +ax﹣3+

(a﹣1)x≥lnx+ +x﹣3≥0 恒成立;当 0<a<1 时, 利用导数性质能求出实数 a 的取值范围.

=

,由此

? 3 ? M? , ? 1 ? ? 2 ? ?, 【题文】 2 1.(本题满分 12 分) 已知椭圆 C 中心为坐标原点, 焦点在 y 轴上, 过点 ?
3 离心率为 2 。
(1)求椭圆 C 的方程。 (2)若 A, B 为椭圆 C 上的动点,且 OA ? OB (其中 O 为坐标原点) 。求证:直线 AB 与定圆 相切。并求该圆的方程与 ?OAB 面积的最小值。 【知识点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质.H5 H8
? ?

y2 ? x2 ? 1 4 【答案】 【解析】 (1) 4 (2) 5 y2 ? x2 ? 1 解析: (1)椭圆方程: 4
- 13 -

(4 分)

(2)可由 OA ? OB 设 即

?

?

A ? OA cos ? , OA sin ? ?


? ? ? ? B ? OB cos(? ? ), OB sin(? ? ) ? 2 2 ?, , ?

B ? ? OB sin ? , OB cos ? ?

将 A,B 代入椭圆方程后可得:

sin 2 ? 1 cos 2 ? 1 ? cos 2 ? ? , ? sin 2 ? ? 2 2 4 4 OA OB
OA ? OB
=
2 2

两式相加可得:

5 ? ? 2 2 4 OA OB

1

1

OA OB

2

2

?

AB
2

2 2

OA OB

OA OB
? AB 边上的高为
? AB 与定圆

AB

4 = 5

x2 ? y 2 ?

4 5 相切

1
同时:

OA

2

?

1 OB
2

?

5 2 ? 4 OA OB

? OA OB ?


8 5
(12 分)

? SDOAB = 1 OA OB ? 4 ,当且仅当 OA ? OB 时取等。 2 5

【思路点拨】 ( 1 )先设出椭圆方程,然后利用已知条件联立组成方程组即可; ( 2 )先由

OA ? OB ,再将 A,B 代入椭圆方程,两式相加可判断出 AB 与定圆相切,再求出面积的最小
值即可。

?

?

?1? ? ? an ? T ? T n n 【题文】22. (本题满分 12 分)已知数列 的前 项之积 满足条件: (1) ? n ? 为首项
T2 ? T5 ? 1 6。

为 2 的等差数列; (2) (1)求数列

?an ? 的通项公式 an ;
n ? an S n?2 ,其前 n 项和为 n 。求证:对任意正整数 n ,有

bn ? ?b ? ( 2 )设数列 n 满足
0 ? Sn ? 1 4

【知识点】数列的通项;数列的前 n 项和。D1 D4

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【答案】 【解析】 (1)

? an ?

n n ?1 ; (2)见解析

?1? 1 1 ? ? T2 ? , T5 ? T 2?d 2 ? 4d 解析: (1)设数列 ? n ? 公差为 d ,则
T2 ? T5 ?

由方程

1 1 1 ? ? 2 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 1,? Tn ? n ?1 6 可得 d ? 1 , Tn

1 T n an ? n ? n ? 1 ? 1 1 Tn ?1 n ?1 a1 ? T1 ? n 2 符合 当 n ? 2 时, ,当 n ? 1 时,
? an ? n n ?1

(5 分)

n2 n2 n n 2 ? ?( ) n n n (n ? 2)n (n ? 1) 2 bn ? ? an ? ? ? n ? 2 n ?1 ? ?0 n?2 n ? 2 n ?1 n n n n ? ? n ? 2 n ? 1 n ? 2 n ?1 (2) 注意到:

? Sn ? 0

n n ? 同时,由上面可知: n ? 2 n ? 1
n2 n2 n2 n2 n2 ? ? 1 1 1 1 (n ? 2)n (n ? 1) 2 (n ? 2)n (n ? 1) 2 (n ? 2)n(n ? 1) 2 bn ? ? ? ? ? ( ? ) n n 2( n ? 1)( n ? 2) 2 n ? 1 n ? 2 n n 2? 2? ? n ?1 n ?1 n ? 2 n ?1

S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? ? 1 1 1 1 ( ? )? 2 2 n?2 4

1 ? 1 1 ?1 1? 1 1 ? ( ? ) ? ? ? ? ??? ( ? ) ? 2? 2 3 ?3 4? n ?1 n ? 2 ? ?
(12 分)

?1? 1 1 ? ? T2 ? , T5 ? T 2?d 2 ? 4d 【思路点拨】 (1)设数列 ? n ? 公差为 d ,则
T2 ? T5 ?

由方程

n n 1 ? 6 可得 d ? 1 ,继而可得结果; (2)先判断出 Sn > 0 ,再结合 n ? 2 n ? 1

证明即可。

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