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2014年杭州市第一次高考科目教学质量检测文科数学及答案


2014 年杭州市第一次高考科目教学质量检测 数学(文科)试题卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.设全集 U={a,b,c,d},A={a,c,d},B={b,d},则( A.{b} 2.设 z= B.{d} C.{a,c}
U

A)∩B=(



D.{b,d}

1 ? ai ,若复数 z 为纯虚数(其中 i 是虚数单位) ,则实数 a 等于( ) i 1 A.-1 B.0 C.1 D. 2 1 ? 1 3.设 x=log52,y= e 2 ,z= (e 是自然对数的底数) ,则( ) 2 A.x<y<z B.y<x<z C.z<x<y D.x<z<y 4.若 α,β 是非零实数,则“α+β=0”是“| α |+| β |>0”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若 a4<0,a5>|a4|,则使 Sn>0 成立的最小正整数 n 为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 6.设函数 f (x)=acosax(a∈R) .则下列图象可能 为 y=f (x)的图象是( ) ..

A.

B.

C.

D.

7.设 A,B,C 为直线 l 上不同的三点,O 为直线 l 外一点.若 p OA +q OB +r OC =0(p, q,r∈R) ,则 p+q+r=( ) A.-1 B.0 C.1 k 8.设函数 f (x)=(x-1) cosx(k∈N*) ,则( ) A.当 k=2013 时,f (x)在 x=1 处取得极小值 B.当 k=2013 时,f (x)在 x=1 处取得极大值 C.当 k=2014 时,f (x)在 x=1 处取得极小值 D.当 k=2014 时,f (x)在 x=1 处取得极大值 9.设 F1,F2 为椭圆Γ:

D.3

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左,右焦点,点 M 在椭圆Γ上.若Δ a 2 b2 MF1F2 为直角三角形,且| MF1 |=2| MF2 |,则椭圆Γ的离心率为( ) 3 5 5 6 A. 或 B. 或 3 3 3 3 6 7 3 5 ?1 C. 或 D. 或 3 3 3 4 10.设 x∈R,若函数 f (x)为单调递增函数,且对任意实数 x,都有 f [f (x)-ex]=e+1(e 是

自然对数的底数) ,则 f (ln2)的值等于( ) A.1 B.e+1 C.3 D.e+3 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. ) 11.设函数 f (x)=| x-1 |.若 f (a)=2,则 a= . 12.将两枚各面分别刻有数字 1,2,2,3,3,3 的骰子掷一次,则 掷得的点数之和为 5 的概率为 . 13.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是 .

?x ? 3 ? 14.设不等式组 ? y ? 5 所表示的平面区域为 D.若圆 C 落在区 ?4 x +3 y ? 15 ?
域 D 中,则圆 C 的半径 r 的最大值为 15. 设函数 f (x)= .

1 2 3 x +bx- . 若对任意实数 α, β, 不等式 f (cosα) (第 13 题图) 4 4 ≤0,f (2-sinβ)≥0 恒成立,则 b= . 16.设正实数 x,y,z 满足 x+y+z=4,xy+yz+zx=5,则 y 的最大值为 . 17. 在△AOB 中, G 为△AOB 的重心 (三角形 中 三 边上 中 线 的 交点叫重心 ) , 且∠AOB=60° . 若 ... . . .. . . . .....
. OA · OB ? 6 ,则| OG |的最小值是 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,D 为 BC 中点,cos∠BAD= (Ⅰ)求∠BAC 的值; (Ⅱ)求

2 5 3 10 ,cos∠CAD= . 10 5

AC 的值. AD

19. (本小题满分 14 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=n-an(n∈N*) . (Ⅰ)求证:数列{an-1}是等比数列; (Ⅱ)设 bn=(2-n)(an-1),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 20. (本小题满分 15 分) 设△ABC 是边长为 1 的正三角形,点 P1,P2,P3 四等分线段 BC(如图所示) . (Ⅰ)求 AB ? AP 1 ? AP 1 ? AP 2 的值; (Ⅱ)设动点 P 在边 BC 上, (ⅰ)请写出一个| BP |的值使 PA ? PC >0,并说明理由; (ⅱ)当 PA ? PC 取得最小值时,求 cos∠PAB 的值.
A

B

P1 P2 P3 (第 20 题图)

C

21. (本小题满分 15 分)

1 设 a∈R,f (x)=- x3+ax+(1-a)lnx. 3 (Ⅰ)若 a=0,求 f (x)的极值; (Ⅱ)若函数 y=f (x)有零点,求 a 的取值范围.
22. (本小题满分 14 分) 设点 P(-2,1)在抛物线 x2=2py(p> 0)上,且到圆 C:x2+(y+b)2=1 上点的 最小距离为 1. (Ⅰ)求 p 和 b 的值; (Ⅱ) 过点作两条斜率互为相反数的直线, 本别与抛物线交于两点 A,B,若直线 AB 与圆 C 交于不同两点 M,N. (ⅰ)证明直线 AB 的斜率为定值; (ⅱ)求ΔPMN 面积取最大值时直线 AB 的方程.

C

(第 22 题图)

2014 年杭州市第一次高考科目教学质量检测 数学(文科)试题卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 A 5 C 6 C 7 B 8 C 9 A 10 C

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. ) 1 11.-1 或 3 12. 13.4 14.1 3 1 15. 16.2 17.2 2 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意得 cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)= 所以∠BAC=

2 5 3 10 5 10 2 . . ? . ? 5 10 5 10 2

π .……………………………………………………………………6 分 4 (Ⅱ)由 D 为 BC 中点,所以 S△BAD=S△CAD,
即 AB ? AD sin ?BAD ?
1 2 1 AC ? AD sin ?CAD ,故 AC ? 2 AB , 2

在△ABC 中,由余弦定理得 BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB AC cos ?BAC , 化简可得 AB ? BC ,故△ABC 为等腰直角三角形,即 ?ABC ?

