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2012-2013学年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 单元测试1 新人教A版必修1

时间:2013-01-13


第二章

基本初等函数(Ⅰ) 单元测试 1
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符号题目要求的。) 1.下列函数

在区间(0,3)内是增函数的是( 1 A.y= ) 1 2

x

B.y=x

1 x C.y=( ) 3 [答案] B [解析] 由幂函数、指数函数性质即得.

D.y=x -2x-15

2

1 1 2 2 2.设 a=0.7 ,b=0.8 ,c=log30.7,则( A.c<b<a C.a<b<c [答案] B [解析] 由幂函数性质有 b>a>0>c.

)

B.c<a<b D.b<a<c

n n 3 6 2 0 3.下列各式:① a =a;②(a -3a+3) =1 ③ -3= ? -3?
( ) A.0 C.2 [答案] B B.1 D.3

2

.其中正确的个数是

3 2 3 n n 2 2 0 [解析] 当 n 为偶数时, a =|a|,故①错;a -3a+3=(a- ) + >0,故(a -3a+3) 2 4 6 =1,故②对; ? -3? 3x
2 2

3 3 3 = 3, -3=- 3,故③错. )

4.函数 f(x)= 1 A.(- ,+∞) 3 1 1 C.(- , ) 3 3 [答案] B

+lg(3x+1)的定义域是( 1-x

1 B.(- ,1) 3 1 D.(-∞,- ) 3

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-1-

? ?1-x>0, [解析] 由题意知? ? ?3x+1>0,

1 ∴- <x<1. 3 )

5.下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是( 1 2
-2

A.y=x C.y=x

B.y=x

4

1 D.y=x 3

[答案] B 1 2 1 3

[解析] y=x 定义域不关于原点对称,是非奇非偶函数,y=x 不过原点,y=x 是奇 函数. 1 x 6.与函数 f(x)=2 的图象关于直线 y=x 对称的曲线 C 对应的函数为 g(x),则 g( )的值 2 为( ) A. 2 C. 1 2 B.1 D.-1

-2

[答案] D 1 -1 [解析] 依题意,得 g(x)=log2x,∴g( )=log22 =-1. 2 7.下列函数中,其定义域与值域相同的是( A.y=2
x

) B.y=x 2 D.y=
2

C.y=log2x [答案] D

x

8.若函数 y=f(x)的定义域是[2,4],则 y=f(log x)的定义域是( 1 2 1 A.[ ,1] 2 C.[4,16] [答案] B 1 1 [解析] 2≤log2x≤4,即 log ≤log x≤log , 1 4 1 1 16 2 2 2 ∴ 1 1 ≤x≤ ,故选 B. 16 4
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)

1 1 B.[ , ] 16 4 D.[2,4]

-2-

9.幂函数 y=(m -m-1)x A.m=2 C.m=-1 或 2 [答案] A

2

m -2m-3

2

,当 x∈(0,+∞)时为减函数,则实数 m 的值为( B.m=-1 1± 5 D.m≠ 2

)

[解析] ∵y=(m -m-1) x ∴m -m-1=1. 解得 m=2 或 m=-1.
2

2

m -2m-3

2

为幂函数,

当 m=2 时,m -2m-3=-3,y=x 在(0,+∞)上为减函数;当 m=-1 时,m -2m-3 =0,y=x =1(x≠0)在(0,+∞)上为常数函数(舍去), ∴m=2. 10.已知 f(x )=lnx,则 f(2)的值为( A.ln2 1 C. ln2 2 [答案] B 1 1
n
0

2

-3

2

) 1 B. ln2

n

D.2ln2

n n 1 1 n [解析] 令 t=x ,则 x=t ,f(t)=lnt = lnt,则 f(2)= ln2. n n
11.(2012·汉中高一检测)如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点, 1 那么称这个点为“好点”.在下面的五个点 M(1,1),N(1,2),P(2,1),Q(2,2),G(2, )中, 2 可以是“好点”的个数为( A.0 个 C.2 个 [答案] C [解析] 设此函数为 y=a (a>0,a≠1), 显然不过点 M、P,若设对数函数为 y=logbx(b>0,b≠1),显然不过 N 点,选 C. 12.给出四个函数图象分别满足:①f(x+y)=f(x)+f(y);②g(x+y)=g(x)·g(y); ③u(x·y)=u(x)+u(y);④v(x·y)=v(x)·v(y).与下列函数图象对应的是( A.①—a,②—d,③—c,④—b B.①—b,②—c,③—a,④—d C.①—c,②—a,③—b,④—d D.①—d,②—a,③—b,④—c )
x

) B.1 个 D.3 个

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-3-

[答案] D [解析] 显然满足①f(x+y)=f(x)+f(y)的函数应是 y=kx 这种类型,故对应的图象应 是 d;满足②g(x+y)=g(x)·g(y)应该是指数函数,故对应的图象应是 a;满足③u(x·y)=

u(x)+u(y)的应是对数函数,故对应的图象应是 b;满足④v(x·y)=v(x)·v(y)的应是幂函
数 y=x ,故对应的图象应是 c. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.不等式 2
x +2x-4
2

n

1 ≤ 的解集为________. 2

[答案] {x|-3≤x≤1} [解析] 不等式 2 14. x∈(e 若
-1,

x +2x-4

2

2 1 x +2x-4 -1 2 ≤ 可化为 2 ≤2 .即 x +2x-4≤-1,解得-3≤x≤1. 2 3

1), =lnx, =2lnx, =ln x, a, , 的大小关系是______________. a b c 则 b c

[答案] b<a<c [解析] 由 x∈(e
-1,

1)得-1<lnx<0,从而 b=2lnx<lnx=a,c=ln x>lnx=a.
2

3

15.函数 y=lg(4+3x-x )的单调增区间为________. 3 [答案] (-1, ] 2 [解析] 函数 y=lg(4+3x-x )的增区间即为函数 y=4+3x-x 的增区间且 4+3x- 3 2
2 2

x2>0,因此所求区间为(-1, ].
16. (2012·全国高考数学山东卷)若函数 f(x)=a (a>0, ≠1)在[-1,2]上的最大值为 4, a 最小值为 m,且函数 g(x)=(1-4m) x在[0,+∞)上是增函数,则 a=________. [答案] 1 4
x

