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2010年上海市浦东新区高考预测数学(理科)试卷2010.4


浦东新区 2010 年高考预测数学(理科)试卷
注意:1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考号填写清楚. 2.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

2010.4

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果,每个空 格填对得 4 分,否则

一律得零分.

3 ,则 cos 2? ? 3 2x ? 1 2.不等式 ? 0 的解是 x ?1
1. 若 cos ? ? 3. 若自然数 n
n 满足 C 6

. .

? 20 ,则行列式

1 2?n

n 3n

开始

?

.

4.已知集合 A ? y y ? sin x , x ? R ,集合 B ? y y ?

?

?

则 A? B ? . 2 5. (3x 2 ? 3 ) 5 的二项展开式中,常数项的值是 . x 6.已知一组数据 7、8、9、x、y 的平均数是 8 ,则这组数据的中位数 是 . . 7.阅读右边的程序框图,该程序输出的结果是

?

x , x?R ,
a ? 4?
否 是
输出s

?

a ? 1, s ? 1

s ? s ?9
结束

a ? a ?1

8.有一种叫做“天天彩”的彩票,每注售价为 2 元. 设一等奖、二等奖两种奖. 一等奖中奖的概率 0.1%, 奖金为 100 元;二等奖中奖的概率为 10%,奖金为 10 元. 那么购买一注彩票的期望收益是 9.在等比数列 ? an ?中, a n ? 0 ,且 a1 ? a 2 ? ? ? a7 ? a8 ? 16 ,则 a4 ? a5 的最小值为
2 2

. .

y x ? ?1 的 右 焦 点 为 圆 心 , 且 被 其 渐 近 线 截 得 的 弦 长 为 6 的 圆 的 方 程 4 16 为 . 11. 设点 A (1,1) 、 B (1,-1) , 将 ?OAB 绕 y 轴旋转一周, 所得几何体的体积为 . O 是坐标原点, 2 12 . 设 关 于 x 的 不 等 式 | x ? 4 x ? m | ? x ? 4 的 解 集 为 A , 且 0 ? A , 2 ? A , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 . 13.设函数 y ? f ( x) 由方程 x | x | ? y | y |? 1 确定,下列结论正确的是 .(请将你认为正 确的序号都填上) (1) f ( x) 是 R 上的单调递减函数; (2)对于任意 x ? R , f ( x) ? x ? 0 恒成立; (3)对于任意 a ? R ,关于 x 的方程 f ( x) ? a 都有解; (4) f ( x) 存在反函数 f ?1 ( x) ,且对于任意 x ? R ,总有 f ( x) ? f ?1 ( x) 成立.
10 . 以 双 曲 线 14 .我们知道,如果定义在某区间上的函数 f ( x) 满足对该区间上的任意两个数 x1 、 x2 ,总有不等式

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ) 成立,则称函数 f ( x) 为该区间上的向上凸函数(简称上凸). 类比上述 2 2 a ? an ? 2 ? an ?1 成立,则称数列 ?an ? 为 定义,对于数列 ? an ? ,如果对任意正整数 n ,总有不等式: n 2
向上凸数列(简称上凸数列). 现有数列 ? an ? 满足如下两个条件: (1)数列 ? an ? 为上凸数列,且 a1 ? 1, a10 ? 28 ;
* (2)对正整数 n ( 1 ? n ? 10, n ? N ) ,都有 an ? bn ? 20 ,其中 bn ? n ? 6n ? 10 .

