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湖南省长郡中学2015届高三上学期第五次月考数学(理)试题 Word版含解析


湖南省长郡中学 2015 届高三第五次月考

数学(理)试题
【试卷综析】本试卷是高三理科试卷,以基础知识和基本技能为载体,以能力测试为主导, 在注重考查学科核心知识的同时, 突出考查考纲要求的基本能力, 重视学生科学素养的考查. 知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查:集合、不等式、 向量、三视图、导数、简单的线性规划、

直线与圆、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、 三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、充要条件等;考查学生解决实际问题的综合能 力,是份较好的试卷. 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量 120 分钟。满分 150 分。 【题文】一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 【题文】1.复数

2i 所对应的点位于复平面内 2?i
C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限 B.第二象限 【知识点】复数的化简 L1 【答案】B【解析】解析:复数

2i ? 2 ? i ? 2i ?2 ? 4i ? 2 4? ? ? ,对应的点坐标为 ? ? , ? , 2 ? i ? 2 ? i ?? 2 ? i ? 3 ? 3 3?

所以在第二象限,故选择 B. 【思路点拨】化简复数即可得到. 【题文】2.已知离散型随机变量 X 的分布列为

则 X 的数学期望 E(X)= A.

3 2

B.2

C.

5 2

D.3

【知识点】离散型随机变量的分布列 K6 【答案】A【解析】解析:由数学期望公式可得: E ? X ? ? 1? A. 【思路点拨】根据数学期望公式 E ? X ? ? X1P 1 ? X2P 2 ? X3P 3?

3 3 1 3 ? 2 ? ? 3 ? ? .故选择 5 10 10 2

XnP n 可得.
2

【题文】3.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, ( f x) ? x -3x ,则函数 g(x) =f(x)-x+3 的零点的集合为 A.{1,3}
-1-

B.{-3,-1,1,3}

C.{2 ? 7 ,1,3} 【知识点】函数的奇偶性 函数零点 B4 B9

D.{-2 ? 7 ,1,3}

D ∵f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, 【答案】 【解析】 解析: 当 x ? 0 时,( f x) ? x 2-3x 可得 x ? 0
2 ? ? x ? 3 x, x ? 0 的解析式为: ( f x) ? ? x ? 3x,则 f ? x ? ? ? 2 ? ? ? x ? 3 x, x ? 0

2

g x) ?( f x) ? x ? 3 ∴ g ? x? ? ? ∵( x2 ? 4 x ? 3 ?

2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 0 g x) ? 0,当 x ? 0 时 , , 令 ( 2 ? x ? 4 x ? 3, x ? 0 ? ?

, 解 得 x ? 1 , 或 x ? 3 , 当 x ? 0 时 , ? x2 ? 4 x ? 3 0 ?

, 0

x ? ?2 ? 7或x ? ?2 ? 7 解得(舍去)
g x) ?( f x) ? x ? 3 的零点的集合为 {?2 ? 7, ∴ 函数 ( 13} , .故选择 D.
【思路点拨】首先根据 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,求出函数在 R 上的解析式,再求出

g x) ( ?( f x) ? x ? 3 的解析式,根据函数零点就是方程的解,问题得以解决
【题文】4.在(1+x)6(1+y)4 的展开式中,记 xmyn 项的系数为 f(m,n) ,则 f(3,0)+f(2,1) +f(1,2)+f(0,3)= A.45 B.60 C.120 D.210 【知识点】二项式定理 J3
6 4 【 答 案 】 C 【 解 析 】 解 析 :( 的 展 开 式 中 , 含 x3 y 0 的 系 数 是 : 1 ? x) ( 1 ? y)

3 0 2 1 C6 C4 ? 20.( f 3, 0) ? 20; f 2,1 ) ? 60; 含 x 2 y1 的系数是: C6 C4 ? 60.( 含 x1 y 2 的系数是 1 2 0 3 C6 C4 ? 36.( f 1,2) ? 36; f 0,3) ? 4; 含 x0 y 3 的系数是 C6 C4 ? 4.(

f 3, 0) ?( f 2, 1 ) ? (, f 1 2) ?( f 0, 3) ? 120 .故选择 C. ∴(
【思路点拨】由题意依次求出 x y ,x y ,x y ,x y ,项的系数,求和即可. 【题文】5.已知命题 p:x ? A ? B,则非 p 是 A.x 不属于 A ? B C.x 不属于 A 且 x 不属于 B
3 0 2 1 1 2 0 3

