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【步步高】2015届高考数学总复习 8.3空间中的平行关系课件 理 新人教B版

时间:2014-06-05


数学

R B(理)

§8.3 空间中的平行关系
第八章 立体几何

基础知识·自主学习
要点梳理
1.平行直线 (1)平行公理: 过直线外一点 有且只有 一条直线和已知直线平行. (2)基本性质 4(空间平行线的传递性): 平行于 同一条直线 的两条直线互相平行. (3)定理: 如果一个角的两边与另一个角的两边 分别对应平行 ,并且
知识回顾 理清教材

方向相同 ,那么这两个角相等.
(4)空间四边形: 顺次连接 不共面 空间四边形. 的四点 A、B、C、D 所构成的图形,叫做

基础知识·自主学习
要点梳理
2.直线与平面平行的判定与性质
知识回顾 理清教材

判定 定义 图形 定理

性质

a?α,
条件 a∩α=?

b?α, a∥b
b∥α

a∥α

a∥α , a ? β, α∩β=b

结论

a∥α

a∩α=?

a∥b

基础知识·自主学习
要点梳理
3.面面平行的判定与性质
知识回顾 理清教材

判定 定义 图形
α∩β=?

定理

性质

条件 结论

a?β,b?β, α∥β, α∥β, α ∩ γ = a , a∩ b = P , a?β β∩γ=b a∥α,b∥α

α∥β

α∥β

a∥b

a∥α

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) √ (3) × (4) √ (5) ×

解析

B C
2



题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 (2012· 山东) 如图,几何体 E- ABCD 是四棱锥, △ ABD 为正三角形, CB= CD, EC⊥ BD. (1)求证: BE= DE; (2) 若∠ BCD= 120° , M 为线段 AE 的中点,求证: DM∥平面 BEC.

题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 (2012· 山东) 如图,几何体 E- ABCD 是四棱锥,

(1) 利用等腰 △EDB 底边中线

△ ABD 为正三角形, CB= CD, 和高重合的性质证明; EC⊥ BD. (1)求证: BE= DE; (2) 若∠ BCD= 120° , M 为线段 AE 的中点,求证: DM∥平面 BEC.

(2)根据线面平行的判定或两个 平面平行的性质证明线面平行.

题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 (1)如图, 思维升华

【例 1】 (2012· 山东) 如图,几何体 E- ABCD 是四棱锥,

证明 取 BD 的中点 O, 连接

CO,EO.

△ ABD 为正三角形, CB= CD, 由于 CB=CD,所以 CO⊥BD. 又 EC⊥BD,EC∩CO=C, EC⊥ BD. CO,EC?平面 EOC, (1)求证: BE= DE; 所以 BD⊥平面 EOC, (2) 若∠ BCD= 120° , M 为线段 因此 BD⊥EO. AE 的中点,求证: DM∥平面 又 O 为 BD 的中点, BEC. 所以 BE=DE.

题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 (2012· 山东) 如图,几何体 E- ABCD 是四棱锥, △ ABD 为正三角形, CB= CD, EC⊥ BD.

(2)方法一 如图, 取 AB 的中点 N, 连接 DM, DN,MN. 因为 M 是 AE 的中点,

所以 MN∥BE.

又 MN?平面 BEC,BE?平面 BEC, (1)求证: BE= DE; 所以 MN∥平面 BEC. (2) 若∠ BCD= 120° , M 为线段 又因为△ABD 为正三角形, AE 的中点,求证: DM∥平面 所以∠BDN=30° .
BEC.
又CB=CD,∠BCD=120° , 因此∠CBD=30° . 所以 DN∥BC.

