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几类常见递推数列的解题方法


叠加、 叠乘、迭代递推、代数转化
——几类常见递推数列的教学随笔
436032

湖北省鄂州市葛店高级中学

廖传尧

已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类:一类是根据前几项的特点归纳猜 想出 a n 的表达式,然后用数学归纳法证明;另一类是将已知递推关系,用代数法、迭代法、换元法,

或是转化为基本数列(等差或等比)的方法求通项.第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的 结构经验,才能顺利完成,对学生要求高.第二类方法有一定的规律性,只需遵循其特有规律方可顺利 求解.在教学中,我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法. 一、叠加相消. 类型一:形如 a n ? 1 =a n + f (n), 其中 f (n) 为关于 n 的多项式或指数形式(a )或可裂项成差的分式 形式.——可移项后叠加相消. 例 1:已知数列{a n },a 1 =0,n∈N ? ,a n ? 1 =a n +(2n-1) ,求通项公式 a n . 解:∵a n ? 1 =a n +(2n-1) ∴a n ? 1 =a n +(2n-1) ∴a 2 -a 1 =1 、a 3 -a 2 =3 、…… a n -a n ?1 =2n-3 ∴a n = a 1 +(a 2 -a 1 )+(a 3 -a 2 )+…+(a n -a n ?1 )=0+1+3+5+…+(2n-3) =
1 2
n

[1+(2n-3)]( n-1)=( n-1)2

n∈N ?

练习 1:⑴.已知数列{a n },a 1 =1, n∈N ? ,a n ? 1 =a n +3 n , 求通项公式 a n . ⑵.已知数列{a n }满足 a 1 =3, 二、叠乘相约. 类型二:形如
a n ?1 an ? f ( n ) .其中 f (n) =
( mn ? b ) ( mn ? c )
p p

2 a n ? a n ?1

? n ( n ? 1) ,n∈N ? ,求 a n .

(p≠0,m≠0,b –c = km,k∈Z)或

a n ?1 an

=kn(k≠0)



a n ?1 an

= km ( k ≠ 0, 0<m 且 m ≠ 1).

n

例 2:已知数列{a n }, a 1 =1,a n >0,( n+1) a n ? 1 2 -n a n 2+a n ? 1 a n =0,求 a n . 解:∵( n+1) a n ? 1 2 -n a n 2+a n ? 1 a n =0 ∴ [(n+1) a n ? 1 -na n ](a n ? 1 +a n )= 0 ∵ a n >0 ∴
a n ?1 an ? n n ?1
? a n ?1 a n?2 ? a n?2 a n?3 ?? ? a2 a1 ? a1 ? n ?1 n ? 2 n ? 3 1 1 ? ? ?? ? ?1 ? n n ?1 n ? 2 2 n

∴ a n ? 1 +a n >0



(n+1) a n ? 1 -na n =0

∴an

?

an a n ?1

练习 2:⑴已知数列{a n }满足 S n =

n 2

a n ( n∈N ), S n 是{ a n }的前 n 项和,a 2 =1,求 a n .

*

⑵.已知数列{a n }满足 a n ? 1 = 3 na n ( n∈N ),且 a 1 =1,求 a n .
*

三、逐层迭代递推. 类型三:形如 a n ? 1 = f (a n ),其中 f (a n )是关于 a n 的函数.——需逐层迭代、细心寻找其中规律. 例 3:已知数列{a n } 1 =1, n∈N ? ,a n ? 1 = 2a n +3 n ,求通项公式 a n . ,a 解: ∵a n ? 1 = 2 a n +3 n ∴ a n =2 a n ? 1 +3 n-1 =2(2 a n ? 2 +3 n-2)+3 n-1 = 22(2 a n ? 3 +3 n-3)+2·3 n-2+3 n-1 =……=2 n-2(2 a 1 +3 )+2 n-3·3 2+2 n-4·3 3+2 n-5·3 4+…+22·3 n-3+2·3 n-2+3 n-1 =2 n-1+2 n-2·3 +2 n-3·3 2+2 n-4·3 3+…+22·3 n-3+2·3 n-2+3 n-1
?
n ? ?3? ? n n ?1 ? ? ? ? ? 3 ? 2 3 ? ?2? ? ? 1? ? 2 n ?1