B.x 不属于 A 或 x 不属于 B D.x ? A ? B

【知识点】命题的否定 A3 【答案】C【解析】解析:由 x ? A ? B 知 x ? A 或 x ? B ,所以非 p 是: x 不属于 A 且 x 不属 于 B.故选择 C 【思路点拨】因 x ? A ? B 即 x ? A 或 x ? B .是由“或”连接的复合命题,它的否定是由“且” 连接的复合命题. 【题文】6.若执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 3,则判断框中应填人的条件是

-2-

A. k B. k C. k D. k

?6 ?7 ?8 ?9

? ? ? ?

【知识点】算法和程序框图 L1 【答案】C【解析】解析:根据程序框图,运行结果如下: S k 第一次循环 log2 3 第二次循环 第三次循环 第四次循环 第五次循环 第六次循环 3 4 5 6 7 8

log2 3.log3 4

log2 3.log3 4.log4 5

log2 3.log3 4.log4 5.log5 6

log2 3.log3 4.log4 5.log5 6.log6 7

log2 3.log3 4.log4 5.log5 6.log6 7.log7 8 ? log2 8 ? 3

故如果输出 S=3,那么只能进行六次循环,故判断框内应填入的条件是 k<8 .故选择 C 【思路点拨】根据程序框图,写出运行结果,根据程序输出的结果是 S=3,可得判断框内应填 入的条件 【题文】7.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧 视图的面积为 A. C.

3 4
3 4

B. D.1

3 2

-3-

【知识点】三视图 G2 【答案】C【解析】解析:边长为 1 的正三角形的高为

3 3 ,即侧视图的底面边长为 ,而 2 2

侧视图的高,即为正视图的高 3 ,所以侧面积为

1 3 3 ? ? 3 ? .故选择 C. 2 2 4

【思路点拨】由题意可得侧视图为三角形,且边长为边长为 1 的正三角形的高线,高等于正 视图的高,分别求解代入三角形的面积公式可得答案.

f x) ? e ,( g x) ? ln 【题文】8.已知函数 (
x

x 1 ? 的图象分别与直线 y =m 交于 A,B 两点,则 2 2
C.e2+

|AB|的最小值为 A.2 B.2+1n 2

1 2

D.2e-ln

3 2

【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用 B12

? m? 1 ? 【答案】B【解析】解析:由题意, A ? ln m, m ? , B ? 2e 2 , m ? ? ?
其 中 2e
m? 1 2

? ln m ? m ? 0? , 所 以 AB ? 2e

m?

1 2

? ln m , 令 y ? 2e

x?

1 2

? ln x ? x ? 0? , 则

y ' ? 2e

x?

1 2

?

1 1 1 1 0 ? x ? , y' ? 0, 即函数单调递减,在 x ? , y ' ? 0 ,函数单 ? 0, ? x ? ,∴ 2 2 x 2

调递增,所以在 x ? 故选择 B.

1 处取得极小值,即为最小值,所以 AB min ? 2 ? ln 2 2

1 ? m? 1 ? m? 【 思 路 点 拨 】 由 题 意 设 A ? ln m, m ? , B ? 2e 2 , m ? , 则 A B ? 2 e 2 ? l n m ,令 ? ?

y?2 e

x?

1 2

求得其最小值即可. ? l n? x x? ? 0

【题文】9.设函数 f(x)= 3 sin(2 x ? ? )+cos(2 x ? ? ) ? | ? |? 线 x=0 对称,则

? ? ?

,且其图象关于直 2 ? ?

?? ?

