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高中数学函数各类题

时间:2013-02-21


第二章
第一节
1.(2009 年高考江西卷改编)函数 y= A组
2

函数

对函数的进一步认识
-x -3x+4 的定义域为________. x

?-x2-3x+4≥0, ? 解析:? ?x∈[-4,0)∪(0,1] ? ?x≠0,

答案:[-4,0

)∪(0,1] 2.(2010 年绍兴第一次质检)如图,函数 f(x)的图象是曲线 段 OAB, 1 其中点 O, B 的坐标分别为(0,0), A, (1,2), (3,1), f( ) 则 的值等于 f(3) ________. 1 解析:由图象知 f(3)=1,f( )=f(1)=2.答案:2 f(3) ?3x,x≤1, ? 3.(2009 年高考北京卷)已知函数 f(x)=? 若 f(x)=2,则 x=________. ? ?-x,x>1. 解析:依题意得 x≤1 时,3x=2,∴x=log32; 当 x>1 时,-x=2,x=-2(舍去).故 x=log32.答案:log32 足 f[f(x)]>1 4.(2010 年黄冈市高三质检)函数 f:{1, 2}→{1, 2}满 的这样的函数个数有________个. 解析:如图.答案:1 5.(原创题)由等式 x3+a1x2+a2x+a3=(x+1)3+b1(x+1)2+ b2(x + 1) + b3 定义一个映射 f(a1,a2,a3)=(b1,b2,b3),则 f(2,1,-1) =________. 3 2 3 2 解析:由题意知 x +2x +x-1=(x+1) +b1(x+1) +b2(x+1)+b3, 令 x=-1 得:-1=b3; ? ?-1=1+b1+b2+b3 再令 x=0 与 x=1 得? , ?3=8+4b1+2b2+b3 ? 解得 b1=-1,b2=0. 答案:(-1,0,-1)

?1+x ? 6.已知函数 f(x)=? x +1 ? ?2x+3
1
2

(x>1), (-1≤x≤1), (1)求 f(1- 1 ),f{f[f(-2)]}的值;(2)求 f(3x 2-1

(x<-1). 3 -1);(3)若 f(a)= , 求 a. 2 解:f(x)为分段函数,应分段求解. 1 (1)∵1- =1-( 2+1)=- 2<-1,∴f(- 2)=-2 2+3, 2-1 1 3 又∵f(-2)=-1,f[f(-2)]=f(-1)=2,∴f{f[f(-2)]}=1+ = . 2 2 2 1 3x (2)若 3x-1>1,即 x> ,f(3x-1)=1+ = ; 3 3x-1 3x-1 3 若-1≤3x-1≤1,即 0≤x≤ ,f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2; 2 若 3x-1<-1,即 x<0,f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1.

? 2 ∴f(3x-1)=? 9x -6x+2 (0≤x≤ ), 3 ?6x+1 (x<0).
3x 3x-1
2

2 (x> ), 3

3 (3)∵f(a)= ,∴a>1 或-1≤a≤1. 2 1 3 当 a>1 时,有 1+ = ,∴a=2; a 2 3 2 当-1≤a≤1 时,a2+1= ,∴a=± . 2 2 2 ∴a=2 或± . 2 B组 1 1.(2010 年广东江门质检)函数 y= +lg(2x-1)的定义域是________. 3x-2 2 2 解析:由 3x-2>0,2x-1>0,得 x> .答案:{x|x> } 3 3

?-2x+1,(x<-1), ? 2.(2010 年山东枣庄模拟)函数 f(x)=?-3,(-1≤x≤2), ?2x-1,(x>2), ?

3 则 f(f(f( )+5))=_. 2

3 3 解析:∵-1≤ ≤2,∴f( )+5=-3+5=2,∵-1≤2≤2,∴f(2)=-3, 2 2 ∴f(-3)=(-2)×(-3)+1=7.答案:7 3. 定义在区间(-1,1)上的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1), f(x)的解析式为________. 则 解析:∵对任意的 x∈(-1,1),有-x∈(-1,1), 由 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),① 由 2f(-x)-f(x)=lg(-x+1),② ①×2+②消去 f(-x),得 3f(x)=2lg(x+1)+lg(-x+1), 2 1 ∴f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),(-1<x<1). 3 3 2 1 答案:f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),(-1<x<1) 3 3 4. 设函数 y=f(x)满足 f(x+1)=f(x)+1, 则函数 y=f(x)与 y=x 图象交点的个数可能是________ 个. 解析:由 f(x+1)=f(x)+1 可得 f(1)=f(0)+1,f(2)=f(0)+2,f(3)=f(0)+3,?本题中如 果 f(0)=0, 那么 y=f(x)和 y=x 有无数个交点; f(0)≠0, y=f(x)和 y=x 有零个交点. 若 则 答 案:0 或无数 ?2 (x>0) ? 5.设函数 f(x)=? 2 ,若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则 f(x)的解析式为 ? ?x +bx+c (x≤0) f(x)=________,关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为________个. 解析:由题意得
? ?16-4b+c=c ? ? ?4-2b+c=-2 ? ?b=4 ?? , ? ?c=2

?2 ? ∴f(x)=? 2 ? ?x +4x+2

(x>0) (x≤0) .

由数形结合得 f(x)=x 的解的个数有 3 个.
? ?2 答案:? 2 ?x +4x+2 ?

(x>0) (x≤0) 3

1 6. 设函数 f(x)=logax(a>0, a≠1), 函数 g(x)=-x2+bx+c, f(2+ 2)-f( 2+1)= , 若 g(x) 2 的图象过点 A(4, -5)及 B(-2, -5), a=__________, 则 函数 f[g(x)]的定义域为__________. 答案:2 (-1,3) ?x2-4x+6,x≥0 ? 7.(2009 年高考天津卷改编)设函数 f(x)=? ,则不等式 f(x)>f(1)的解集是 ? ?x+6,x<0 ________. 解析:由已知,函数先增后减再增,当 x≥0,f(x)>f(1)=3 时,令 f(x)=3, 解得 x=1,x=3.故 f(x)>f(1)的解集为 0≤x<1 或 x>3. 当 x<0,x+6=3 时,x=-3,故 f(x)>f(1)=3,解得-3<x<0 或 x>3. 综上,f(x)>f(1)的解集为{x|-3<x<1 或 x>3}.答案:{x|-3<x<1 或 x>3} ? x≤0, ?log2(4-x), 8.(2009 年高考山东卷)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? 则 ? ?f(x-1)-f(x-2), x>0, f(3)的值为________. 解析:∵f(3)=f(2)-f(1),又 f(2)=f(1)-f(0),∴f(3)=-f(0),∵f(0)=log24=2,∴f(3) =-2.答案:-2 9.有一个有进水管和出水管的容器,每单位时间进水量是一定的,设从某时刻开始,5 分 钟内只进水,不出水,在随后的 15 分钟内既进水,又出水,得到时间 x 与容器中的水量 y 之间关系如图.再随后,只放水不进水,水放完为止,则这段时间内(即 x≥20),y 与 x 之间 函数的函数关系是________.

解 析 : 设 进 水 速 度 为 a1 升 / 分 钟 , 出 水 速 度 为 a 2 升 / 分 钟 , 则 由 题 意 得
? ? ?5a1=20 ?a1=4 ? ,得? ,则 y=35-3(x-20),得 y=-3x+95,又因为水放完 ?5a1+15(a1-a2)=35 ?a2=3 ? ?

95 95 为止,所以时间为 x≤ ,又知 x≥20,故解析式为 y=-3x+95(20≤x≤ ).答案:y=- 3 3 95 3x+95(20≤x≤ ) 3 10.函数 f(x)= (1-a2)x2+3(1-a)x+6. (1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的定义域为[-2,1],求实数 a 的值. 解:(1)①若 1-a2=0,即 a=± 1, (ⅰ)若 a=1 时,f(x)= 6,定义域为 R,符合题意; (ⅱ)当 a=-1 时,f(x)= 6x+6,定义域为[-1,+∞),不合题意. ②若 1-a2≠0,则 g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6 为二次函数. 由题意知 g(x)≥0 对 x∈R 恒成立, ?1-a2>0, ?-1<a<1, ? ? ∴? ∴? ? ? ?Δ≤0, ?(a-1)(11a+5)≤0, 5 5 ∴- ≤a<1.由①②可得- ≤a≤1. 11 11 (2)由题意知, 不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0 的解集为[-2,1], 显然 1-a2≠0 且-2,1 2 2 是方程(1-a )x +3(1-a)x+6=0 的两个根.

?-2+1=3(1-a), ? a -1 ∴? 6 -2= , ? 1-a ?Δ=[3(1-a)] -24(1-a )>0
2 2 2 2

1-a2<0,

?a=2, ? ∴?a=± 2. ?a<-11或a>1 ? 5

a<-1或a>1, ∴a=2.

11. 已知 f(x+2)=f(x)(x∈R), 并且当 x∈[-1,1]时, f(x)=-x2+1, 求当 x∈[2k-1,2k+1](k∈Z) 时、f(x)的解析式. 解:由 f(x+2)=f(x),可推知 f(x)是以 2 为周期的周期函数.当 x∈[2k-1,2k+1]时,2k -1≤x≤2k+1,-1≤x-2k≤1.∴f(x-2k)=-(x-2k)2+1. 又 f(x)=f(x-2)=f(x-4)=?=f(x-2k), ∴f(x)=-(x-2k)2+1,x∈[2k-1,2k+1],k∈Z. 12.在 2008 年 11 月 4 日珠海航展上,中国自主研制的 ARJ 21 支线客机备受关注,接到了 包括美国在内的多国订单.某工厂有 216 名工人接受了生产 1000 件该支线客机某零部件的 总任务,已知每件零件由 4 个 C 型装置和 3 个 H 型装置配套组成,每个工人每小时能加工 6 个 C 型装置或 3 个 H 型装置.现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置, 设加工 C 型装置的工人有 x 位,他们加工完 C 型装置所需时间为 g(x),其余工人加工完 H 型装置所需时间为 h(x).(单位:h,时间可不为整数) (1)写出 g(x),h(x)的解析式; (2)写出这 216 名工人完成总任务的时间 f(x)的解析式; (3)应怎样分组,才能使完成总任务的时间最少? 2000 1000 解:(1)g(x)= (0<x<216,x∈N*),h(x)= (0<x<216,x∈N*). 3x 216-x

? 3x (2)f(x)=? 1000 ?216-x
2000

(0<x≤86,x∈N*). (3)分别为 86、130 或 87、129. (87≤x<216,x∈N*).

第二节

函数的单调性

A组 1.(2009 年高考福建卷改编)下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2)”的是________. 1 ①f(x)= x ②f(x)=(x-1)2 ③f(x)=ex ④f(x)=ln(x+1) 时 , 都 有 = 1 ] 时 , g(x) 2

解析:∵对任意的 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 f(x1)>f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.答案:① 2.函数 f(x)(x∈R)的图象如右图所示,则函数 g(x) f(logax)(0<a<1)的单调减区间是________. 解析: ∵0<a<1, y=logax 为减函数, ∴logax∈[0, 为减函数. 1 由 0≤logax≤ ? a≤x≤1.答案:[ a,1](或( a,1)) 2

3.函数 y= x-4+ 15-3x 的值域是________. π π 解析:令 x=4+sin2α,α∈[0, ],y=sinα+ 3cosα=2sin(α+ ),∴1≤y≤2. 2 3 答案:[1,2] a 4.已知函数 f(x)=|ex+ x|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增,则实数 a 的取值范围__. e a a 解析:当 a<0,且 ex+ x≥0 时,只需满足 e0+ 0≥0 即可,则-1≤a<0;当 a=0 时, e e a a f(x)=|ex|=ex 符合题意;当 a>0 时,f(x)=ex+ x,则满足 f′(x)=ex- x≥0 在 x∈[0,1]上恒成 e e 立.只需满足 a≤(e2x)min 成立即可,故 a≤1,综上-1≤a≤1. 答案:-1≤a≤1 5.(原创题)如果对于函数 f(x)定义域内任意的 x,都有 f(x)≥M(M 为常数),称 M 为 f(x)的下 界,下界 M 中的最大值叫做 f(x)的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是________.

?1 (x>0) ? ①f(x)=sinx;②f(x)=lgx;③f(x)=e ;④f(x)=?0 (x=0) ?-1 (x<-1) ?
x

解析: ∵sinx≥-1, ∴f(x)=sinx 的下确界为-1, f(x)=sinx 是有下确界的函数; 即 ∵f(x) x =lgx 的值域为(-∞,+∞),∴f(x)=lgx 没有下确界;∴f(x)=e 的值域为(0,+∞),∴f(x) =ex 的下确界为 0,即 f(x)=ex 是有下确界的函数;

?1 (x>0) ?1 (x>0) ? ? ∵f(x)=?0 (x=0) 的下确界为-1.∴f(x)=?0 (x=0) 是有下确界的函数. 答案: ?-1 (x<-1) ?-1 (x<-1) ? ?
①③④ 6.已知函数 f(x)=x2,g(x)=x-1. (1)若存在 x∈R 使 f(x)<b· g(x),求实数 b 的取值范围; (2)设 F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数 m 的取值范围. 解: (1) x∈R, f(x)<b· g(x)? x∈R,2-bx+b<0 ? Δ=(-b)2-4b>0 ? b<0 或 b>4.(2)F(x) x

=x2-mx+1-m2,Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4, 2 5 2 5 ①当 Δ≤0 即- ≤m≤ 时,则必需 5 5

? 2 ≤0 ? 2 5 2 5 ?- 5 ≤m≤ 5
m x1≤0.

2 5 ?- ≤m≤0. 5

2 5 2 5 m ②当 Δ>0 即 m<- 或 m> 时,设方程 F(x)=0 的根为 x1,x2(x1<x2),若 ≥1,则 5 5 2

?m≥1 ?2 ? ? m≥2. ?F(0)=1-m2≤0 ?
m 若 ≤0,则 x2≤0, 2

?m≤0 ?2 2 5 ? ?-1≤m<- .综上所述:-1≤m≤0 或 m≥2. 5 ? ?F(0)=1-m2≥0
B组 1.(2010 年山东东营模拟)下列函数中,单调增区间是(-∞,0]的是________. 1 ①y=- x ②y=-(x-1) ③y=x2-2 ④y=-|x|

解析:由函数 y=-|x|的图象可知其增区间为(-∞,0].答案:④ 2.若函数 f(x)=log2(x2 -ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析:令 g(x)=x2-ax+3a,由题知 g(x)在[2,+∞)上是增函数,且 g(2)>0.

?a≤2, ? ∴?2 ∴-4<a≤4.答案:-4<a≤4 ? ?4-2a+3a>0,
a 3 3.若函数 f(x)=x+ (a>0)在( ,+∞)上是单调增函数,则实数 a 的取值范围__. x 4 a 3 9 解析:∵f(x)=x+ (a>0)在( a,+∞)上为增函数,∴ a≤ ,0<a≤ . x 4 16 9 答案:(0, ] 16 4.(2009 年高考陕西卷改编)定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2), f(x2)-f(x1) 有 <0,则下列结论正确的是________. x2-x1 ①f(3)<f(-2)<f(1) ②f(1)<f(-2)<f(3) ③f(-2)<f(1)<f(3) ④f(3)<f(1)<f(-2)

f(x2)-f(x1) 解析:由已知 <0,得 f(x)在 x∈[0,+∞)上单调递减,由偶函数性质得 f(2)= x2-x1 f(-2),即 f(3)<f(-2)<f(1).答案:①
? x (x<0), ?a 5.(2010 年陕西西安模拟)已知函数 f(x)=? 满足对任意 x1≠x2,都有 ? ?(a-3)x+4a (x≥0)

f(x1)-f(x2) <0 成立,则 a 的取值范围是________. x1-x2

?0<a<1, ? 解析:由题意知,f(x)为减函数,所以?a-3<0, ?a0≥(a-3)×0+4a, ?
6.(2010 年宁夏石嘴山模拟)函数 f(x)的图象是如下图 线段 OAB,点 A 的坐标为(1,2),点 B 的坐标为(3,0), g(x)=f(x)· (x-1),则函数 g(x)的最大值为________.
?2x(x-1) (0≤x<1), ? 解析:g(x)=? ? ?(-x+3)(x-1) (1≤x≤3),

1 解得 0<a≤ . 4 所示的折 定义函数

当 0≤x<1 时,最大值为 0;当 1≤x≤3 时, 在 x=2 取得最大值 1.答案:1 7.(2010 年安徽合肥模拟)已知定义域在[-1,1]上的函数 y=f(x)的值域为[-2,0],则函数 y =f(cos x)的值域是________. 解析: ∵cos x∈[-1,1], 函数 y=f(x)的值域为[-2,0], ∴y=f(cos x)的值域为[-2,0]. 答 案:[-2,0] 8.已知 f(x)=log3x+2,x∈[1,9],则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是________. 解析:∵函数 y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为
?1≤x≤9, ? ? ∴x∈[1,3],令 log3x=t,t∈[0,1], 2 ? ?1≤x ≤9,

∴y=(t+2)2+2t+2=(t+3)2-3,∴当 t=1 时,ymax=13.答案:13 1 9.若函数 f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间(0, )内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单调递增区间 2 为__________. 1 解析:令 μ=2x2+x,当 x∈(0, )时,μ∈(0,1),而此时 f(x)>0 恒成立,∴0<a<1. 2 1 1 1 1 μ=2(x+ )2- ,则减区间为(-∞,- ).而必然有 2x2+x>0,即 x>0 或 x<- .∴f(x) 4 8 4 2 1 1 的单调递增区间为(-∞,- ).答案:(-∞,- ) 2 2 1 1 10.试讨论函数 y=2(log x)2-2log x+1 的单调性. 2 2 1 解:易知函数的定义域为(0,+∞).如果令 u=g(x)=log x,y=f(u)=2u2-2u+1,那 2

1 么原函数 y=f[g(x)]是由 g(x)与 f(u)复合而成的复合函数,而 u=log x 在 x∈(0,+∞)内是减 2 1 1 1 1 函数,y=2u2-2u+1=2(u- )2+ 在 u∈(-∞, )上是减函数,在 u∈( ,+∞)上是增函 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 数. u≤ ,即 log x≤ , x≥ ;u> , 0<x< .由此,从下表讨论复合函数 y=f[g(x)] 又 得 得 2 2 2 2 2 2 的单调性: 单调性 函数 (0, 1 u=log x 2 f(u)=2u2-2u+1 1 1 y=2(log x)2-2log x+1 2 2 ? ? ? ? 2 ) 2 ( 2 ,+∞) 2

1 1 2 2 故函数 y=2(log x)2-2log x+1 在区间(0, )上单调递减,在区间( ,+∞)上单调递增. 2 2 2 2 x1 11.(2010 年广西河池模拟)已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( )=f(x1)-f(x2), x2 且当 x>1 时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的单调性;(3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2. 解:(1)令 x1=x2>0,代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0. x1 (2)任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 >1,由于当 x>1 时,f(x)<0, x2 x1 所以 f( )<0,即 f(x1)-f(x2)<0,因此 f(x1)<f(x2), x2 所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. x1 9 (3)由 f( )=f(x1)-f(x2)得 f( )=f(9)-f(3),而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2. x2 3 由于函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数, 由 f(|x|)<f(9),得|x|>9,∴x>9 或 x<-9.因此不等式的解集为{x|x>9 或 x<-9}. x2+ax+b 12.已知:f(x)=log3 ,x∈(0,+∞),是否存在实数 a,b,使 f(x)同时满足下列三 x 个条件:(1)在(0,1]上是减函数,(2)在[1,+∞)上是增函数,(3)f(x)的最小值是 1.若存在,求 出 a、b;若不存在,说明理由. 解:∵f(x)在(0,1]上是减函数,[1,+∞)上是增函数,∴x=1 时,f(x)最小,log3 =1.即 a+b=2. x12+ax1+b x22+ax2+b 设 0<x1<x2≤1,则 f(x1)>f(x2).即 > 恒成立. x1 x2 (x1-x2)(x1x2-b) 由此得 >0 恒成立. x1x2 又∵x1-x2<0,x1x2>0,∴x1x2-b<0 恒成立,∴b≥1. 1+a+b 1

(x3-x4)(x3x4-b) 设 1≤x3<x4,则 f(x3)<f(x4)恒成立.∴ <0 恒成立. x3x4 ∵x3-x4<0,x3x4>0,∴x3x4>b 恒成立.∴b≤1.由 b≥1 且 b≤1 可知 b=1,∴a=1.∴ 存在 a、b,使 f(x)同时满足三个条件.

