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2013年高中数学教学精品课件:双曲线的简单几何性质


2.3.2 双曲线的简单几何性质
【课标要求】

1.掌握双曲线的简单的几何性质. 2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.
3.掌握直线与双曲线的位置关系.

【核心扫描】
1.双曲线的几何性质的理解和应用.(重点) 2.与双曲线离心率,渐近线相关的问题.(难点) 3.经常与方程、三角、平面向量、不等式等内容结

合考查学 生分析问题的能力.
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自学导引
双曲线的几何性质

x2 y2
标准方程

a

2

- 2=1

b

(a>0,b>0)

y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

图形

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续表 焦点 F1(-c,0)、F2(c,0) ___________________ F1(0,-c)、F2(0,c) ___________________

焦距
范围 对称性 性 质 顶点 轴长 离心率 渐近线 |x|≥a,y∈R

|F1F2|=2c _________ |y|≥a,x∈R

关于x轴、y轴、原点对称
A1(-a,0)、A2(a,0) ___________________ A1(0,-a)、A2(0,a) ___________________

2a 2b 实轴长=___,虚轴长=___ c a e=___(e>1)
x y ± =0 a b ________
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x y ± =0 b a ________
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试一试:尝试用a,b表示双曲线的离心率.
提示 c e= = a a2+b2 = a2 b2 1+ 2. a

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名师点睛
1.双曲线几何性质的理解 x2 y2 x2 y2 (1)范围:以 2- 2=1(a>0,b>0)为例,由于 2=1+ 2≥1,即 a b a b x2≥a2,∴|x|≥a,即双曲线位于 x≤-a 和 x≥a 所表示的区 域内.

(2)顶点:双曲线与它的对称轴的交点叫双曲线的顶点,
双曲线只有两个顶点,相应的线段叫实轴,实轴长为2a. 而虚轴长为2b,且a2+b2=c2.特别地当2a=2b时的双曲线 叫等轴双曲线,方程为x2-y2=a2或y2-x2=a2.

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c (3)离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比 叫双曲线的离心率, 由 a 于 c>a>0, ∴e>1, e 越大, 且 双曲线的“张口”越大. 特别地, 等轴双曲线的离心率 e= 2为定值. x2 y2 (4)①已知双曲线方程求渐近线方程, 只需将方程 2- 2=1(a>0, a b x2 y2 b>0)右边的“1”换成“0”即可,即由 2- 2=0 得出渐近线方程是 a b x y b y2 x2 ± =0,即 y=± x.类似地,对于方程 2- 2=1(a>0,b>0), a b a a b y2 x2 a 则由 2- 2=0 得渐近线方程是 y=± x. a b b

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x2 y2 x2 y2 ②与双曲线 2- 2=1 有共同渐近线的双曲线方程为 2- 2= a b a b λ(λ≠0). 2.直线与双曲线的位置关系 (1)一般地,设直线 l:y=kx+m,① x2 y2 双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0).② a b

把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. ①当b2-a2k2=0时,直线l与双曲线的渐近线平行,直线 与双曲线C相交于一点. ②当b2-a2k2≠0时,Δ>0?直线与双曲线有两个公共点,此 时称直线与双曲线相交; Δ=0?直线与双曲线有一个公共点,此时称直线与双曲线 相切;
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Δ<0?直线与双曲线没有公共点,此时称直线与双曲线相 离. 注意:直线和双曲线只有一个公共点时,直线不一定与双

曲线相切,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲
线相交,只有一个交点. (2)弦长公式: 斜率为 k 的直线 l 与双曲线相交于 A(x1,1), y
B(x2 , y2) , 则 |AB| = (x1+x2)2-4x1x2. 1+k2 |x1 - x2| = 1+k2

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题型一

已知双曲线的标准方程求其几何性质

【例1】 求双曲线16x2-9y2=-144的半实轴长、半虚轴长、 焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. [思路探索] 可先把方程化成标准方程,确定a,b,c,再 求其几何性质.
y2 x2 解 把方程 16x2-9y2=-144 化为标准方程 2- 2=1, 4 3 由此可知,半实轴长 a=4, 半虚轴长 b=3,c= a2+b2=5.
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c 5 焦点坐标为(0,-5),(0,5);离心率 e= = ; a 4 顶点坐标为(0,-4),(0,4); 4 渐近线方程为 y=± x. 3

规律方法

已知双曲线的标准方程确定其性质时,一定要

弄清方程中的a,b所对应的值,再利用c2=a2+b2得到c, 从而确定e.若方程不是标准形式的先化成标准方程,再确

定a、b、c的值.