-4-

? )上为增函数 2 ? ? B.y=f(x)的最小正周期为 ,且在(0, )上为增函数 2 4 ? C.y=f(x)的最小正周期为 ? ,且在(0, )上为减函数 2 ? ? D.y=f(x)的最小正周期为 ,且在(0, )上为减函数 2 4
A.y=f(x)的最小正周期为 ? ,且在(0, 【知识点】三角函数的图像与性质 C3 【答案】C【解析】解析:由题意已知函数为 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

?

? ? ? ? ,因为其图象关于直 6 ?

线 x=0 对称,所以 2 ? 0 ?

?
6

?? ?

?
2

? k? ? ? ?

?

? ? k ,又因为 | ? |? ? ,所以 ? ? ,即 3 3 2

x? 函 数 为 f ? x ? ? 2 sin? 2

? ?

?
6

?

??

f x ) 的最小正周期为 ? ,且在 ? ? 2 cosx2, 所 以 y ? ( 3?

(0, ) 上为减函数,故选择 C. 2
【思路点拨】根据其图象关于直线 x=0 对称以及 ? 的范围,可得 ? ?

?

?
3

,即可求得.

【题文】10.对于三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a ? 0) ,给出定义:设 f ? (x)是函数 y=f (x)的导数, f ?? (x)是 f ? (x)的导数,若方程 f ?? (x)=0 有实数解 x0,则称点(x0, f(x0) )为函数 y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”; 任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心,设函数 g(x) =

1 3? 1 2 5 ? 1 ? ? 2 ? ? 2014? x 2 x +3x ? ,则 g ? ? +g ? ? +…+g ? ?? 3 12 ? 2015? ? 2015? ? 2015?
D.2 016

A.2 013 B.2 014 C.2 015 【知识点】导数的应用 函数的对称中心 B12 B8

【答案】B【解析】解析:依题意,得: g ( ? x) ? x2 ? x ? 3, ? g( ? x) ? 2x ?1,

? x) ? 0,即2 x ?1 ? 0 ,可得 x ? 由 g(

1 ?1? ?1 ? ,而 g ? ? ? 1 ,即函数 g ? x ? 的拐点为 ? ,1? ,即 2 ?2? ?2 ?

g ?1 ? x ? ? g ? x ? ? 2 ,所以
? 1 ? ? 2014 ? ? 2 ? ? 2013 ? ? 3 ? ? 2012 ? g? ?? g? ? ? g? ?? g? ? ? g? ?? g? ?? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? 2, 所以所求为

-5-

2014 ? 2 ? 2014 ,故选择 B. 2
【思路点拨】根据所给的信息可求得函数 g ? x ? 的拐点为 ? ,1? ,即 g ?1 ? x ? ? g ? x ? ? 2 ,即 可得到. 【题文】二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填 在答题卡中对应题号后的横线上. (一)选做题(请考生在第 11,12 ,13 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) 【题文】11.如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上,CD⊥AB,垂足为 D,且 AD=5DB, 设∠COD= ? ,则 tan ? 的值为 .

?1 ? ?2 ?

【知识点】直角三角形的射影定理 N1 【答案】

5 ? OC ? , R 【 解 析 】 解 析 : 令 圆 O 的 半 径 为 R , 即 O A? O B 2
2 5 1 R,AD ? R,BD ? R , 由 相 交 弦 定 理 可 得 : 3 3 3

AD ? 5DB ? OD ?

5 R 5 5 CD 5 5 CD 2 ? AD ? BD ? R 2 ? CD ? .故答案为 . R ? tan? ? = 3 ? 2R 9 3 OD 2 2 3
【思路点拨】求 tan? 的值,可转化为解三角形 OCD ,根据相交弦定理,不难求出 CD 与半 径的关系,根据已知也很容易出出 OD 与半径的关系 【题文】12.已知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 3 cos? ? y ? 1 ? 3 sin ?

, ( ? 为参

数) ,Ox 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos?? ? l 所得的弦长为 【知识点】极坐标 参数方程 N3 。

? ?

??

? ? 0 ,则圆 C 截直线 6?

【答案】 4 2 【解析】解析:由圆的参数方程可得普通方程为: x ? 3 心为

?

?

2

? ? y ? 1? ? 9 圆
2

?

