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福建省莆田二十四中2015届高三上学期第二次月考数学(文) Word版含答案


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莆田第二十四中学 2014-2015 学年上学期 高三第二次月考数学(文)试卷
高三文科备课组 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题意要求的。 1.已知向量 a ? (?5, 6) , b ? (6,5) ,则 a 与 b ( A.

垂直 B.不垂直也不平行 ) D.平行且反向 )

C.平行且同向

2. 设集合 M ? {x|x 2 ? x ? 2<0} , 则集合 CR ( M ? N ) ? ( N ? { y|y ? 2 x, x ? M} A. (—2, 4) B. (—1, 2) C. (-?,-1]?[2,+?)

(-?,-2)? (4,+?) D.

?2 x ( x ? 0), 3. 已知函数 f ( x) ? ? 若直线 y ? m 与函数 f ( x) 的图象有两个不同的交 log x ( x ? 0), ? 2
点,则实数 m 的取值范围是( ) m?R A. B. m ? 1 C. m ? 0 D. 0 ? m ? 1 ( )

4.已知数列{ a n }的前 n 项和为 s n ,且, s n ? 2a n ? 2 则 a 2 等于 A. 4 B.2 C.1 D. ? 2

5.在△ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边,若 a 2 ? (b ? c)(c ? b) ,则△ ABC 是 ( ) A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形
6.设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则( A. 若 m ? ? , n ? ? , n ? ? ,则 m ? ? C. 若 m ? n , n ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? )

B. 若 m // ? , ? ? ? ,则 m ? ? D. 若 m ? n , n // ? ,则 m ? ?

7.如图为函数 y=sin(2x+ ? )的图象,则 ? 的值可以为( ? 4? ? 4? 2? A. 或 B. C. D. 3 3 3 3 3



8.已知 l,m 为不同的直线,α,β 为不同的平面,如果 l?α,且 m?β, 那么下列命题中不正确的是( ) A. “l⊥β ”是“α ⊥β ”的充分不必要条件 B. “l⊥m”是“l⊥β ”的必要不充分条件 C. “m∥α ”是“l∥m”的充要条件 D. “l⊥m”是“α ⊥β ”的既不充分也不必要条件 9.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 BD1 的中点,则△PAC 在该 正方体各个面上的射影可能是( ) A.①② B. ①④ C .②③ D.③④

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第 9 题图 ( ) 2? A. 9

第 10 题图

10 .某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为 B.
2? 3

C.

16? 9

D.

? 3

11.若函数 h( x) 在定义域 D 上可导,且其导函数 h?( x) 在 D 上也可导,则称 h( x) 在 D 上存 在二阶导函数, 记作 h??( x) , 即 h??( x) ? ? h?( x) ?? , 当 h?? ? x ? ? 0 在 D 上恒成立时, 称 h( x ) 在 D 上是凸函数.下列函数在 ? 0,

? ?

??

? 上不是凸函数的是( 2 ? ..



A. f ( x) ? sin x ? cos x ? m ? m ? R ? C. f ( x) ? ? x ? 2020 x ? m ? m ? R ?
3
? ? ?

B. f ( x) ? ln x ? 2015 x ? m ? m ? R ? D. f ( x) ? xe ? m ? m ? R ?
x
? ?

12.设 x1 ,x2 ,x3 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量, 且满足 x1 与 x2 不共线,

x1 ? x3 , x1 = x3 ,则 x2 x3 的值一定等于(
A.以 x2 , x3 为两边的三角形面积 C.以 x1 , x2 为两边的三角形面积
? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?


?

B. 以 x1 , x2 为邻边的平行四边形的面积 D. 以 x2 , x3 为邻边的平行四边形的面积
? ?

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 2x ? 3 13. 函数 y ? 的定义域为_________ x
? 3 14. 已知 ? 为钝角,且 cos( ? ? ) ? ? ,则 sin 2? =
2 5



n 15. 数 列 {an} 满 足 a1 + 3a2 + 32a3 + ? + 3n-1an = 3 , 则 数 列 {an} 的 通 项 公 式 为 ________. 16. ?ABC 中, ?A ? 60 0 ,点 M 为边 AC 的中点, BM ? 2 3 ,则 AB ? AC 的最

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大值为________ 三.解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 过程)
17.(本小题满分 12 分) 如图 2,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CC1 ? 平面 ABC ,

A1

E B1

C1

A1 B1 ? BC ,BC ? 1 ,AA1 ? AC ? 2 ,E 、F 分别为 A1C1 、

BC 的中点.
(Ⅰ)求证: C1 F // 平面 EAB ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? BCE 的体积.

A B
图2

C F

18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a2 ? 5 , a4 ? a6 ? 22 (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)若 f ( x) ?