第三节

函数的性质

A组 1.设偶函数 f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上单调递增,则 f(a+1)与 f(b+2)的大小关系为 ________. 解析:由 f(x)为偶函数,知 b=0,∴f(x)=loga|x|,又 f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以 0<a<1,1<a+1<2,则 f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以 f(a+1)>f(b+2).答案:f(a+1)>f(b +2) 2.(2010 年广东三校模拟)定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数又是以 2 为周期的周期函数, 则 f(1)+f(4)+f(7)等于________. 解析:f(x)为奇函数,且 x∈R,所以 f(0)=0,由周期为 2 可知,f(4)=0,f(7)=f(1),又 由 f(x+2)=f(x),令 x=-1 得 f(1)=f(-1)=-f(1)?f(1)=0,所以 f(1)+f(4)+f(7)=0.答案: 0 3. (2009 年高考山东卷改编)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x), 且在区间[0,2] 上是增函数,则 f(-25)、f(11)、f(80)的大小关系为________. 解析:因为 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(x-8)=f(x),所以函数是以 8 为周期的周期 函数,则 f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3),又因为 f(x)在 R 上是奇函数,f(0)=0, 得 f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f(1),而由 f(x-4)=-f(x)得 f(11)=f(3)=-f(-3)=- f(1-4)=f(1),又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以 f(1)>f(0)=0,所以-f(1)<0,即 f(- 25)<f(80)<f(11). 答案:f(-25)<f(80)<f(11) 1 4. (2009 年高考辽宁卷改编)已知偶函数 f(x)在区间[0, +∞)上单调增加, 则满足 f(2x-1)<f( ) 3 的 x 取值范围是________. 1 解析:由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|),由 f(|2x-1|)<f( ),再根据 f(x)的单调性得|2x 3 1 1 2 1 2 -1|< ,解得 <x< .答案:( , ) 3 3 3 3 3 5.(原创题)已知定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数,对 x∈R,f(2+x)=f(2-x),当 f(-3)=- 2 时,f(2011)的值为________. 解析: 因为定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数, 所以 f(2+x)=f(2-x)=f(x-2), 故函数 f(x) 是以 4 为周期的函数,所以 f(2011)=f(3+502×4)=f(3)=f(-3)=-2.答案:-2 6.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5,函数 y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函 数,又知 y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在 x=2 时函数取得最小值 -5.(1)证明:f(1)+f(4)=0;(2)求 y=f(x),x∈[1,4]的解析式;(3)求 y=f(x)在[4,9]上的解析 式. 解:(1)证明:∵f(x)是以 5 为周期的周期函数,∴f(4)=f(4-5)=f(-1), 又∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-f(4),∴f(1)+f(4)=0. (2)当 x∈[1,4]时,由题意可设 f(x)=a(x-2)2-5(a>0),由 f(1)+f(4)=0,得 a(1-2)2-5 +a(4-2)2-5=0,∴a=2,∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4). (3)∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(0)=0,又知 y=f(x)在[0,1]上是一次函数,∴可设 f(x)=kx(0≤x≤1),而 f(1)=2(1-2)2-5=-3,∴k=-3,∴当 0≤x≤1 时,f(x)=-3x,从 而当-1≤x<0 时,f(x)=-f(-x)=-3x,故-1≤x≤1 时,f(x)=-3x.∴当 4≤x≤6 时,有 -1≤x-5≤1,∴f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15.当 6<x≤9 时,1<x-5≤4,∴f(x)=f(x -5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5.

? ?-3x+15, 4≤x≤6 ∴f(x)=? . 2 ?2(x-7) -5, 6<x≤9 ?

B组 1.(2009 年高考全国卷Ⅰ改编)函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则 下列结论正确的是________. ①f(x)是偶函数 ②f(x)是奇函数 ③f(x)=f(x+2) ④f(x+3)是奇函数 解析:∵f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1), ∴函数 f(x)关于点(1,0),及点(-1,0)对称,函数 f(x)是周期 T=2[1-(-1)]=4 的周期函 数.∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4),f(-x+3)=-f(x+3),即 f(x+3)是奇函数.答案:④ 3 2.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f(x+ ),且 f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,f(1) 2 +f(2)+?+f(2009)+f(2010)=________. 3 解析:f(x)=-f(x+ )?f(x+3)=f(x),即周期为 3,由 f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,所 2 以 f(1)=-1,f(2)=-1,f(3)=2,所以 f(1)+f(2)+?+f(2009)+f(2010)=f(2008)+f(2009) +f(2010)=f(1)+f(2)+f(3)=0.答案:0 3.(2010 年浙江台州模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(1)=1,若将 f(x)的图象向 右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2010)=________. 解析:f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x),将 f(x)的图象向右平移一个单 位后,得到一个偶函数的图象,则满足 f(-2+x)=-f(x),即 f(x+2)=-f(x),所以周期为 4, f(1)=1,f(2)=f(0)=0,f(3)=-f(1)=-1,f(4)=0,所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,则 f(1) +f(2)+f(3)+?+f(2010)=f(4)×502+f(2)=0.答案:0 4.(2010 年湖南郴州质检)已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上有 f′(x)>0,若 f(-1)=0,那么关于 x 的不等式 xf(x)<0 的解集是________. 解析:在(0,+∞)上有 f′(x)>0,则在(0,+∞)上 f(x)是增函数,在(-∞,0)上是减函 数,又 f(x)在 R 上是偶函数,且 f(-1)=0,∴f(1)=0.从而可知 x∈(-∞,-1)时,f(x)>0; x∈(-1,0)时,f(x)<0;x∈(0,1)时,f(x)<0;x∈(1,+∞)时,f(x)>0.∴不等式的解集为(-∞, -1)∪(0,1)答案:(-∞,-1)∪(0,1). 5.(2009 年高考江西卷改编)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x +2)=f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2009)+f(2010)的值为________. 解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-2009)=f(2009).∵f(x)在 x≥0 时 f(x+2)=f(x),∴f(x)周期 为 2.∴f(-2009)+f(2010)=f(2009)+f(2010)=f(1)+f(0)=log22+log21=0+1=1.答案:1 6.(2010 年江苏苏州模拟)已知函数 f(x)是偶函数,并且对于定义域内任意的 x,满足 f(x+2) 1 =- ,若当 2<x<3 时,f(x)=x,则 f(2009.5)=________. f(x) 1 解析:由 f(x+2)=- ,可得 f(x+4)=f(x),f(2009.5)=f(502×4+1.5)=f(1.5)=f(- f(x) 5 5 2.5)∵f(x)是偶函数,∴f(2009.5)=f(2.5)= .答案: 2 2 7.(2010 年安徽黄山质检)定义在 R 上的函数 f(x)在(-∞,a]上是增函数,函数 y=f(x+a) 是偶函数,当 x1<a,x2>a,且|x1-a|<|x2-a|时,则 f(2a-x1)与 f(x2)的大小关系为________. 解析:∵y=f(x+a)为偶函数,∴y=f(x+a)的图象关于 y 轴对称,∴y=f(x)的图象关于 x=a 对称.又∵f(x)在(-∞,a]上是增函数,∴f(x)在[a,+∞)上是减函数.当 x1<a,x2>a, 且|x1-a|<|x2-a|时, a-x1<x2-a, a<2a-x1<x2, 有 即 ∴f(2a-x1)>f(x2). 答案: f(2a-x1)>f(x2) 8. 已知函数 f(x)为 R 上的奇函数, x≥0 时, 当 f(x)=x(x+1). f(a)=-2, 若 则实数 a=________. 解析:当 x≥0 时,f(x)=x(x+1)>0,由 f(x)为奇函数知 x<0 时,f(x)<0,∴a<0,f(-a) =2,∴-a(-a+1)=2,∴a=2(舍)或 a=-1.答案:-1 9.(2009 年高考山东卷)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上 是增函数.若方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2

+x3+x4=________. 解析:因为定义在 R 上的奇函数,满足 f(x-4)=-f(x),所以 f(4-x)=f(x),因此,函 数图象关于直线 x=2 对称且 f(0)=0.由 f(x-4)=-f(x)知 f(x-8)=f(x), 所以函数是以 8 为周 期的周期函数.又因为 f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以 f(x)在区间[-2,0]上也是增函数, 如图所示,那么方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,不妨设 x1<x2<x3<x4.由对称性知 x1+x2=-12, 3+x4=4, x 所以 x1+x2+x3+x4=-12+4=-8. 答 案:-8

10.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求 f(x)的解析式. 解: ∵f(x)是奇函数, 可得 f(0)=-f(0), ∴f(0)=0.当 x>0 时, -x<0, 由已知 f(-x)=xlg(2 +x),∴-f(x)=xlg(2+x),即 f(x)=-xlg(2+x) (x>0). ?-xlg(2-x) (x<0), ? ∴f(x)=? 即 f(x)=-xlg(2+|x|)(x∈R). ? ?-xlg(2+x) (x≥0). 11.已知函数 f(x),当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)是奇函数;(2)如 1 + 果 x∈R ,f(x)<0,并且 f(1)=- ,试求 f(x)在区间[-2,6]上的最值. 2 解:(1)证明:∴函数定义域为 R,其定义域关于原点对称. ∵f(x+y)=f(x)+f(y),令 y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令 x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0), 得 f(0)=0.∴f(x)+f(-x)=0,得 f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. + (2)法一:设 x,y∈R ,∵f(x+y)=f(x)+f(y),∴f(x+y)-f(x)=f(y). + ∵x∈R ,f(x)<0,∴f(x+y)-f(x)<0,∴f(x+y)<f(x).∵x+y>x,∴f(x)在(0,+∞)上是 减函数.又∵f(x)为奇函数,f(0)=0,∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.∴f(-2)为最大值, 1 f(6)为最小值.∵f(1)=- ,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.∴ 2 所求 f(x)在区间[-2,6]上的最大值为 1,最小值为-3. 法二: x1<x2, x1, 2∈R.则 f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1). 2 设 且 x ∵x -x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.即 f(x)在 R 上单调递减.∴f(-2)为最大值,f(6)为最 1 小值.∵f(1)=- ,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.∴所求 f(x) 2 在区间[-2,6]上的最大值为 1,最小值为-3. 12.已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x). (1)求证:f(x)是周期函数; 1 1 (2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)= x,求使 f(x)=- 在[0,2010]上的所有 x 的 2 2 个数. 解:(1)证明:∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. 1 (2)当 0≤x≤1 时,f(x)= x, 2 1 1 设-1≤x≤0,则 0≤-x≤1,∴f(-x)= (-x)=- x.∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), 2 2 1 1 1 ∴-f(x)=- x,即 f(x)= x.故 f(x)= x(-1≤x≤1) 2 2 2 1 又设 1<x<3,则-1<x-2<1,∴f(x-2)= (x-2), 2 1 又∵f(x-2)=-f(2-x)=-f[(-x)+2]=-[-f(-x)]=-f(x),∴-f(x)= (x-2),∴f(x) 2

1 x (-1≤x≤1) 2 1 =- (x-2)(1<x<3).∴f(x)= 2 1 - (x-2) (1<x<3) 2 1 1 由 f(x)=- ,解得 x=-1.∵f(x)是以 4 为周期的周期函数.故 f(x)=- 的所有 x=4n- 2 2 1 3 1(n∈Z).令 0≤4n-1≤2010,则 ≤n≤502 ,又∵n∈Z,∴1≤n≤502(n∈Z),∴在[0,2010] 4 4 1 上共有 502 个 x 使 f(x)=- . 2

? ? ?

第三章

指数函数和对数函数
第一节 指数函数

A组 - - 1. (2010 年黑龙江哈尔滨模拟)若 a>1, b<0, ab+a b=2 2, ab-a b 的值等于________. 且 则 -b -b 2 -2b - b b 2b 解析:∵a>1,b<0,∴0<a <1,a >1.又∵(a +a ) =a +a +2=8,∴a2b+a 2b= -b 2 -2b -b b 2b b 6,∴(a -a ) =a +a -2=4,∴a -a =-2.答案:-2 2.已知 f(x)=ax+b 的图象如图所示,则 f(3)=________. 解析:由图象知 f(0)=1+b=-2,∴b=-3.又 f(2) = a2 - 3 =0,∴a= 3,则 f(3)=( 3)3-3=3 3-3. 答案:3 3-3 1 -2 3.函数 y=( )2x x 的值域是________. 2 解析:∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1, 1 -2 1 1 ∴( )2x x ≥ .答案:[ ,+∞) 2 2 2 4.(2009 年高考山东卷)若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值 范围是________. 解析:函数 f(x)的零点的个数就是函数 y=ax 与函数 y=x+a 交点的个数,由函数的图 象可知 a>1 时两函数图象有两个交点,0<a<1 时两函数图象有惟一交点,故 a>1. 答案:(1, +∞)

5. (原创题)若函数 f(x)=ax-1(a>0, a≠1)的定义域和值域都是[0,2], 则实数 a 等于________. 0<a<1 a>1 ? ?
2 解析:由题意知?a -1=0

?

?a0-1=2 ?

0 无解或?a -1=0

?

?a2-1=2 ?

?a= 3.答案: 3

-2x+b 6.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数.(1)求 a,b 的值; 2 +a (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. -1+b 解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,即 =0,解得 b=1. 2+a

1 - +1 2 -2x+1 -2+1 从而有 f(x)= x+1 .又由 f(1)=-f(-1)知 =- ,解得 a=2. 2 +a 4+a 1+a -2x+1 1 1 (2)法一:由(1)知 f(x)= x+1 =- + x , 2 2 +1 2 +2 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数,又因 f(x)是奇函数,从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 ?f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因 f(x)是 R 上的减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+k. 1 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0,从而 Δ=4+12k<0,解得 k<- . 3 -2x+1 -2t -2t+1 -22t k+1 法二:由(1)知 f(x)= x+1 ,又由题设条件得 t2 2t+1 + 2- + <0 2 +2 2 - +2 22t k 1+2 即(22t
2-k+1 2 2-

+2)(-2t

2-2t

+1)+(2t

2-2t+1

+2)(-22t
2

2-k

+1)<0

整理得 2

3t2-2t-k

>1,因底数 2>1,故 3t -2t-k>0

1 上式对一切 t∈R 均成立,从而判别式 Δ=4+12k<0,解得 k<- . 3 B组 1.如果函数 f(x)=ax+b-1(a>0 且 a≠1)的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限, 那么一定有________. ①0<a<1 且 b>0 ②0<a<1 且 0<b<1 ③a>1 且 b<0 ④a>1 且 b>0 解析:当 0<a<1 时,把指数函数 f(x)=ax 的图象向下平移,观察可知-1<b-1<0,即 0<b<1.答案:② - 2.(2010 年保定模拟)若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1 x 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是________. 解析:f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2,所以 f(x)在[a,+∞)上为减函数,又 f(x),g(x) ?a≤1 ? 都在[1,2]上为减函数,所以需? ?0<a≤1.答案:(0,1] ? ?a+1>1 3.已知 f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数,且满足以下条件①f (x)=ax· g(x)(a>0,a≠1); f(1) f(-1) 5 ②g(x)≠0;若 + = ,则 a 等于________. g(1) g(-1) 2 f(x) f(1) f(-1) 5 5 1 - 解析:由 f(x)=ax· g(x)得 =ax,所以 + = ?a+a 1= ,解得 a=2 或 .答 g(x) g(1) g(-1) 2 2 2 1 案:2 或 2 - 4.(2010 年北京朝阳模拟)已知函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),其反函数为 f 1(x).若 f(2)=9, - 1 则 f 1( )+f(1)的值是________. 3 1 解析:因为 f(2)=a2=9,且 a>0,∴a=3,则 f(x)=3x= ,∴x=-1, 3 1 1 - - 故 f 1( )=-1.又 f(1)=3,所以 f 1( )+f(1)=2.答案:2 3 3 1x 5.(2010 年山东青岛质检)已知 f(x)=( ) ,若 f(x)的图象关于直线 x=1 对称的图象对应的函 3 数为 g(x),则 g(x)的表达式为________. 解析:设 y=g(x)上任意一点 P(x,y),P(x,y)关于 x=1 的对称点 P′(2-x,y)在 f(x) 1x 1 - - - =( ) 上,∴y=( )2 x=3x 2.答案:y=3x 2(x∈R) 3 3 - ex+e x 6.(2009 年高考山东卷改编)函数 y= x -x的图象大致为________. e -e

e x+ex ex+e x 解析:∵f(-x)= -x x=- x -x=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除④. e -e e -e -x x 2x 2x e +e e +1 e -1+2 2 又∵y= x -x= 2x = 2x =1+ 2x 在(-∞,0)、(0,+∞)上都是减函数, e -e e -1 e -1 e -1 排除②、③.答案:① 1 7.(2009 年高考辽宁卷改编)已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时,f(x)=( )x;当 x<4 时,f(x)=f(x 2 +1),则 f(2+log23)=________. 解析:∵2<3<4=22,∴1<log23<2.∴3<2+log23<4,∴f(2+log23) 1 1 1 1 - =f(3+log23)=f(log224)=( )log224=2 log224=2log2 = .答案: 2 24 24 24 8.(2009 年高考湖南卷改编)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数 K, ?f(x),f(x)≤K, ? 1 - 定义函数 fK(x)=? 取函数 f(x)=2 |x|,当 K= 时,函数 fK(x)的单调递增区间 2 ? ?K, f(x)>K. 为________.





