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高三-立体几何-2


高三立体几何一轮复习
一、新课程标准要求——立体几何部分
新课程标准的要求有以下 4 个方面: (1)空间几何体, (2)点、线、面之间的位置关系, (3)空间向量及其运算, (4)空间向量的应用

E 、 F 在棱 A1B1 上, 4、 (2010 北京理 8)如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 2,动点

/>动点 P, Q 分别在棱 AD, CD 上, 若 EF ? 1 ,A 1E ? x, DQ ? y, DP ? z ( x, y , z 大于零) ,则四面体 PEFQ 的体积( ) (A)与 x, y , z 都有关 (B)与 x 有关,与 y , z 无关 (C)与 y 有关,与 x , z 无关 (D)与 z 有关,与 x , y 无关

二、近三年北京卷(理科)立体几何考题与考点分布
空间几何体 点、 直线、 平面间的位 置关系 综合题 总分值 2010 年 5 分(三视图) 5分 (创新,第 8 题) 14 分 24 分 2011 年 5 分(三视图) 2012 年 5 分(三视图)

(二)解答题 5、 (2012 北京理 16) .如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC, AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD, 如图 2. (I)求证:A1C⊥平面 BCDE; (II)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (III)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.

14 分 19 分

14 分 19 分

三、近 3 年北京的高考试题(立体几何部分) (一)选择题 1、 (2012 北京文理 7) .某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是 ( ) A. 28+6 5 C. 56+ 12 5 B. 30+6 5 D. 60+12 5

2、 (2011 北京理 7) .某四面体三视图如图所示,该 面积中最大的是( ) A. 8 B. 6 2 C. 10 D. 8 2

四面体四个面的
4 4
正(主)视图

3
侧(左)视图

俯视图

3、 (2010 北京理 3) 一个长方体去掉一个小长方体, 所得几何体的正 (主) 视图与侧 (左)视图分别如右图所示,则该几何体的俯视图为 ( )
正(主)视图 侧(左)视图

A

B

C

D

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1

6、 (2011 北京理 16) .如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD, 底面 ABCD 是菱形, AB=2 , ?BAD=60? . (Ⅰ)求证: BD ? 平面 PAC; (Ⅱ)若 PA=PB ,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.

P

7、 (2010 北京理 16) 如图, 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,CE ? AC ,

D A B C

EF // AC , AB ? 2 , CE ? EF ? 1 , (Ⅰ)求证: AF // 平面 BDE ; (Ⅱ)求证: CF ? 平面 BDE ; (Ⅲ)求二面角 A ? BE ? D 的大小.

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2

四、练习
1.下列命题正确的是( ) A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 2.下列命题中错误 的是 ( ) .. A.如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? B.如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? C.如果平面 ? ⊥平面 ? ,平面 ? ⊥平面 ? , ? ? ? ? l ,那么 l ⊥平面 ? D.如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? 3.已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 ,将 ?ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折 过程中( ) A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直. B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直. C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直. D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD” , “AB 与 CD” , “AD 与 BC”均不垂直 4.如图,四棱锥 S—ABCD 的底面为正方形,SD ? 底面 ABCD,则下列结 论中不正确 的是 ( ) ... A.AC⊥SB; B.AB∥平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角

7.在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 SD ? 底面 ABCD , E、F 分别为 AB 、SC 的中点. (I)求证: EF // 平面 SAD ; S (II)若 SD ? 2CD ,①求 AF与面SAD 所成的角的正切; ②求二面角 A ? EF ? D 的正切.
F

D C A E B

A1

B1 C1 N

AM ? 2 MB , CN ? 2NB1 , 8.如图,三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,
5.已知 ?1 、 ? 2 、 ? 3 是三个相互平行的平面,平面 ?1 、 ? 2 之间的距离为 d1 ,平面 ? 2 、 ? 3 之间的距离 为 d 2 ,直线 l 与 ?1 、 ? 2 、 ? 3 分别相交于 P 1 、P 2 、P 3 ,那么“ P 1P 2 ? P 2P 3 ”是“ d1 ? d 2 ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是菱形. PB ? PD , E 为 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PC ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 BDE .
E C

求证: MN // 平面 A 1 ACC1 .
A



M C

B

P

D

A

B

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3

9.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为



21.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以 是( ... A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱



10 . 已 知 一 个 球 的 球 心 O 到 过 球 面 上 A 、 B 、 C 三 点 的 截 面 的 距 离 等 于 此 球 半 径 的 一 半 , 若 AB ? BC ? CA ? 3 ,则球的体积为 . 11.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面,则 a 的取 值范围是( ) (A) (0, 2) (B) (0, 3) (C) (1, 2) (D) (1, 3)

22.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的侧视图可以为(



12.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3 , ?ASC ? ?BSC ? 30 ? ,则三棱锥 S—ABC 的体积为 ( ) A. 3 3 B. 2 3 C. 3 D.1

23.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是 ( (A) 8 ?



2? 3

(B) 8 ? (D)

13.已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,?ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直 径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为( )

(C) 8 ? 2?

2? 3

? 3

( A)

2 6

( B)

3 6

(C )

2 3

( D)

2 2

14.已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的球面上,若 PA,PB,PC 两两互相垂直, 则球心到截面 ABC 的距离为________. 15.设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 .
O

24.已知 ?ABC 的平面直观图 ?A B C 是边长为 a 的正三角形,则 ?ABC 的面积为
' ' '



OB , OC 两两垂直, 16. 如图, 在三棱锥 O ? ABC 中, 三条棱 OA , 且 OA > OB > OC , OA OB OC 分别经过三条棱 , , 作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次 为 S1 , S2 , S3 ,则 S1 , S2 , S3 的大小关系为 .
17.已知正四面体的外接球的体积为

C A B

9? ,则该正四面体的表面积为 2



25.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平 面内的轨迹是( ) A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 26.如图, AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱, BC ? 2 ,若 AD ? 2c , 且 AB ? BD ? AC ? CD ? 2a ,其中 a 、 c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的 最大值是 .

EF ? DE , 18. 如图, 在正三棱锥 A ? BCD 中, E、 F分别是AB、 BC的中点, 且 BC ? 1 , 则正三棱锥A-BCD的体积是 .
19. 某几何体的一条棱长为 7 , 在该几何体的正视图中, 这条棱的投影是长为 6 的 线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a ? b 的最大值为 . 20.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能 是( ... )

27.如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,P 是侧面 BB 1C1C 内一动点,若 P 到 直线 BC 与直线 C1 D1 的距离相等, 则动点 P 的轨迹所在的曲线是( A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 )
A1

D1 B1 P D A B

C1

C

28.若三棱锥 A-BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的 距离相等,则动点 P 的轨迹与 ?ABC 组成图形可能是: ( )

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4

29.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAD 为正三角形,底面 ABCD 为正方形, 侧面 PAD⊥底 M 为底面 ABCD 内的一个动点,且满足 MP ? MC ,则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为 ( )
P D A B

31.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? AC ,D 为 BC 的中点,PO⊥平面 ABC,垂足 O 落 在线段 AD 上,已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2 (Ⅰ)证明:AP⊥BC; (Ⅱ)在线段 AP 上是否存在点 M,使得二面角 A-MC-B 为直二面角?若存在,求出 AM 的 长;若不存在,请说明理由.

C

? 30.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , PA ? AB , ?ABC ? 60 ,

?BCA ? 90? ,点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC , (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小; (Ⅲ)是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 为直二面角?并说明理由.

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