?
2



从而得

AC 2 2 2 10 .…………………………………………………………8 分 ? ? AD 5 5

19. (本小题满分 14 分) 解: (I)因为 Sn=n-an Sn+1=n+1-an+1 ②-①得

① ②

2an+1-an=1 1 1 1 即 an+1-1= ( an-1),又因为 a1= ,所以 a1-1=- . 2 2 2 1 1 所以数列{an-1}是以- 为首项,以 为公比的等比数列.……………………………6 分 2 2 1 1 n?2 (Ⅱ)由(I)知 an-1=- n ,即 an=1- n ,所以 bn= n . 2 2 2 ?1 0 1 2 3 n?2 Tn= 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? . . . ? , 2 2 2 2 2 2n 1 ?1 0 1 2 3 n ?3 n?2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ... ? n ? n ?1 , Tn= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 上述两式相减,得 ?1 ? 1 1 1 1 1 ? n?2 1 Tn= 1 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? . . . ? n ? ? n ?1 , 2 ?2 2 2 2 2 ? 2 2

. 2n ?1 n 所以 Tn= ? n .………………………………………………………………………8 分 2 20. (本小题满分 15 分) 解: (I)原式= AP 1 ? ( AB ? AP 2)

=-

n

13 . …………………………………………………………5 分 8 1 1 (Ⅱ) (ⅰ)写 0 到 (0 可取到, 取不到)之间的任何一个值均可, 2 2
= 2 AP 1 ?
2

理由是:此时向量 PA 与 PC 之间的夹角为锐角。 ………………………………5 分 (ⅱ) PA ? PC ? PC PA cos ?APC . ① 当 P 在线段 BP2 上时, PA ? PC ? 0 . ② 当 P 线段 P2C 上时, PA ? PC ? 0 ,要使 PA ? PC 最小,则 P 必在线段 P2C 上. 设 PC ? x ,则

1 PA ? PC ? PC PA cos ?APB ? PC ? ? PP2 ? x 2 ? x , 2 1 5 当 x= ,即当 P 在 P3 时, PA ? PC 最小,此时 cos ?PAB ? 13 .………5 分 4 26 21. (本小题满分 15 分) 1 解: (Ⅰ)由 a=0,所以 f (x)=- x3+lnx. 3 3 1? x 所以 f ?( x) ? . x 1 容易知道 x=1 是函数 f (x)=- x3+lnx 的极大值点. 3 1 所以函数 f (x)的极大值为 f (1)=- .………………………………………………6 分 3 2 (1 ? x)( x ? x ? 1 ? a) (Ⅱ)因为 f ?( x) ? . x 1 (1)当 a ? 1 时,f (x)在(0,1)上递增,(1,+∞)上递减, f ( x)max ? f (1) ? a ? , 3 1 1 当 a ? ? 0 ,即 ? a ? 1 时,函数 y=f (x)有零点. 3 3 1 (2)当 a ? 1 时, f (1) ? a ? ? 0 , f ( 3a) ? (1 ? a)ln( 3a) ? 0 , 3 由零点存在定理,f (x)在 (1, 3a) 内有零点,从而在(0,+∞)内有零点, 1 所以当 a ? 时,函数有零点. ……………………………………………………9 分 3

?

?

22. (本小题满分 14 分) 解: (1)由依题意 因为 得 又因为

(-2)2=2p p=2;

(?2 ? 0)2 ? (1 ? b)2 ? 1 ? 1

得 b=-1; …………………………………………5 分 (2) (ⅰ)设直线 PA 的斜率为 k,则直线 PA 的斜率为-k,所以

? x2 ? 4 y ? ? y ? 1 ? k ( x ? 2) 2 即 x -4kx-8k-4=0 根据韦达定理,有 xA+xP=4k 即 xA=4k+2,所以点 A (4k ? 2,(2k ? 1)2 ) ,同理 B (?4k ? 2,(?2k ? 1)2 ) .
所以直线 AB 的斜率为: k AB ?

(2k ? 1)2 ? (?2k ? 1) 2 ? 1 .…………………………5 分 4k ? 2 ? (?4k ? 2) t ?3 2


(ⅱ)设直线 AB 的方程为 y=x+t,则点 P 到 AB 的距离 d ? 联立直线 AB 与圆 C 的方程,得

? x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ? ?y ? x ? t


2 x2 ? 2(t ? 1) x ? t 2 ? 2t ? 0
4(t ? 1)2 ? 8(t 2 ? 2t ) ? 2 ? ?t 2 ? 2t ? 1 , 2 1 t ?3 ? ? ? 2 ? ?t 2 ? 2t ? 1 2 2

由于 AB 与圆 C 交于不同两点 M,N,所以 1 ? 2 ? t ? 1+ 2 . 因为 所以

MN ? 2 ? S?PMN

?
设 因为 由 mt? ? 0,解得

1 . (t ? 3)2 ? (?t 2 ? 2t ? 1) ( 1 ? 2 ? t ? 1+ 2 ) 2 m ? (t ? 3)2 ? (?t 2 ? 2t ? 1)

mt? ? 2(t ? 3) ? (?t 2 ? 2t ? 1) ? (t ? 3)2 ? (?2t ? 2)
3? 5 3? 5 ,或 t ? (舍) ,或 t ? 3 (舍) . 2 2

t?
所以 此时直线 AB 的方程为

(S△PMN)max=

3 ? 5 1? 5 . ? 4 2
y? x? 3? 5 .………………………………4 分 2


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