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命题及其关系、充分条件与必要条件

时间:2016-04-07


一、知识梳理知识点一 命题及四种命题 1、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假 的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断 为假的语句叫假命题. 注意: 命题必须是陈述句,疑问句、祈使句、感叹句 都不是命题。 2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系.

(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性无关. 注意:(补充) 1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题 2、常见词语的否定
原词语 否定词语 原词语 否定词语 原词语 否定词语 等于(=) 都是 不都是 至少有一个 一个也没有 大于(>) 至多有一个 至少有两个 任意两个 某两个 小于(<) 至多有 n 个 至少有 n+1 个 所有的 某些 是 或 且 任意的 某个 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是

知识点二 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件的概念 (1)充分条件:

p?q
即只要有条件



p 是 q 的充分条件 p 成立就足够了,即有它即可。

p 就能充分地保证结论 q 的成立,

亦即要使 q 成立,有 (2)必要条件:

p?q

则q是

p 的必要条件

p ? q ? ?q ? ?p
即没有 q 则没有

p ,亦即 q 是 p 成立的必须要有的

条件,即无它不可。 (补充)(3)充要条件

p ? q且q ? p即 p ? q
则 “

p 、 q 互为充要条件(既是充分又是必要条件) p ”等

p 是 q 的充要条件”也说成“ p 等价于 q ”、

“ q 当且仅当

(补充)2、充要关系的类型 (1)充分但不必要条件 定义:若

p ? q ,但 q ? ? p,
p 是 q 的充分但不必要条件;



(2)必要但不充分条件 定义:若

q ? p ,但 p ? ? q,
p 是 q 的必要但不充分条件



(3)充要条件 定义:若

p ? q ,且 q ? p ,即 p ? q ,
p 、 q 互为充要条件;



(4)既不充分也不必要条件 定义:若

p? ? p, ? q ,且 q ?
p 、 q 互为既不充分也不必要条件.



3、判断充要条件的方法: ①定义法;②集合法;③逆否法(等价转换法) . 逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性 集合法----利用集合的观点概括充分必要条件 若条件 p 以集合 A 的形式出现,结论 q 以集合 B 的 形式出现,则借助集合知识,有助于充要条件的理解和判 断. (1)若 A ? B ,则 p 是 q 的充分但不必要条件

?

(2)若 B ? ? A ,则

p 是 q 的必要但不充分条件

(3)若 A ?

B ,则 p 是 q 的充要条件 (4)若 A ? ? B, ? B ,且 A ? 则 p 是 q 的既不必要也不充分条件
(补充)简记作----若 A、B 具有包含关系,则 (1)小范围是大范围的充分但不必要条件 (2)大范围是小范围的必要但不充分条件

二、例题分析 (一)四种命题及其相互关系 例 1.(1) 命题“若 x, y 都是偶数, 则 x+y 也是偶数”的 逆否命题 是( ) A.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 B.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 C.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 D.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数

例 1.(2)下列命题中正确的是( ) ①“若 a≠0,则 ab≠0”的否命题; ②“正多边形都相似”的逆命题; ③“若 m>0,则 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题;
1

④“若 x- 3 2 是有理数, 则 x 是无理数”的逆否命题. A.①②③④ B.①③④ C.②③④ D.①④

例 1.(3) (2014·陕西卷)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数, 则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假 性的判断依次如下,正确的是( ) A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假 问题 2 四种命题间关系的两条规律 (1)逆命题与否命题互为逆否命题; 互为逆否命题的两个命题同真假. (2)当判断一个命题的真假比较困难时, 可转化为判断它的逆否命题的真假. 同时要关注“特例法”的应用. 例 2.(1)(补充)
(2011 山东文 5)已知 a,b,c∈R,命题“ 若 a ? b ? c =3, 2 2 2 则 a ? b ? c ≥3”的否命题 是( ) ...
2 2 2 (A)若 a+b+c≠3,则 a ? b ? c <3

(B)若 a+b+c=3,则 a 2 ? b2 ? c 2 <3 (C)若 a+b+c≠3,则 a 2 ? b2 ? c 2 ≥3
[来源 XK]

(D)若 a 2 ? b2 ? c 2 ≥3,则 a+b+c=3

例 2.(2)(补充) 命题:“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ”的否定 是:________ ..

注意:命题的否定与否命题的区别
(二)充要条件的判断与证明 例 1.(1)(补充) (07 湖北) 已知 p 是 r 的充分条件而不是 必要条件,q 是 r 的充分条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的 必要条件。 现有下列命题: ① s 是 q 的充要条件; ② p 是q 的充分条件而不是必要条件;③ r 是 q 的必要条件而不是 充分条件; ④ ?p是?s 的必要条件而不是充分条件; ⑤r 是 s 的充分条件而不是必要条件,则正确命题序号是( ) A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D. ②④⑤

p

r

q

注意: s 1、利用定义判断充要条件 方法一 定义法 定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题 ——“若 p,则 q”与“若 q,则 p”的判断, 根据两个命题是否正确,来确定 p 与 q 之间的充要关系. p ? q 则 p 是 q 的充分条件;

q 是 p 的必要条件

2、利用逆否法判断充要条件 方法三 等价转化法 当所给命题的充要条件不好判定时, 可利用四种命题 的关系,对命题进行等价转换.常利用原命题与逆命题的 真假来判断 p 与 q 的关系.令 p 为命题的条件,q 为命题 的结论,具体对应关系如下: ①如果原命题真而逆命题假, 那么 p 是 q 的充分不必要条件; ②如果原命题假而逆命题真, 那么 p 是 q 的必要不充分条件; ③如果原命题真且逆命题真, 那么 p 是 q 的充要条件; ④如果原命题假且逆命题假, 那么 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 简而言之,逆否法----利用互为逆否的两个命题的等价性

例 1.(2)(2014·北京卷)设{an}是公比为 q 的等比数列. 则“q>1”是“{an}为递增数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 例 1.(3)(2014·湖北卷)设 U 为全集. A, B 是集合, 则“存 在集合 C 使得 A ? C,B ? ?UC”是“A∩B= ? ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例 1.(4) 已知 p:-4<k<0,q:函数 y=kx2-kx-1 的值 恒为负,则 p 是 q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 注意: 3、利用集合法判断充要条件 方法二 集合法 涉及方程的解集、不等式的解集、点集等与集合相关 的命题时, 一般采用集合间的包含关系来判定两命题之间 的充要性.具体对应关系如下: 若条件 p 以集合 A 的形式出现,结论 q 以集合 B 的 形式出现,则借助集合知识,有助于充要条件的理解和判 断. (1)若 A ? B ,则 p 是 q 的充分但不必要条件

p 是 q 的必要但不充分条件 (3)若 A ? B ,则 p 是 q 的充要条件 (4)若 A ? ? B, ? B ,且 A ? 则 p 是 q 的既不必要也不充分条件
(2)若 B ? ? A ,则 (补充)简记作----若 A、B 具有包含关系,则 (1)小范围是大范围的充分但不必要条件 (2)大范围是小范围的必要但不充分条件 ?log2x,x>0, 例 2. 例 3 函数 f(x)=? x ?2 -a,x≤0 点的充分不必要条件是( ) 1 1 A.a≤0 或 a>1 B.0<a< C. <a<1 2 2

?

有且只有一个零

D.a<0

练习:(补充) 已知 p : x ? 3 且 y ? 2 , q : x ? y ? 5 ,则 条件。

p 是q 的


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