2

练习 3:⑴.若数列{a n }中,a 1 =3,且 a n ? 1 =a 2 (n∈N ? ) ,求通项 a n . n ⑵.已知数列{a n }的前 n 项和 S n 满足 S n =2a n + ? ? 1 ? ,n∈N ? ,求通项 a n .
n

四、运用代数方法变形,转化为基本数列求解. 类型四:形如 a n a n ? 1 = pa n ? qa n ? 1 , (pq ≠ 0) .且 a n ? 0 的数列,——可通过倒数变形为基本数列 问题. 当 p = -q 时,则有:
1 a n ?1 1 a n ?1 ? 1 an ? ? q pa n ? 1 p 1 p
2a n an ? 2

转化为等差数列;

当 p ≠ -q 时,则有:

?

.同类型五转化为等比数列.

例 4:若数列{a n }中,a 1 =1,a n ? 1 = 解: ∵
a n ?1 ? 2an an ? 2

n∈N ? ,求通项 a n .

又? a 1 ? 1 ? 0 , ∴ a n ? 0 , ∴
1 a n ?1 ? 1 2 ? 1 an



1 a n ?1

?

1 an

?

1 2

∵ 1 ?1
a1

∴数列{ a n }是首项为 1,公差为 ∴ 1 =1+ 1 ? n ? 1 ?
an
2

1 的等差数列. 2

∴a n =

2 n ?1

n∈N ?
3 2

练习 4:已知 f (n) =

2x 3? x

,数列{ a n }满足 a 1 =1,a n =

f (a n ?1 ),求 a n .

类型五:形如 a n ? 1 =pa n + q ,pq≠0 ,p、q 为常数. 当 p =1 时,为等差数列; 当 p ≠1 时,可在两边同时加上同一个数 x,即 a n ? 1 + x = pa n + q + x

? a n ? 1 + x = p(a n +

q? x p

), 令 x =

q? x p

∴x =

q p ?1

时,有 a n ? 1 + x = p(a n + x ),

从而转化为等比数列 {a n +

q p ?1

} 求解.
1 2 1 2

例 5:已知数列{a n }中,a 1 =1,a n = 解:∵ a n =
1 2

a n ?1 + 1,n= 1、2、3、…,求通项 a n . (a n ?1 -2)
1 2

a n ?1 + 1 ? a n -2 =

又∵a 1 -2 = -1≠0 ∴数列{ a n -2}首项为-1,公比为
n ?1 ∴ a n -2 = -1 ? ( )

的等比数列.

1

2

即 a n = 2 -2

1? n

n∈N ?

练习 5:⑴.已知 a 1 =1,a n = 2 a n ?1 + 3 (n = 2、3、4…) ,求数列{a n }的通项. ⑵. 已知数列{a n }满足 a 1 =
1 2

,a n ? 1 =

2an an ? 1

,求 a n .

类型六:形如 a n ? 1 =pa n + f (n),p≠0 且 p 为常数,f (n)为关于 n 的函数. 当 p =1 时,则 a n ? 1 =a n + f (n) 即类型一. 当 p ≠1 时,f (n)为关于 n 的多项式或指数形式(a )或指数和多项式的混合形式. ⑴若 f (n)为关于 n 的多项式(f (n) = kn + b 或 kn + bn + c,k、b、c 为常数) ,——可用待定系数法
2 n

转化为等比数列. 例 6:已知数列{ a n }满足 a 1 =1,a n ? 1 = 2a n +n ,n∈N ? 求 a n . 解:令 a n ? 1 + x[a(n+1) + b(n+1) + c] = 2(a n + an + bn + c) 即 a n ? 1 = 2 a n + (2a–ax)n + (2b -2ax – bx)n +2c –ax –bx – cx
2 2 2 2

比较系数得:

? 2 a ? ax ? 1 ? ? 2 b ? 2 ax ? bx ? 0 ? 2 c ? ax ? bx ? cx ? 0 ?