1 2 -1 [解析] 当 a>1 时,有 a =4,a =m,此时 a=2,m= ,此时 g(x)=- x为减函数, 2 1 1 -1 2 不合题意.若 0<a<1,则 a =4,a =m,故 a= ,m= ,检验知符合题意. 4 16 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 32 log 3 17.(本小题满分 10 分)(2012·德州高一检测)(1)计算:2log32-log3 +log38-25 5 . 9 (2)已知 x=27,y=64.化简并计算:

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-4-

-

?

5x y . 1 1 1 6 1 -1 2 5 3 - x y ? ? - x y ? 4 6

2 1 3 2

32 2log 3 [解析] (1)原式=log34-log3 +log38-5 5 9 9 log 9 =log3(4× ×8)-5 5 32 =log39-9=2-9=-7. (2)原式= ? 2 3 1 - ? 4 1 2 5x 2 1 3 2

y

5 ×? - ? 6 1 6

×x

-1+

1 1 3 y2



1 6



·y =24y 又 y=64, 2 1 3 3 5 ×x ·y 24 1 6

5x

∴原式=24×(2 )

6

=48.

1 ax 18. (本小题满分 12 分)(2012·福建省厦门市高一期中)已知函数 f(x)=( ) , 为常数, a 2 且函数的图象过点(-1,2). (1)求 a 的值; (2)若 g(x)=4 -2,且 g(x)=f(x),求满足条件的 x 的值. 1 -a [解析] (1)由已知得( ) =2,解得 a=1. 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 -x (2)由(1)知 f(x)=( ) , g(x)=f(x), 4 -2=( ) , 又 则 即( ) -( ) -2=0, 即[( ) ] 2 2 4 2 2 1 x -( ) -2=0, 2 1 x 1 x 2 令( ) =t,则 t -t-2=0,即(t-2)(t+1)=0,又 t>0,故 t=2,即( ) =2,解得 x 2 2 =-1. 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=loga(x +1)(a>1). (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)求函数 f(x)的值域.
用心 爱心 专心 -52 -x

[解析] (1)已知函数 f(x)=loga(x +1)(a>1),且 x +1>0 恒成立,因此 f(x)的定义域 为 R,关于坐标原点对称,又 f(-x)=loga[(-x) +1]=loga(x +1)=f(x),所以 f(x)为偶 函数. (2)∵x ≥0,∴x +1≥1, 又∵a>1,∴loga(x +1)≥loga1=0, 故 f(x)=loga(x +1)(a>1)的值域为[0,+∞).
2 2 2 2 2 2

2

2

20.(本题满分 12 分)在已给出的坐标系中,绘出同时符合下列条件的一个函数 f(x)的图 象. (1)f(x)的定义域为[-2,2]; (2)f(x)是奇函数; (3)f(x)在(0,2]上递减; (4)f(x)是既有最大值,也有最小值; (5)f(1)=0. [解析] ∵f(x)是奇函数, ∴f(x)的图象关于原点对称, ∵f(x)的定义域为[-2,2],∴f(0)=0,由 f(x)在(0,2]上递减知 f(x)在[-2,0)上递 减, 由 f(1)=0 知 f(-1)=-f(1)=0,符合一个条件的一个函数的图象如图.

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-6-

[点评]

符合上述条件的函数不只一个,只要画出符合条件的一个即可,再结合学过的

一次、二次、幂、指、对函数可知,最简单的为一次函数.下图都是符合要求的.

21.(本小题满分 12 分)函数 f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),(0<a<1). (1)求函数 f(x)的定义域; (2)若函数 f(x)的最小值为-2,求 a 的值. [解析] (1)要使函数有意义:
? ?1-x>0 则有? ? ?x+3>0



解得:-3<x<1, 所以定义域为(-3,1). (2)函数可化为:

f(x)=loga[(1-x)(x+3)]
=loga(-x -2x+3) =loga[-(x+1) +4] ∵-3<x<1, ∴0<-(x+1) +4≤4, ∵0<a<1, ∴loga[-(x+1) +4]≥loga4, 由 loga4=-2,得 a =4,
-2 2 2 2 2

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1 2 1 ∴a=4 = . 2 22. (本小题满分 12 分)f(x)是定义在 R 上的函数, x, ∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y), 对 y 且当 x>0 时,f(x)<0,f(-1)=2. (1)求证:f(x)为奇函数; (2)求证:f(x)是 R 上的减函数; (3)求 f(x)在[-2,4]上的最值. [解析] (1)f(x)的定义域为 R, 令 x=y=0,则 f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0, 令 y=-x,则 f(x-x)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)+f(x)=f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)是奇函数. (2)设 x2>x1,

f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0, ∴f(x2)-f(x1)<0, 即 f(x2)<f(x1), ∴f(x)在 R 上为减函数. (3)∵f(-1)=2, ∴f(-2)=f(-1)+f(-1)=4, ∵f(x)为奇函数, ∴f(2)=-f(-2)=-4, ∴f(4)=f(2)+f(2)=-8, ∵f(x)在[-2,4]上为减函数, ∴f(x)max=f(-2)=4,

f(x)min=f(4)=-8.

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