3,1 半径为 3 ,直线 l 的方程为 y ? 3x ,圆心到直线的距离为 d ? 1 ,所以弦长为

?

2 32 ?1 ? 4 2 .故答案为 4 2 .
【思路点拨】首先把参数方程和极坐标方程化为普通方程,再利用弦长 l ? 2 r 2 ? d 2 (d 为

-6-

圆心到直线的距离)即可求出. 【题文】13.不等式 x ?

1 ?| a ? 2 | ? siny 对一切非零实数 x,y 均成立,则实数 a 的取值范 x
基本不等式 E2 E6

围为 . 【知识点】含绝对值不等式

x? 【答案】 ?1,3? 【解析】解析:∵

1 1 ? ( ? ?, ? 2 ??? 2, ? ?) ?| x ? |? [2, ? ?) ,其最小值 x x

为 2,又∵ siny 的最大值为 1,故不等式 x ? ,解得 a ??1,3? ,故答案为 ?1,3?

1 ?| a ? 2 | ? siny | 恒成立,有 a ? 2 ? 1 x

【思路点拨】由对勾函数的性质,我们可以求出不等式左边的最小值,再由三角函数的性质, 我们可以求出 siny 的最大值,若不等式 x ? 绝对值不等式,即可得到答案. (二)必做题(14~16 题)

1 ?| a ? 2 | ? siny 恒成立,则 a ? 2 ? 1,解这个 x

?x ? 3y ?1 ? 0 ? 【题文】14.已知点 A 是不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0 所表示的平面区域内的一个动点,点 B(-1, ?x ? 1 ?
1) ,O 为坐标原点,则 OA · OB 的取值范围是 【知识点】线性规划问题 E5 。

, 【解析】解析:作出不等式组对应的平面区域如图: 【 答 案 】 [ ?11]

设A 由 z ? ? x ? y, 得 y ? x ? z 表示,斜率为 1 纵截距为 z 的 (x,y),z ? OAOB . ? ?x ? y, 一组平行直线, 平移直线 y ? x ? z , 当直线 y ? x ? z 经过点 D 时, 直线 y ? x ? z 的截距最小, 此时 z 最小,当直线 y ? x ? z 经过点 B 时,直线 y ? x ? z 的截距最大,此时 z 最大,由

?x ? 1 ?x ? 1 ?? ,即 B(1,2) ,此时 zmax ? ?1 ? 2 ? 1. ? ?x ? y ? 3 ? 0 ? y ? 2
-7-

由?

? x ? 3 y ? 1=0 ? x ? y ? 3=0

?x ? 2 ?? ,即 D(2,1)此时 zmin ? ?2 ? 1 ? ?1 ,故 ?1 ? z ? 1 , ?y ?1

,. 故答案为: [ ?11]
【思路点拨】设 A 由 z ? ? x ? y, 得 y ? x ? z 表示,斜率为 1 (x,y),z ? OAOB . ? ?x ? y, 纵截距为 z 的一组平行直线, 作出不等式组对应的平面区域, 利用 z 的几何意义即可得到结论.

x2 y2 【题文】15.如图,已知过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A(-a,0)作直线 l 交 y 轴 a b
于点 P ,交椭圆于点 Q ,若△ AOP 是等腰三角形,且 PQ =2 QA ,则椭圆的离心率 为 。

【知识点】椭圆的几何性质 【答案】

H5

2 5 △ AOP 是等腰三角形, A ( ? a, 0) ?P (0,a) 【解析】解析:∵ . 5

(x0,y0), PQ=2QA, ? (x0,y0 ? a) ?( 2 ? a ? x0, ? y0). ?? 设Q

? x0= ? 2a ? 2 x0 ,解得 ? y0 ? a= ? 2 y0

2 ? x0 ? ? a ? ? 3 b2 1 2 5 b2 2 5 . 代入方程化简可得: 2 ? ,所以 e ? 1 ? ,故答案为 ? ? 2 a a 5 5 a 5 ?y ? 0 ? 3 ?
【思路点拨】利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点 Q 的坐标,再代入椭圆方程 可得

b2 1 ? ,进而求得离心率. a2 5

【题文】16.等边△ABC 的边长为 2,取各边的三等分点并连线,可以将△ABC 分成如图所示 的 9 个全等的小正三角形,记这 9 个小正三角形的重心分别为 G1,G2,G3,…,G9,则| ( AG1 ? BG1 )+( AG2 ? BG2 )+…+( AG9 ? BG9 )|= 。

-8-

【知识点】向量的加法及其几何意义 A1 ABC 为等边三角形,边长为 2 【答案】 6 3 【解析】解析:因为△ ∴ AD ? BF ?