题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 (2012· 山东) 如图,几何体 E- ABCD 是四棱锥,

又 DN?平面 BEC, BC?平面 BEC, 所以 DN∥平面 BEC. 又 MN∩DN=N,

△ ABD 为正三角形, CB= CD, 所以平面 DMN∥平面 BEC. 又 DM?平面 DMN, EC⊥ BD. 所以 DM∥平面 BEC. (1)求证: BE= DE; 方法二 如图, (2) 若∠ BCD= 120° , M 为线段 延长 AD,BC 交于 AE 的中点,求证: DM∥平面 点 F,连接 EF. 因为 CB=CD,∠BCD=120° , BEC.

所以∠CBD=30° .

题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 (2012· 山东)

因为△ABD 为正三角形, 所以∠BAD=60° ,∠ABC=90° , 如图,几何体 E- 1 因为 ∠ AFB = 30° , 所以 AB = ABCD 是四棱锥, 2AF. △ ABD 为正三角形, CB= CD, 又 AB=AD, 所以 D 为线段 AF 的中点. EC⊥ BD. 连接 DM,由于点 M 是线段 AE 的 (1)求证: BE= DE; 中点, (2) 若∠ BCD= 120° , M 为线段 因此 DM∥EF. AE 的中点,求证: DM∥平面 又 DM?平面 BEC,EF?平面 BEC, BEC. 所以 DM∥平面 BEC.

题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 (2012· 山东) 如图,几何体 E- ABCD 是四棱锥,

判断或证明线面平行的常用方法: (1) 利 用 线 面 平 行 的 定 义 ( 无 公 共

△ ABD 为正三角形, CB= CD, 点); (2)利用线面平行的判定定理(a EC⊥ BD. ?α, b?α,a∥b?a∥α);(3)利用 (1)求证: BE= DE; (2) 若∠ BCD= 120° , M 为线段 面面平行的性质定理 (α∥β, a ?α AE 的中点,求证: DM∥平面 BEC.

?a∥β); (4)利用面面平行的性质 (α∥β,a?β,a∥α?a∥β).

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 如图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,H 分别为棱 A1B1,D1C1 上的点,且 EH∥A1D1, 过 EH 的平面与棱 BB1, CC1 相交, 交点分别为 F,G,求证:FG∥平面 ADD1A1.
证明 因为 EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,

EH?平面 BCC1B1,B1C1?平面 BCC1B1,
所以 EH∥平面 BCC1B1.

又平面 FGHE∩平面 BCC1B1=FG, 所以 EH∥FG,即 FG∥A1D1. 又 FG?平面 ADD1A1,A1D1?平面 ADD1A1, 所以 FG∥平面 ADD1A1.

题型分类·深度剖析
题型二 平面与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 如图,在三 棱柱 ABC—A1B1C1 中,E,F,G,H 分 别是 AB, AC, A1B1, A1C1 的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

题型分类·深度剖析
题型二 平面与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 如图,在三 棱柱 ABC—A1B1C1 中,E,F,G,H 分 别是 AB, AC, A1B1, A1C1 的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

要证四点共面,只需证 GH∥BC;要证面面平行,可 证一个平面内的两条相交直线 和另一个平面平行.

题型分类·深度剖析
题型二 平面与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 如图,在三 棱柱 ABC—A1B1C1 中,E,F,G,H 分 别是 AB, AC, A1B1, A1C1 的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

证明 (1)∵GH 是△A1B1C1 的中位 线,∴GH∥B1C1.

又∵B1C1∥BC,
(2)∵E、F 分别为 AB、AC 的中点,

∴GH∥BC,∴B, C,H, G 四点共面.

∴EF∥BC,
∵EF ? 平 面 BCHG , BC ? 平 面 BCHG,
∴EF∥平面 BCHG.∵A1G 綊 EB,

题型分类·深度剖析
题型二 平面与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 如图,在三 棱柱 ABC—A1B1C1 中,E,F,G,H 分 别是 AB, AC, A1B1, A1C1 的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

∴四边形 A1EBG 是平行四边形,

∴A1E∥GB.
∵A1E?平面 BCHG, GB?平面 BCHG.