1 , bn ? f (an ) ( n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . x ?1
2

19. (本小题满分 12 分)

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20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 于直线 y ? ? x . (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间和极值.

a ? ln x ,其中 a ? R ,且曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线垂直 x

21. (本小题满分 12 分) 已知长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,其中 AB ? BC ? 2 ,过 A1、C1、B 三 点的的平面截去长方体的一个角后 .得到如图所示的,且这个几何 40 体的体积为 . 3 (1)求几何体 ABCD ? A1C1 D1 的表面积; (2)在线段 BC1 上是否存在点 P ,使直线 A1 P 与 C1 D 垂直, 如果存在,求线段 A1 P 的长,如果不存在,请说明理由.
22. (本小题满分 14 分) 经过多年的运作, “双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴. 为迎接 2014 年“双十一”网购狂欢节,某厂商拟投入适当的广告费,对网上所售产品 进行促销. 经调查测算,该促销产品在“双十一”的销售量 P 万件与促销费用 x 万元满 足P ? 3?

2 (其中 0 ? x ? a ,a 为正常数).已知生产该批产品 P 万件还需投入成 x ?1

本 10 ? 2 P 万元(不含促销费用),产品的销售价格定为 (4 ? 产能力完全能满足市场的销售需求.

20 ) 元/件,假定厂家的生 P

(Ⅰ)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (Ⅱ)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

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高三第二次月考数学(文)试卷参考答案
一、 二、 三、解答题 17.解: (Ⅰ)法一:取 AB 中点 G ,连结 EG , FG ????1 分 ∵ E , F 分别是 A1C1 , BC 的中点
1 ∴ FG ∥ AC ,且 FG ? AC 2
A1 E B1 C1

∵ AC ∥ A1C1 ,且 AC ? A1C1 ∴ FG ∥ EC1 ,且 FG ? EC1 ∴四边形 FGEC1 为平行四边形????4 分 ∴ C1 F ∥ EG 又∵ EG ? 平面 ABE , C1 F ? 平面 ABE ∴ C1 F ∥ 平面 ABE ????6 分 法二:取 AC 中点 H ,连结 C1 H , FH ????1 分 则 C1 E ∥ AH 且 C1 E = AH ∴四边形 C1 EAH 为平行四边形∴ C1 H ∥ EA 又∵ EA ? 平面 ABE , C1 H ? 平面 ABE ∴ C1 H ∥ 平面 ABE ????3 分 ∵ H 、 F 分别为 AC 、 BC 的中点∴ HF ∥ AB 又∵ AB ? 平面 ABE , FH ? 平面 ABE ∴ FH ∥ 平面 ABE ????4 分 又∵ C1 H ? FH ? H , C1 H ? 平面 C1 HF , FH ? 平面 C1 HF ∴平面 C1 HF ∥ 平面 ABE ????5 分 又∵ C1 F ? 平面 C1 HF ∴ C1 F ∥ 平面 ABE ????6 分 (Ⅱ)∵ AA1 ? AC ? 2 , BC ? 1 , AB ? BC ∴ AB ? CA2 ? CB 2 ? 3 ?8 分 ∴三棱锥 A ? BCE 的体积为 VA? BCE ? VE ? ABC ?10 分
1 1 1 3 ?12 分 ? S△ ABC ? AA1 ? ? ? 3 ? 1 ? 2 ? 3 3 2 3
A G F C

B

18.

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19.解: (I) f ( x) ? m ? n ? cos ? x ? sin ? x ? 2 3 sin ? x ? cos ? x
2 2

?? ? ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? 2sin ? 2? x ? ? 6? ?
? ? 0 , ? 函数 f (x) 的周期 T ?

??3 分

又 ? ? 0 ,? 0 ? ? ? 1 .故 ? 的取值范围是 ?? 0 ? ? ? 1?

T ? 2? ? 1 ? ,由题意知 ? ,即 ? 1 , 4 4 2? ? ?

??5 分

(Ⅱ)由(I)知 ? 的最大值为 1,? f (x) ? 2sin(2x ? ) . f (A) ? 1 ,
? 1 ? ? 13 ? 5 ? ? sin(2A ? ) ? .而 ? 2A ? ? ? ,? 2A ? ? ? ,? A ? . ??9 分 6 2 6 6 6 6 6 3 b2 ? c2 ? a 2 1 2 2 由余弦定理可知: cos A ? ? ,? b ? c ? bc ? 1 ,又 b ? c ? 2. 2bc 2

? 6

联立解得: ?

1 3 ?b ? 1 ? S?ABC ? bc ? sin A ? . c ? 1 2 4 ?