2 3 ( | AG1 ? BG1) ??? (AG9 ? BG9 ) |= , | EG | = ,且 AD ? BF =0 ,? 3 9

1 5 5 1 ? ( | AD ? EG ? BF ? EG) ??? ( AD ? EG1 ? BF ? EG1 ) |?| 54 EG1 |? 6 3 2 2 2 2
故答案为 6 3 . 【思路点拨】将所有的向量用 AD , BF, EG1 ,表示出来,再利用等边三角形的三线合一性质即 可求解 【题文】三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 【题文】17. (本小题满分 12 分) 某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人,其中有 3 名女工人,现 采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进 行技术考核. (1)求从甲、乙两组各抽取的人数; (2)记 ? 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 ? 的分布列及数学期望. 【知识点】分层抽样方法 等可能事件的概率 离散型随机变量及其分布列 I1 K1 K6 【答案】 (1)甲组抽取 2 名工人,乙组抽取 1 名工人; (2) E ?? ? ?

8 . 5

【解析】解析: (1)由于甲组有 10 名工人,乙组有 5 名工人,根据分层抽样原理.若从甲、 乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核,则从甲组抽取 2 名工人,乙组抽取 1 名工人. (2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3. Ai 表示事件:从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人,i=0,1,2. B 表示事件:从乙组抽取的是 1 名男工人. Ai 与 B 独立, i ? 0, 1, 2.

P (? ? 0) ?

1 2 C3 C4 6 . ? 2 1 C10 C5 75 2 1 1 2 1 C4 C6 C3 C4 C2 28 . ? . ? 2 1 2 1 C10 C5 C10 C5 75

P (? ? 1 ) ?

-9-

P (? ? 3) ?

1 C52 C2 10 . ? , 2 1 C10 C5 75

P (? ? 2) ? 1? P (? ? 0)-P (? ? 1 )-P (? ? 3)=
所以分布列为:

31 75

(? ? 0) ? 1? P (? ? 1 ) ? 2? P (? ? 2) ? 3? P (? ? 3) ? 故期望 E? ? 0 ? P

8 . 5

【思路点拨】 (1)求从甲、乙两组各抽取的人数;因为采用分层抽样方法从甲、乙两组中共 抽取 3 名工人进行技术考核.且甲组有 10 名工人,乙组有 5 名工人,根据分层抽样原理可直 接得到答案. (2)求 ξ 的分布及数学期望.首先记事件 Ai 表示事件:从甲组抽取的 2 名工人 中恰有 i 名男工人,i=0,1,2.B 表示事件:从乙组抽取的是 1 名男工人.故可得到 ξ 的可能 取值为 0,1,2,3.然后对每一个取值求概率.最后根据期望公式即可得到答案. 【题文】18. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 3 acos C=csin (1)求角 C 的大小; (2)若 a=3,△ABC 的面积为 A.

3 3 ,求 CA · AB 的值. 2

【知识点】正余弦定理 向量的数量积 C8 F3 【答案】 (1) C ?

?
3

; (2)-1.

【解析】解析:1)因为 3a cos C ? c sin A , 由正弦定理可得: 3sin A cos C ? sin C sin A,

0 ? A ? ? ,?sin A ? 0

? 3 cos C ? sin C ? tan C ? 3, 又 0 ? C ? ? ,? C ?
(2)

?
3



a ? 3, ABC 的面积为 3 3 ,? S ? 1 ab sin C ? 1 3b sin ? ? 3 3 ,? b ? 2 2 2 2 3 2
2

由余弦定理得: c ? 4 ? 9 ? 6 ? 7 ,即 c ?