?2 ,x≥1或x≤-1, ? 1 -|x| 解析:由 f(x)=2 ≤ 得 x≥1 或 x≤-1,∴fK(x)=?1 2 ? ?2,-1<x<1.
则单调增区间为(-∞,-1].答案:(-∞,-1] 9.函数 y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],当 a 变动时,函数 b=g(a)的图象可以是 ________.

-|x|

解析:函数 y=2|x|的图象如图. 当 a=-4 时,0≤b≤4, 当 b=4 时,-4≤a≤0,答案:② 10.(2010 年宁夏银川模拟)已知函数 f(x)=a2x+2ax- a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为 14,求实数 a 的值. 解: f(x)=a2x+2ax-1=(ax+1)2-2, ∵x∈[-1,1], 1 x x 1 (1)当 0<a<1 时,a≤a ≤ ,∴当 a = 时,f(x)取 a a 值. 1 1 1 ∴( +1)2-2=14,∴ =3,∴a= . a a 3 1 (2)当 a>1 时, ≤ax≤a,∴当 ax=a 时,f(x)取得最大值. a 1 2 ∴(a+1) -2=14,∴a=3.综上可知,实数 a 的值为 或 3. 3 -2 11.已知函数 f(x)= x-a .(1)求证:f(x)的图象关于点 M(a,-1)对称; 2 +1

1(a>0,且

得 最 大

(2)若 f(x)≥-2x 在 x≥a 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 2 解:(1)证明:设 f(x)的图象 C 上任一点为 P(x,y),则 y=- x-a , 2 +1 P(x,y)关于点 M(a,-1)的对称点为 P′(2a-x,-2-y). - -2·x a 2 -2 -2 2 ∴-2-y=-2+ x-a = x-a = , - - = - - 2 +1 2 +1 1+2 (x a) 2(2a x) a+1 -2 说明点 P′(2a-x,-2-y)也在函数 y= x-a 的图象上,由点 P 的任意性知,f(x)的 2 +1 图象关于点 M(a,-1)对称. -2 2 - (2)由 f(x)≥-2x 得 x-a ≥-2x,则 x-a ≤2x,化为 2x a·x+2x-2≥0,则有(2x)2+ 2 2 +1 2 +1 2a·x-2·a≥0 在 x≥a 上恒成立. g(t)=t2+2a· 2 2 令 t-2·a, 2 则有 g(t)≥0 在 t≥2a 上恒成立. ∵g(t) a 的对称轴在 t=0 的左侧,∴g(t)在 t≥2 上为增函数. ∴g(2a)≥0.∴(2a)2+(2a)2-2·a≥0,∴2a(2a-1)≥0,则 a≥0.即实数 a 的取值范围为 a≥0. 2 - - 12.(2008 年高考江苏)若 f1(x)=3|x p1|,f2(x)=2·|x p2|,x∈R,p1、p2 为常数,且 3 ?f1(x),f1(x)≤f2(x), ? f(x)=? (1)求 f(x)=f1(x)对所有实数 x 成立的充要条件(用 p1、2 表示); p ? ?f2(x),f1(x)>f2(x). (2)设 a,b 是两个实数,满足 a<b,且 p1、p2∈(a,b).若 f(a)=f(b),求证:函数 f(x)在区间 b-a [a,b]上的单调增区间的长度之和为 (闭区间[m,n]的长度定义为 n-m). 2 - - - - - 解:(1)f(x)=f1(x)恒成立?f1(x)≤f2(x)?3|x p1|≤2·|x p2|?3|x p1| |x p2|≤2 3 ?|x-p1|-|x-p2|≤log32.(*)若 p1=p2,则(*)?0≤log32,显然成立;若 p1≠p2,记 g(x)

?p1-p2,x<p2, ? =|x-p1|-|x-p2|,当 p1>p2 时,g(x)=?-2x+p1+p2,p2≤x≤p1, ?p -p ,x>p . ? 2 1 1
所以 g(x)max=p1-p2,故只需 p1-p2≤log32.

?p1-p2,x<p1; ? 当 p1<p2 时,g(x)= ?2x-p1-p2,p1≤x≤p2; ?p -p ,x>p . ? 2 1 2

所以 g(x)max =p2 -p1 ,故只需 p2 -

p1≤log32. 综上所述,f(x)=f1(x)对所有实数 x 成立的充要条件是|p1-p2|≤log32. (2)证明:分两种情形讨论. ①当|p1-p2|≤log32 时, 由(1)知 f(x)=f1(x)(对所有实数 x∈[a, 则由 f(a)=f(b)及 a<p1<b b]), p1-x ? ,x<p1, ?3 a+b 易知 p1= .再由 f1(x)=? x-p1 的单调性可知,f(x)在区间[a,b]上的单调增区间 2 ? ,x≥p1, ?3 a+b b-a 的长度为 b- = . 2 2 - ②当|p1-p2|>log32 时,不妨设 p1<p2,则 p2-p1>log32.于是,当 x≤p1 时,有 f1(x)=3p1 - x <3p2 x<f2(x),从而 f(x)=f1(x). - - - - 当 x≥p2 时,f1(x)=3x p1=3p2 p1·x p2>3log32·x p2=f2(x),从而 f(x)=f2(x). 3 3 - - - - 当 p1<x<p2 时,f1(x)=3x p1 及 f2(x)=2·p2 x,由方程 3x0 p1=2·p2 x0,解得 f1(x)与 f2(x) 3 3 p1+p2 1 图象交点的横坐标为 x0= + log32.① 2 2 1 显然 p1<x0=p2- [(p2-p1)-log32]<p2,这表明 x0 在 p1 与 p2 之间. 2 ? ?f1(x),p1≤x≤x0, 由①易知 f(x)=? ? ?f2(x),x0<x≤p2.

?f1(x),a≤x≤x0, ? 综上可知,在区间[a,b]上,f(x)=? ? ?f2(x),x0<x≤b. 故由函数 f1(x)与 f2(x)的单调性可知,f(x)在区间[a,b]上的单调增区间的长度之和为(x0 - - -p1)+(b-p2),由于 f(a)=f(b),即 3p1 a=2·b p2,得 3

p1+p2=a+b+log32.② b-a 1 故由①②得(x0-p1)+(b-p2)=b- (p1+p2-log32)= . 2 2 b-a 综合①、②可知,f(x)在区间[a,b]上单调增区间的长度之和为 . 2

第二节

对数函数

A组 1.(2009 年高考广东卷改编)若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,其图象经 过点( a,a),则 f(x)=________. 1 1 解析:由题意 f(x)=logax,∴a=logaa2= ,∴f(x)=log1x.答案:log1x 2 2 2 2.(2009 年高考全国卷Ⅱ)设 a=log3π,b=log2 3,c=log3 2,则 a、b、c 的大小关系是 ________. 1 1 1 1 解析: a=log3π>1, b=log2 3= log23∈( , c=log3 2= log32∈(0, ), 1), 故有 a>b>c. 2 2 2 2 答案:a>b>c

?? 1 ? x ?? ? , x ? [?1,0) 3.若函数 f(x)= ?? 4 ? ,则 f(log43)=________. ? x ?4 , x ? [0,1]
解析:0<log43<1,∴f(log43)=4log43=3.答案:3 4. 如图所示, 若函数 f(x)=ax
-1

1 的图象经过点(4,2), 则函数 g(x)=loga 的图象是________. x+1

解析:由已知将点(4,2)代入 y=ax 1,∴2=a4 1,即 a=23>1. 1 是单调递减的,故 g(x)递减且过(0,0)点,∴④正确.答案:④ x+1 1 5.(原创题)已知函数 f(x)=alog2x+blog3x+2,且 f( )=4,则 f(2010)的值为_. 2010 1 1 1 解析:设 F(x)=f(x)-2,即 F(x)=alog2x+blog3x,则 F( )=alog2 +blog3 =-(alog2x x x x 1 1 +blog3x)=-F(x),∴F(2010)=-F( )=-[f( )-2]=-2, 2010 2010 即 f(2010)-2=-2,故 f(2010)=0.答案:0 6.若 f(x)=x2-x+b,且 f(log2a)=b,log2f(a)=2(a>0 且 a≠1).(1)求 f(log2x)的最小值及相 应 x 的值;(2)若 f(log2x)>f(1)且 log2f(x)<f(1),求 x 的取值范围. 解:(1)∵f(x)=x2 -x+b,∴f(log2a)=(log2a)2 -log2a+b=b,∴log2a=1,∴a=2.又 又





1

∵log2f(a)=2,∴f(a)=4.∴a2-a+b=4,∴b=2.∴f(x)=x2-x+2. 1 7 ∴f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=(log2x- )2+ . 2 4 1 7 ∴当 log2x= ,即 x= 2时,f(log2x)有最小值 . 2 4 ?(log2x)2-log2x+2>2, ?log2x<0或log2x>1, ? ? (2)由题意知? ∴? 2 2 ? ? ?log2(x -x+2)<2. ?0<x -x+2<4.
? ?0<x<1或x>2, ∴? ∴0<x<1. ?-1<x<2. ?

B组 x+3 1. (2009 年高考北京卷改编)为了得到函数 y=lg 的图象, 只需把函数 y=lgx 的图象上所 10 有的点________. x+3 解析:∵y=lg =lg(x+3)-1,∴将 y=lgx 的图象上的点向左平移 3 个单位长度得 10 到 y=lg(x+3)的图象,再将 y=lg(x+3)的图象上的点向下平移 1 个单位长度得到 y=lg(x+ 3)-1 的图象. 答案:向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 2.(2010 年安徽黄山质检)对于函数 f(x)=lgx 定义域中任意 x1,x2(x1≠x2)有如下结论:①f(x1 f(x1)-f(x2) x1+x2 f(x1)+f(x2) +x2)=f(x1)+f(x2);②f(x1·2)=f(x1)+f(x2);③ x >0;④f( )< .上述结论 2 2 x1-x2 中正确结论的序号是________. 解析:由运算律 f(x1)+f(x2)=lgx1+lgx2=lgx1x2=f(x1x2),所以②对;因为 f(x)是定义域 x1+x2 x1+x2 f(x1)+f(x2) lgx1+lgx2 x1+x2 内的增函数,所以③正确;f( )=lg , = =lg x1x2,∵ 2 2 2 2 2 x1+x2 ≥ x1x2,且 x1≠x2,∴lg >lg x1x2,所以④错误. 2 答案:②③ 3.(2010 年枣庄第一次质检)对任意实数 a、b,定义运算“*”如下: ? ?a(a≤b) a*b=? ,则函数 f(x)=log1(3x-2)*log2x 的值域为________. ? ?b(a>b) 2 1 解析:在同一直角坐标系中画出 y=log (3x-2)和 y=log2x 两个函数的图象, 2

由图象可得 (0<x≤1) ?log2x ? f(x)=? 1 ?log2(3x-2) (x>1) ?

,值域为(-∞,0].答案:(-∞,0]

4. 已知函数 y=f(x)与 y=ex 互为反函数, 函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称, 若 g(a)=1,则实数 a 的值为________. 解析:由 y=f(x)与 y=ex 互为反函数,得 f(x)=lnx,因为 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象 1 关于 x 轴对称,故有 g(x)=-lnx,g(a)=1?lna=-1,所以 a= . e

1 答案: e 2 5.已知函数 f(x)满足 f( )=log2 x|x|,则 f(x)的解析式是________. x+|x| 2 1 1 解析:由 log2 x|x|有意义可得 x>0,所以,f( )=f( ),log2 x|x|=log2x,即有 f( )= x x x+|x| 1 log2x,故 f(x)=log2 =-log2x.答案:f(x)=-log2x,(x>0) x 6.(2009 年高考辽宁卷改编)若 x1 满足 2x+2x=5,x2 满足 2x+2log2(x-1)=5,则 x1+x2= ________. 解析:由题意 2x1+2x1=5,①2x2+2log2(x2-1)=5,②所以 2x1=5-2x1,x1=log2(5- 2x1),即 2x1=2log2(5-2x1).令 2x1=7-2t,代入上式得 7-2t=2log2(2t-2)=2+2log2(t- T 7 1),∴5-2t=2log2(t-1)与②式比较得 t=x2,于是 2x1=7-2x2.∴x1+x2= .答案: 2 2 7.当 x∈[n,n+1),(n∈N)时,f(x)=n-2,则方 程 f(x)= log2x 根的个数是________. 解析:当 n=0 时,x∈[0,1),f(x)=-2; 当 n=1 时,x∈[1,2),f(x)=-1; 当 n=2 时,x∈[2,3),f(x)=0; 当 n=3 时,x∈[3,4),f(x)=1; 当 n=4 时,x∈[4,5),f(x)=2; 当 n=5 时,x∈[5,6),f(x)=3.答案:2 8.(2010 年福建厦门模拟)已知 lga+lgb=0,则函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图象可 能是________.

1 1 - 解析:由题知,a= ,则 f(x)=( )x=b x,g(x)=-logbx,当 0<b<1 时,f(x)单调递增, b b g(x)单调递增,②正确;当 b>1 时,f(x)单调递减,g(x)单调递减. 答案:② 9. 已知曲线 C:x2+y2=9(x≥0,y≥0)与函数 y=log3x 及函数 y=3x 的图象分别交于点 A(x1, y1),B(x2,y2),则 x12+x22 的值为________. 解析:∵y=log3x 与 y=3x 互为反函数,所以 A 与 B 两点关于 y=x 对称,所以 x1=y2, y1=x2,∴x12+x22=x12+y12=9.答案:9 kx-1 10.已知函数 f(x)=lg (k∈R 且 k>0).(1)求函数 f(x)的定义域; x-1 (2)若函数 f(x)在[10,+∞)上是单调增函数,求 k 的取值范围. 1 x- k kx-1 1 解:(1)由 >0 及 k>0 得 >0,即(x- )(x-1)>0. k x-1 x-1 1 1 ①当 0<k<1 时,x<1 或 x> ;②当 k=1 时,x∈R 且 x≠1;③当 k>1 时,x< 或 x>1.综 k k 1 上可得当 0<k<1 时,函数的定义域为(-∞,1)∪( ,+∞); k 1 当 k≥1 时,函数的定义域为(-∞, )∪(1,+∞). k 10k-1 1 (2)∵f(x)在[10,+∞)上是增函数,∴ >0,∴k> . 10 10-1

kx-1 k-1 又 f(x)=lg =lg(k+ ),故对任意的 x1,x2,当 10≤x1<x2 时,恒有 f(x1)<f(x2), x-1 x-1 k-1 k-1 k-1 k-1 1 1 1 1 即 lg(k+ )<lg(k+ ),∴ < ,∴(k-1)· ( - )<0,又∵ > , x1-1 x2-1 x1-1 x2-1 x1-1 x2-1 x1-1 x2-1 1 ∴k-1<0,∴k<1.综上可知 k∈( ,1). 10 1+x 11.(2010 年天津和平质检)已知 f(x)=loga (a>0,a≠1).(1)求 f(x)的定义域; 1-x (2)判断 f(x)的奇偶性并给予证明;(3)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. 1+x 解:(1)由 >0 ,解得 x∈(-1,1). 1-x 1-x (2)f(-x)=loga =-f(x),且 x∈(-1,1),∴函数 y=f(x)是奇函数. 1+x 1+x 1+x (3)若 a>1, f(x)>0, 则 >1, 解得 0<x<1; 0<a<1, 若 f(x)>0, 0< 则 <1, 解得-1<x<0. 1-x 1-x a - 12.已知函数 f(x)满足 f(logax)= 2 (x-x 1),其中 a>0 且 a≠1. a -1 (1)对于函数 f(x),当 x∈(-1,1)时,f(1-m)+f(1-m2)<0,求实数 m 的集合; (2)x∈(-∞,2)时,f(x)-4 的值恒为负数,求 a 的取值范围. a - 解:令 logax=t(t∈R),则 x=at,∴f(t)= 2 (at-a t), a -1 a a - - ∴f(x)= 2 (ax-a x).∵f(-x)= 2 (a x-ax)=-f(x), a -1 a -1 ∴f(x)是 R 上的奇函数. a - 当 a>1 时, 2 >0,ax 是增函数,-a x 是增函数,∴f(x)是 R 上的增函数; a -1 a - 当 0<a<1, 2 <0,ax 是减函数,-a x 是减函数,∴f(x)是 R 上的增函数. a -1 综上所述,a>0 且 a≠1 时,f(x)是 R 上的增函数. (1)由 f(1-m)+f(1-m2)<0 有 f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1),

?1-m<m -1, ? ∴?-1<1-m<1, ?-1<m2-1<1. ?