?

1 ? ?a ? 2 ? x ? 2 ax ? ?b ? 2?x ? ax ? bx ? ?c ? 2?x ?
2

?a ? 1 ? ? 令 x = 1,得: ? b ? 2 ?c ? 3 ?

∴ a n ? 1 + (n+1) +2(n+1) + 3 = 2(a n + n +2n + 3) ∵ a 1 +1+2×1+3 = 7 令 b n = a n + n +2n + 3 则 b n ? 1 = 2b n b 1 = 7 ∴数列{ b n }为首项为 7,公比为 2 德等比数列 ∴ b n = 7× 2
n ?1 2 n ?1 n ?1

2

即 a n + n +2n + 3 = 7× 2
n

2

∴ a n = 7× 2

-( n +2n + 3 ) n∈N ?

2

⑵若 f (n)为关于 n 的指数形式(a ) . ①当 p 不等于底数 a 时,可转化为等比数列; ②当 p 等于底数 a 时,可转化为等差数列. 例 7: (同例 3)若 a 1 =1,a n = 2 a n ?1 + 3
n ?1

,(n = 2、3、4…) ,求数列{a n }的通项 a n .

解: ∵ a n = 2 a n ?1 + 3 令-x×3 = 3
n n

n ?1

∴ 令 a n + x×3 = 2(a n ?1 +x×3
n n ?1

n

n ?1

) 得 a n = 2 a n ?1 -x×3

n ?1

? x = -1

∴ a n -3 = 2(a n ?1 -3

) 又 ∵ a 1 -3 = - 2

∴数列{ a n ? 3 n }是首项为-2,公比为 2 的等比数列. ∴ a n ? 3 n =-2·2
n ?1

即 a n = 3 -2

n

n

n∈N ?
n

例 8:数列{ a n }中,a 1 =5 且 a n =3a n ?1 + 3 -1 (n = 2、3、4…) 试求通项 a n . 解: a n =3a n ?1 + 3 -1
an ? 3
n

n

? an ?
an ? 3
n

n 1 1 ? 3 ( a n ?1 ? ) ? 3 2 2

?

1 2

?

a n ?1 ? 3
n ?1

1 2

?1

? {

1 2 }是公差为 1 的等差数列.

?

an ? 3
n

1 1 1 5? a1 ? 2 +( n ? 1 ) = n + 1 2 +( n ? 1 ) = 2 = 3 2 3
n 1 1 )?3 ? 2 2

? an = (n ?

n∈N ?
n

⑶若 f (n)为关于 n 的多项式和指数形式(a )的混合式,则先转换多项式形式在转换指数形式.例 如上面的例 8. 练习 6:⑴.已知数列{a n }中 a 1 = 1,a n ? 1 = 3 a n + n , n ? N ? ; 求{a n }的通项. ⑵设 a 0 为常数,且 a n = 证明:对任意 n ≥ 1,a n =
1 5

3
n

n ?1

-2 a n ?1 (n∈N ? 且 n ≥ 2 ).
n ?1

[3 + (-1)

2 ] +(-1) 2 a 0 .
2

n

n

n

类型七:形如 a n ? 2 = p a n ? 1 + q a n ( pq ≠ 0, p、q 为常数且 p + 4q > 0 ),——可用待定系数法转化为 等比数列. 例 9: 已知数列{a n }中 a 1 = 1, a 2 = 2 且 a n ? 2 ? a n ? 1 ? 2 a n , n ? N ? ; 求{a n }的通项. 解:令 a n ? 2 +x a n ? 1 = (1+x) a n ? 1 + 2 a n ? a n ? 2 +x a n ? 1 = (1+x)( a n ? 1 + 令x= 2
? x +x – 2=0
2