7, cos A ?

22 ?

? 7?

2

? 32

2? 2? 7

?

7 14

则 CA. AB ? bc cos ?? ? A ? ? 2 7 ? ? ? ? 14 ? ? ? ?1 ? ? 【思路点拨】由正弦定理可得: 3 sin A cosC ? sin C sin A 可求得;根据面积公式可得 ,
- 10 -

?

7?

b ? 2 ,再由余弦定理得 c ? 7 以及 cos A 的值,代入公式可求得.
【题文】19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,AB= PA=1,AD= 3 ,F 是 PB 中点,E 为 BC 上一点. (1)求证:AF⊥平面 PBC; (2)当 BE 为何值时,二面角 C-PE-D 为 45o.

【知识点】线面垂直 二面角 G5 G11

BE ?
【答案】 (1)略; (2)

5 3 6 .

【解析】解析: (1)证明:以 A 为原点,AD 为 x 轴,AB 为 y 轴,AP 为 z 轴,建立空间直角 坐标系,

AB ? PA ? 1 ,AD ? 3 ,F 是 PB 中点, ?A (0, 0, 0),( P 0, 0, 1 ),( B 0, 1 , 0),( C 31 , , 0),
1 1 ? 1 1? ? AF ? ? 0, , ? PB=(0, 1, ? 1), PC=( 3, 1, ? 1),F (0, ,), 2 2 ? 2 2?

? AF .PB ? 0 ? ? AF ? 平面PBC. ,? AF ? PB,AF ? PB, ? AF . PC ? 0 ? ?
(2)设 BE ? a, ?E (a, 1 , 0), DE=(a ? 31 , ,, 0) PD =( 3, 0, ?1),

- 11 -

设平面 PDE 的法向量 n =( x,y,z),

? n.DE ? a ? 3 x ? y ? 0 ? 则? 取 x ? 1 ,得 n ? 1, 3 ? a, 3 ? n . PD ? 3 x ? z ? 0 ?

?

?

?

?

平面 PCE 的法向量为 AF=(0, , ), ∵ 二面角 C ? PE ? D 为 45°,

1 1 2 2

cos<n, AF> ? ∴

3?

a 2

2 . a 2 ? 2 3a ? 7 2

?

2 5 3 ,解得 a ? 2 6

∴ 当 BE ?

5 3 时,二面角 C ? PE ? D 为 45°, AF ? 平面PBC . 6

【思路点拨】 (1)以 A 为原点,AD 为 x 轴,AB 为 y 轴,AP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,

E a, 1, 0) 求出平面 PDE 的法向量和平面 利用向量法能证明 AF⊥ 平面 PBC. (2)设 BE ? a,(
PCE 的法向量,利用向量法能求出当 BE ?

5 3 时,二面角 C ? PE ? D 为 45°. 6

【题文】20. (本小题满分 13 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=2 ? ?

?2 ? . ? 1? an(n≥1) ?n ?

(1)求证:数列 ?

? an ? ? 是等比数列; ?n?
1 1 1 1 2 + + +…+ .试比较 An 与 的大小. T1 T2 T3 Tn nan

(2)设数列{ 2nan}的前 n 项和为 Tn,An= 【知识点】等比数列 数列求和 D3 【答案】 (1)略; (2) An< 【解析】解析: 解析: (1)由 a1 ? S1 ? 2 ? 3a1 ? a1 ? D4

2 . nan
1 , 2

- 12 -

由 Sn ? 2 ? ?

?2 ? ? 2 ? ? 1? an ? Sn?1 ? 2 ? ? ? 1? an?1 ?n ? ? n ?1 ? ? 2 ? ?2 ? ? 1? an ?1 ? ? ? 1? an ? n ?1 ? ?n ?

于是 an ? Sn ? Sn ?1 ? ?

整理得

an 1 an ?1 1 ?a ? ? ? ? n ? 2 ? ,所以数列 ? n ? 是首项及公比均为 的等比数列. n 2 n ?1 2 ?n?