∴A1E∥平面 BCHG.
∵A1E∩EF=E, ∴平面 EFA1∥平面 BCHG.

题型分类·深度剖析
题型二 平面与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华 证明面面平行的方法:

【例 2】 如图,在三 棱柱 ABC—A1B1C1 中,E,F,G,H 分 别是 AB, AC, A1B1, A1C1 的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

(1)面面平行的定义;

(2)面面平行的判定定理:如果一个 平面内有两条相交直线都平行于另 一个平面,那么这两个平面平行;
(3)利用垂直于同一条直线的两个平 面平行;

(4) 两个平面同时平行于第三个平 面,那么这两个平面平行;
(5) 利 用 “ 线线 平 行 ” 、 “ 线 面 平 行”、“面面平行”的相互转化.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,S 是 B1D1 的中点,E、F、G 分别是 BC、 DC、SC 的中点,求证: (1)直线 EG∥平面 BDD1B1; (2)平面 EFG∥平面 BDD1B1.
证明 (1)如图,连接 SB, ∵E、G 分别是 BC、SC 的中点,∴EG∥SB. 又∵SB?平面 BDD1B1,EG?平面 BDD1B1, ∴直线 EG∥平面 BDD1B1. (2)连接 SD,∵F、G 分别是 DC、SC 的中点,∴FG∥SD. 又∵SD?平面 BDD1B1,FG?平面 BDD1B1,

∴FG∥平面 BDD1B1,且 EG?平面 EFG,
FG?平面 EFG,EG∩FG=G,∴平面 EFG∥平面 BDD1B1.

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

平行关系的综合应用
如图所示,在四面体
思维启迪 解析 思维升华

ABCD 中,截面 EFGH 平行于 对棱 AB 和 CD,试问截面在什 么位置时其截面面积最大?

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

平行关系的综合应用
如图所示,在四面体
思维启迪 解析 思维升华

ABCD 中,截面 EFGH 平行于 对棱 AB 和 CD,试问截面在什 利用线面平行的性质可以得到线 么位置时其截面面积最大?

线平行,可以先确定截面形状, 再建立目标函数求最值.

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

平行关系的综合应用
如图所示,在四面体
思维启迪 解析 思维升华



∵AB∥平面 EFGH,

ABCD 中,截面 EFGH 平行于 平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 对棱 AB 和 CD,试问截面在什 分别交于 FG、EH. ∴AB∥FG,AB∥EH, 么位置时其截面面积最大?

∴FG∥EH,同理可证 EF∥GH,

∴截面 EFGH 是平行四边形.

设 AB=a,CD=b,∠FGH=α (α 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或 其补角).

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

平行关系的综合应用
如图所示,在四面体
思维启迪 解析 思维升华

又设 FG=x,GH=y,则由平面几 ABCD 中,截面 EFGH 平行于 x CG y BG 何知识可得a=BC , 两式相 b=BC, 对棱 AB 和 CD,试问截面在什 x y b 加得a+b=1,即 y=a(a-x), 么位置时其截面面积最大? ∴S?EFGH=FG· GH· sin α b bsin α =x·· (a-x)· sin α= x(a-x). a a
∵x>0, a-x>0 且 x+(a-x)=a 为定值,

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

平行关系的综合应用
如图所示,在四面体
思维启迪 解析 思维升华

ABCD 中,截面 EFGH 平行于 对棱 AB 和 CD,试问截面在什 么位置时其截面面积最大?

bsin α ∴当且仅当 x=a-x 时, a x(a absin α a b -x)= ,此时 x= ,y= . 4 2 2
即当截面 EFGH 的顶点 E、F、G、 H 为棱 AD、AC、BC、BD 的中点时 截面面积最大.

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

平行关系的综合应用
如图所示,在四面体
思维启迪 解析 思维升华

ABCD 中,截面 EFGH 平行于 对棱 AB 和 CD,试问截面在什 么位置时其截面面积最大?