2

则数列 ? an ? 中的第五项 a5 的取值范围为 _______________ . 二、选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应
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编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 4 分,否则一律得零分. 15. “直线 a 与平面 M 没有公共点”是“直线 a 与平面 M 平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 16.在极坐标系中,与点 P (2 , A. (?2 , ? ( )

?
3

) 关于极点对称的点的坐标是





4? ? 2? C. ( 2 , ? ) D. ( 2 , ? ) ) 3 3 3 3 17 .设 O 为坐标原点,复数 z1 、 z2 在复平面内对应的点分别为 P、 Q ,则下列结论中不一定正确 的是 ..... ( ) )
B. (?2 , A. | z1 ? z 2 | ? | OP ? OQ | B. | z1 ? z 2 | ? | OP ? OQ | y N D C. | z1 | ? | z 2 | ? | OP | ? | OQ | D. | z1 ? z 2 | ? | OP ? OQ | E 18.如图,在直角坐标平面内有一个边长为 a 、中心在原点 O 的 正六边形 ABCDEF , AB // Ox . 直线 L : y ? kx ? t (k为常数) F 与正六边形交于 M、N 两点,记 ?OMN 的面积为 S ,则函数 ( ) S ? f (t ) 的奇偶性为 M A.偶函数 B.奇函数 C.不是奇函数,也不是偶函数 D.奇偶性与 k 有关 A L

?

O B

C

x

三、解答题(本大题满分 78 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写 出必要的步骤. 19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. B1 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面 ABC 为等腰直角三角形, 且 AB ? AC , AB ? AC ? 2 , AA1 ? 4 , M 是侧棱 CC1 上一点, 设 MC ? h . (1)若 BM ? A1C ,求 h 的值;

A1 C1
A M C

? (2)若直线 AM 与平面 ABC 所成的角为 ,求多面体 ABM ? A1B1C1 的体积. 4 B

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 已知向量 a ? ( 3 sin 3x ,? y ) , b ? (m , cos3x ? m) ( m ? R) ,且 a ? b ? 0 . 设 y ? f ( x) . (1)求 f ( x) 的表达式,并求函数 f ( x) 在 [ (2)若对任意 x ?[0 ,

?
9

2? ] 上图像最低点 M 的坐标. 18 9 ,

?

] , f ( x) ? t ? 9 x ? 1 恒成立,求实数 t 的范围.

21. (本大题满分 16 分)本大题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满 8 分. 2010 年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行, 对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数 作了一个模拟预测. 为了方便起见,以 10 分钟为一个计算单位,上午 9 点 10 分作为第一个计算人数的时 间,即 n ? 1 ;9 点 20 分作为第二个计算人数的时间,即 n ? 2 ;依此类推 ?? ,把一天内从上午 9 点到 晚上 24 点分成了 90 个计算单位. 对第 n 个时刻进入园区的人数 f (n) 和时间 n ( n ? N )满足以下关系(如图 1) :
f(n) f (n ) 3600 (1 ? n ? 24) ? 10800 n ? 24 10800 ? ? 3600 ? 3 12 (25 ? n ? 36) , n ? N ? f ( n) ? ? ?? 300 n ? 21600 (37 ? n ? 72) ? 3600 3600 0 (73 ? n ? 90) ? 1 1
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?

O 1

24

36

72

90 n

对第 n 个时刻离开园区的人数 g ( n) 和时间
g ( n)

1

24

36

72

90

n

(图 1)

: n ( n ? N )满足以下关系(如图 2)

?

24000

0 (1 ? n ? 24) ? ? g (n) ? ?500 n ? 12000 (25 ? n ? 72) , n ? N ? ? 5000 (73 ? n ? 90) ?
(1)试计算在当天下午 3 点整(即 15 点整) 时,世博园区内共有多少游客? (2)请求出当天世博园区内游客总人数最多 的时刻.

12000

6000 5000

O

24

36

72

90 n

图2 22. (本大题满分 16 分)本大题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 设复数 ? ? x ? yi ( x , y ? R) 与复平面上点 P ( x, y ) 对应. (1)若 ? 是关于 t 的一元二次方程 t ? 2t ? m ? 0 ( m ? R )的一个虚根,且 | ? |? 2 ,求实数 m 的 值;
2

(2)设 复 数 ? 满 足 条 件 | ? ? 3 | ?(?1) n | ? ? 3 |? 3a ? (?1) n a ( 其 中 n ? N 、 常 数

?

