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3.1.3导数的几何意义

时间:2017-10-17


3.1.3 导数的几何意义

回顾
①平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2平均变化率为:

?y f(x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ?x
②平均变化率的几何意义: 割线的斜率
y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y

Y=f(x)

?y

f(x2 ) ? f ( x1 ) k? ? x2 ? x1 ?x

B

f(x1)
O

A x2-x1=△x x x1 x2

③导数的概念

回顾

函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 或 ,即

f ( x0 ? Δx) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ?0 x ? x0 ?x x ? x0 ④ 求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般步驟是:
(1)求函数的增量?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ); f ( x 0 ??x) ? f ( x0 ) ?y (2)求平均变化率 ? ; ?x ?x ?y (3)取极限,得导数f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

问题1 平面几何中我们是怎样判断直线是否 是圆的割线或切线的呢?

问题2

如图直线l1是曲线C的切线吗? l2呢?
y

l1
l2
A B

0

x

观察动画你能得到什么结论?

y=f(x) y

(一)切线的定义:
当点 Pn 沿着曲线趋近于

点 P ,即 ?x ? 0 时,割线 PPn
趋近于一个确定的位置, 这个确定位置的直线PT 称为点P处的切线。 注:曲线的切线,并不一定与曲线只有一 个交点, 可以有多个,甚至可以有无穷多个.
o x

思考
y

y=f(x)

已知曲线y=f(x)上两点, P( x0 , f ( x0 )), Pn ( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x)) ?y ⑴ 表示什么? ?x ?x ? 0 , ⑵根据切线定义可知: 割线 PPn ?切线 PT ,那么割线
PPn的斜率 kn ??
o x

⑶结合?x ? 0 ,割线 PPn ? 切线 PT, 则切线 PT 的斜率 k 可以表示怎么表示?

在上面的研究过程中,某点的割线斜率和切线 斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率 有何联系?

平均变化率 割线的斜率

?x ? 0

瞬时变化率(导数) 切线的斜率

?x ? 0

(二)导数的几何意义:
函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数就是曲 线在点(x0,f(x0))处的切线的斜率 k , 即:

f ? x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) k ? lim ? f ?( x0 ) ?x ?0 ?x

曲线在点(x0,f(x0))处的切线的方程为:

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).

例1 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) 解 : k ? lim y ?x ? 0 Q ?x (1 ? ?x ) 2 ? 1 ? (1 ? 1) ? lim 2 ?x ? 0 ?x y = x +1 2 ?x ? ( ?x ) 2 ? lim ? 2. ?x ? 0 ?x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), ?x 即y=2x.
1

?y

M

求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: ①求出切点P的坐标; ②求切线的斜率,即函数y=f(x)在 x=x0处的导数; ③利用点斜式求切线方程.

j

x

-1 O

1

例2

如图, 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
2

h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 的图象. 根据图象, 请描述、比较
曲线 h(t ) 在

t0 , t1 , t2 附近的变化情况.
h l0

l1

o

t3 t4 t0

t1

t2 l2

t

例2
解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线 h 刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变 化情况. (1)当 t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴.故在 t = t0 附近曲线比较平 坦, 几乎没有升降. (2)当 t = t1 时, 曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h’(t1) <0 .故在t = t1 附近曲线下 t t t 降,即函数 h(t) 在 t = t1 附近单调递减. o 3 4 0
l0

l1

t1

t2 l2

t

(3)当 t = t2 时, 曲线 h(t) 在 t2处的切线 l2 的斜率 h’(t2) <0 .故在 t = t2 附近曲线下降,即函数 h(t) 在t = t2 附近也单调递减. 从图可以看出,直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度,这 说明 h(t) 曲线在 l1 附近比在 l2 附近下降得缓慢

归纳小结
通过观察跳水问题中导数的变化情况,你得到 了哪些结论? (1)以直代曲:大多数函数就一小段范围看,大 致可以看作直线,某点附近的曲线可以用过该 点的切线近似代替; (2)函数的单调性与其导函数正负的关系 ;

(3)曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系 .

练习1:在例2中,描述函数 h(t) 在t3和t4附近增
(减) 以及增(减)快慢的情况。
h l0

l1

o

t3 t4 t0

t1

t2 l2

t

练习2
(1)如果曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,那么( ) A. f ?( x0 ) ? 0 C.
f ?( x0 ) ? 0

B. f ?( x0 ) ? 0 D. f ?( x0 ) 不存在

(2)曲线 y ? 2 x 2 ? 1在点P(-1,3)处的切线方程为( ) A. y ? ?4 x ? 1 C. B.

y ? ?4 x ? 7

y ? 4x ? 1

D.

y ? 4x ? 7

小结:
1.曲线切线的定义

2.导数的几何意义 3.求切线方程的步骤


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