利用线面平行的性质,可以实 现与线线平行的转化,尤其在 截面图的画法中,常用来确定 交线的位置,对于最值问题, 常用函数思想来解决.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面是 边长为 a 的正方形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,在侧面 6 PBC 内,有 BE⊥PC 于 E,且 BE= a,试在 AB 3 上找一点 F,使 EF∥平面 PAD.

解 在平面 PCD 内,过 E 作 EG∥CD 交 PD 于 G,
连接 AG,在 AB 上取点 F,使 AF=EG,
∵EG∥CD∥AF,EG=AF,
∴FE∥AG. ∴四边形 FEGA 为平行四边形,

又 AG?平面 PAD,FE?平面 PAD,

∴EF∥平面 PAD.
∴F 即为所求的点.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面是 边长为 a 的正方形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,在侧面 6 PBC 内,有 BE⊥PC 于 E,且 BE= a,试在 AB 3 上找一点 F,使 EF∥平面 PAD.

又 PA⊥面 ABCD,∴PA⊥BC,
又 BC⊥AB,∴BC⊥面 PAB. ∴PB⊥BC.

∴PC2=BC2+PB2=BC2+AB2+PA2. 设 PA=x 则 PC= 2a2+x2,
6 由 PB· BC=BE· PC 得: a +x · a= 2a +x ·3 a,
2 2 2 2

∴x=a,即 PA=a,∴PC= 3a.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面是边 长为 a 的正方形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,在侧面 PBC 6 内,有 BE⊥PC 于 E,且 BE= a,试在 AB 上找一 3 点 F,使 EF∥平面 PAD.

又 CE=

6 2 3 a -? 3 a? = 3 a,
2

PE 2 GE PE 2 ∴ = ,∴ = = , PC 3 CD PC 3
2 2 2 即 GE= CD= a,∴AF= a. 3 3 3

题型分类·深度剖析
答题模板系列7 立体几何中的探索性问题
典例:(12 分)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC, 点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

思 维 启 迪

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
答题模板系列7 立体几何中的探索性问题
典例:(12 分)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC, 点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

思 维 启 迪

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

(1)利用 DE∥PC 证明线面平行;
(2)利用平行关系和已知 PC⊥AB 证明 DE⊥DG;

(3)Q 应为 EG 中点.

题型分类·深度剖析
答题模板系列7 立体几何中的探索性问题
典例:(12 分)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC, 点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

思 维 启 迪

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒
3分

(1)证明 因为 D,E 分别是 AP,AC 的中点, 所以 DE∥PC. 又因为 DE?平面 BCP,所以 DE∥平面 BCP.
(2)证明 因为 D,E,F,G 分别为 AP, AC,BC,PB 的中点, 所以 DE∥PC∥FG,

DG∥AB∥EF.

所以四边形 DEFG 为平行四边形.
7分

又因为 PC⊥AB, 所以 DE⊥DG.
所以四边形 DEFG 为矩形.

题型分类·深度剖析
答题模板系列7 立体几何中的探索性问题
典例:(12 分)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC, 点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

思 维 启 迪
(3)解

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒
8分

存在点 Q 满足条件,理由如下:

1 由(2)知,DF∩EG=Q,且 QD=QE=QF=QG=2EG. 分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG,MN. 与(2)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线交点为 EG 1 的中点 Q,且 QM=QN= EG, 所以 Q 为满足条件的点. 2

连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点,

12分

题型分类·深度剖析
答题模板系列7 立体几何中的探索性问题
典例:(12 分)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC, 点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

思 维 启 迪

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

解决立体几何中的探索性问题的步骤: 第一步:写出探求的最后结论.

第二步:证明探求结论的正确性.
第三步:给出明确答案.

第四步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.