2

解得 m∈(1, 2).

(2)∵f(x)是 R 上的增函数,∴f(x)-4 也是 R 上的增函数,由 x<2,得 f(x)<f(2), ∴f(x)-4<f(2)-4,要使 f(x)-4 的值恒为负数,只需 f(2)-4≤0, a - 即 2 (a2-a 2)-4≤0,解得 2- 3≤a≤2+ 3, a -1 ∴a 的取值范围是 2- 3≤a≤2+ 3且 a≠1.

第三节

幂函数与二次函数的性质

A组 1.若 a>1 且 0<b<1,则不等式 alogb(x-3)>1 的解集为________. 解析:∵a>1,0<b<1,∴alogb(x-3)>1?logb(x-3)>0?logb(x-3)>logb1?0<x-3<1? 3<x<4.答案:{x|3<x<4}
2

2.(2010 年广东广州质检)下列图象中,表示 y=x 3 的是________.

解析:y=x = x 是偶函数,∴排除②、③,当 x>1 时,

2 3

3

2

x x
2 3

=x >1,∴x>x ,∴排

1 3

2 3

除①.答案:④ 3.(2010 年江苏海门质检)若 x∈(0,1),则下列结论正确的是__________.
1 1 1 1

①2x>x 2 >lgx

②2x>lgx>x 2
x
1 2

③x 2 >2x>lgx

④lgx>x 2 >2x

解析:∵x∈(0,1),∴2>2 >1,0<x <1,lgx<0.答案:① 4.(2010 年东北三省模拟)函数 f(x)=|4x-x2|-a 恰有 点,则 a=__________. 解析:先画出 f(x)=4x-x2 的图象,再将 x 轴下方 转到 x 轴的上方,如图,y=a 过抛物线顶点时恰有三 故得 a 的值为 4.答案:4
1

三 个 零 的图象翻 个交点,

5. (原创题)方程 x2=logsin1x 的实根个数是__________.
1

解析:在同一坐标系中分别作出函数 y1=x 2 和 logsin1x 的图象,可知只有惟一一个交点.答案:1

y2



6.(2009 年高考江苏卷)设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)· |x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围;(2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h(x)≥1 的解 集. 解:(1)因为 f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0,即 a<0.由 a2≥1 知 a≤-1.因此,a 的取值 范围为(-∞,-1]. (2)记 f(x)的最小值为 g(a).则有 f(x)=2x2+(x-a)|x-a| 2 ?3(x-a)2+2a ,x>a, ① ? 3 3 =? ② (ⅰ)当 a≥0 时,f(-a)=-2a ,由①②知 f(x)≥-2a2,此时 g(a)=-2a2. a 2 2 (ⅱ)当 a<0 时,f( )= a2.若 x>a,则由①知 f(x)≥ a2; 3 3 3 2 2 2 若 x≤a,则 x+a≤2a<0,由②知 f(x)≥2a2> a .此时 g(a)= a2. 3 3
2

?(x+a)2-2a2,x≤a, ?

?-2a , a≥0, ? 综上,得 g(a)=?2a2 ? 3 , a<0. ?

2

6 2 ]∪[ ,+∞)时,解集为(a,+∞); 2 2 a+ 3-2a2 2 2 (ⅱ)当 a∈[- , )时,解集为[ ,+∞); 2 2 3 a- 3-2a2 a+ 3-2a2 6 2 (ⅲ)当 a∈(- ,- )时,解集为(a, ]∪[ ,+∞). 2 2 3 3 B组 1 1.(2010 年江苏无锡模拟)幂函数 y=f(x)的图象经过点(-2,- ),则满足 f(x)=27 的 x 的值 8 是__________. 1 1 - 解析:设幂函数为 y=xα,图象经过点(-2,- ),则- =(-2)α,∴α=-3,∵x 3= 8 8 1 1 27,∴x= .答案: 3 3 2.(2010 年安徽蚌埠质检)已知幂函数 f(x)=xα 的部分对应值如下表: 1 x 1 2 2 f(x) 1 2 则不等式 f(|x|)≤2 的解集是__________. 1 1 2 1 1 解析:由表知 =( )α,∴α= ,∴f(x)=x2.∴(|x|)2≤2,即|x|≤4,故-4≤x≤4. 2 2 2 答案:{x|-4≤x≤4} ?1(x>0), ? 3.(2010 年广东江门质检)设 k∈R,函数 f(x)=?x F(x)=f(x)+kx,x∈R.当 k=1 (3)(ⅰ)当 a∈(-∞,-

? ?ex(x≤0),

时,F(x)的值域为__________. 1 解析:当 x>0 时,F(x)= +x≥2;当 x≤0 时,F(x)=ex+x,根据指数函数与幂函数的 x 单调性,F(x)是单调递增函数,F(x)≤F(0)=1,所以 k=1 时,F(x)的值域为(-∞,1]∪[2, +∞).答案:(-∞,1]∪[2,+∞) ? (x>0), ?-2 4. 设函数 f(x)=? 2 若 f(-4)=f(0), f(-2)=0, 则关于 x 的不等式 f(x)≤1 ?x +bx+c (x≤0), ? 的解集为__________. ? ? ?x≤0, ?x>0, 解析: f(-4)=f(0), b=4.又 f(-2)=0, 由 得 可得 c=4, ? 2 ∴ 或? ?x +4x+4≤1 ?-2≤1, ? ? 可得-3≤x≤-1 或 x>0.答案:{x|-3≤x≤-1 或 x>0} ? 2 ?x +4x, x≥0, 5.(2009 年高考天津卷改编)已知函数 f(x)=? 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 2 ?4x-x , x<0. ? 的取值范围是__________. ? 2 ?x +4x,x≥0, 解析:函数 f(x)=? 的图象如图. 2 ?4x-x ,x<0, ? 知 f(x)在 R 上为增函数. ∵f(2-a2)>f(a),即 2-a2>a. 解得-2<a<1. 答案:-2<a<1 6. (2009 年高考江西卷改编)设函数 f(x)= ax2+bx+c (a<0) 的 定 义 域为 D,若所有点(s,f(t))

(s,t∈D)构成一个正方形区域,则 a 的值为__________. 解析:由题意定义域 D 为不等式 ax2+bx+c≥0 的解集.∵ax2+bx+c=a(x+ 4ac-b2 ,∵a<0,∴0≤y≤ 4a b 2 )+ 2a

4ac-b2 ,∴所有点(s,f(t)),(s,t∈D)构成一个正方形区域, 4a 4ac-b2 意味着方程 ax2+bx+c=0 的两根 x1,x2 应满足|x1-x2|= ,由根与系数的关系知 4a 4ac-b2 b2 4c b2-4ac = 2- = ,∴4a=-a2.∵a<0,∴a=-4.答案:-4 4a a a a2 ?-2+x,x>0, ? 7.(2010 年辽宁沈阳模拟)已知函数 f(x)=? 2 若 f(0)=-2f(-1)=1,则函 ?-x +bx+c,x≤0. ? 数 g(x)=f(x)+x 的零点的个数为__________. 1 1 1 解析:∵f(0)=1,∴c=1.又 f(-1)=- ,∴-1-b+1=- ,∴b= .当 x>0 时,g(x) 2 2 2 2 1 2 3 =-2+2x=0,∴x=1;当 x≤0 时,g(x)=-x + x+1+x=0,∴x - x-1=0,∴x=2(舍) 2 2 1 或 x=- ,所以有两个零点.答案:2 2 8.设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题:①c=0 时,f(x)是奇函数;②b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实根;③f(x)的图象关于(0,c)对称;④方程 f(x)=0 至多有两个实 根.其中正确的命题是__________. 解析:c=0 时,f(-x)=-x|-x|+b(-x)=-x|x|-bx=-f(x),故 f(x)是奇函数;b=0, c>0 时,f(x)=x|x|+c=0,∴x≥0 时,x2+c=0 无解,x<0 时,f(x)=-x2+c=0,∴x=- c, 有一个实数根.答案:①②③ 9.(2010 年湖南长沙质检)对于区间[a,b]上有意义的两个函数 f(x)与 g(x),如果对于区间[a, b]中的任意数 x 均有|f(x)-g(x)|≤1,则称函数 f(x)与 g(x)在区间[a,b]上是密切函数,[a,b] 称为密切区间.若 m(x)=x2-3x+4 与 n(x)=2x-3 在某个区间上是“密切函数”,则它的 一个密切区间可能是________. ①[3,4] ②[2,4] ③[2,3] ④[1,4] 解析:|m(x)-n(x)|≤1?|x2-5x+7|≤1,解此绝对值不等式得 2≤x≤3,故在区间[2,3] 上|m(x)-n(x)|的值域为[0,1],∴|m(x)-n(x)|≤1 在[2,3]上恒成立. 答案:③ 10.设函数 f(x)=x2+2bx+c(c<b<1),f(1)=0,方程 f(x)+1=0 有实根. (1)证明:-3<c≤-1 且 b≥0; (2)若 m 是方程 f(x)+1=0 的一个实根,判断 f(m-4)的正负并加以证明. c+1 c+1 1 解: (1)证明: f(1)=0?1+2b+c=0?b=- .又 c<b<1, c<- 故 <1?-3<c<- . 2 2 3 方程 f(x)+1=0 有实根,即 x2+2bx+c+1=0 有实根,故 Δ=4b2-4(c+1)≥0,即(c+1)2 -4(c+1)≥0?c≥3 或 c≤-1.又 c<b<1,得-3<c≤-1, c+1 由 b=- 知 b≥0. 2 (2)f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-c)(x-1),f(m)=-1<0, ∴c<m<1,∴c-4<m-4<-3<c,∴f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)>0, ∴f(m-4)的符号为正. a 11.(2010 年安徽合肥模拟)设函数 f(x)=ax2+bx+c,且 f(1)=- ,3a>2c>2b,求证:(1)a>0 2 b 3 且-3< <- ;(2)函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点;(3)设 x1、x2 是函数 f(x)的两个零 a 4 57 点,则 2≤|x1-x2|< . 4

a 证明:(1)∵f(1)=a+b+c=- ,∴3a+2b+2c=0. 2 又 3a>2c>2b,∴3a>0,2b<0,∴a>0,b<0.又 2c=-3a-2b,由 3a>2c>2b, b 3 ∴3a>-3a-2b>2b.∵a>0,∴-3< <- . a 4 (2)∵f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=a-c, a ①当 c>0 时,∵a>0,∴f(0)=c>0 且 f(1)=- <0, 2 ∴函数 f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点. a ②当 c≤0 时,∵a>0,∴f(1)=- <0 且 f(2)=a-c>0,∴函数 f(x)在区间(1,2)内至少有 2 一个零点.综合①②得 f(x)在(0,2)内至少有一个零点. (3)∵x1、x2 是函数 f(x)的两个零点,则 x1、x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两个根,∴x1+x2 b c 3 b b 3 b = - , x1x2 = = - - , ∴|x1 - x2| = (x1+x2)2-4x1x2 = (- )2-4(- - ) = a a 2 a a 2 a b b 3 57 ( +2)2+2.∵-3< <- ,∴ 2≤|x1-x2|< . a a 4 4 12.已知函数 f(x)=ax2+4x+b(a<0,a、b∈R),设关于 x 的方程 f(x)=0 的两实根为 x1、x2, 方程 f(x)=x 的两实根为 α、β.(1)若|α-β|=1,求 a、b 的关系式;(2)若 a、b 均为负整数, 且|α-β|=1,求 f(x)的解析式;(3)若 α<1<β<2,求证:(x1+1)(x2+1)<7. 解:(1)由 f(x)=x 得 ax2+3x+b=0(a<0,a、b∈R)有两个不等实根为 α、β, 3 b ∴Δ=9-4ab>0,α+β=- ,α· .由|α-β|=1 得(α-β)2=1, β= a a 9 4b 即(α+β)2-4αβ= 2- =1,∴9-4ab=a2,即 a2+4ab=9(a<0,a、b∈R). a a (2)由(1)得 a(a+4b)=9,∵a、b 均为负整数, ? ? ? ?a=-1 ?a=-9 ?a=-3, ∴? 或? 或? 显然后两种情况不合题意, 应舍去, ? ? ? ?a+4b=-9 ?a+4b=-1 ?a+4b=-3,
?a=-1, ?a=-1, ? ? 从而有? ∴? ? ? ?a+4b=-9, ?b=-2. 故所求函数解析式为 f(x)=-x2+4x-2. 4 b 3 b (3)证明:由已知得 x1+x2=- ,x1·2= ,又由 α<1<β<2 得 α+β=- <3,α· <2, x β= a a a a 1 b 4 ∴- <1,∴(x1+1)(x2+1)=x1·2+(x1+x2)+1= - +1<2+4+1=7, x a a a 即(x1+1)(x2+1)<7. 第四节 函数的图像特征 A组 1.命题甲:已知函数 f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),则 f(x)的图象关于直线 x=1 对称.命题乙: 函数 f(1+x)与函数 f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称.则甲、乙命题正确的是__________. 解析: 可举实例说明如 f(x)=2x, 依次作出函数 f(1+x)与函数 f(1-x)的图象判断. 答案: 甲 x 2.(2010 年济南市高三模拟考试)函数 y= ·x(a>1)的图象的基本形状是_____. a |x|

解析:先去绝对值将已知函数写成分段函数形式,再作图象即可,函数解析式:y=
?ax(x>0) ? ? ,由指数函数图象易知①正确. ? ?-ax(x<0)

答案:① 1 3.已知函数 f(x)=( )x-log3x,若 x0 是方程 f(x)=0 的 5 0<x1<x0,则 f(x1)的值为__________(正负情况). 解 , 且

1 解析:分别作 y=( )x 与 y=log3x 的图象,如图可知, 当 0<x1<x0 5 1x 时,( ) 1>log3x1, 5 ∴f(x1)>0.答案:正值 4.(2009 年高考安徽卷改编)设 a<b,函数 y=(x-a)2(x-b)的图象可能是_____.

解析:∵x>b 时,y>0.由数轴穿根法,从右上向左下穿,奇次穿偶次不穿可知,只有③ 正确.答案:③ 5.(原创题)已知当 x≥0 时,函数 y=x2 与函数 y=2x 的图 象如图 所示, 则当 x≤0 时, 不等式 2x·2≥1 的解集是__________. x 解析:在 2x·2≥1 中,令 x=-t,由 x≤0 得 t≥0, x -t 2 ∴2 · (-t) ≥1,即 t2≥2t,由所给图象得 2≤t≤4, ∴2≤-x≤4,解得-4≤x≤-2. 答案:-4≤x≤-2

?3-x 2, x ∈[-1,2], 6.已知函数 f(x)= ? ? x-3, x ∈ (2,5].
(1)画出 f(x)的图象;(2)写出 f(x)的单调递增区间. 解:(1)函数 f(x)的图象如图所示.,

(2)由图象可知,函数 f(x)的单调递增区间为[-1,0],[2,5]. B组 1-x 1.(2010 年合肥市高三质检)函数 f(x)=ln 的图象只可能是__________. 1+x

2 1+x 在定义域{x|-1<x<1}内是减函数,而 g(x)=lnx 在定义域(0,+∞)内是增函数,从而 f(x)= 1-x 2 ln =ln(-1+ )在定义域{x|-1<x<1}是减函数. 1+x 1+x 答案:① 2.家电下乡政策是应对金融危机、积极扩大内需的重要举措.我市某家电制造集团为尽快 实现家电下乡提出四种运输方案,据预测,这四种方案均能在规定时间 T 内完成预期的运 输任务 Q0,各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如下图所示.在这四种方案中,运 输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是 解析:本题中 f(x)的定义域为{x|-1<x<1},从而排除②③选项.又由于 u(x)=-1+

解析:运输效率是运输总量 Q 与时间 t 的函数的导数,几何意义为图象的切线,切线斜 率的增长表明运输效率的提高,从图形看,②正确. 答案:② 3.如图,过原点 O 的直线与函数 y=2x 的图象交于 A,B 两点,过 B 作 y 轴的垂线交函数 y=4x 的图象于点 C,若 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是__________. 解析:设 C(a,4a),所以 A(a,2a),B(2a,4a),又 O,A,B 三点共线, 2a 4a a a a a 所以 = ,故 4 =2×2 ,所以 2 =0(舍去)或 2 =2,即 a =1, 所以点 a 2a A 的坐标是(1,2).答案:(1,2) 4.已知函数 f(x)=4-x2,g(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞) 上的奇函 数,当 x>0 时,g(x)=log2x,则函数 y=f(x)· g(x)的大致图象为__________.

解析:f(x)为偶函数,g(x)是奇函数,所以 f(x)· g(x)为奇函数,图象关于原点对称,当 x→ +∞时,f(x)→-∞,g(x)→+∞,所以 f(x)· g(x)→-∞ 答案: ② 5.某加油机接到指令,给附近空中一运输机加油.运 输机的 余油量为 Q1(吨),加油机加油箱内余油 Q2(吨),加油时 间为 t 分 钟,Q1、Q2 与时间 t 的函数关系式的图象如右图.若运 输机加 完油后以原来的速度飞行需 11 小时到达目的地,问运 输机的 油料是否够用?________. 解析:加油时间 10 分钟,Q1 由 30 减小为 0.Q2 由 40 增加 到 69,因而 10 分钟时间内运输机用油 1 吨.以后的 11 小时需 用油 66 吨.因 69>66,故运输机的油料够用.答案:够用 6. 已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x), x∈(-1,1]时, 且 f(x)=|x|, y=f(x)与 y=log7x 则 的交点的个数为__________.

