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数列的通项公式与递推公式


? 1.体会递推公式是数列的一种表示方法. ? 2.理解递推公式的含义,能够根据递推公式写 出数列的前几项. ? 3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公 式.

? 1.对通项公式及递推公式的考查是本课的热 点. ? 2.本课时的内容常与函数,不等式结合命题. ? 3.多以选择题,解答题的形式考查.

下列数列{an}中,an

随 n 的变化有何规律? (1)an=3n-1; 1 (2)an=1+n2; (3)an=2.

? 1.数列的单调性 ? 在数列{an}中,若an+1 > n,则{an}是递增数列; a < 若an+1 an,则{an}是递减数列;若an+1 an, = 则{a }是常数列. n ? 2.数列的递推公式 ? 如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且从第 二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项 an-1 (或前几项)(n≥2,n∈N*)间的关系可以 用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个 递推 数列的 公式.

? 3.通项公式与递推公式的区别与联系 区别 通项公 项an是序号n的函数式an =f(n) 式 递推公 已知a1及相邻项间的关 式 系式 联系
都可以 确定 数列

? 1 . 已 知 数 列 {an} , a1 = 1 , an - an - 1 = n - 1(n≥2).则a6=( ) ? A.7 B.11 ? C.16 D.17

? ? ? ? ? ? ? ? ?

解析: ∵a1=1,an-an-1=n-1 ∴a2-a1=1 a3-a2=2 a4-a3=3 a5-a4=4 a6-a5=5 累加得a6-a1=1+2+3+4+5 ∴a6=1+15=16.故选C. 答案: C

? ? ? ? ?

2.数列2,4,6,8,10,?的递推公式是( A.an=an-1+2(n≥2) B.an=2an-1(n≥2) C.a1=2,an=an-1+2(n≥2) D.a1=2,an=2an-1(n≥2)

)

? ? ? ? ? ?

解析: a2-a1=2 a3-a2=2 a4-a3=2 a5-a4=2 ∴an-an-1=2,即an=an-1+2(n≥2),故选C. 答案: C

an+1 1 * 3.已知数列{an}满足 a1>0, a =2(n∈N ),则数列{an} n 是________数列(填“递增”或“递减”).
1 解析: 由已知 a1>0,an+1=2an(n∈N*), 得 an>0(n∈N*). 1 1 答案: 1-an= an-an=- an<0, 递减 又 an+ 2 2 ∴{an}是递减数列.

? 4.已知a1=1,an+1=2an, ? (1)写出数列的前五项; ? (2)求数列的一个通项公式.
解析: (1)由 a1=1,an+1=2an 得 a2=2,a3=4,a4=8,a5=16. an (2)方法一(累乘法):由已知得 =2(n≥2), an-1 a2 a3 a4 an ∴ =2, =2, =2,?, =2, a1 a2 a3 an-1 将这些式子的两边分别相乘得

a2 a3 a4 an an n-1 a1·2·3· an-1=a1=2 (n≥2), a a ?· 又 a1=1=20,∴通项公式为 an=2n 1. 方法二(迭代法): an=2an-1=22an-2=23an-3 =?=2n-1a1=2n-1, 即通项公式为 an=2n 1.
- -

已知数列的递推公式,求前几项

例 1: 已知数列{an}满足an+1=2an+1,n∈N*.
(1)若a1=-1,写出此数列的前4项,并推测数列的通项公式
(2)若a1=1,写出此数列的前4项,并推测数列的通项公式.

解: (1)a1=a2=a3=a4=-1, 可推测数列{an}的通项公式an=-1. (2)a1=1,a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7,a4=2×7+ 1=15.可推测数列{an}的通项公式为an=2n-1.

数列的递推公式是由递推关系式( 递推) 和
首项(基础)两个因素所确定的,即便递推关系完全一样,而首项 不同就可得到两个不同的数列.

1-1.根据下列各数列的首项和递推公式,分别 写出它的前五项,并归纳出通项公式:

(1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N*);
(2)a1=1,an+1= 2an (n∈N*). an+2

解:(1)a1=0,a2=a1+1=1,a3=a2+3=4, a4=a3+5=9,a5=a4+7=16. a1=02;a2=12;a3=22;a4=32;a5=42. 可归纳出 an=(n-1)2. 2a1 2 2a2 1 2a3 2 (2)a1=1,a2= =3,a3= =2,a4= =5 , a1+2 a2+2 a3+2 2a4 1 a5= = . a4+2 3 2 2 1 2 2 a1=1=2;a2=3;a3=2=4;a4=5; 1 2 2 a5=3=6.由此可见:an= . n+1

题型2 已知递推公式,用累加法求通项公式
例 2:已知数列{an}中,a1=5,an=an-1+3(n≥2),求数列 {an}的通项公式. 思维突破:先对an=an-1+3 从2 到n 进行取值,得到(n-1)

个式子,再把这(n-1)个式子相加,消去中间项.
解:由递推关系an=an-1+3(n≥2),得 a2=a1+3,a3=a2+3,?,an=an-1+3.

将以上(n-1)个式子左右两边同时相加,得
a2+a3+?+an-1+an =a1+3+a2+3+a3+3+?+an-1+3, 消去a2+a3+?+an-1,并整理得an=a1+3(n-1). ∵a1=5,∴an=3n+2.

若数列有形如an+1=an+f(n)的递推公式, 且可求f(1)+f(2)+?+f(n),可用累加法求通项公式.