题型分类·深度剖析
答题模板系列7 立体几何中的探索性问题
典例:(12 分)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC, 点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

思 维 启 迪

规 范 解 答

答 题 模 板

温 馨 提 醒

(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、 垂直关系的探究, 对条件和结论 不完备的开放性问题的探究,解决这类问题一般根据探索性问题的设问,假 设其存在并探索出结论,然后在这个假设下进行推理论证,若得到合乎情理 的结论就肯定假设,若得到矛盾就否定假设.
(2) 这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤:从结论出发“要 使??成立”,“只需使??成立”.

思想方法·感悟提高
1.平行问题的转化关系

方 法 与 技 巧

2.直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法; (2)判定定理; (3)面与面平行的性质.
3.平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)推论; (4)a⊥α,a⊥β?α∥β.

思想方法·感悟提高
1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否 则,会出现错误.

失 误 与 防 范

2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低 维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线 面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理 时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总 是由题目的具体条件而定, 决不可过于“模式化”.

3.解题中注意符号语言的规范应用.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

10

1.若直线 a 平行于平面 α,则下列结论错误的是 A.a 平行于 α 内的所有直线 B.α 内有无数条直线与 a 平行 C.直线 a 上的点到平面 α 的距离相等 D.α 内存在无数条直线与 a 成 90° 角
解析

( A )

若直线 a 平行于平面 α,则 α 内既存在无数条直线与 a

平行,也存在无数条直线与 a 异面且垂直,所以 A 不正确,B、 D 正确.

又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等,所以 C 正确.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2.若直线 m?平面 α,则条件甲:“直线 l∥α”是条 件乙:“l∥m”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ( D )

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3.已知 a,b 是两条不重合的直线,α,β 是两个不重合的平 面,则下列命题中正确的是 A.a∥b,b?α,则 a∥α B.a,b?α,a∥β,b∥β,则 α∥β C.a⊥α,b∥α,则 a⊥b D.当 a?α,且 b?α 时,若 b∥α,则 a∥b ( C )

解析 A 选项是易错项,由 a∥b,b?α,也可能推出 a?α;
B 中的直线 a,b 不一定相交,平面 α,β 也可能相交;

C 正确; D 中的直线 a,b 也可能异面.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

4. 在空间四边形 ABCD 中, E, F 分别为 AB, AD 上的点, 且 AE∶EB =AF∶FD=1∶4,又 H,G 分别为 BC,CD 的中点,则 ( A.BD∥平面 EFG,且四边形 EFGH 是平行四边形 B.EF∥平面 BCD,且四边形 EFGH 是梯形 C.HG∥平面 ABD,且四边形 EFGH 是平行四边形 D.EH∥平面 ADC,且四边形 EFGH 是梯形 )

解析

如图,由题意得,EF∥BD,

1 1 且 EF=5BD. HG∥BD,且 HG= BD. 2

∴EF∥HG,且 EF≠HG.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

4. 在空间四边形 ABCD 中, E, F 分别为 AB, AD 上的点, 且 AE∶EB =AF∶FD=1∶4,又 H,G 分别为 BC,CD 的中点,则 ( B ) A.BD∥平面 EFG,且四边形 EFGH 是平行四边形 B.EF∥平面 BCD,且四边形 EFGH 是梯形 C.HG∥平面 ABD,且四边形 EFGH 是平行四边形 D.EH∥平面 ADC,且四边形 EFGH 是梯形

∴四边形 EFGH 是梯形.
又 EF∥平面 BCD,而 EH 与平面 ADC 不平行.
故选 B.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5.下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M, N,P 分别为其所在棱的中点,能得出 AB∥平面 MNP 的 图形的序号是 ( B )

A.①③
解析

B.①④

C.②③

D.②④

①中易知 NP∥AA′,MN∥A′B,

∴平面 MNP∥平面 AA′B 可得出 AB∥平面 MNP(如图).
④中,NP∥AB,能得出 AB∥平面 MNP.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