3 ,当 n 为奇数时,动点 P( x 、 y ) 的轨迹为 C1 . 当 n 为偶数时,动点 P( x 、 y ) 的轨迹为 C2 . 且两 a ? ( , 3) ) 2
条曲线都经过点 D(2, 2) ,求轨迹 C1 与 C2 的方程; (3) 在 (2) 的条件下, 轨迹 C2 上存在点 A , 使点 A 与点 B ? x0 , 0 ? ( x0 ? 0) 的最小距离不小于 求实数 x0 的取值范围. 23. (本大题满分 18 分)本大题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? log 2 x . (1)若 f ( x) 的反函数是 f
?1

2 3 , 3

( x) ,解方程: f

?1

(2 x ? 1) ? 3 f

?1

( x) ? 1 ;

(2)当 x ? ( 3m , 3m ? 3 ] ( m ? N ) 时,定义 g ( x) ? f ( x ? 3m) . 设 a n ? n ? g (n) ,数列 {an } 的前 n 项 和为 S n ,求 a1 、 a2 、 a3 、 a4 和 S 3n ;

c ?[M , ??) , (3) 对于任意 a 、 且a ?b ?c. 当a、 b、 b 、c 能作为一个三角形的三边长时,f (a) 、 f (b) 、 f (c) 也总能作为某个三角形的三边长,试探究 M 的最小值.

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浦东新区 2010 年高考预测数学(理科)试卷
格填对得 4 分,否则一律得零分.

2010.4

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果,每个空

3 ,则 cos 2? ? 3 2x ? 1 2.不等式 ? 0 的解是 x ?1
1. 若 cos ? ?

1 3 1 (?1 , ) 2 ?

. .

n 3. 若自然数 n 满足 C 6 ? 20 ,则行列式

1 2?n

n 3n

?

12

.

4.已知集合 A ? y y ? sin x , x ? R ,集合 B ? y y ?

?

?

则 A ? B ? [0 , 1] . 2 5. (3x 2 ? 3 ) 5 的二项展开式中,常数项的值是 1080 . x 6.已知一组数据 7、8、9、x、y 的平均数是 8 ,则这组数据的 中位数是 8 . 729 . 7.阅读右边的程序框图,该程序输出的结果是

?

x , x?R ,
开始

?

a ? 1, s ? 1

a ? 4?



输出s

8.有一种叫做“天天彩”的彩票,每注售价为 2 元. 设一等奖、二 等奖两种奖. 一等奖中奖的概率 0.1%,奖金为 100 元;二等奖中 奖的概率为 10%,奖金为 10 元. 那么购买一注彩票的期望收益 9.在等比数列 ? an ?中, a n ? 0 ,且 a1 ? a 2 ? ? ? a7 ? a8 ? 16 ,则 a4 ? a5 是

s ? s ?9
结束

a ? a ?1

? 0.9

.

2 2 . 2 y x 10 . 以 双 曲 线 ? ?1 的 右 焦 点 为 圆 心 , 且 被 其 渐 近 线 截 得 的 弦 长 为 6 的 圆 的 方 程 为 4 16 ( x ? 2 5 ) 2 ? y 2 ? 25 .
的最小值为
2