解析:由 f(x+2)=f(x)知函数 y=f(x)为周期为 2 的周期函数,作图. 答案:6
m

7.函数 y=x n (m,n∈Z,m≠0,|m|,|n|互质)图象如图所示,

则下列结

论正确的是__________. ①mn>0,m,n 均为奇数 ②mn<0,m,n 一奇一偶 ③mn<0,m,n 均为奇数 ④mn>0,m,n 一奇一偶 解析:由于幂函数在第一象限的图象趋势表明函数在(0,+∞)上单调递减,此时只需 m |m| m 保证 <0, mn<0, y=x n =x- |n| ; 即 有 同时函数只在第一象限有图象, 则函数的定义域为(0, n +∞),此时|n|定为偶数,n 即为偶数,由于两个数互质,则 m 定为奇数.答案:② 8.(2009 年高考福建卷改编)定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0)上, 下列函数中与 f(x)的单调性不同的是 ①y=x2+1 ②y=|x|+1 ? ?2x+1,x≥0 ③y=? 3 ? ?x +1,x<0
?ex,x≥0 ? ④y=? -x ? ?e ,x<0

解析:∵f(x)为偶函数,由图象知,f(x)在(-2,0)上为减函数,而 y=x3+1 在(-∞,0) 上为增函数.答案:③ 9.(2010 年安徽合肥模拟)已知函数图象 C′与 C:y(x+a+1)=ax+a2+1 关于直线 y=x 对 称,且图象 C′关于点(2,-3)对称,则 a 的值为__________. 解析:∵C′与 C:y(x+a+1)=ax+a2+1 关于直线 y=x 对称,

1-a ∴C′为 x(y+a+1)=ay+a2+1.整理得,y+1+a= . x-a ∵C′关于点(2,-3)对称,∴a=2.答案:2 10.作下列函数的图象: 1-|x| 1 (1)y= ;(2)y=|x-2|(x+1);(3)y= ;(4)y=|log2x-1|;(5)y=2|x-1|. |x|-1 |1-x| 1 解:(1)定义域{x|x∈R 且 x≠± 1},且函数是偶函数.又当 x≥0 且 x≠1 时,y= .先 x-1 1 1 作函数 y= 的图象, 并将图象向右平移 1 个单位, 得到函数 y= (x≥0 且 x≠1)的图象(如 x x-1 图(a)所示).

1 又函数是偶函数,作关于 y 轴对称图象,得 y= 的图象(如图(b)所示). |x|-1

?(x-2) -4 (x≥2), (2)函数式可化为 y=? 1 9 ?-(x-2) +4 (x<2).
1
2

9

其图象如图①所示.

2

?1+x ?1-x (3)函数式化为 y=? 1 ?-1 ?

(x<0), (0≤x<1), (x>1). 其图象如图②所示.

(4)先作出 y=log2x 的图象,再将其图象向下平移 1 个单位长度,保留 x 轴上方的部分, 将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方,即得 y=|log2x-1|的图象,如图③所示.

(5)先作出 y=2x 的图象,再将其图象在 y 轴左边的部分去掉,并作出 y 轴右边的图象关 于 y 轴对称的图象,即得 y=2|x|的图象,再将 y=2|x|的图象向右平移 1 个单位长度,即得 y - =2|x 1|的图象,如图④所示. a 1 1 11.已知函数 f(x)=- x (a>0 且 a≠1).(1)证明:函数 y=f(x)的图象关于点( ,- )对 2 2 a+ a 称;(2)求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. 1 1 解:(1)证明:函数 f(x)的定义域为 R,任取一点(x,y),它关于点( ,- )对称的点的坐 2 2

a a ax ,则-1-y=-1+ x =- x .,f(1-x) ax + a a+ a a+ a a a a·x a ax =- 1-x =- =- =- x . a a + a a+ a·x a a+ a + a ax 1 1 ∴-1-y=f(1-x).即函数 y=f(x)的图象关于点( ,- )对称. 2 2 (2)由(1)有-1-f(x)=f(1-x).即 f(x)+f(1-x)=-1. ∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1. 则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. x+b 1 1 3 1 12.设函数 f(x)= (x∈R,且 a≠0,x≠ ).(1)若 a= ,b=- ,指出 f(x)与 g(x)= 的 a 2 2 x ax-1 图象变换关系以及函数 f(x)的图象的对称中心;(2)证明:若 ab+1≠0,则 f(x)的图象必关于 直线 y=x 对称. 3 x- 2 2x-3 1 3 1 解:(1)a= ,b=- ,f(x)= = =2+ , 2 2 1 x-2 x-2 x-1 2 ∴f(x)的图象可由 g(x)的图象沿 x 轴右移 2 个单位,再沿 y 轴上移 2 个单位得到,f(x)的 图象的对称中心为点(2,2). x0+b (2)证明:设 P(x0,y0)为 f(x)图象上任一点,则 y0= ,P(x0,y0)关于 y=x 的对称点 ax0-1 x0+b y0+b 为 P′(y0,x0).由 y0= 得 x0= .∴P′(y0,x0)也在 f(x)的图象上.故 f(x)的图象关 ax0-1 ay0-1 于直线 y=x 对称. 标为(1-x,-1-y).由已知,y=-

第四章

函数应用
A组

?x(x+4),x<0, ? 1.已知函数 f(x)=? 则函数 f(x)的零点个数为________. ? ?x(x-4),x≥0. 解析:只要画出分段函数的图象,就可以知道图象与 x 轴有三个交点,即函数的零点有 3 个.答案:3 2.根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区间为___.

x ex x+2

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3 20.09 5

解析:据题意令 f(x)=ex-x-2,由于 f(1)=e1-1-2=2.72-3<0,f(2)=e2-4=7.39- 4>0,故函数在区间(1,2)内存在零点,即方程在相应区间内有根. 答案:(1,2) 3.偶函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且 f(0)· f(a)<0,则方程 f(x)=0 在区间[-a, a]内根的个数是__________. 解析:由题意函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且 f(0)· f(a)<0,根据零点存在定 理知: 在区间[0, a]内函数 f(x)一定存在惟一零点且 f(0)≠0, 又函数 f(x)是偶函数, 故其在[- a,0]也惟一存在一个零点,所以方程 f(x)=0 在区间[-a,a]内根的个数为 2.答案:2 4.(2009 年高考浙江卷)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该 地区的电网销售电价表如下: 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表

高峰月用电量 (单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部 分 超过 200 的部分

高峰电价 (单位:元/千 瓦时) 0.568 0.598 0.668

低谷月用电量 (单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分

低谷电价 (单位:元/千瓦 时) 0.288 0.318 0.388

若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时, 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元 解析:高峰时段电费 a=50×0.568+(200-50)×0.598=118.1(元). 低谷时段电费 b=50×0.288+(100-50)×0.318=30.3(元). 故该家庭本月应付的电费为 a+b=148.4(元).答案:148.4 5.(原创题)已知 f(x)=|x|+|x-1|,若 g(x)=f(x)-a 的零点个数不为 0,则 a 的最小值为 ________.

解析:作 f(x)的图象,如图,g(x)=f(x)-a=0,即 f(x)=a,当 a=1 时,g(x)有无数个零点; 当 a>1 时,g(x)有 2 个零点;∴a 的最小值为 1.答案:1

?0.1+15lna-x,x≤6, ? 6.(2009 年高考上海卷)有时可用函数 f(x)=? x-4.4 ? ? x-4 ,x>6,
a 描述学习某学科知识的掌握程度,其中 x 表示某学科知识的学习次数(x∈N*),f(x)表示 对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与学科知识有关. (1)证明:当 x≥7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降; (2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121],(121,127], (127,133].当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科. 0.4 解:(1)证明:当 x≥7 时,f(x+1)-f(x)= .而当 x≥7 时,函数 y=(x-3)(x (x-3)(x-4) -4)单调递增,且(x-3)(x-4)>0,故 f(x+1)-f(x)单调递减. ∴当 x≥7,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降. a a (2)由题意可知 0.1+15ln =0.85,整理得 =e0.05, a-6 a-6 e0.05 解得 a= 0.05 · 6≈20.50×6=123.0,123.0∈(121,127]. e -1 由此可知,该学科是乙学科. B组 1.(2010 年浙江温州质检)某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数 据: x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 ________

1 1 ②y=( )x ③y=log2x ④y= (x2-1) 2 2 解析:代入点(2,1.5),(3,4)检验.答案:④ 2.(2010 年安徽省江南十校模拟)函数 f(x)=2x+x-7 的零点所在的区间是____. ①(0,1) ②(1,2) ③(2,3) ④(3,4) 解析:因为 f(0)=-6<0,f(1)=2+1-7=-4<0,f(2)=22+2-7=-1<0,f(3)=23+3 -7=4>0,所以函数的零点在区间(2,3)内.答案:③ 1 3.已知函数 f(x)=x+log2x,则 f(x)在[ ,2]内的零点的个数是______. 2 1 解析:易知 g(x)=x 与 h(x)=log2x 均为增函数,故函数 f(x)为增函数,且 f(2)· )<0,故 f( 2 函数有且只有一个零点.答案:1 4.(2010 年珠海质检)某种细胞在培养过程中正常情况下,时刻 t(单位:分钟)与细胞数 n(单 位:个)的部分数据如下: t 0 20 60 140 ①y=2x-2 n 1 2 8 128
t t

根据表中数据,推测繁殖到 1000 个细胞时的时刻 t 最接近于________分钟. 解析: 由表格中所给数据可以得出 n 与 t 的函数关系为 n=220, n=1000, 220=1000, 令 得 又 210=1024,所以时刻 t 最接近 200 分钟.答案:200 5.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该 1 生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n)= n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过 150 吨,将 2 会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ________年. 1 解析:由题知第一年产量为 a1= ×1×2×3=3;以后各年产量分别为 an=f(n)-f(n- 2 1 1 1)= n· (n+1)(2n+1)- n· (n-1)(2n-1)=3n2(n∈N*), 3n2≤150, 1≤n≤5 2?1≤n≤7, 令 得 2 2 故生产期限最长为 7 年.答案:7 6.(2010 年苏、锡、常、镇四市调研)某市出租车收费标准如下: 起步价为 8 元, 起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费); 超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.85 元收费,另每次 乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了 ________km. 解析:设乘客每次乘坐出租车需付费用为 f(x)元,由题意可得:

8+ , x ∈ (0,3] 1
f(x) =

9+( x-3) ×2.15, x ∈ (3,8] 9+5 ×2.15+( x-8) ×2.85, x ∈ (8, +∞ )

令 f(x)=22.6,解得 x=9.答案:9 7.(2010 年绍兴第一次质检)一位设计师在边长为 3 的正方形 ABCD 中设计图案, 他分别以 A、 3 B、C、D 为圆心,以 b(0<b≤ )为半径画圆,由正方形内的 圆弧与 2 正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富 多彩的 图形,则这些图形中实线部分总长度的最小值为________. 解析:由题意实线部分的总长度为 l=4(3-2b)+2πb= (2π - 8)b+12,l 关于 b 的一次函数的一次项系数 2π-8<0,故 l 关于 b 的函数单调递减,因此,当 b 取最大值时,l 取得最小值, 结合图

3 3 形知,b 的最大值为 ,代入上式得 l 最小=(2π-8)× +12=3π.答案:3π 2 2 8. 在不考虑空气阻力的情况下, 火箭的最大速度 v m/s 和燃料的质量 M kg, 火箭(除燃料外) 的质量 m kg 的函数关系是 v=2000· ln(1+M/m).当燃料质量是火箭质量的________倍时, 火箭的最大速度可达 12 km/s. M M 解析:由题意得 2000ln(1+ )≤12000,∴ ≤e6-1.答案:e6-1 m m

? 1 , x≠1 ? 9. (2010 年浙江省宁波市十校高三联考)定义域为 R 的函数 f(x)=?|x-1| 若关于 x ? ?1, x=1
1 的函数 h(x)=f2(x)+bf(x)+ 有 5 个不同的零点 x1,x2,x3,x4,x5,则 x12+x22+x32+x42+x52 2 等于________. 1 解析:假设关于 t 的方程 t2+bt+ =0 不存在 t=1 的根,则使 h(x)=0 的 f(x)的值也不 2 为 1,而显然方程 f(x)=k 且 k≠1 的根最多有两个,而 h(x)是关于 f(x)的二次函数,因此方程 1 3 h(x)=0 的零点最多有四个, 与已知矛盾, 可见 t=1 时 t2+bt+ =0, 即得 b=- , 所以 h(x) 2 2 3 1 1 =f 2(x)- f(x)+ = (f(x)-1)(2f(x)-1),而方程 f(x)-1=0 的解为 x=0,1,2,方程 2f(x)-1= 2 2 2 0 的解为 x=-1,3,由此可见五根分别为-1,0,1,2,3,因此直接计算得上述五数的平方和为 15.答案:15 10.(2010 年黑龙江哈尔滨模拟)某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的 80%出 售.同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券:, [200, [400,500) [500,700) [700,900) 消费金额(元)的范围 ? 400) 30 60 100 130 获得奖券的金额(元) ? 根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如:购买标价为 400 元的 商品,则消费金额为 320 元,获得的优惠额为:400×0.2+30=110(元).设购买商品的优惠 购买商品获得的优惠额 率= .试问: 商品的标价 (1)购买一件标价为 1000 元的商品,顾客得到的优惠率是多少? 1 (2)对于标价在[500,800)(元)的商品, 顾客购买标价为多少元的商品时, 可得到不小于 的 3 优惠率? 1000×0.2+130 33 33 解:(1) = ,即顾客得到的优惠率是 . 1000 100 100 (2)设商品的标价为 x 元,则 500≤x<800.则消费金额满足 400≤0.8x<640. 0.2x+60 1 当 400≤0.8x<500,即 500≤x<625 时,由 ≥ 解得 x≤450,不合题意;当 x 3 0.2x+100 1 500≤0.8x<640.即 625≤x<800 时,由 ≥ 解得 625≤x≤725. x 3 1 因此,当顾客购买标价在[625,725](元)内的商品时,可得到不小于 的优惠率. 3 11.已知某企业原有员工 2000 人,每人每年可为企业创利润 3.5 万元.为应对国际金融危 机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工 待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的 5%,并且每年给每位待岗

员工发放生活补贴 0.5 万元.据评估,若待岗员工人数为 x,则留岗员工每人每年可为企业 81 多创利润(1- )万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗? 100x 解:设重组后,该企业年利润为 y 万元.依题意得 81 324 y=(2000-x)(3.5+1- )-0.5x=-5(x+ )+9000.81, 100x x 324 ∴y=-5(x+ )+9000.81(0<x≤100 且 x∈N), x 324 y=-5(x+ )+9000.81≤-5×2 324+9000.81=8820.81, x 324 ∴当且仅当 x= ,即 x=18 时取等号,此时 y 取得最大值. x 即为使企业年利润最大,应安排 18 人待岗. 12.(2010 年扬州调研)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆,出 厂价为 13 万元/辆,年销售量为 5000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适 当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为 0.7x,年销售量也相应增加.已知年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售 量. (1)若年销售量增加的比例为 0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成 本增加的比例 x 应在什么范围内? 5 (2)若年销售量 T 关于 x 的函数为 T=3240(-x2+2x+ ),则当 x 为何值时,本年度的年 3 利润最大?最大利润为多少? 解:(1)由题意得:上年度的利润为(13-10)×5000=15000 万元; 本年度每辆车的投入成本为 10×(1+x)万元; 本年度每辆车的出厂价为 13×(1+0.7x)万元; 本年度年销售量为 5000×(1+0.4x)辆. 因此本年度的利润为 y=[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×5000×(1+0.4x)=(3-0.9x)×5000×(1+0.4x)=- 1800x2+1500x+15000(0<x<1). 5 由-1800x2+1500x+15000>15000,解得 0<x< . 6 5 为使本年度的年利润比上年度有所增加,则 0<x< . 6 (2)本年度的利润为 5 f(x)=[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×3240×(-x2+2x+ )=3240×(0.9x3-4.8x2+4.5x+ 3 5), 则 f′(x)=3240×(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3). 5 令 f′(x)=0,解得 x= 或 x=3(舍去). 9 5 当 x∈(0, )时,f′(x)>0,f(x)是增函数; 9 5 当 x∈( ,1)时,f′(x)<0,f(x)是减函数. 9 5 5 ∴当 x= 时,f(x)取得最大值,f(x)max=f( )=20000. 9 9 5 即当 x= 时,本年度的年利润最大,最大利润为 20000 万元 9

第五章三角函数

第一节

角的概念的推广与弧度制
A组 π 动 弧长 3

1.点 P 从(-1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 顺时针方向运 到达 Q 点,则 Q 点的坐标为________.