6.过三棱柱 ABC—A1B1C1 任意两条棱的中点作直线, 其中与平面 ABB1A1 平行的直线有________ 条. 6

解析

如图,E、F、G、H 分别是 A1C1、B1C1、BC、

AC 的中点,则与平面 ABB1A1 平行的直线有 EF,GH, FG,EH,EG,FH 共 6 条.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

7.如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方 体,M、N 分别是下底面的棱 A1B1、B1C1 的中点, a P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P、M、 3

2 2 N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ=________. 3 a

解析 ∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,
a ∴MN∥PQ.∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点,AP=3,

a 2a 2 2 ∴CQ=3,从而 DP=DQ= 3 ,∴PQ= 3 a.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

8.在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,则在 ③ 下列结论中,错误的为________ . ①AC⊥BD;②AC∥截面 PQMN;③AC=BD; ④异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45° .
解析 ∵PQMN 是正方形,

∴MN∥QP,则 MN∥平面 ABC,

由线面平行的性质知 MN∥AC,则 AC∥截面 PQMN,
同理可得 MQ∥BD,又 MN⊥QM,则 AC⊥BD,故①②正确.
又∵BD∥MQ,∴异面直线 PM 与 BD 所成的角即为∠PMQ =45° ,故④正确.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB= AC=5,BB1=BC=6,D,E 分别是 AA1 和 B1C 的中点. (1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求三棱锥 E-BCD 的体积.
(1)证明 取 BC 中点 G,连接 AG,EG.

因为 E 是 B1C 的中点,所以 EG∥BB1, 1 且 EG=2BB1. 由直棱柱知,AA1 綊 BB1,而 D 是 AA1 的中点,

所以 EG 綊 AD,

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB= AC=5,BB1=BC=6,D,E 分别是 AA1 和 B1C 的中点. (1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求三棱锥 E-BCD 的体积.

所以四边形 EGAD 是平行四边形. 所以 ED∥AG.

又 DE?平面 ABC,AG?平面 ABC,所以 DE∥平面 ABC. (2)解 因为 AD∥BB1,所以 AD∥平面 BCE,
所以 VE-BCD=VD-BEC=VA-BCE=VE-ABC, 由(1)知,DE∥平面 ABC. 1 1 1 所以 VE-ABC=VD-ABC=3AD· AG=6×3×6×4=12. 2BC·

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.如图 E、 F、 G、 H 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BC、CC1、C1D1、AA1 的中点.求证: (1)EG∥平面 BB1D1D; (2)平面 BDF∥平面 B1D1H.

证明 (1)取 B1D1 的中点 O,连接 GO,OB,
易证四边形 BEGO 为平行四边形,故 OB∥GE, 由线面平行的判定定理即可证 EG∥平面 BB1D1D.

(2)由题意可知 BD∥B1D1.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.如图 E、 F、 G、 H 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BC、CC1、C1D1、AA1 的中点.求证: (1)EG∥平面 BB1D1D; (2)平面 BDF∥平面 B1D1H.

如图,连接 HB、D1F,
易证四边形 HBFD1 是平行四边形,

故 HD1∥BF.
又 B1D1∩HD1=D1,BD∩BF=B,

所以平面 BDF∥平面 B1D1H.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

1.设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两条 相交直线,则 α∥β 的一个充分而不必要条件是 A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥β
解析

( B )

B.m∥l1 且 n∥l2 D.m∥β 且 n∥l2

对于选项 A, 不合题意;

对于选项 B, 由于 l1 与 l2 是相交直线, 而且由 l1∥m 可得 l1∥α, 同理可得 l2∥α,故可得 α∥β,充分性成立,而由 α∥β 不一 定能得到 l1∥m, 它们也可以异面, 故必要性不成立, 故选 B; 对于选项 C,由于 m,n 不一定相交,故是必要非充分条件;
对于选项 D,由于 n∥l2 可转化为 n∥β,同选项 C,故不符合 题意.综上选 B.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