2 1? x

an )

1? x

? x = 1 或 -2

当 x = 1 时,a n ? 2 + a n ? 1 =2(a n ? 1 + a n ) a n ?1 + a n = 3 ? 2
n ?1

从而 a 2 + a 1 = 1 + 2 = 3

∴数列{ a n ? 1 + a n }是首项为 3 且公比为 2 的等比数列. ∴ …… …… ① 而 a 2 - 2a 1 = 0 ②

当 x = - 2 时, a n ? 2 - 2a n ? 1 = - (a n ? 1 -2a n ) , ∴ a n ? 1 - 2a n = 0
n ?1

…… ……

由①、②得: an = 2 ,
n? N?
3 3 3

练习 7:⑴已知: a 1 = 2, a 2 = 5 , a n ? 2 ? 5 a n ? 1 ? 2 a n ,(n = 1、2、3、……),求数列{ a n }的通项. ⑵已知数列:1、1、2、3、5、8、13、……,根据规律求出该数列的通项. 五、数列的简单应用.

例 10:设棋子在正四面体 ABCD 的表面从一个顶点移向另外三个顶点时等可能的.现抛掷骰子,根据 其点数决定棋子是否移动,若投出的点数是奇数,则棋子不动; 若投出的点数是偶数,棋子移动到另外一个 顶点.若棋子初始位置在顶点 A,则: ⑴投了三次骰子,棋子恰巧在顶点 B 的概率是多少? ⑵投了四次骰子,棋子都不在顶点 B 的概率是多少? ⑶投了四次骰子,棋子才到达顶点 B 的概率是多少? 分析:考虑最后一次投骰子分为两种情况 ①最后一次棋子动;②最后一次棋子不动. 解: 事件投一次骰子棋子不动的概率为 ∵ =
1 6 1 2
A C D

B

; 事件投一次骰子棋子动且到达顶点 B 的概率为

1 2

?

1 3

. ⑴.投了三次骰子,棋子恰巧在顶点 B 分为两种情况 ①.最后一次棋子不动,即前一次棋子恰在顶点 B;②.最后一次棋子动,且棋子移动到 B 点.

设投了 i 次骰子,棋子恰好在顶点 B 的概率为 p i ,则棋子不在顶点 B 的概率为(1- p i ).所以,投了 i+1 次骰子,棋子恰好在顶点 B 的概率:p i ? 1 = p i × ∴ p i ?1 =
1 6 1 2

+ (1- p i )× ∴ p2 =
2 9

1 6

i = 1、2、3、4、…… ∴ p3 =
13 54

+

1 3

×p i

∵ p1 =

1 2

?

1 3

=

1 6

⑵.投了四次骰子,棋子都不在顶点 B,说明前几次棋子都不在 B 点,应分为两种情况 ①最后一次棋子不动;②最后一次棋子动,且不到 B 点.
p 设投了 i 次骰子, 棋子都不在顶点 B 的概率为 p i? ,则投了 i+1 次骰子, 棋子都不在顶点 B 的概率为: i?? 1 = p i? ×
1 2

+ p i? ×
1 2

1 2

×(1﹣
1 3

1 3

) i = 1、2、3、4、……
5 6

即: p i?? 1 =

5 6

p i?