题型3 已知递推公式,用累乘法求通项公式 例3 设{an}是首项为 1 的正项数列,且满足关系:

an=3an+1(n∈N*),求数列{an}的通项公式.
1 解:∵an=3an+1,∴an+1=3an. 对 n 从 1 到 n-1 依次取值,得 1 1 1 1 a2=3a1,a3=3a2,a4=3a3,?,an=3an-1. 将上述(n-1)个等式两边同时相乘,得 1 1 1 1 1 a2·3·4· an-1·n =3a1·a2·a3·a4· 3an-1. a a ?· a 3 3 3 ?·
又∵此数列为正项数列,∴数列中各项均不为零, 即 a2·a3·a4·…·an-1≠0, 1 - ∴an= 3 n 1a1. 1 - 又∵a1=1,∴an= 3 n 1.

1 已知数列{an},a1=1,以后各项由 an=an-1+ n?n-1? (n≥2)给出. (1)写出数列{an}的前 5 项; (2)求数列{an}的通项公式.

由题目可获取以下主要信息: ①an =(an -an -1)+(an -1 -an -2)+?+(a3 -a2)+(a2 -a1) +a1; 1 1 1 ② = - . n?n-1? n-1 n 解答本题运用累加法与裂项相消法即可.

[规范作答]

1 3 (1)a1=1;a2=a1+ =2; 2×1

1 5 1 7 a3=a2+ =3;a4=a3+ =4; 3×2 4×3 1 9 a5=a4+ = . 5×4 5

1 1 (2)由 an=an-1+ 得 an-an-1= (n≥2), n?n-1? n?n-1? ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a3-a2)+(a2-a1) +a1

1 1 1 1 = + +?+ + +1 n?n-1? ?n-1??n-2? 3×2 2×1
? 1 ?1 1? ? 1? ? 1 1 ? 1? ? ? ? ? = ?n-1-n? + ?n-2-n-1? +?+ ?2-3? + ?1-2? +1= ? ? ? ? ? ? ? ?

1 1 2n-1 -n+1+1=2-n= n (n≥2). 2×1-1 2n-1 当 n=1 时,a1=1= ,满足 an= n . 1 2n-1 综上,an= n (n∈N*).

? [题后感悟] 由数列的递推公式求通项公式 是数列的重要问题之一,是高考考查的热 点.已知数列的递推公式求通项公式,可 把每相邻两项的关系列出来,抓住它们的 特点进行适当地处理.形如an-an-1=f(n) 的题目可用累加法.

3.例题中,a1=1,若数列{an}的以后各项由 an=an-1+ 1 (n≥2)给出, 如何求数列的前 5 项与通项公式 an? ?n-1??n+1?
1 解析: ∵a1=1,an=an-1+ (n≥2) ?n-1??n+1? 1 4 1 35 ∴a2=a1+ = ;a3=a2+ = ; 3 1×3 2×4 24 1 61 1 47 a4=a3+ = ;a =a + = . 3×5 40 5 4 4×6 30

1 又 an-an-1= ?n-1??n+1? 1 ? 1? 1 ? =2?n-1-n+1?(n≥2), ? ? ? ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a3-a2)+(a2-a1) +a1 1 1 1 1 1 1 1 1 =2[( - )+( - )+?+(2-4)+(1-3)]+1 n-1 n+1 n-2 n
? 1 1 1 1? ? =2?-n+1-n+2+1?+1 ? ? ?

7n2+3n-2 = (n≥2). 4n2+4n

7×12+3×1-2 当 n=1 时,a1= =1, 4×1+4 7n2+3n-2 ∴n=1 满足 an= . 4n2+4n 7n2+3n-2 综上,an= (n∈N*). 2 4n +4n

? 1.准确理解数列的递推公式的概念 ? 递推公式是间接反映数列的式子,它是数列任 意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,不能 由n直接得出an.用递推公式给出一个数列,必 须给出以下两点: ? (1)“基础”——数列{an}的第1项或前几项; ? (2)递推关系——数列{an}的任一项an与它的前一 项an-1(或前几项)之间的关系,并且这个关系 可以用一个公式来表示.如果两个条件缺一个, 数列就不能确定.

2.用递推公式求数列的通项公式 (1)累加法 当 an-an-1=f(n)满足一定规律时,可用 an=(an-an-1) +(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 来求通项 an. (2)累乘法 an an an-1 a2 当 =g(n)满足一定条件时, 可用 an= · · ?· · a an-1 an-1 an-2 a1 1 来求通项 an.

? 3.与数列递推公式有关的问题 ? 数列递推公式的主要题型: ? (1)根据数列的递推公式和第1项(或其他项) 求数列的前几项; ? (2)根 据数 列的递 推公式 求数列 的通项 公 式.

◎已知 调性. 【错解】

?1? an=a?2?n(a≠0 ? ?

且为常数),试判断数列{an}的单

因为

?1? ?1? - ?1? n n 1 an-an-1=a?2? -a?2? =-a?2?n<0, ? ? ? ? ? ?

所以数列{an}是单调递减数列.

? 【错因】 上述解法中误认为a>0,而对于非 零实数a,应讨论a>0或a<0两种情况.

【正解】

因为

? 1? an-an-1=-a?2?n(n≥2,n∈N*), ? ?

所以当 a>0 时,an-an-1<0,所以 an<an-1, 故数列{an}是递减数列; 当 a<0 时,an-an-1>0,所以 an>an-1, 故数列{an}是递增数列.

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