11 .设点 A ( 1,1) 、 B ( 1,- 1 ) , O 是坐标原点,将 ?OAB 绕 y 轴旋转一周,所得几何体的体积为

4? . 3 2 12 .设关于 x 的不等式 | x ? 4 x ? m | ? x ? 4 的解集为 A ,且 0 ? A , 2 ? A ,则实数 m 的取值范围是 [?4,? 2) .
13.设函数 y ? f ( x) 由方程 x | x | ? y | y |? 1 确定,下列结论正确的是(1) (2) (3) (4).(请将你认为 正确的序号都填上) (1) f ( x) 是 R 上的单调递减函数; (2)对于任意 x ? R , f ( x) ? x ? 0 恒成立; (3)对于任意 a ? R ,关于 x 的方程 f ( x) ? a 都有解; (4) f ( x) 存在反函数 f ?1 ( x) ,且对于任意 x ? R ,总有 f ( x) ? f ?1 ( x) 成立. 14.我们知道,如果定义在某区间上的函数 f ( x) 满足对该区间上的任意两个数 x1 、 x2 ,总有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ) 成立,则称函数 f ( x) 为该区间上的向上凸函数(简 2 2 称上凸). 类比上述定义,对于数列 ? an ? ,如果对任意正整数 n ,总有不等式: an ? an ? 2 ? an ?1 成立,则称数列 ?an ? 为向上凸数列(简称上凸数列). 现有数列 ?an ? 满足如下两个 2
不等式 条件:

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(1)数列 ? an ? 为上凸数列,且 a1 ? 1, a10 ? 28 ;
* (2)对正整数 n ( 1 ? n ? 10, n ? N ) ,都有 an ? bn ? 20 ,其中 bn ? n ? 6n ? 10 .

2

则数列 ? an ? 中的第五项 a5 的取值范围为

?13, 25?

.

二、选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应 编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 4 分,否则一律得零分. 15. “直线 a 与平面 M 没有公共点”是“直线 a 与平面 M 平行”的 ( C ) A.充分不必要条件 C.充要条件 16.在极坐标系中,与点 P (2 , A. (?2 , ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?
3

) 关于极点对称的点的坐标是

( D )

4? ? 2? C. ( 2 , ? ) D. ( 2 , ? ) ) 3 3 3 3 17 .设 O 为坐标原点,复数 z1 、 z2 在复平面内对应的点分别为 P、 Q ,则下列结论中不一定正确 的是 ..... ( D ) )
B. (?2 , A. | z1 ? z 2 | ? | OP ? OQ | C. | z1 | ? | z 2 | ? | OP | ? | OQ | B. | z1 ? z 2 | ? | OP ? OQ | D. | z1 ? z 2 | ? | OP ? OQ | F O M A B C x E y N D L

?

18.如图,在直角坐标平面内有一个边长为 a 、中心在原点 O 的 正六边形 ABCDEF , AB // Ox . 直线 L : y ? kx ? t (k为常数) 与正六边形交于 M、N 两点,记 ?OMN 的面积为 S ,则函数 ( A ) S ? f (t ) 的奇偶性为 A.偶函数 B.奇函数 C.不是奇函数,也不是偶函数 D.奇偶性与 k 有关

三、解答题(本大题满分 78 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写 出必要的步骤. 19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面 ABC 为等腰直角三角形, 且 AB ? AC , AB ? AC ? 2 , AA1 ? 4 , M 是侧棱 CC1 上一点, 设 MC ? h . (1)若 BM ? A1C ,求 h 的值;

A1 B1
A B

C1
M C

? (2)若直线 AM 与平面 ABC 所成的角为 ,求多面体 4 ABM ? A1B1C1 的体积. 解: (1)以 A 为坐标原点,以射线 AB 、 AC 、 AA1 分别为 x 、 y 、

z
A1 B1

z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则 B(2,0,0) , M (0,2, h) , A1 (0,0,4) , C (0,2,0) ????????????????2 分
BM ? (?2,2, h) , A1C ? (0,2,?4) ??????????2 分
由 BM ? A1C 得, BM ? A1C ? 0 ,即 2 ? 2 ? 4h ? 0 解得 h ? 1?????????????????????2 分 (2)由题意知,平面 ABC 的一个法向量为 n ? (0,0,1) ,