又∵ p 1? =

+

1 2

×(1﹣

)=

? ∴ p4 = (

5 6

)

4

⑶.投了四次骰子,棋子才到达顶点 B;说明前三次棋子都不在 B 点,最后一次棋子动且 到达顶点 B.设其概率为 P 则: P=
1 2 ? 1 3

? × p3 =

1 6

×(

5 6

) =

3

125 1296

答: (略) . 例 11:用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块;第二层用去了剩下的一半多一 块,…,依次类推,每层都用去了上层剩下的一半多一块.如果第九层恰好砖块用完,那么一共用了多 少块砖? 分析:本题围绕两个量即每层的砖块数 a i 和剩下的砖块数 b i ,关键是找出 a i 和 b i 的关系式,通 过方程(组)求解. 解:设第 i 层所用的砖块数为 a i ,剩下的砖块数为 b i (i = 1、2、3、4、…… )则 b 9 = 0,且设 b 0 为

全部的砖块数,依题意,得 a1 =
1 2

b 0 + 1,a 2 =

1 2

b 1 + 1,…… a i = … …
1 2

1 2

b i ?1 + 1 … … … … ① …
1 2

又 b i ?1 = a i + b i 联立①②得 ∴ bi + 2 =
1 2

… …



b i ? 1 -b i = (b i ? 1 + 2)

b i ?1 + 1 即 b i = ∴ b 9 +2 = (
1 2
9

b i ?1 - 1
9

) (b 0 + 2 ) ∴ b 0 +2 = 2×2

∴ b 0 = 1022

练习 8:⑴十级台阶,可以一步上一级,也可以一步上两级;问上完十级台阶有多少种不同走法? ⑵. 三角形内有 n 个点,由这 n 个点和三角形的三个顶点,这 n + 3 个点可以组成多少个不重叠 (任意两个三角形无重叠部分)的三角形? ⑶.甲、乙、丙、丁四人传球,球从一人手中传向另外三个人是等可能的.若开始时球在甲的手 中.若传了 n 次球,球在甲手中的概率为 a n ;球在乙手中的概率为 b n .(n = 1、2、3、4、…… ). ①问传了五次球,球恰巧传到甲手中的概率 a 5 和乙手中的概率 b 5 分别是多少? ②若传了 n 次球,试比较球在甲手中的概率 a n 与球在乙手中的概率 b n 的大小. ③传球次数无限多时,球在谁手中的概率大?
参考答案 练习 1:⑴. a n =
1 2
n ?1

(3 n-1)

⑵. a n =

n? 2 n

n ( n ?1 )

练习 2:⑴. a n = n -1

⑵. a n =

3

2

练习 3:⑴. a n = 3 2

(提示:可两边取对数)

⑵. a n =

2 3

[2

n?2

+ (-1)

n ?1

]

练习 4:a n =

3 n? 2

练习 5:⑴ a n = 2

n ?1

-3

⑵ an =

2 2

n ?1

n ?1

?1
×3
n ?1

练习 6:⑴可得 a n ? 1 +

1 2
n

(n+1)+

1 4

= 3(a n +

1 2

n+

1 4

)

从而 a n =

7 4

-(

1 2

n+

1 4

)

⑵ (略)

练习 7:⑴a n = 3 -

2 3

n ?1

, ⑵由已知得 a n ? 2 = a n ? 1 + a n

? an =

5 5

[(

1? 2

5

) -(

n

1? 2

5

) ]

n

练习 8:⑴∵a n ? 2 = a n ? 1 + a n , a 1 = 1,a 2 = 2,∴a 10 = 89 ⑶①∵a n ? 1 =

⑵∵a n ? 1 = a n + 2 ,a 1 = 3 ∴a n = 2n+1 ∴a 5 =

1 3

(1 - a n )

b n ?1 = × (?

1 3
n ?1

(1 - b n ) bn =

a1 = 0

b1 =

1 3 1 3

20 81



b5 =

61 243

.

②可解得 a n =

1 4

-

1 4

1 3

)

1 4

+

1 12

× (?

)

n ?1

∴当 n 为奇数时, a n < ③当 n → ∞时,a n →

1 4 4

<b n ;当 n 为偶数时,a n > ,b n →

1 4

>b n

1

1 4

故球在各人手中的概率一样大.

邮箱地址:ezliao@126.com 通信地址:湖北省鄂州市葛店高中 姓名:廖传尧 二 OO 五年十月五日


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