(2)由(1)得

an 1 ? 1 ? ? ?? ? n 2 ?2?

n ?1

?

1 2n n ? n ? 1? 1 2 1 ? ?1 , ? ? 2? ? ? 2 Tn n ? n ? 1? ? n n ?1 ?

于是 2 an ? n, Tn ? 1 ? 2 ? 3 ?
n

n?

?? 1 ? ? 1 1 ? An ? 2 ??1 ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ? ? 2 3 ?

1 ? ? 2n ?1 ?? ? ?? ? ? n n ? 1 ?? n ? 1

2 2n ?1 2n n 2n ?1 2n ? 又 与 的大小,即 2 与 的大小 2 ,问题转化为比较 2 n ?1 n ?1 nan n n n
2n n , 设 f ? n? ? 2 , g ? n? ? n n ?1 f ? n ? 1? ? f ? n ? ? 2n ? ? n ? n ? 2 ? ? 1? ? ? ? n ? n ? 1? ? ?
2

f n ?1 ) ?( f n)>0 , 当 n ? 3 时, (
∴ 当 n ? 3 时 f(n)单调递增,

f n) ?( f 4) ? 1 ,而 ( g n)< 1, ∴ 当 n ? 4 时, ( f n)>( g n) ∴ 当 n ? 4 时, ( f n) ?g (n) 经检验 n=1,2,3 时,仍有 ( f n)>( g n), 因此,对任意正整数 n,都有 ( 即 An<

2 nan

【 思 路 点 拨 】 (1) 由 an ? Sn ? Sn ?1 ? ?

? 2 ? ?2 ? ? 1? an ?1 ? ? ? 1? an 整 理 可 得 ? n ?1 ? ?n ?

an 1 an ?1 1 ?a ? ? ? (2)由(1)可得 ? n ? 2 ? 即证得 ? n ? 是首项及公比均为 的等比数列; n 2 n ?1 2 ?n?

n ? n ? 1? 1 2 1 ? an 1 2n ?1 n , ? ? 2? ? ? n ,进而得到 2 an ? n, Tn ? ? , An ? 2 Tn n ? n ? 1? n 2 n ?1 ? n n ?1 ?
- 13 -

,转化为比较

n 2n 2n n 与 的大小,令 f n ? , 比较两个数列的最值得大小. ? ? 2 , g ? n? ? 2 n ? 1 n n ?1 n

【题文】21. (本小题满分 13 分) 如图,O 为坐标原点,点 F 为抛物线 C1:x2=2py(p ? 0)的焦点,且抛物线 C1 上点 P 处 的切线与圆 C2:x2+ y2=1 相切于点 Q. (1)当直线 PQ 的方程为 x-y ?

2 =0 时,求抛物线 Cl 的方程;

(2)当正数 p 变化时,记 S1,S2 分别为△FPQ,△FOQ 的面积,求

S1 的最小值. S2

【知识点】抛物线方程 直线与抛物线 H7 H8 【答案】 (1) ; (2) 2 2 ? 3 . ) ,由 x2=2py(p>0)得,y= = , ,求导 y′

【解析】解析: (Ⅰ )设点 P(x,

因为直线 PQ 的斜率为 1,所以 =1 且 x-

-

=0,解得 p=2



所以抛物线 C1 的方程为



(Ⅱ)因为点 P 处的切线方程为:y-

= (x-x) ,即 2xx-2py-

=0,

根据切线与圆切,得 d=r,即

=1,化简得



由方程组

,解得 Q( ,

) ,

所以|PQ|=

|xP-xQ|=

=



- 14 -

点 F(0, )到切线 PQ 的距离是 d=

=



所以

= ×

×

=



= 而由

, 知,4p2= ,得|x|>2,

所以 =

=

=

=

=

+3≥2

+3 ,当且仅当

时取 “=” 号,即

,此时,

p=

. +3.