??12 分

20.解: (Ⅰ) f ' ( x) ? ?

a 1 ? ??2 分 x2 x

∵曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线垂直于直线 y ? ? x

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∴ f (1) ? ? a ? 1 ? 1 ,∴ a ? ?2 ??4 分
'

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ? 令 f ( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ,
'

2 2 1 2? x ? ln x ,则 f ' ( x) ? 2 ? ? 2 x x x x
又 f ( x) 的定义域为 ? 0, ?? ? ????6 分 ∴ f ( x) 在 ? 0, 2 ? 内为增函数????8 分 ∴ f ( x) 在 ? 2, ?? ? 内为减函数????10 分

当 x ? ? 0, 2 ? 时, f ( x) ? 0
'

当 x ? ? 2, ?? ? 时, f ( x) ? 0
'

由此知函数 f ( x) 在 x ? 2 处取得极大值 f (2) ? ?1 ? ln 2 ????12 分

21.解: (1)

VABCD ? A1C1D1 ? VABCD ? A1B1C1D1 ? VB ? A1B1C1

1 1 10 40 ? 2 ? 2 ? AA1 ? ? ? 2 ? 2 ? AA1 ? AA1 ? , 3 2 3 3 ? AA1 ? 4 .------------------------------------------------------3 分
A1 B ? C1 B ? 2 5 , A1C1 ? 2 2 ,设 A1C1 的中点 H,
所以 BH ? 3 2 ? S ?A1C1B ? 6 ---------------------------5 分

? 表面积 S ? 3 ? 8 ? 4 ? 2 ? 6 ? 36 ----------------------6 分 (2)在平面 CC1 D1 D 中作 D1Q ? C1 D 交 CC1 于 Q ,过 Q 作 QP // CB 交

D1 A1

BC1 于点 P ,则 A1 P ? C1 D .----------------------------------------7 分 因为 A1 D1 ? 平面CC1 D1 D, C1 D ? 平面CC1 D1 D,? C1 D ? A1 D1 ,而 QP // CB, CB // A1 D1 ,? QP // A1 D1 ,


C1 Q P

? C 平面 A1 PQCD A1 D1 D1Q ? D1, ,? C1 D ?? 平面 A1 PQC 1D 1且 1 A1 P ? 平面A1 PQC1 ,? A1 P ? C1 D .???????9 分 ?D1C1Q ∽
C1Q D1C1 ? ,? C1Q ? 1, 又 CD C1C 四边形A1 PQD1 为直角梯形,且高 PQ // BC ,? PQ ? 1 1 BC ? . 4 2
A D C

Rt ?C1CD,?

1 29 D1Q ? 5,? A1 P ? (2 ? ) 2 ? 5 ? .??12 分 2 2 20 22.(1)由题意知, y ? (4 ? ) p ? x ? (10 ? 2 p ) ,----------------------------------------------3 分 p 2 4 将 p ? 3? 代入化简得: y ? 16 ? ? x ( 0 ? x ? a ). ----------------------- 6 分 x ?1 x ?1
(2) y ? ? ?1 ? 当 a ? 1 时,

B

?4

? x ? 1?

2

?

? ? x ? 1? ? 4
2

? x ? 1?

2

??

x2 ? 2x ? 3

? x ? 1?

2

??

? x ? 3?? x ? 1? ? x ? 1?
2

x ? ? 0,1? 时 y ? ? 0 , 所以函数 y ? 16 ? x ?

4 在 ? 0,1? 上单调递增 x ?1

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x ? ?1,a ? 时 y ? ? 0 ,所以函数 y ? 16 ? x ?
当 a ? 1 时, 因为函数 y ? 16 ? x ?

4 在 ?1, a ? 上单调递减 x ?1

促销费用投入 1 万元时,厂家的利润最大;------------------------------------------------------9 分

4 在 ? 0,1? 上单调递增 x ?1

y ? 16 ? x ?

所以 x ? a 时,函数有最大值.即促销费用投入 a 万元时,厂家的利润最大 . 综上,当 a ? 1 时, 促销费用投入 1 万元,厂家的利润最大; 当 a ? 1 时, 促销费用投入 a 万元,厂家的利润最大 -------------------------------12 分 (注:当 a ? 1 时,也可: y ? 17 ? ( 当且仅当

4 在 ? 0, a ? 上单调递增, x ?1

4 4 ? x ? 1) ? 17 ? 2 ? ( x ? 1) ? 13 , x ?1 x ?1

4 ? x ? 1,即x ? 1 时,上式取等号) x ?1

莆田二十四中 2014-2015 学年度上学期
座号:_________________

高三第二次月考数学(文)答题卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
线

10

11

12

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13、 15、 三、解答题(74 分) 14、 16、



17、 (本题满分 12 分)
A1 E B1 C1



A B F

C

姓名:

解:

图2





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18、 (本题满分 12 分) 解:

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19、 (本题满分 12 分) 解:

座位号

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20、 (本题满分 12 分) 解:

21、 (本题满分 12 分) 解:


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