C1

A B

M

AM ? (0,2, h) ??????????????????
??????????????2 分 因为直线 AM 与平面 ABC 所成的角为

x

C

y

? 2 h ? ,所以 解得 h ? 2 ???????2 分 2 4 4 ? h2

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1 4 S ?ABC ? MC ? 3 3 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 体积 V ? S ?ABC ? CC1 ? 16 ???????????????????2 分 4 44 所以多面体 ABM ? A1B1C1 的体积V ABM ? A1B1C1 ? 16 ? ? ??????????????2 分 3 3
三棱锥 M ? ABC 的体积 VM ? ABC ? 20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 已知向量 a ? ( 3 sin 3x ,? y ) , b ? (m , cos3x ? m) ( m ? R) ,且 a ? b ? 0 . 设 y ? f ( x) . (1)求 f ( x) 的表达式,并求函数 f ( x) 在 [ (2)若对任意 x ?[0 , 解: (1) a ? b ? 0 ,即 ?

?
9

2? ] 上图像最低点 M 的坐标. 18 9 ,

?

] , f ( x) ? t ? 9 x ? 1 恒成立,求实数 t 的范围.
,??????????????????????2 分

? 3 sin 3 x ? m ? 0 ?? y ? cos 3 x ? m ? 0

消去 m ,得 y ? 即 f ( x) ?

3 sin 3x ? cos3x ,

即 f ( x) 的最小值为 ? 1 ,此时 x ?

3 sin 3x ? cos3x ? 2 sin(3x ? ) ,????????????????2 分 6 ? ? 5? ? 2? ? 1 x ?[ , ] 时, 3x ? ?[ , ] , sin(3x ? ) ?[ ,1] ,??????????2 分 3 6 18 9 6 2 6 2?
9 2? , ? 1) ??????????????2 分 9

?

所以函数 f ( x) 的图像上最低点 M 的坐标是 ( (2) f ( x) ? t ? 9 x ? 1 , 即 2 sin(3x ? 当 x ? [0 ,

?
6

) ? 9x ? t ? 1,

?
9

] 时, 函数 f ( x) ? 2 sin(3x ?

?
6

) 单调递增, y ? 9 x 单调递增,

所以 y ? 2 sin(3x ? 所以 y ? 2 sin(3x ? 为要 2 sin(3x ?

? ?
6 6

) ? 9 x 在 [0 ,

?
9

] 上单调递增,???????????????2 分

) ? 9 x 的最小值为 1, ???????????????????2 分

?
6

) ? 9 x ? t ? 1 恒成立,只要 t ? 1 ? 1 ,所以 t ? 0 为所求.??????2 分

21. (本大题满分 16 分)本大题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满 8 分. 2010 年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行, 对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数 作了一个模拟预测. 为了方便起见,以 10 分钟为一个计算单位,上午 9 点 10 分作为第一个计算人数的时 间,即 n ? 1 ;9 点 20 分作为第二个计算人数的时间,即 n ? 2 ;依此类推 ?? ,把一天内从上午 9 点到 晚上 24 点分成了 90 个计算单位.

对第 n 个时刻进入园区的人数 f (n) 和时间 n ( n ? N )满足以下关系(如图 1) :

?

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3600 (1 ? n ? 24) ? n ? 24 ? ? 3600 ? 3 12 (25 ? n ? 36) , n ? N ? f ( n) ? ? ?? 300 n ? 21600 (37 ? n ? 72) ? 0 (73 ? n ? 90) ?
对第 n 个时刻离开园区的人数 g ( n) 和时间 : n ( n ? N ? )满足以下关系(如图 2)
1

f(n) f (n )
10800 10800

3600 3600 1 1

O 124

36

24

36

72

90 72

n

90 n

g ( n)
24000

(图 1)

0 (1 ? n ? 24) ? ? g (n) ? ?500 n ? 12000 (25 ? n ? 72) , n ? N ? ? 5000 (73 ? n ? 90) ?
(1)试计算在当天下午 3 点整(即 15 点整) 时,世博园区内共有多少游客? (2)请求出当天世博园区内游客总人数最多 的时刻. 解: (1)当 0 ? n ? 24 且 n ? N 时, f (n) ? 3600 , 当 25 ? n ? 36 且 n ? N 时, f (n) ? 3600 ? 3
?
n ?24 12

12000

6000 5000

?