所以 的最小值为 2

【思路点拨】 (Ⅰ)设点 P(x,

) ,代入直线 PQ 的方程得一方程,再根据抛物线在 P 处切

线斜率为 1 列一方程,解方程组即可求得 p 值; (Ⅱ)易表示出点 p 处切线方程,据线圆相切得一方程,再与圆联立方程组可表示出 Q 坐标, 据弦长公式可表示出|PQ|,利用点到直线的距离公式可表示出点 F 到切线 PQ 的距离 d,则 S1 可表示,又 = ,所以 可表示为关于 x 的函数,据函数结构特点利用基本不

等式即可求得其最小值. 【题文】22. (本小题满分 13 分) 2 已知函数 f(x)=21nx-x -ax. (1)当 a≥3 时,讨论函数 f(x)在 ? ,?? ? 上的单调性; (2)如果 x1,x2 是函数 f(x)的两个零点,且 x1 ? x2 ? 4 x1 , f ?( x) 是函数 f(x)的导函 数,用 x1,x2 表示 a 并证明: f ?? 【知识点】导数的应用 B12

?1 ?2

? ?

? 2 x1 ? x2 ? ??0 3 ? ?

- 15 -

x 2 ln 2 1 x1 . 【答案】 (1) [ , ??) 上函数 f (x) 单调递减.; (2) a? ? (x2 ? x1) 2 x2 ? x1
【解析】解析: 由已知可得:

? f '(x) ?

2 ?(2 x 2 ? ax ? 2) ? 2x ? a ? (x ? 0) , x x
2

?a ? a ? 16 (负根舍去) 令 f '(x) ? 0 得 x ? , 4
?a ? a 2 ? 16 1 a ? 3,? a ? 16 ? a ? 4a ? 4,? a ? 16 ? a ? 2,??a ? a ? 16 ? 2, ? 4 2
2 2 2 2

故在 [ , ??) 上 f '(x) ? 0 恒成立, 所以在 [ , ??) 上函数 f (x) 单调递减. ( 2 )

1 2

1 2

x1 , x 2 ( x1 ? x 2 )







f(

x 的)











2 ? f (x1 ) ? 2lnx1 ? x12 ? ax1 ? 0, f (x1 ) ? 2lnx 2 ? x2 ? ax2 ? 0

两式子相减可得: 2ln

x2 ? (x2 2 ? x12) ?( a x2 ? x1) ? 0, x1

x2 x1 2 ∴ a? ? (x2 ? x1), f ? ? x ?= ? 2 x ? a, x2 ? x1 x 2ln
? f ?( 2 x1 ? x2 6 2 )? ? (2 x1 ? x2 ) ? a, 3 2 x1 ? x2 3

x2 x1 6 2 ?? ? (x2 ? x1) ? ? (2 x1 ? x2 ) x2 ? x1 2 x1 ? x2 3 2ln x2 x1 6 1 ?? ? ? (2 x1 ? x2 ) x2 ? x1 2 x1 ? x2 3 2ln

3x2 ?3 x2 x1 2 1 ?? ln ? ? (2 x1 ? x2 ) x2 ? x1 x1 2 ? x2 3 x1
- 16 -

令t ?

x2 3t ? 3 ? (, 1 4),( h t) ? lnt ? x1 t?2

1 9 t 2 ? 5t ? 4 (t ? 1)(t ? 4) h ( ? t ) ? ? ? ? <0, ∴ 2 t ? t ? 2 ?2 t ? t ? 2 ?2 t ?t ? 2?
∴ 上单调递减, ( h t)在(, 1 4) ∴ ( h t)<( h1 ) ? 0, 又?

2x ? x 2 1 <0, ? ( x1 ? x2 )>0, ? f ?( 1 2 )>0 x2 ? x1 3 3

【思路点拨】(1)求单调区间,先求导,令导函数大于等于 0 即可.

(2)











x2 x1 , a? ? (x2 ? x1) x2 ? x1 2 ln





f ? ? x?





f ?(

2 x1 ? x2 x2 6 2 3t ? 3 )? ? (2 x1 ? x2 ) ? a, ? (, 1 4),( h t) ? lnt ? l 令t ? , 求导数可 3 2 x1 ? x2 3 x1 t?2

得单调性和求值范围,进而可得答案.

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湖南省长郡中学2015届高三上学期第五次月考数学(理)试题 Word版含解析

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