2.已知平面 α∥平面 β,P 是 α、β 外一点,过点 P 的直线 m 与 α、β 分别交于 A、 C, 过点 P 的直线 n 与 α、 β 分别交于 B、 D 且 PA=6, 24 24 或 5 AC=9,PD=8,则 BD 的长为___________.
解析 根据题意可得到以下如图两种情况:

24 可求出 BD 的长分别为 5 或 24.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

3.空间四边形 ABCD 的两条对棱 AC、BD 的长 分别为 5 和 4,则平行于两条对棱的截面四 边形 EFGH 在平移过程中,周长的取值范围 (8,10) 是_____________ .

DH GH AH EH 解析 设 DA = AC =k,∴DA=BD=1-k,
∴GH=5k,EH=4(1-k),

∴周长=8+2k. 又∵0<k<1,
∴周长的范围为(8,10).

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

4.平面 α 内有△ABC,AB=5,BC=8,AC=7,梯形 BCDE 的底 DE=2,过 EB 的中点 B1 的平面 β∥α, 若 β 分别交 EA、DC 于 A1、C1,求△A1B1C1 的面积.
解 ∵α∥β,
∴A1B1∥AB,B1C1∥BC,

又因∠A1B1C1 与∠ABC 同向.
∴∠A1B1C1=∠ABC.

52+82-72 1 又∵cos∠ABC= = , 2×5×8 2

∴∠ABC=60° =∠A1B1C1.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

4.平面 α 内有△ABC,AB=5,BC=8,AC=7,梯形 BCDE 的底 DE=2,过 EB 的中点 B1 的平面 β∥α, 若 β 分别交 EA、DC 于 A1、C1,求△A1B1C1 的面积.
又∵B1 为 EB 的中点,∴B1A1 是△EAB 的中位线, 1 5 ∴B1A1=2AB=2,

同理知 B1C1 为梯形 BCDE 的中位线, 1 ∴B1C1=2(BC+DE)=5. 1 15 3 25 则 S△A1B1C1=2A1B1· B1C1· sin 60° =2· 5·2 = 8 3. 2· 25 故△A1B1C1 的面积为 3. 8

练出高分

B组

专项能力提升
5 R

3 1 4 2 5.如图,四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面
ABCD 为矩形, PD=DC=4, AD=2, E 为 PC 的中点. (1)求三棱锥 A—PDE 的体积; (2)AC 边上是否存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM? 若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由.
解 (1)因为 PD⊥平面 ABCD,所以 PD⊥AD.

又因 ABCD 是矩形,所以 AD⊥CD.

因 PD∩CD=D,所以 AD⊥平面 PCD, 所以 AD 是三棱锥 A—PDE 的高.
因为 E 为 PC 的中点,且 PD=DC=4,
? 1 1 ?1 所以 S△PDE=2S△PDC=2×?2×4×4?=4. ? ?

练出高分

B组

专项能力提升
5 R

3 1 4 2 5.如图,四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面
ABCD 为矩形, PD=DC=4, AD=2, E 为 PC 的中点. (1)求三棱锥 A—PDE 的体积; (2)AC 边上是否存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM? 若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由.
又 AD=2,
1 1 8 所以 VA—PDE=3AD· S△PDE=3×2×4=3.

(2) 取 AC 中点 M,连接 EM,DM, 因为 E 为 PC 的中点,M 是 AC 的中点, 所以 EM∥PA.

练出高分

B组

专项能力提升
5 R

3 1 4 2 5.如图,四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面
ABCD 为矩形, PD=DC=4, AD=2, E 为 PC 的中点. (1)求三棱锥 A—PDE 的体积; (2)AC 边上是否存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM? 若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由.

又因为 EM?平面 EDM,PA?平面 EDM,所以 PA∥平面 EDM.
1 所以 AM=2AC= 5.

即在 AC 边上存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM,AM 的长为 5.


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