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2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系


2.1.2空间中直线与直线 之间的位置关系

复习引入: 1、同一平面内不重合两条直线有几种位置关系?
相交直线 平行直线

a o b

a b

(1)相交:有且仅有一个公共点。 (2)平行:在同一平面内没有公共点。 2、在同一平面内,同平行于一条直线的两条直线有什 互相平行 么位置关

系?

问题:空间中的两条直线位置关呢?

六角螺母

D C A B

1.异面直线的定义:
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。

两直线异面的判定1 : 两条直线 既不相交、又不平行.
两直线异面的判定2 : 两条直线不同在任何一个平面内. C D A B

?1? 直线AA1与BC是异面直线 ? 2? 直线MB1与CC1是异面直线 N
C1

M D1
A1

B1

共面直线

2、空间中的直线与直线之间的位置关系: 相交直线: 在同一平面内, 有且只有一个公共点;
平行直线: 在同一平面内,没有公共点;

异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点

课本P44

3.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现

b a
(1)

它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.

A

?

如图:

a

?
?
b
(3)

a

?

b
(2)

练习1:如图所示,正方体的棱所在的直线中, 与直线A1A异面的有哪些?与直线D1B异面的有 哪些? D1 C1 A1 与A1A是异面的有: BC DC B 1C 1 D 1C 1 A 与D1B异面的有: D B B1

C

AA1

AD

A 1B1

B1C1

CC1

CD

练习2:判断下列说法的对错 1、分别在两个平面内的两条直线一定是异 错 面直线;

2、a ? ? , b ? ? , 则a、b一定异面; 错
3、a与b是共面,b与c是共面,则a与c共面


3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交,则直线a, b的位置关系是( D ) (A)一定是异面直线 (B)一定是相交直线 (C)可能是平行直线 (D)可能是异面直线,也可能是相交直线 4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一 条的位置关系是( D ) (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)相交或异面

4、平行公理

课本P45

我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三

条直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规
律是否还成立呢?

公理4:在空间平行于同一条直线的两条 直线互相平行. 即若a∥b,b∥c,则a∥c ———平行线的传递性 推广:在空间中,平行于一条已知直线的所有 直线都互相平行.

问题: 若直线a、b异面,直线b、c异面, 则直线a、c异面吗?

结论:若直线a、b异面,直线b、c异面, 则直线a、c相交或平行或异面
异面直线不具有传递性

例1、已知空间四边形ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点,连结EF, FG,GH,HE,求证:EFGH是一个平行四边形。
证明: 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD
2

A
H

1 同理,FG ∥BD且FG = 2 BD

E
D B F G C

∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形

练习: 如图,A 是平面 BCD 外的一点 G , H 分别是

?ABC , ?ACD 的重心, 求证:GH // BD 。

A

证明:连结 AG, AH 分别交 BC, CD 于 M , N ,连结 MN , ∵G,H分别是⊿ABC,⊿ACD的重 B 心,∴M,N分别是BC,CD的中点, ∴MN//BD 又∵ AG ? AH ? 2
AM AN 3

G M

H D N C

∴ GH//MN,由公理4知GH//BD.

5. 等角定理 课本P46
定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两 个角相等或互补。

A B D E F
C

?
?

5. 等角定理 定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两 个角相等或互补。

A B
C

?

D F E

?

定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别 平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 两直线相交所成的4个角中,其中不大于90?

的角叫做两直线的夹角

6.异面直线所成的角

课本P46

任选 如图所示,a,b是两条异面直线,在空间中任选一点 O, 过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′, 则这两条线所成 的锐角θ (或直角),称为异面直线a,b所成的角。 b a′ a P O b′

a′

θ

O

平 移

若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b

说明: ? 1)异面直线所成角θ的取值范围: (0, 2)与o点的位置无关 ;

2

]

3)为了方便,点O选取应有利于解决问题,可 取特殊点(如a 或 b上);

4)找两条异面直线所成的角,要作平行移动
(平行线),把两条异面直线所成的角,转化为 两条相交直线所成的角.

例2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中,指出下 列各对直线所成的角: D C 1)AB与CC1; 2)A1 B1与AC; A B 3)A1B与D1B1。
1 1 1 1

1)AB与CC1所成的角 9 0° 2)A1 B1与AC所成的角 4 5° 3)A1B与D1B1所成的角 6 0°

D A B

C

练习:1、求直线AD1与B1C所成的角; 2、与直线BB1垂直的棱有多少条?