O

24

36

72

90 n

图2 ?????????????????2 分

所以 S36 ? ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (24) ? ? ? ? ? f (25) ? f (26) ? ? ? f (36)?

? 12 3 12 312 ? 1 ? ? ? ? 3600 × 24 ? 3600 × ? 12 3 ?1 ? ? ? ? ? ? 86400 ? 82299.59 ? 168700 ;????????????????????2 分
另一方面,已经离开的游客总人数是:

?

?

T12 ? g (25) ? g (26) ? ? ? g (36) ? 12 × 500 ?

12 ?11 ? 500 ? 39000 ;???????2 分 2

所以 S ? S36 ? T12 ? 168700 ? 39000 ? 129700 (人) 故当天下午 3 点整(即 15 点整)时,世博园区内共有 129700 位游客. ????????2 分 (2)当 f (n) ? g (n) ? 0 时园内游客人数递增;当 f (n) ? g (n) ? 0 时园内游客人数递减. (i)当 1 ? n ? 24 时,园区人数越来越多,人数不是最多的时间;??????????????2 分 (ii)当 25 ? n ? 36 时,令 500 n ? 12000 ? 3600 ,得出 n ? 31 , 即当 25 ? n ? 31 时,进入园区人数多于离开人数,总人数越来越多;???????????2 分 当 32 ? n ? 36 时, 3600 ? 3
n ?24 12

? 500 n ? 12000 ,进入园区人数多于离开人数,总人数越来越

多;?????????????????????????????????????????????2 分 (iii)当 37 ? n ? 72 时, 令 ?300n ? 21600 ? 500n ?12000 时, n ? 42 , 即在下午 4 点整时,园区人数达到最多. 此后离开人数越来越多,故园区内人数最多的时间是下午 4 点整. ??????????????2 分
第 7 页 共 10 页

22. (本大题满分 16 分)本大题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 设复数 ? ? x ? yi ( x , y ? R) 与复平面上点 P ( x, y ) 对应. (1)若 ? 是关于 t 的一元二次方程 t ? 2t ? m ? 0 ( m ? R )的一个虚根,且 | ? |? 2 ,求实数 m 的 值;
2

(2)设 复 数 ? 满 足 条 件 | ? ? 3 | ?(?1) n | ? ? 3 |? 3a ? (?1) n a ( 其 中 n ? N 、 常 数

?

3 ,当 n 为奇数时,动点 P( x 、 y ) 的轨迹为 C1 . 当 n 为偶数时,动点 P( x 、 y ) 的轨迹为 C2 . 且两 a ? ( , 3) ) 2 条曲线都经过点 D(2, 2) ,求轨迹 C1 与 C2 的方程;
(3) 在 (2) 的条件下, 轨迹 C2 上存在点 A , 使点 A 与点 B ? x0 , 0 ? ( x0 ? 0) 的最小距离不小于 求实数 x0 的取值范围. 解: (1) ? 是方程的一个虚根,则 ? 是方程的另一个虚根,????????????????????2 分 则 ? ? ? ? m ?| ? | ? 4 ,所以 m ? 4 ???????????????????????????2 分
2

2 3 , 3

3 (2)方法 1:①当 n 为奇数时, ? ? 3 ? ? ? 3 ? 2a ,常数 a ? ( , 3) ) , 2
轨迹 C1 为双曲线,其方程为

x2 y2 ? ? 1 ;???????????????????????2 分 a2 9 ? a2

3 ②当 n 为偶数时, ? ? 3 ? ? ? 3 ? 4a ,常数 a ? ( , 3) ) , 2
轨迹 C2 为椭圆,其方程为

? 4 ? ? 4a 2 依题意得方程组 ? ? 4 ? a2 ? 3 因为 ? a ? 3 ,所以 a ? 3 , 2

x2 y2 ? ? 1;???????????????????????2 分 4a 2 4a 2 ? 9 2 ? 2 ?1 ?4a 4 ? 45a 2 ? 99 ? 0 4a ? 9 2 ?? 4 解得 a ? 3 , 2 2 a ? 15 a ? 36 ? 0 ? ? ?1 9 ? a2

