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导数的计算导学案


《几个常用函数的导数以及基本初等函数的导数公式》导学案
【学习目标】1、能根据导数定义,求函数 y ? c, y ? x, y ? x , y ? x , y ?
2 3

1 , y ? x 的导 x

数;2、熟记基本初等函数的导数公式. 【重点】1、推导函数 y ? x? (? ? Q) 的导数公式 2、记住基本初

等函数的导数公式 【难点】记住基本初等函数的导数公式 一、问题导学 问题 1、 复习回顾: (1) 函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数定义为________________________; (2).导数的几何意义和物理意义分别是什么? (3)求函数 y ? f ( x) 的导数的一般方法: ①求函数的改变量 ?y ? ②求平均变化率
?y ? ?x

③取极限,得导数 y / = f ?( x) ? lim

?y ?x ?0 ?x

=

问题 2、预习教材 P12~ P14,思考下列问题: (1) 如何推导例题中的几个函数的导数? (2)回答 P13 页探究问题 (3)根据所求导数,结合图象,描述图象的变化情况 (4)根据以上函数导数的推导和结论,归纳: ( x ) = 二、小试牛刀 1、函数 f ( x) ? 101的导数是________________. 2、函数 y ? 3 x 在 x ? 1 处的导数为_______;
5 3、物体的运动方程为 s ? t ,则物体在 t ? 2 时的瞬时速度为______.

? '

(? ? Q)

4、给出下列命题,其中正确的命题是___________________(填序号) (1)任何常数的导数都为零;(2)直线 y ? 2 x 上任一点处的切线方程是这条直线本身; (3)双曲线 y ?

1 上任意一点处的切线斜率都是负值; x

2 (4)函数 y ? 2 x 和函数 y ? x 在( 0,??) 上函数值增长的速度一样快.

三、合作、探究、展示: 知识点一 运用前面推导的结论求形如 y ? x (? ? Q) 的函数的导数
?

例 1、求下列函数的导数: (1) y ? x15 (2) y ? x ?3 ( x ? 0)
5

(3) y ? x 4 ( x ? 0)

(4) y ?

1
3

x2

( x ? 0)

知识点二 求形如 y ? x? (? ? Q) 的函数在某一点的导数 例 2、求曲线 y ?

1 2 (1)在点(1,1)处的切线方程;(2)求曲线 y ? x 过点(2,3)的切线方程. x

例 3、求曲线 y

?

1 2 和 y ? x 在它们交 点处的两 条切线与 x 轴所围成的三角形的面积。 x

例 4.求抛物线 y=x2 上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离.

四 、课后小结、反思、感悟、还有疑惑的问题 1、完成下表 函数 导数
[来源:学科网 ZXXK]

y?c

y?x

y ? x2
y? 1 x

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
2、怎样求函数在某一点的导数? 五 、课后练习 1.不看书,填写下表,并且熟记。 函数 导数

y?c

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
y ? sin x
y ? cos x

y ? f ( x) ? a x
y ? f ( x) ? e x f ( x) ? loga x
f ( x) ? ln x
2.函数 y ? ln x 在 x ? 1 处的切线方程为________________________________. 3.函数 y ? lg x 的导数为( )

A.

1 x 1 a

B.
x

1 ln 10 x

C.

1 x ln 10

D.

1 x lg e

4.函数 y ? ( ) (a ? 0, 且a ? 1) 的导数为(

)

A. ( ) ln a

1 a

x

B. ? a

?x

ln a

C. a

?x

ln a

D. a ln

x

1 a

5.求三次曲线 y ? x 3 过点(2,8)的切线方程.

6.求两曲线 y ? sin x 和 y ? cos x 在点 P (

?
4

,

2 ) 处的切线斜率的乘积. 2

7.某小型企业最初在年初投资 10000 元生产某种产品,在今后 10 年内估计资金年平均增长率 为 50%。问第 5 年末该企业的资金增长速度大约是每年多少万元?(精确到 0.01)

8.过点 P(0,?3) 作曲线 y ? x 的切线,求此切线的方程.
4


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