D1

C1
B1

1)直线AD1与B1C所成的夹角

A1

9 0°
2)与棱BB1垂直的棱有:

D A D1 A1 B

C

相交垂直: A1B1、 AB、B1C1、BC、
异面垂直: A1D1、 AD、 D1C1、 DC、

C1 B1

垂直

相交垂直
异面垂直
A D B C

例3、在正方体ABCD-A’B’C’D’中,棱长为a, E、F分别是棱A’B’,B’C’的中点,求: 平 ? ①异面直线 AD与 EF所成角的大小;45 移 ②异面直线 B’C与 EF所成角的大小;60? 法 ③异面直线 B’D与 EF 所成角的大小. 90? AC∥ A’C’∥ EF, OG ∥B’D B’D 与EF所成的角 即为AC与OG所成的角, 即为∠AOG或其补角.
G

O

练习1:已知长方体ABCD-EFGH中, AB =2 3 , AD =2 3 , AE = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? (1)∵GF∥BC 解: E ∴∠EGF(或其补角)为所求. o Rt△EFG中,求得∠EGF = 45 2 (2) ∵BF∥AE ∴∠FBG(或其补角)为所求, o Rt△BFG中,求得∠FBG = 60
A

H
F
2 3 D 2 3

G

C
B

2、如图,正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求

(1)BE与CG所成的角;

(2)FO与BD所成的角。

解: (1)如图: ∵BF∥CG,∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角,
o o 又 ? BEF中∠EBF =45 , 所以BE与CG所成的角是45

(2)连接FH,
∵HD = EA,EA = FB ∴HD = FB
∥ ∥ ∥

H
E
O

G F

∴四边形BFHD为平行四边形,∴HF∥BD ∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角

连接HA、AF, 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△ o 依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30 所以FO与BD所成的夹角是30o

D

C

A

B

例4:在棱长是a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分 别是BB1,CC1的中点,求直线AE与BF所成的角的余 弦值.

解:
A1

D1

C1 B1

·F ·
B E

D
A

C

归纳求两异面直线所成的角的一般步骤: ①作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角; ②证:证明作出的角就是要求的角; ③计算:求角的值,常利用解三角形. 可用“一作二证三计算”来概括.

▲平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角; ▲三角形的中位线是立体几何中常用到的线段,是解决立体几 何问题最重要的辅助线。

如图所示,空间四边形 ABCD 中,AB=CD,AB⊥CD, E、F 分别为 BC、AD 的中点,求 EF 和 AB 所成的角.

45°

练习: 如图,在四面体ABCD中,E,F分 AE BF 1 别是棱AD,BC上的点,且 ED ? FC ? 2 EF ? 3 ,求异面直线AB和 已知AB=CD=3, CD所成的角. A
E

60°

M

N B F

D C

如图所示的是一个正方体的平面展开图,如果将它 还原为正方体,那么,AB,CD,EF,GH这四条线段 所在直线是异面直线的有几对?

共3对:AB与CD,AB与GH,GH与EF A C C G

? ?

A

G
H E F

D B

E

H D

相交直线有几对? 平行直线有几对?

B?F ?

课堂小结
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移,转化为相交直线所成的角

公理4: 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 空间中,如果两个角的两边分别对应平行, 等角定理:

那么这两个角相等或互补.
一作(找)二证三求

异面直线的求法:

例.不共面的三直线a, b, c交于O点,点M ? a, 点N ? b, 点Q ? b,点P ? c.(任两点都不重合) 求证:直线MN 与PQ为异面直线.

证明:(反证法) 若MN与PQ共面,设此面为? 则M、N、P、Q ?? .

P

c a M

?点N , Q ? b ?b ? ? , 又O ? b ? O ? ? . 又? P ? ? ? c ? ? ,

?

O

Q N b

同理, a ? ? .

a, b, c 即直线 a, b, c 共面,与已知直线 盾. 所以直线MN与PQ面.

不共面矛

练习: 已知:l , m是异面直线,A,B是l上不同的两点,

C, D是m上不同两点.求证:AD,BC是异面直线。
C
m

D
l

A

B

已知 E、E1 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AD、 A1D1 的中点,求证:∠BEC=∠B1E1C1
[证明]如图所示,连接 EE1 ∵E、E1 分别是 AD、A1D1 的中点, ∴AE∥A1E1,且 AE=A1E1

∴四边形 AEE1A1 是平行四边形 ∴AA1∥EE1,且 AA1=EE1 又∵AA1∥BB1,且 EE1=BB1 ∴四边形 BEE1B1 是平行四边形 ∴BE∥B1E1 同理可证 CE∥C1E1 ∴∠BEC=∠B1E1C1

又∠BEC 与∠B1E1C1 的两边方向相同


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