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【变式1】 求双曲线x2-3y2+12=0的实轴长、虚轴长、焦点 坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.
y2 x2 解 将方程 x -3y +12=0 化为标准方程 - =1, 4 12 ∴a2=4,b2=12,
2 2

∴a=2,b=2 3,∴c= a2+b2= 16=4. ∴双曲线的实轴长 2a=4,虚轴长 2b=4 3. 焦点坐标为 F1(0,-4),F2(0,4),顶点坐标为 A1(0,-2), 3 A2(0,2),渐近线方程为 y=± x,离心率 e=2. 3

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题型二

根据双曲线的几何性质求标准方程

【例2】 根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)双曲线的渐近线的方程为 2x± 3y=0 且经过 P( 6,2); 5 (2)经过点 P(3,- 2),离心率 e= . 2

[思路探索] 可设出双曲线的标准方程,依题意建立待定 参数的方程或方程组求解.
x2 y2 解 (1)法一 设双曲线方程为 - =1(mn>0). m n 2 ∵双曲线过点 P( 6,2),且点 P 在直线 y= x 的上方, 3 ∴m<0,n<0,即焦点在 y 轴上, 2 又渐近线斜率 k=± , 3
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?6 4 ? - =1, ?m=-3, m n ? ? ∴? -n 解得? 4 2 ? ?n=-3. = , ? ? -m 3 ? y2 x2 故所求双曲线方程为 - =1. 4 3 3 2 法二 由于双曲线的渐近线方程是 y=± x, 所以可设双曲线方程 3 x2 y2 为 - =λ(λ≠0). 9 4 6 4 1 ∵双曲线过点 P( 6,2).∴ - =λ,λ=- . 9 4 3 y2 x2 ∴故所求双曲线方程为 - =1. 4 3 3
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(2)若双曲线的焦点在 x 轴上, x2 y2 设其方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b 5 c2 5 由 e= 得, 2= 2 a 4 又点 P(3,- 2)在双曲线上, 9 2 ∴ 2- 2=1 a b 又 a2+b2=c2, 1 由①②③可得 a =1,b = , 4 若双曲线的焦点在 y 轴上, y2 x2 设其方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b c2 5 2 9 由 2= 和 2- 2=1 及 a2+b2=c2, a 4 a b
2 2
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② ③

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17 可得 b =- (舍去). 2 所以双曲线的焦点只能在 x 轴上,其方程为 x2-4y2=1. y2 即 x2- =1. 1 4 规律方法 根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,
2

一般用待定系数法.首先,由已知判断焦点的位置,设出双 曲线的标准方程,再用已知建立关于参数的方程求得.当双 曲线的焦点不明确时,方程可能有两种形式,此时应注意分 类讨论,为了避免讨论,也可设双曲线方程为mx2-ny2=

1(mn>0),从而直接求得.如本题中已知渐近线方程ax+by
=0,可设所求双曲线方程为a2x2-b2y2=λ(λ≠0)非常简捷.
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【变式2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
13 (1)一个焦点为(0,13),且离心率为 ; 5 1 (2)渐近线方程为 y=± x,且经过点 A(2,-3). 2



(1)依题意可知,双曲线的焦点在 y 轴上,且 c=13, c 13 又 = , a 5 y2 x2 ∴a=5,b= c2-a2=12,故其标准方程为 2- 2=1. 5 12 1 (2)法一 ∵双曲线的渐近线方程为 y=± x, 2 x2 y2 若焦点在 x 轴上,设所求双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0, a b b 1 b>0),则a= . ① 2
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4 9 ∵A(2,-3)在双曲线上,∴ 2- 2=1. a b 由①②联立,无解. 若焦点在 y 轴上,设所求双曲线的标准方程为 y2 x2 a 1 - =1(a>0,b>0),则b= . a2 b2 2 9 4 ∵A(2,-3)在双曲线上,∴ 2- 2=1. a b 由③④联立,解得 a2=8,b2=32. y 2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 8 32



③ ④

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1 法二 由双曲线的渐近线方程为 y=± x, 2 x2 2 可设双曲线方程为 2-y =λ(λ≠0), 2 ∵A(2,-3)在双曲线上, 22 ∴ 2-(-3)2=λ,即 λ=-8. 2 y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1. 8 32

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题型三

直线与双曲线的位置关系

x2 2 【例3】(12 分)设双曲线 C:a2-y =1(a>0)与直线 l:x+y=1 相 交于两个不同的点 A、B. (1)求实数 a 的取值范围; → 5→ (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,若PA= PB,求 a 的值. 12

审题指导 本题主要考查直线与双曲线的位置关系、向量 知识及方程思想的应用.