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1, ? ? 1 .???????????????2 分 3 6 12 3 ?| ? ? 3 | ? | ? ? 3 |? 4a ?| ? ? 3 |? 3a ?? 方法 2:依题意得 ? ????????????????????2 分 ?| ? ? 3 | ? | ? ? 3 |? 2a ? | ? ? 3 |? a
此时轨迹为 C1 与 C2 的方程分别是: 轨迹为 C1 与 C2 都经过点 D(2, 2) ,且点 D(2, 2) 对应的复数 ? ? 2 ? 2i , 代入上式得 a ? 3 ,??????????????????????????????????????2 分

x2 y 2 ? ? 1; 3 6 x2 y2 | ? ? 3 | ? | ? ? 3 |? 4 3 对应的轨迹 C2 是椭圆,方程为 ? ? 1 .???????????????2 分 12 3 x2 y2 ? ? 1 ,设点 A 的坐标为 ? x, y ? , (3)由(2)知,轨迹 C2 : 12 3
即 | ? ? 3 | ? | ? ? 3 |? 2 3 对应的轨迹 C1 是双曲线,方程为 则 | AB |2 ? ( x ? x0 ) 2 ? y 2 ? ( x ? x0 ) 2 ? 3 ?

1 2 x 4 3 3 4 1 2 2 , x ?[?2 3 ,2 3 ] ???????????????2 分 ? x 2 ? 2 x0 x ? x0 ? 3 ? ( x ? x0 ) 2 ? 3 ? x0 4 4 3 3
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3 3 1 2 4 4 时, | AB |2 min ? 3 ? x0 ? ? 0 ? x0 ? 5 x0 ? 2 3 即 0 ? x0 ? 2 3 3 3 3 3 2 3 8 3 4 当 x0 ? 2 3 即 x0 ? 时, | AB |min ?| x0 ? 2 3 |? ,????????????2 分 ? x0 ? 2 3 3 3 8 3 综上 0 ? x0 ? 5 或 x0 ? .????????????????????????????????2 分 3
当0? 23. (本大题满分 18 分)本大题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? log 2 x . (1)若 f ( x) 的反函数是 f
?1

( x) ,解方程: f

?1

(2 x ? 1) ? 3 f

?1

( x) ? 1 ;

(2)当 x ? ( 3m , 3m ? 3 ] ( m ? N ) 时,定义 g ( x) ? f ( x ? 3m) . 设 an ? n ? g ( n) ,数列 {an } 的 前 n 项和为 S n ,求 a1 、 a2 、 a3 、 a4 和 S 3n ; (3) 对于任意 a 、 且a ?b ?c. 当a、 c ?[M , ??) , b、 b 、c 能作为一个三角形的三边长时,f (a) 、

f (b) 、 f (c) 也总能作为某个三角形的三边长,试探究 M 的最小值.
解: (1)?函数 y ? g ( x) 是函数 y ? f (2 x ? 1) 的反函数, f ( x) ? log 2 x