π 解析:由于点 P 从(-1,0)出发,顺时针方向运动 弧 长到达 3 2π 2π 1 3 Q 点, 如图, 因此 Q 点的坐标为(cos , sin ), Q(- , 即 ).答 3 3 2 2 1 3 案:(- , ) 2 2 2.设 α 为第四象限角,则下列函数值一定是负值的是________. α α α ①tan ②sin ③cos ④cos2α 2 2 2 α α 解析:α 为第四象限角,则 为第二、四象限角,因此 tan <0 恒成立,应填①,其余三 2 2 个符号可正可负.答案:① 3.(2008 年高考全国卷Ⅱ改编)若 sinα<0 且 tanα>0,则 α 是第_______象限的角. 答案:三 |sinx| cosx |tanx| 4.函数 y= + + 的值域为________. sinx |cosx| tanx 解析:当 x 为第一象限角时,sinx>0,cosx>0,tanx>0,y=3; 当 x 为第二象限角时,sinx>0,cosx<0,tanx<0,y=-1; 当 x 为第三象限角时,sinx<0,cosx<0,tanx>0,y=-1; 当 x 为第四象限角时,sinx<0,cosx>0,tanx<0,y=-1.答案:{-1,3} 3 5. (原创题)若一个 α 角的终边上有一点 P(-4, 且 sinα· a), cosα= , a 的值为________. 则 4 3 解析:依题意可知 α 角的终边在第三象限,点 P(-4,a)在其终边上且 sinα· cosα= , 4 3 4 4 易得 tanα= 3或 ,则 a=-4 3或- 3.答案:-4 3或- 3 3 3 3 2 6.已知角 α 的终边上的一点 P 的坐标为(- 3,y)(y≠0),且 sinα= y,求 cosα,tanα 的 4 值. 2 y 解:因为 sinα= y= ,所以 y2=5, 4 (- 3)2+y2 15 ; 3 15 . 3 B组 1.已知角 α 的终边过点 P(a,|a|),且 a≠0,则 sinα 的值为________. 2 解析:当 a>0 时,点 P(a,a)在第一象限,sinα= ; 2 2 2 当 a<0 时,点 P(a,-a)在第二象限,sinα= .答案: 2 2 2.已知扇形的周长为 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是_____. 解析:设扇形的圆心角为 α rad,半径为 R,则 当 y= 5时,cosα=- 6 ,tanα=- 4 6 当 y=- 5时,cosα=- ,tanα= 4

R=6 ?2R+α· ? ?1 2 ,解得 α=1 或 α=4.答案:1 或 4 ?2R · ? α=2 3.如果一扇形的圆心角为 120° ,半径等于 10 cm,则扇形的面积为________. 1 2 1 2 100 100 解析:S= |α|r = × π×100= π(cm2).答案: π cm2 2 2 3 3 3 θ 4.若角 θ 的终边与 168° 角的终边相同,则在 0° ~360° 内终边与 角的终边相同的角的集合 3 为__________.答案:{56° ,176° ,296° } 5.若 α=k· +45° 180° (k∈Z),则 α 是第________象限. 解析:当 k=2m+1(m∈Z)时,α=2m· +225° 180° =m· +225° 360° ,故 α 为第三象限角; 当 k=2m(m∈Z)时,α=m· +45° 360° ,故 α 为第一象限角. 答案:一或三 6.设角 α 的终边经过点 P(-6a,-8a)(a≠0),则 sinα-cosα 的值是________. 解析:∵x=-6a,y=-8a,∴r= (-6a)2+(-8a)2=10|a|, y x -8a+6a -a 1 1 ∴sinα-cosα= - = = =± .答案:± r r 10|a| 5|a| 5 5 y 7.(2010 年北京东城区质检)若点 A(x,y)是 300° 角终边上异于原点的一点,则 的值为 x ________. y 解析: =tan300° =-tan60° =- 3.答案:- 3 x 3π 3π 8.(2010 年深圳调研)已知点 P(sin ,cos )落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为 4 4 ________. 3π cos 4 3π 3π 解析:由 sin >0,cos <0 知角 θ 在第四象限,∵tanθ= =-1,θ∈[0,2π),∴θ 4 4 3π sin 4 7π 7π = .答案: 4 4 2 9.已知角 α 的始边在 x 轴的非负半轴上,终边在直线 y=kx 上,若 sinα= ,且 cosα<0, 5 则 k 的值为________. 解析:设 α 终边上任一点 P(x,y),且|OP|≠0,∴y=kx, ∴r= x2+(kx)2= 1+k2|x|.又 sinα>0,cosα<0.∴x<0,y>0, y kx k 2 ∴r=- 1+k2x,且 k<0.∴sinα= = =- . 2,又 sinα= r - 1+k2x 5 1+k k 2 ∴- ,∴k=-2.答案:-2 2= 5 1+k 10.已知一扇形的中心角是 α,所在圆的半径是 R.若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及 该弧所在的弓形面积. π 10 解:设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,∵α=60° ,R=10,∴l= π(cm), = 3 3 1 10 1 π 3 S 弓=S 扇-S△= · π·10- · 2sin60° 10 =50( - )(cm2). 2 3 2 3 2 11.扇形 AOB 的周长为 8 cm. (1)若这个扇形的面积为 3 cm2,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 解:设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,圆心角为 α,

?2r+l=8, ?r=3, ?r=1 ? ? ? (1)由题意可得?1 解得? 或? ? ? ?l=2, ?l=6, ?2lr=3, ?
l 2 l ∴α= = 或 α= =6. r 3 r 8 1 1 64 32 .∴S 扇= αr2= α· = ≤4, 2 2 (2+α)2 4 2+α α+ +4 α 4 8 当且仅当 α= ,即 α=2 时,扇形面积取得最大值 4.此时,r= =2 (cm), α 2+2 ∴|AB|=2×2sin1=4 sin1 (cm). 12.(1)角 α 的终边上一点 P(4t,-3t)(t≠0),求 2sinα+cosα 的值; (2)已知角 β 的终边在直线 y= 3x 上,用三角函数定义求 sinβ 的值. 解:(1)根据题意,有 x=4t,y=-3t,所以 r= (4t)2+(-3t)2=5|t|, 3 4 6 4 2 ①当 t>0 时,r=5t,sinα=- ,cosα= ,所以 2sinα+cosα=- + =- . 5 5 5 5 5 -3t 3 4t 4 ②当 t<0 时,r=-5t,sinα= = ,cosα= =- , 5 -5t 5 -5t 6 4 2 所以 2sinα+cosα= - = . 5 5 5 (2)设 P(a, 3a)(a≠0)是角 β 终边 y= 3x 上一点,若 a<0,则 β 是第三象限角,r=- 3a 3 2a,此时 sinβ= =- ;若 a>0,则 β 是第一象限角,r=2a, 2 -2a 3a 3 此时 sinβ= = . 2a 2 (2)∵2r+l=2r+αr=8,∴r=

第二节

正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式
A组

3 π 1.若 cosα=- ,α∈( ,π),则 tanα=________. 5 2 3 π 4 sinα 4 解析:cosα=- ,α∈( ,π),所以 sinα= ,∴tanα= =- . 5 2 5 cosα 3 4 答案:- 3 4 2.(2009 年高考北京卷)若 sinθ=- ,tanθ>0,则 cosθ=________. 5 4 3 解析:由 sinθ=- <0,tanθ>0 知,θ 是第三象限角,故 cosθ=- . 5 5 3 答案:- 5 π 3 π 3.若 sin( +α)= ,则 cos( -α)=________. 6 5 3 π π π π 3 3 解析:cos( -α)=cos[ -( +α)]=sin( +α)= .答案: 3 2 6 6 5 5 5sinx-cosx 4.(2010 年合肥质检)已知 sinx=2cosx,则 =______. 2sinx+cosx 5sinx-cosx 5tanx-1 9 解析:∵sinx=2cosx,∴tanx=2,∴ = = . 2sinx+cosx 2tanx+1 5 9 答案: 5 5.(原创题)若 cos2θ+cosθ=0,则 sin2θ+sinθ=________.

1 解析:由 cos2θ+cosθ=0,得 2cos2θ-1+cosθ=0,所以 cosθ=-1 或 cosθ= ,当 cosθ 2 1 3 =-1 时,有 sinθ=0,当 cosθ= 时,有 sinθ=± .于是 sin2θ+sinθ=sinθ(2cosθ+1)=0 或 2 2 3或- 3.答案:0 或 3或- 3 60 π π 6.已知 sin(π-α)cos(-8π-α)= ,且 α∈( , ),求 cosα,sinα 的值. 169 4 2 120 解:由题意,得 2sinαcosα= .①又∵sin2α+cos2α=1,② 169 289 49 ①+②得:(sinα+cosα)2= ,②-①得:(sinα-cosα)2= . 169 169 π π 又∵α∈( , ),∴sinα>cosα>0,即 sinα+cosα>0,sinα-cosα>0, 4 2 17 7 ∴sinα+cosα= .③sinα-cosα= ,④ 13 13 12 5 ③+④得:sinα= .③-④得:cosα= . 13 13 B组 2 1.已知 sinx=2cosx,则 sin x+1=________. 2sin2x+cos2x 2tan2x+1 9 解析:由已知,得 tanx=2,所以 sin2x+1=2sin2x+cos2x= 2 = = . sin x+cos2x tan2x+1 5 9 答案: 5 10π 2.(2010 年南京调研)cos =________. 3 10π 4π π 1 1 解析:cos =cos =-cos =- .答案:- 3 3 3 2 2 3 π sin2α 3.(2010 年西安调研)已知 sinα= ,且 α∈( ,π),那么 2 的值等于________. 5 2 cos α 3 2× 5 4 sin2α 2sinαcosα 2sinα 3 解析:cosα=- 1-sin2α=- , = = = =- . 5 cos2α cos2α cosα 4 2 - 5 3 答案:- 2 sinα+cosα 4.(2010 年南昌质检)若 tanα=2,则 +cos2α=_________________. sinα-cosα sinα+cosα sinα+cosα tanα+1 cos2α 1 16 16 解析: +cos2α= + 2 + 2 = .答案: 2 = 5 sinα-cosα sinα-cosα sin α+cos α tanα-1 tan α+1 5 π 5.(2010 年苏州调研)已知 tanx=sin(x+ ),则 sinx=___________________. 2 5-1 π 解析:∵tanx=sin(x+ )=cosx,∴sinx=cos2x,∴sin2x+sinx-1=0,解得 sinx= . 2 2 5-1 答案: 2 6.若 θ∈[0,π),且 cosθ(sinθ+cosθ)=1,则 θ=________. 解析:由 cosθ(sinθ+cosθ)=1?sinθ· cosθ=1-cos2θ=sin2θ?sinθ(sinθ-cosθ)=0?sinθ π π =0 或 sinθ-cosθ=0,又∵θ∈[0,π),∴θ=0 或 .答案:0 或 4 4 π 1 7π 7.已知 sin(α+ )= ,则 cos(α+ )的值等于________. 12 3 12 7π π π π 1 解析:由已知,得 cos(α+ )=cos[(α+ )+ ]=-sin(α+ )=- . 12 12 2 12 3

1 答案:- 3 8.(2008 年高考浙江卷改编)若 cosα+2sinα=- 5,则 tanα=________.

?cosα+2sinα=- 5, 解析:由? 2 ?sin α+cos2α=1, ②



2 5 5 将①代入②得( 5sinα+2)2=0,∴sinα=- ,cosα=- ,∴tanα=2. 5 5 答案:2 3π sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+ ) 2 31π 9.已知 f(α)= ,则 f(- )的值为________. 3 cos(-π-α) sinα· cosα· cotα 31 π 1 1 解析:∵f(α)= =-cosα,∴f(- π)=-cos =- .答案:- 3 3 2 2 -cosα 2π 4π 10.求 sin(2nπ+ )· cos(nπ+ )(n∈Z)的值. 3 3 2π 4π 2π π 解:(1)当 n 为奇数时,sin(2nπ+ )· cos(nπ+ )=sin · cos[(n+1)π+ ] 3 3 3 3 π π π π 3 1 3 =sin(π- )· =sin · = × = . cos cos 3 3 3 3 2 2 4 2π 4π 2π 4π π π π (2)当 n 为偶数时, sin(2nπ+ )· cos(nπ+ )=sin · cos =sin(π- )·cos(π+ )=sin · (- 3 3 3 3 3 3 3 π 3 1 3 cos )= ×(- )=- . 3 2 2 4 11.在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cosA=- 2cos(π-B),求△ABC 的三 内角. ① ?sinA= 2sinB, 解:由已知,得? ? 3cosA= 2cosB, ② 2 ①2+②2 得:2cos2A=1,即 cosA=± . 2 2 3 π π (1)当 cosA= 时,cosB= ,又 A、B 是三角形内角,∴A= ,B= ,∴C=π-(A+ 2 2 4 6 7 2 3 3 5 B)= π.(2)当 cosA=- 时,cosB=- .又 A、B 是三角形内角,∴A= π,B= π,不合 12 2 2 4 6 π π 7 题意.综上知,A= ,B= ,C= π. 4 6 12 12.已知向量 a=( 3,1),向量 b=(sinα-m,cosα). (1)若 a∥b,且 α∈[0,2π),将 m 表示为 α 的函数,并求 m 的最小值及相应的 α 值;(2) π cos( -α)· sin(π+2α) 2 若 a⊥b,且 m=0,求 的值. cos(π-α) π 解:(1)∵a∥b,∴ 3cosα-1· (sinα-m)=0,∴m=sinα- 3cosα=2sin(α- ). 3 π 又∵α∈[0,2π),∴当 sin(α- )=-1 时,mmin=-2. 3 π 3 11 此时 α- = π,即 α= π. 3 2 6 3 (2)∵a⊥b,且 m=0,∴ 3sinα+cosα=0.∴tanα=- . 3 π cos( -α)· sin(π+2α) 2 sinα· (-sin2α) ∴ = =tanα· 2sinα· cosα cos(π-α) -cosα

2sinα· cosα 2tanα 1 =tanα· 2 =tanα· = . sin α+cos2α 1+tan2α 2

第三节

正弦函数与余弦函数的图像与性质
A组

π 1.(2009 年高考四川卷改编)已知函数 f(x)=sin(x- )(x∈R),下面结论错误的是. 2 π ①函数 f(x)的最小正周期为 2π②函数 f(x)在区间[0, ]上是增函数 2 ③函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称④函数 f(x)是奇函数 π 解析:∵y=sin(x- )=-cosx,y=-cosx 为偶函数, 2 π ∴T=2π,在[0, ]上是增函数,图象关于 y 轴对称.答案:④ 2 π 2.(2009 年高考广东卷改编)函数 y=2cos2(x- )-1 是________. 4 π ①最小正周期为 π 的奇函数 ②最小正周期为 π 的偶函数 ③最小正周期为 的奇函数 2 π ④最小正周期为 的偶函数 2 π π 解析:y=2cos2(x- )-1=cos(2x- )=sin2x,∴T=π,且为奇函数. 4 2 答案:① π 3.(2009 年高考江西卷改编)若函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx,0≤x< ,则 f(x)的最大值为 2 ________. sinx π 解析:f(x)=(1+ 3· )· cosx=cosx+ 3sinx=2sin(x+ ), cosx 6 π π π 2π π π ∵0≤x< ,∴ ≤x+ < ,∴当 x+ = 时,f(x)取得最大值 2.答案:2 2 6 6 3 6 2 π 4.已知函数 f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为 x= ,则 a 的值为 12 ________. π π π π 3 解析:∵x= 是对称轴,∴f(0)=f( ),即 cos0=asin +cos ,∴a= . 12 6 3 3 3 3 答案: 3 π 5. (原创题)设 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象关于直线 x= 对称, 它的最小正周期是 π, 3 则 f(x)图象上的一个对称中心是________(写出一个即可). 2π π π 解析:∵T= =π,∴ω=2,又∵函数的图象关于直线 x= 对称,所以有 sin(2× +φ) ω 3 3 π π π π =± 1,∴φ=k1π- (k1∈Z),由 sin(2x+k1π- )=0 得 2x+k1π- =k2π(k2∈Z),∴x= +(k2 6 6 6 12 π π π π -k1) ,当 k1=k2 时,x= ,∴f(x)图象的一个对称中心为( ,0).答案:( ,0) 2 12 12 12 3 6.(2010 年宁波调研)设函数 f(x)= 3cos2x+sinxcosx- . 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期 T,并求出函数 f(x)的单调递增区间; (2)求在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和. 3 1 3 3 1 π 解:(1)f(x)= (cos2x+1)+ sin2x- = cos2x+ sin2x=sin(2x+ ), 2 2 2 2 2 3

π π π 5 π 故 T=π.由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得 kπ- π≤x≤kπ+ , 2 3 2 12 12 5 π 所以单调递增区间为[kπ- π,kπ+ ](k∈Z). 12 12 π π π π (2)令 f(x)=1,即 sin(2x+ )=1,则 2x+ =2kπ+ (k∈Z).于是 x=kπ+ (k∈Z), 3 3 2 12 π π π 13π ∵0≤x<3π,且 k∈Z,∴k=0,1,2,则 +(π+ )+(2π+ )= . 12 12 12 4 13 ∴在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和为 π. 4 B组 2 π 2 1.函数 f(x)=sin( x+ )+sin x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________. 3 2 3 2x 2x 2x π 解析:f(x)=cos +sin = 2sin( + ),相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,T 3 3 3 4 2π T 3π 3π = =3π,∴ = .答案: 2 2 2 2 3 π 2.(2010 年天津河西区质检)给定性质:a 最小正周期为 π;b 图象关于直线 x= 对称.则下 3 列四个函数中,同时具有性质 ab 的是________. x π π π ①y=sin( + ) ②y=sin(2x+ ) ③y=sin|x| ④y=sin(2x- ) 2 6 6 6 2π π π π π 解析:④中,∵T= =π,∴ω=2.又 2× - = ,所以 x= 为对称轴. ω 3 6 2 3 答案:④ π π 3.(2009 年高考全国卷Ⅰ改编)若 <x< ,则函数 y=tan2xtan3x 的最大值为__. 4 2 2 π π 2tan4x 2(t+1) 解析: <x< ,tanx>1,令 tan2x-1=t>0,则 y=tan2xtan3x= =-2(t 2 = 4 2 1-tan x -t 1 + +2)≤-8,故填-8.答案:-8 t 2 4.(2010 年烟台质检)函数 f(x)=sin2x+2cosx 在区间[- π,θ]上的最大值为 1,则 θ 的值是 3 ________. 2π 解析: 因为 f(x)=sin2x+2cosx=-cos2x+2cosx+1=-(cosx-1)2+2, 又其在区间[- , 3 π π θ]上的最大值为 1,可知 θ 只能取- . 答案:- 2 2 2π 2π 5.(2010 年苏北四市调研)若函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在[- , ]上单调递增,则 ω 的最大 3 3 值为________. 2π 2π 3 3 3 解析:由题意,得 ≥ ,∴0<ω≤ ,则 ω 的最大值为 .答案: 4ω 3 4 4 4 π π 6.(2010 年南京调研)设函数 y=2sin(2x+ )的图象关于点 P(x0,0)成中心对称,若 x0∈[- , 3 2 0],则 x0=________. π π 解析:因为图象的对称中心是其与 x 轴的交点,所以由 y=2sin(2x0+ )=0,x0∈[- , 3 2 π π 0],得 x0=- .答案:- 6 6 π π 7.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直线 x= 是 2 3 其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是________.