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x2 2 [规范解答] (1)将 y=-x+1 代入双曲线方程 2-y =1(a>0)中 a 得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0. 2分
?1-a2≠0, ? 依题意? 4 2 2 ? Δ=4a +8a (1-a )>0, ?

∴0<a< 2且 a≠1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1), → 5→ 5 因为PA= PB,所以(x1,y1-1)= (x2,y2-1). 12 12 5 由此得 x1= x2. 12

4分

6分 8分

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由于 x1,x2 是方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0 的两根,且 1-a2 17 2a2 5 2 2a2 ≠0,所以 x2=- , x =- . 10 分 12 1-a2 12 2 1-a2 2a2 289 消去 x2 得- . 2= 60 1-a 17 由 a>0,解得 a= . 12 分 13

【题后反思】 直线与双曲线相交的题目,一般先联立方程 组,消去一个变量,转化成关于x或y的一元二次方程.要 注意根与系数的关系,根的判别式的应用.若与向量有

关,则将向量用坐标表示,并寻找其坐标间的关系,结合
根与系数的关系求解.
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x2 y2 其斜率为 2, 【变式3】直线 l 在双曲线 3 - 2 =1 上截得的弦长为 4, 求 l 的方程.
解 设直线 l 的方程为 y=2x+m, ?y=2x+m ? 2 2 由 ?x y 得 10x2+12mx+3(m2+2)=0. ? 3 - 2 =1 ? 设直线 l 与双曲线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 由根与系数的关系, 6 3 2 得 x1+x2=- m,x1x2= (m +2). 5 10 又 y1=2x1+m,y2=2x2+m, ∴y1-y2=2(x1-x2),

(*)

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∴|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2 =5[(x1+x2)2-4x1x2] 36 2 3 2 =5[ m -4× (m +2)]. 25 10 36 2 ∵|AB|=4,∴ m -6(m2+2)=16. 5 210 . 3 由(*)式得 Δ=24m2-240, 210 把 m=± 代入上式,得 Δ>0, 3 210 ∴m 的值为± 3 210 ∴所求 l 的方程为 y=2x± . 3 ∴3m2=70,m=±
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误区警示

忽略判别式的限制致误

y2 2 【示例】给定双曲线 x - 2 =1,过点 B(1,1)是否能作直线 m, 使它与所给的双曲线交于两点 Q1 及 Q2,且点 B 是线段 Q1Q2 的中点?这样的 m 如果存在,求出它的方程,如果不存在, 说明理由.

[错解] 假设存在m过B与双曲线交于Q1、Q2,且B是Q1Q2

的中点,当m斜率不存在时,显然只与双曲线有一个交
点;当m斜率存在时,设m的方程为y-1=k(x-1), ?y-1=k(x-1) ? 由? 2 y2 ?x - 2 =1 ? 得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-(k2-2k+3)=0,
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2k2-2k 由根与系数的关系,得 x1+x2= 2 =2,解得 k=2. k -2 故存在 m,其方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0.

对于圆、椭圆这种封闭的曲线,以其内部一点 为中点的弦是存在的,而对于双曲线,这样的弦就不一定

存在,故求出k值后需用判别式判定此时直线是否与双曲线
有交点. [正解] 假设存在直线m过B与双曲线交于Q1、Q2,且B是 Q1Q2的中点,当直线m的斜率不存在时,显然只与双曲线 有一个交点; 当直线m的斜率存在时,设直线m的方程为y-1=k(x-1),
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?y-1=k(x-1) ? 由? 2 y2 知 ?x - 2 =1 ? (2-k2)x2+(2k2-2k)x-(k2-2k+3)=0, 设该方程的两根为 x1、x2, 由根与系数的关系, 2k2-2k 得 x1+x2= 2 =2,解得 k=2. k -2 当 k=2 时,Δ=(2k2-2k)2+4(2-k2)(k2-2k+3)=-8<0,因 此不存在满足题意的直线.

关于中点的问题我们一般可以采用两种方法解

决:(1)联立方程组,消元,利用根与系数的关系进行设而不
解,从而简化运算解题;(2)利用“点差法”,求出与中点、斜 率有关的式子,进而求解.不管应用何种方法我们都必须注 意判别式Δ的限制.
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