? g ( x) ? (2 x ? 1)( x ? R) ,而 g (2 x) ? 3g ( x) ? 6 ? (22 x ? 1) ? 3 ? (2 x ? 1) ? 6 ,即 22 x ?3 2 ? x? 1 0 0 ?
(2 x ? 2) ? (2 x ? 5) ? 0 ,? 2x ? 5
故:原方程的解为 x ? log 2 5 ????????????????????????????????2 分 (2) 若 1? (3m,3m ? 3] ,? m ? 0 ,? ? (1) ? f (1) ? 0 ,? a1 ? 1? 0 ? 0 若 2 ? (3m,3m ? 3] ,? m ? 0 ,? ? (2) ? f (2) ? 1 ,? a2 ? 2 ?1 ? 2 若 3 ? (3m,3m ? 3] ,? m ? 0 ,? ? (3) ? f (3) ? log 2 3 ,? a3 ? 3log 2 3 若 4 ? (3m,3m ? 3] ,? m ? 1,? ? (4) ? f (1) ? 0 ,? a4 ? 4 ? 0 ? 0 ???????????2 分 当 n ? 3m ? 1(m ? N ) 时, ? (n) ? f (n ? 3m) ? f (1) ? 0 ,? an ? n ? 0 ? 0 当 n ? 3m ? 2(m ? N ) 时, ? (n) ? f (n ? 3m) ? f (2) ? 1 ,? an ? n ?1 ? n 当 n ? 3m ? 3(m ? N ) 时,? (n) ? f (n ? 3m) ? f (3) ? log 2 3 ,? an ? n log 2 3 ???????2 分

1 2

1 2

1 2

??????????????????2 分

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S 3n ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? ? a3n ? 1 ? 0 ? 2 ? 1 ? 3 ? log 2 3 ? 4 ? 0 ? 5 ? 1 ? ? ? 3n log 2 3 ? (2 ? 5 ? 8 ? ? ? 3n ? 1) ? 1 ? (3 ? 6 ? 9 ? ? ? 3n) log 2 3 ? 2 ? 3n ? 1 3 ? 3n ?n? ? n ? log 2 3 2 2

n ?3n ? 1 ? (3n ? 3) log 2 3?????????????????????????????????2 分 2 (3) 由题意知, c ? b ? a ?
若 f (a), f (b), f (c) 能作为某个三角形的三边长 ? log 2 c ? log 2 b ? log 2 a ? bc ? a ????2 分 又: bc ? b ? c ? (b ? 1)(c ? 1) ? 1 当 b ? 2, c ? 2 时,有 (b ? 1)(c ? 1) ? 1 成立,则一定有 bc ? a 成立. ?????????????2 分

? log2 c ? 0, ? c ? 1, 即 0 ? M ? 1 不合题意.
2

???????????????????????2 分

又当 1 ? M ? 2 时,取 b ? M , c ? M , a ? M ,有 M ? M ? M 2 ,即 b ? c ? a ,此时 a, b, c 可作 为一个三角形的三边长,但 log 2 M ? log 2 M ? 2log 2 M ? log 2 M ,即 f (b) ? f (c) ? f (a) ,所
2

以 f (a ) 、 f (b) 、 f (c) 不能作为三角形的三边长. 综上所述, M 的最小值为 2. ????????????????????????????????2 分 解法 2: a ? b ? c ,由题意知, b ? c ? a 若 f (a), f (b), f (c) 能作为某个三角形的三边长 ? log 2 b ? log 2 c ? log 2 a ? bc ? a ????2 分 设 a ? c ? p1 , b ? c ? p2

p1 ? p2 ? 0

若 p1 ? 0 ? p2 ? 0 ,则 a ? b ? c ? 1 , f (a), f (b), f (c) 显然能作为某个三角形三边长???2 分 若 p1 ? 0 ,由(1)知 c ? p1 ? p2 .由(2)知 bc ? a ? c ?

p ? p2 a c ? p1 ? ? 1? 1 b c ? p2 c ? p2

?????2 分

而 c ? p2 ? p1 ,则 0 ?

p1 ? p2 p1 ? p2 p ? p2 p ? p2 p ? ? 1? 1 ? 1? 1 ? 2? 2 ? 2 c ? p2 p1 c ? p2 p1 p1

故: c ? 2 ???????????????????????????????????????????2 分

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