π π π π ①y=4sin(4x+ )②y=2sin(2x+ )+2③y=2sin(4x+ )+2 ④y=2sin(4x+ )+2 6 3 3 6 ? ?A+m=4 解析:因为已知函数的最大值为 4,最小值为 0,所以? ,解得 A=m=2,又 ? ?m-A=0 2π π π π π 最小正周期为 = , 所以 ω=4, 又直线 x= 是其图象的一条对称轴, x= 代入得 sin(4× 将 ω 2 3 3 3 4π π 5π π +φ)=± 1,所以 φ+ =kπ+ (k∈Z),即 φ=kπ- (k∈Z),当 k=1 时,φ= .答案:④ 3 2 6 6 π 8.有一种波,其波形为函数 y=sin x 的图象,若在区间[0,t]上至少有 2 个波峰(图象的最 2 高点),则正整数 t 的最小值是________. π 5 解析:函数 y=sin x 的周期 T=4,若在区间[0,t]上至少出现两个波峰,则 t≥ T=5. 2 4 答案:5 9.(2009 年高考安徽卷改编)已知函数 f(x)= 3sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线 y =2 的两个相邻交点的距离等于 π,则 f(x)的单调递增区间是________. π 解析: ∵y= 3sinωx+cosωx=2sin(ωx+ ), 且由函数 y=f(x)与直线 y=2 的两个相邻交 6 2π π 点间的距离为 π 知, 函数 y=f(x)的周期 T=π, ∴T= =π, 解得 ω=2, ∴f(x)=2sin(2x+ ). 令 ω 6 π π π π π π π 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z).答案:[kπ- ,kπ+ ](k∈Z) 2 6 2 3 6 3 6 2 10.已知向量 a=(2sinωx,cos ωx),向量 b=(cosωx,2 3),其中 ω>0,函数 f(x)=a· b,若 f(x) π π 图象的相邻两对称轴间的距离为 π.(1)求 f(x)的解析式;(2)若对任意实数 x∈[ , ],恒有|f(x) 6 3 -m|<2 成立,求实数 m 的取值范围. π 解: (1)f(x)=a· b=(2sinωx, 2ωx)· cos (cosωx,2 3)=sin2ωx+ 3(1+cos2ωx)=2sin(2ωx+ ) 3 2π 1 + 3.∵相邻两对称轴的距离为 π,∴ =2π,∴ω= , 2ω 2 π ∴f(x)=2sin(x+ )+ 3. 3 π π π π 2π (2)∵x∈[ , ],∴x+ ∈[ , ],∴2 3≤f(x)≤2+ 3.又∵|f(x)-m|<2, 6 3 3 2 3 π π ∴-2+m<f(x)<2+m.,若对任意 x∈[ , ],恒有|f(x)-m|<2 成立,则有 6 3

?-2+m≤2 3, 解得 3≤m≤2+2 3. ? ?2+m≥2+ 3,
11.设函数 f(x)=a· b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, 3sin2x+m). (1)求函数 f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间; π (2)当 x∈[0, ]时,f(x)的最大值为 4,求 m 的值. 6 π 解:(1)∵f(x)=a· b=2cos2x+ 3sin2x+m=2sin(2x+ )+m+1, 6 2π ∴函数 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π 2π 在[0,π]上的单调递增区间为[0, ],[ ,π]. 6 3 π π (2)当 x∈[0, ]时,∵f(x)单调递增,∴当 x= 时,f(x)取得最大值为 m+3,即 m+3=4, 6 6 解之得 m=1,∴m 的值为 1.

ωx +m(ω>0)的最小正周期为 3π,且当 x∈[0,π]时,函 2 数 f(x)的最小值为 0.(1)求函数 f(x)的表达式;(2)在△ABC 中,若 f(C)=1,且 2sin2B=cosB +cos(A-C),求 sinA 的值. π 解:(1)f(x)= 3sinωx+cosωx-1+m=2sin(ωx+ )-1+m. 6 2π 2 依题意,函数 f(x)的最小正周期为 3π,即 =3π,解得 ω= . ω 3 2x π ∴f(x)=2sin( + )-1+m. 3 6 π 2x π 5π 1 2x π 当 x∈[0,π]时, ≤ + ≤ , ≤sin( + )≤1, 6 3 6 6 2 3 6 2x π ∴f(x)的最小值为 m.依题意,m=0.∴f(x)=2sin( + )-1. 3 6 2C π 2C π (2)由题意,得 f(C)=2sin( + )-1=1,∴sin( + )=1. 3 6 3 6 π 2C π 5π 2C π π π π 而 ≤ + ≤ ,∴ + = ,解得 C= .∴A+B= . 6 3 6 6 3 6 2 2 2 π 2 在 Rt△ABC 中,∵A+B= ,2sin B=cosB+cos(A-C). 2 -1± 5 5-1 ∴2cos2A-sinA-sinA=0,解得 sinA= .∵0<sinA<1,∴sinA= . 2 2 12.已知函数 f(x)= 3sinωx-2sin2

第四节

函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图像

A组 1. (2009 年高考浙江卷改编)已知 a 是实数, 则函数 f(x)=1+asinax 的图象不可能是________.

2π 解析:函数的最小正周期为 T= ,∴当|a|>1 时,T<2π.当 0<|a|<1 时,T>2π,观察图 |a| 形中周期与振幅的关系,发现④不符合要求.答案:④ 2.(2009 年高考湖南卷改编)将函数 y=sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函 π 数 y=sin(x- )的图象,则 φ 等于________. 6 π π 11π 11π 解析:y=sin(x- )=sin(x- +2π)=sin(x+ ).答案: 6 6 6 6 3.将函数 f(x)= 3sinx-cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为奇函 数,则 φ 的最小值为________. π 解析: 因为 f(x)= 3sinx-cosx=2sin(x- ), f(x)的图象向右平移 φ 个单位所得图象对应 6 5π 的函数为奇函数,则 φ 的最小值为 . 6 5π 答案: 6

4.如图是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π),x∈R 的部分图象,则下列命题中, 正确命题的序号为________. π ①函数 f(x)的最小正周期为 ; 2 ②函数 f(x)的振幅为 2 3; 7 ③函数 f(x)的一条对称轴方程为 x= π; 12 π 7 ④函数 f(x)的单调递增区间为[ , π]; 12 12 2 ⑤函数的解析式为 f(x)= 3sin(2x- π). 3 T 5π π 7π 7π 解析:据图象可得:A= 3, = - ?T=π,故 ω=2,又由 f( )= 3?sin(2× + 2 6 3 12 12 2π 2π 2π φ)=1,解得 φ=2kπ- (k∈Z),又-π<φ<π,故 φ=- ,故 f(x)= 3sin(2x- ),依次判 3 3 3 7π 断各选项,易知①②是错误的,由图象易知 x= 是函数图象的一条对称轴,故③正确,④ 12 π 7π 函数的单调递增区间有无穷多个,区间[ , ]只是函数的一个单调递增区间,⑤由上述推 12 12 导易知正确.答案:③⑤ 5.(原创题)已知函数 f(x)=sinωx+cosωx,如果存在实数 x1,使得对任意的实数 x,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x1+2010)成立,则 ω 的最小值为________. 解析:显然结论成立只需保证区间[x1,x1+2010]能够包含函数的至少一个完整的单调 2π ω π π π 区间即可,且 f(x)=sinωx+cosωx= 2sin(ωx+ ),则 2010≥ ?ω≥ .答案: 4 2 2010 2010 π 2 2 6. (2010 年苏北四市质检)已知函数 f(x)=sin ωx+ 3sinωx· sin(ωx+ )+2cos ωx, x∈R(ω>0), 2 π 在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 . (1)求 ω; 6 π (2)若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来 6 的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)的最大值及单调递减区间. 3 1 3 π 3 解:(1)f(x)= sin2ωx+ cos2ωx+ =sin(2ωx+ )+ , 2 2 2 6 2 π π π 令 2ωx+ = ,将 x= 代入可得:ω=1. 6 2 6 π 3 (2)由(1)得 f(x)=sin(2x+ )+ , 6 2 1 π 3 经过题设的变化得到的函数 g(x)=sin( x- )+ , 2 6 2 4 5 当 x=4kπ+ π,k∈Z 时,函数取得最大值 . 3 2 π 1 π 3 令 2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ π(k∈Z), 2 2 6 2 4π 10 ∴4kπ+ ≤x≤4kπ+ π(k∈Z). 3 3 4π 10 即 x∈[4kπ+ ,4kπ+ π],k∈Z 为函数的单调递减区间. 3 3 B组 1.(2009 年高考宁夏、海南卷)已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示, 则 φ=________. T 3 解析:由图可知, =2π- π, 2 4

5 2π 5 4 ∴T= π,∴ = π,∴ω= , 2 ω 2 5 4 ∴y=sin( x+φ). 5 4 3 又∵sin( × π+φ)=-1, 5 4 3 ∴sin( π+φ)=-1, 5 3 3 ∴ π+φ= π+2kπ,k∈Z. 5 2 9 9 ∵-π≤φ<π,∴φ= π. 答案: π 10 10 2.(2010 年南京调研)已知函数 y=sin(ωx+ |φ|<π)的图象如图所示,则 φ=________. 2π π 解析:由图象知 T=2( - )=π. 3 6 2π π π ∴ω= =2, 把点( , 1)代入, 可得 2× + T 6 6 π π .答案: 6 6

φ)(ω>0 ,

π φ= , φ= 2

π 3.(2009 年高考天津卷改编)已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,为了 4 得到函数 g(x)=cosωx 的图象,只要将 y=f(x)的图象________. π 解析:∵f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π, 4 2π ∴ =π,故 ω=2. ω π π π π 又 f(x)=sin(2x+ )∴g(x)=sin[2(x+ )+ ]=sin(2x+ )=cos2x. 4 8 4 2 π 答案:向左平移 个单位长度 8 4 . (2009 年高 考 辽 宁 卷改 编 )已 知 函 数 f(x)= Acos(ωx + φ) π 2 的图象如图所示,f( )=- ,则 f(0)=________. 2 3 T 11 7 π 2π 解析: = π- π= ,∴ω= =3. 2 12 12 3 T 7 又( π,0)是函数的一个上升段的零点, 12 7 3π π ∴3× π+φ= +2kπ(k∈Z),得 φ=- +2kπ,k∈Z, 12 2 4 π 2 2 2 2 2 代入 f( )=- ,得 A= ,∴f(0)= . 答案: 2 3 3 3 3 π 5. 将函数 y=sin(2x+ )的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(- 3 π ,0)中心对称. 12 π π π 解析:由 y=sin(2x+ )=sin2(x+ )可知其函数图象关于点(- ,0)对称,因此要使平移 3 6 6 π π π 后的图象关于(- ,0)对称,只需向右平移 即可.答案:右 12 12 12 ?a1 a2?=a a -a a ,将函数 f(x)=? 3 cosx?的 6.(2010 年深圳调研)定义行列式运算:? ? ? ? ?a3 a4? 1 4 2 3 ?1 sinx ? 图象向左平移 m 个单位(m>0), 若所得图象对应的函数为偶函数, m 的最小值是________. 则

3 1 π sinx- cosx)=2sin(x- ), 2 2 6 π π 其图象向左平移 m 个单位后变为 y=2sin(x- +m), 平移后其对称轴为 x- +m=kπ+ 6 6 π 2π 2π 2π ,k∈Z.若为偶函数,则 x=0,所以 m=kπ+ (k∈Z),故 m 的最小值为 .答案: 2 3 3 3 π π 7. (2009 年高考全国卷Ⅱ改编)若将函数 y=tan(ωx+ )(ω>0)的图象向右平移 个单位长度后, 4 6 π 与函数 y=tan(ωx+ )的图象重合,则 ω 的最小值为________. 6 π π π π 解析:y=tan(ωx+ )向右平移 个单位长度后得到函数解析式 y=tan[ω(x- )+ ],即 y 4 6 6 4 π πω π πω π 1 = tan(ωx + - ),显然当 - = + kπ(k∈Z) 时 , 两 图 象 重 合 , 此 时 ω = - 4 6 4 6 6 2 1 1 6k(k∈Z).∵ω>0,∴k=0 时,ω 的最小值为 .答案: 2 2 π π 3π 8.给出三个命题:①函数 y=|sin(2x+ )|的最小正周期是 ;②函数 y=sin(x- )在区间[π, 3 2 2 3π 5π 5π ]上单调递增;③x= 是函数 y=sin(2x+ )的图象的一条对称轴.其中真命题的个数是 2 4 6 ________. π π 解析:由于函数 y=sin(2x+ )的最小正周期是 π,故函数 y=|sin(2x+ )|的最小正周期 3 3 π 3π 3π 5π 是 ,①正确;y=sin(x- )=cosx,该函数在[π, )上单调递增, ②正确;当 x= 时,y 2 2 2 4 5π 5π 5π π 5π 5π 3 5π =sin(2x+ )=sin( + )=sin( + )=cos =- ,不等于函数的最值,故 x= 不是 6 2 6 2 6 6 2 4 5π 函数 y=sin(2x+ )的图象的一条对称轴,③不正确.答案:2 6 πx 9.(2009 年高考上海卷)当 0≤x≤1 时,不等式 sin ≥kx 恒成立,则实数 k 的取值范围是 2 ________. πx 解析:当 0≤x≤1 时,y=sin 的图象如图所示,y =kx 的图 2 象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方,当 k≤0 时,y = kx 在 [0,1]上的图象恒在 x 轴下方,原不等式成立. πx 当 k>0,kx≤sin 时,在 x∈[0,1]上恒成立,k≤1 即可. 2 πx 故 k≤1 时,x∈[0,1]上恒有 sin ≥kx.答案:k≤1 2 2π 10.(2009 年高考重庆卷)设函数 f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 .(1) 3 π 求 ω 的值; (2)若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度得到, y=g(x) 求 2 的单调增区间. 解: (1)f(x) = sin2ωx+ cos2ωx+ 2sinωx· cosωx+1+ cos2ωx= sin2ωx+ cos2ωx+ 2= 2 π 2π 2π 3 sin(2ωx+ )+2,依题意,得 = ,故 ω= . 4 2ω 3 2 π π 5π (2)依题意,得 g(x)= 2sin[3(x- )+ ]+2= 2sin(3x- )+2. 2 4 4 π 5π π 2 π 2 7π 由 2kπ- ≤3x- ≤2kπ+ (k∈Z),解得 kπ+ ≤x≤ kπ+ (k∈Z). 2 4 2 3 4 3 12 2 π 2 7π 故 g(x)的单调增区间为[ kπ+ , kπ+ ](k∈Z). 3 4 3 12 解析:由题意,知 f(x)= 3sinx-cosx=2(

π 11.(2009 年高考陕西卷)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的周期 2 2π 为 π,且图象上一个最低点为 M( ,-2). 3 π (1)求 f(x)的解析式;(2)当 x∈[0, ]时,求 f(x)的最值. 12 2π 2π 2π 解:(1)由最低点为 M( ,-2)得 A=2.由 T=π 得 ω= = =2. 3 T π 2π 4π 4π 由点 M( ,-2)在图象上得 2sin( +φ)=-2,即 sin( +φ)=-1, 3 3 3 4π π 11π π π ∴ +φ=2kπ- (k∈Z),即 φ=2kπ- ,k∈Z.又 φ∈(0, ),∴φ= , 3 2 6 2 6 π ∴f(x)=2sin(2x+ ). 6 π π π π π π (2)∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ],∴当 2x+ = ,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1;当 12 6 6 3 6 6 π π π 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 3. 6 3 12 π 12.(2009 年高考福建卷)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ),其中 ω>0,|φ|< . 2 π 3π (1)若 cos cosφ-sin sinφ=0,求 φ 的值; 4 4 π (2)在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ,求函数 f(x) 3 的解析式;并求最小正实数 m,使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶 函数. π 3π π π 解:法一:(1)由 cos cosφ-sin sinφ=0 得 cos cosφ-sin sinφ=0, 4 4 4 4 π π π 即 cos( +φ)=0.又|φ|< ,∴φ= . 4 2 4 π T π 2π (2)由(1)得,f(x)=sin(ωx+ ).依题意, = ,又 T= ,故 ω=3, 4 2 3 ω π ∴f(x)=sin(3x+ ).函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 4 π π π g(x)=sin[3(x+m)+ ],g(x)是偶函数当且仅当 3m+ =kπ+ (k∈Z), 4 4 2 kπ π π 即 m= + (k∈Z).从而,最小正实数 m= . 3 12 12 法二:(1)同法一. π T π 2π (2)由(1)得 ,f(x)=sin(ωx+ ).依题意, = .又 T= ,故 ω=3, 4 2 3 ω π ∴f(x)=sin(3x+ ). 4 π 函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g(x)=sin[3(x+m)+ ]. 4 g(x)是偶函数当且仅当 g(-x)=g(x)对 x∈R 恒成立, π π 亦即 sin(-3x+3m+ )=sin(3x+3m+ )对 x∈R 恒成立. 4 4 π π ∴sin(-3x)cos(3m+ )+cos(-3x)· sin(3m+ ) 4 4 π π =sin3xcos(3m+ )+cos3xsin(3m+ ), 4 4 π π π π 即 2sin3xcos(3m+ )=0 对 x∈R 恒成立.∴cos(3m+ )=0,故 3m+ =kπ+ (k∈Z), 4 4 4 2

kπ π π ∴m= + (k∈Z),从而,最小正实数 m= . 3 12 12

第六章
第一节
1.已知 sinα=

三角恒等变形
同角三角函数的基本关系
A组

5 10 ,sin(α-β)=- ,α、β 均为锐角,则 β 等于________. 5 10 π π 3 10 解析:∵α、β 均为锐角,∴- <α-β< ,∴cos(α-β)= 1-sin2(α-β)= . 2 2 10 ∵sinα= 5 ,∴cosα= 5 1-( 5 2 5 )2= . 5 5 2 . 2

∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=

π π π ∵0<β< ,∴β= .答案: 2 4 4 π 3 3 2.已知 0<α< <β<π,cosα= ,sin(α+β)=- ,则 cosβ 的值为________. 2 5 5 π π π 3 4 4 解析:∵0<α< , <β<π,∴ <α+β< π.∴sinα= ,cos(α+β)=- , 2 2 2 2 5 5 4 3 3 4 24 ∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(- )× +(- )× =- .答 5 5 5 5 25 24 案:- 25 sin(α+β) 3.如果 tanα、tanβ 是方程 x2-3x-3=0 的两根,则 =________. cos(α-β) sin(α+β) sinαcosβ+cosαsinβ 解析:tanα+tanβ=3,tanαtanβ=-3,则 = cos(α-β) cosαcosβ+sinαsinβ tanα+tanβ 3 3 3 = = =- .答案:- 2 2 1+tanαtanβ 1-3 π 4 7π 4.(2008 年高考山东卷改编)已知 cos(α- )+sinα= 3,则 sin(α+ )的值是___. 6 5 6 3 1 4 1 3 4 解析:由已知得 cosα+ sinα+sinα= 3,即 cosα+ sinα= , 2 2 5 2 2 5 π 4 7 π 4 4 得 sin(α+ )= ,sin(α+ π)=-sin(α+ )=- .答案:- 6 5 6 6 5 5 π π 2 2 5.(原创题)定义运算 a ? b=a -ab-b ,则 sin ? cos =________. 12 12 π π π π π π π π 1 π π 解析:sin ? cos =sin2 -sin cos -cos2 =-(cos2 -sin2 )- ×2sin cos 12 12 12 12 12 12 12 12 2 12 12 1+2 3 1+2 3 π 1 π =-cos - sin =- .答案:- 6 2 6 4 4 π α α 6 6.已知 α∈( ,π),且 sin +cos = . 2 2 2 2 3 π (1)求 cosα 的值;(2)若 sin(α-β)=- ,β∈( ,π),求 cosβ 的值. 5 2 α α 6 1 解:(1)因为 sin +cos = ,两边同时平方得 sinα= . 2 2 2 2 π 3 又 <α<π.所以 cosα=- . 2 2 π π π π π (2)因为 <α<π, <β<π,所以-π<-β<- ,故- <α-β< . 2 2 2 2 2

3 4 又 sin(α-β)=- ,得 cos(α-β)= . 5 5 cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) 4 3+3 3 4 1 3 =- × + ×(- )=- . 2 5 2 5 10 B组 cos2α 1+tanα 1. · 的值为________. 1+sin2α 1-tanα 2 2 cos2α 1+tanα cos α-sin α 1+tanα 解析: · = · 1+sin2α 1-tanα (sinα+cosα)2 1-tanα cosα-sinα 1+tanα 1-tanα 1+tanα = · = · =1. sinα+cosα 1-tanα 1+tanα 1-tanα sin2x-2sin2x π 3 2.已知 cos( +x)= ,则 的值为________. 4 5 1-tanx π 3 3 解析:∵cos( +x)= ,∴cosx-sinx= 2, 4 5 5 sin2x-2sin2x 2sinx(cosx-sinx) 18 7 7 ∴1-sin2x= ,sin2x= ,∴ = =sin2x= . 25 25 25 1-tanx cosx-sinx cosx π π 3.已知 cos(α+ )=sin(α- ),则 tanα=________. 3 3 π π π 1 3 π 解析:cos(α+ )=cosαcos -sinαsin = cosα- sinα,sin(α- ) 3 3 3 2 2 3 π π 1 3 =sinαcos -cosαsin = sinα- cosα, 3 3 2 2 1 3 1 3 由已知得:( + )sinα=( + )cosα,tanα=1. 2 2 2 2 π 3π π π 3 3π 5 4.设 α∈( , ),β∈(0, ),cos(α- )= ,sin( +β)= ,则 sin(α+β)=________. 4 4 4 4 5 4 13 π 3π π π π 3 π 4 解析:α∈( , ),α- ∈(0, ),又 cos(α- )= ,∴sin(α- )= . 4 4 4 2 4 5 4 5 π 3π 3π 3π 5 3π 12 ∵β∈(0, ),∴ +β∈( ,π).∵sin( +β)= ,∴cos( +β)=- , 4 4 4 4 13 4 13 π 3π ∴sin(α+β)=-cos[(α- )+( +β)] 4 4 π 3π π 3π 3 12 4 5 56 =-cos(α- )· cos( +β)+sin(α- )· sin( +β)=- ×(- )+ × = , 4 4 4 4 5 13 5 13 65 56 即 sin(α+β)= . 65 1 1 π 5.已知 cosα= ,cos(α+β)=- ,且 α,β∈(0, ),则 cos(α-β)的值等于________. 3 3 2 π 1 7 解析:∵α∈(0, ),∴2α∈(0,π).∵cosα= ,∴cos2α=2cos2α-1=- ,∴sin2α= 2 3 9 4 2 π 2 2 1-cos22α= ,而 α,β∈(0, ),∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)= 1-cos2(α+β)= , 9 2 3 7 1 4 2 2 2 ∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=(- )×(- )+ × 9 3 9 3 23 = . 27 π 1+ 2cos(2α- ) 4 3 6.已知角 α 在第一象限,且 cosα= ,则 =________. 5 π sin(α+ ) 2

3 4 解 析 : ∵α 在 第 一 象 限 , 且 cosα = , ∴sinα = , 则 5 5 1+ 2(

π 1+ 2cos(2α- ) 4 = π sin(α+ ) 2

2 2 cos2α+ sin2α) 2 2 2cos2α+2sinαcosα 4 3 14 = =2(sinα+cosα)=2( + )= . cosα cosα 5 5 5 π 2 π 7. 已知 a=(cos2α, sinα), b=(1,2sinα-1), α∈( , 若 a· , tan(α+ )的值为________. π), b= 则 2 5 4 2 3 2 2 2 解析:a· b=cos2α+2sin α-sinα=1-2sin α+2sin α-sinα=1-sinα= ,∴sinα= ,又 5 5 π 4 3 π tanα+1 1 α∈( ,π),∴cosα=- ,tanα=- ,∴tan(α+ )= = . 2 5 4 4 1-tanα 7 tan10° tan70° 8. 的值为______. tan70° -tan10° +tan120° tan70° -tan10° 解析:由 tan(70° -10° )= = 3, 1+tan70°tan10° · 故 tan70° -tan10° 3(1+tan70° = tan10° ),代入所求代数式得: tan70° tan10° tan70° tan10° tan70° tan10° 3 = = = . 3 3(1+tan70° tan10° )+tan120° 3(1+tan70° tan10° )- 3 3tan70° tan10° π sin(α+ ) 4 9.已知角 α 的终边经过点 A(-1, 15),则 的值等于________. sin2α+cos2α+1 π sin(α+ ) 4 1 2 解析:∵sinα+cosα≠0,cosα=- ,∴ = =- 2. 4 sin2α+cos2α+1 4cosα cos20° 10.求值: · cos10° 3sin10° + tan70° -2cos40° . sin20° cos20° cos10° 3sin10° sin70° 解:原式= + -2cos40° sin20° cos70° cos20° cos10° 3sin10° + cos20° = -2cos40° sin20° cos20° (cos10° 3sin10° + ) = -2cos40° sin20° 2cos20° (cos10° sin30° +sin10° cos30° ) = -2cos40° sin20° 2cos20° sin40° -2sin20° cos40° = =2. sin20° x x 11.已知向量 m=(2cos ,1),n=(sin ,1)(x∈R),设函数 f(x)=m· n-1. 2 2 5 (1)求函数 f(x)的值域; (2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为 A, C, f(A)= , B, 若 f(B) 13 3 = ,求 f(C)的值. 5 x x x x 解:(1)f(x)=m· n-1=(2cos ,1)· ,1)-1=2cos sin +1-1=sinx. (sin 2 2 2 2 ∵x∈R,∴函数 f(x)的值域为[-1,1]. 5 3 5 3 (2)∵f(A)= ,f(B)= ,∴sinA= ,sinB= . 13 5 13 5 12 4 ∵A,B 都为锐角,∴cosA= 1-sin2A= ,cosB= 1-sin2B= . 13 5 ∴f(C)=sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

5 4 12 3 56 56 × + × = .∴f(C)的值为 . 13 5 13 5 65 65 π π 1 4 12.(2010 年南京调研)已知:0<α< <β<π,cos(β- )= ,sin(α+β)= . 2 4 3 5 π (1)求 sin2β 的值;(2)求 cos(α+ )的值. 4 π π π 2 2 1 解:(1)法一:∵cos(β- )=cos cosβ+sin sinβ= cosβ+ sinβ= , 4 4 4 2 2 3 2 2 7 ∴cosβ+sinβ= ,∴1+sin2β= ,∴sin2β=- . 3 9 9 π π 7 法二:sin2β=cos( -2β)=2cos2(β- )-1=- . 2 4 9 π π π 3π π 3π π (2)∵0<α< <β<π,∴ <β- < , <α+β< ,∴sin(β- )>0,cos(α+β)<0. 2 4 4 4 2 2 4 π 1 4 π 2 2 3 ∵cos(β- )= ,sin(α+β)= ,∴sin(β- )= ,cos(α+β)=- . 4 3 5 4 3 5 π π π π ∴cos(α+ )=cos[(α+β)-(β- )]=cos(α+β)cos(β- )+sin(α+β)sin(β- ) 4 4 4 4 3 1 4 2 2 8 2-3 =- × + × = . 5 3 5 3 15 =

第二节

两角和与差及二倍角的三角函数

A组 3 π π 5π 1.若 sinα= ,α∈(- , ),则 cos(α+ )=________. 5 2 2 4 π π 3 4 5π 解析:由于 α∈(- , ),sinα= 得 cosα= ,由两角和与差的余弦公式得:cos(α+ ) 2 2 5 5 4 2 2 =- (cosα-sinα)=- . 2 10 3 1 1 1 1 2.已知 π<θ< π,则 + + cosθ=________. 2 2 2 2 2 3π π θ 3π π θ 3π 解析:∵π<θ< ,∴ < < , < < . 2 2 2 4 4 4 8 1 1 1 1 + + cosθ= 2 2 2 2 1 1 θ θ = - cos =sin . 2 2 2 4 1 1 + 2 2 θ cos2 2

cos10° 3sin10° + 3.(2010 年南京市调研)计算: =________. 1-cos80° cos10° 3sin10° 2cos(10° + -60° 2cos50° ) 解析: = = = 2. 2 2sin 40° 2sin40° 1-cos80° 4.(2009 年高考上海卷)函数 y=2cos2x+sin2x 的最小值是__________________. 解析:y=2cos2x+sin2x=sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+1 π = 2sin(2x+ )+1≥1- 2. 4 1 1 5.(原创题)函数 f(x)=(sin2x+ )(cos2x+ )的最小值是________. 2010sin2x 2010cos2x (2010sin4x+1)(2010cos4x+1) 解析:f(x)= 20102sin2xcos2x 2 4 4 2010 sin xcos x+2010(sin4x+cos4x)+1 = 20102sin2xcos2x 2011 2 2 =sin2xcos2x+ - ≥ ( 2011-1). 20102sin2xcos2x 2010 2010

π π 6.已知角 α∈( , ),且(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0. 4 2 π π (1)求 tan(α+ )的值;(2)求 cos( -2α)的值. 4 3 解:∵(4cosα-3sinα)(2cosα-3sinα)=0, π π 4 4 3 又 α∈( , ),∴tanα= ,sinα= ,cosα= , 4 2 3 5 5 π 4 tanα+tan +1 4 3 π (1)tan(α+ )= = =-7. 4 π 4 1-tanαtan 1- 4 3 7 24 2 (2)cos2α=2cos α-1=- ,sin2α=2sinαcosα= , 25 25 π π π 1 7 3 24 24 3-7 cos( -2α)=cos cos2α+sin sin2α= ×(- )+ × = . 3 3 3 2 25 2 25 50 B组 2 π 1 π 1.若 tan(α+β)= ,tan(β- )= ,则 tan(α+ )=_____. 5 4 4 4 π 2 1 tan(α+β)-tan(β- ) - 4 5 4 π π 3 解析:tan(α+ )=tan[(α+β)-(β- )]= = = . 4 4 π 2 1 22 1+tan(α+β)tan(β- ) 1+ × 4 5 4 1 2.(2009 年高考陕西卷改编)若 3sinα+cosα=0,则 2 的值为________. cos α+sin2α sin2α+cos2α 1 解析:由 3sinα+cosα=0 得 cosα=-3sinα,则 2 = = cos α+sin2α cos2α+2sinαcosα 2 2 9sin α+sin α 10 = . 9sin2α-6sin2α 3 6 3.设 a=sin14° +cos14° ,b=sin16° +cos16° ,c= ,则 a、b、c 的大小关系是 2 解析:a= 2sin59° ,c= 2sin60° ,b= 2sin61° ,∴a<c<b. 1 3 2 1 3 2 3 2 或 a =1+sin28° <1+ = ,b =1+sin32° >1+ = ,c = ,∴a<c<b. 2 2 2 2 2 4. 2+2cos8+2 1-sin8的化简结果是________. 解析:原式= 4cos24+2 (sin4-cos4)2=|2cos4|+2|sin4-cos4|=-2sin4. 1 10 π π π 5.若 tanα+ = ,α∈( , ),则 sin(2α+ )的值为_________. tanα 3 4 2 4 π 2 2tanα 3 解析: 由题意知, tanα=3, sin(2α+ )= (sin2α+cos2α), sin2α= 而 = , cos2α 4 2 1+tan2α 5 1-tan2α 4 π 23 4 2 = =- .∴sin(2α+ )= ( - )=- . 5 4 2 5 5 10 1+tan2α 6.若函数 f(x)=sin2x-2sin2x· sin2x(x∈R),则 f(x)的最小正周期为________. 1 2π π 解析:f(x)=sin2x(1-2sin2x)=sin2xcos2x= sin4x,所以 T= = . 2 4 2 2cos5° -sin25° 7.(2010 年无锡质检) 的值为________. cos25° 2cos(30° -25° )-sin25° 3cos25° 解析:由已知得:原式= = = 3. cos25° cos25° 8.向量 a=(cos10° ,sin10° ),b=(cos70° ,sin70° ),|a-2b|=________________. 解 析 : |a - 2b|2 = (cos10°- 2cos70°2 + (sin10°- 2sin70°2 = 5 - 4cos10° ) ) cos70°- 4sin10° sin70° =5-4cos60° =3,∴|a-2b|= 3.

1-cos2α 1 9.(2010 年江苏省南通市调研)已知 =1,tan(β-α)=- ,则 tan(β-2α)=________. sinαcosα 3 2 1-cos2α 1-tan α 1 2tanα 1 解析:因为 =1,即 1- = × ,所以 2tanα=1,即 tanα= , sinαcosα 2 1+tan2α 2 1+tan2α 1 1 - - 3 2 tan(β-α)-tanα 所以 tan(β-2α)=tan(β-α-α)= = =-1. 1 1+tan(β-α)tanα 1- 6 2 sin2α+cos (π-α) π 10.已知 tanα=2.求(1)tan(α+ )的值;(2) 的值. 4 1+cos2α π 1+tanα π 1+2 解:(1)∵tan(α+ )= ,tanα=2,∴tan(α+ )= =-3. 4 1-tanα 4 1-2 sin2α+cos2(π-α) 2sinαcosα+cos2α (2) = = 错误! = 2cos2α 1+cos2α 1 5 tanα+ = . 2 2 11.如图,点 A,B 是单位圆上的两点,A,B 两点分别在 第一、二 象限,点 C 是圆与 x 轴正半轴的交点,△AOB 是正三角 形, 若点 A 3 4 的坐标为( , ),记∠COA=α. 5 5 1+sin2α (1)求 的值;(2)求|BC|2 的值. 1+cos2α 1+sin2α 3 4 4 3 解:(1)∵A 的坐标为( , ),根据三角函数的定义可知,sinα= ,cosα= ,∴ 5 5 5 5 1+cos2α 1+2sinαcosα 49 = = . 2cos2α 18 (2)∵△AOB 为正三角形,∴∠AOB=60° .∴cos∠COB=cos(α+60° )=cosαcos60° - 3 1 4 3 3-4 3 sinαsin60° × - × = .= , 5 2 5 2 10 3-4 3 7+4 3 ∴|BC|2=|OC|2+|OB|2-2|OC|· |OB|cos∠COB=1+1-2× = . 10 5 sinA+sinB 12.(2009 年高考江西卷)△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,tanC= , cosA+cosB sin(B-A)=cosC.(1)求角 A,C.(2)若 S△ABC=3+ 3,求 a,c. sinA+sinB sinC sinA+sinB 解:(1)因为 tanC= ,即 = , cosC cosA+cosB cosA+cosB 所以 sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB, 即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB, 得 sin(C-A)=sin(B-C), 所以 C-A=B-C,或 C-A=π-(B-C)(不成立), π 2π 即 2C=A+B,得 C= ,所以 B+A= . 3 3 1 π 5π 又因为 sin(B-A)=cosC= ,则 B-A= 或 B-A= (舍去), 2 6 6 π 5π π π 得 A= ,B= .故 A= ,C= . 4 12 4 3 6+ 2 1 a c a c (2)S△ABC= acsinB= ac=3+ 3,又 = ,即 = , 2 8 sinA sinC 2 3 2 2 得 a=2 2,c=2 3.


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