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2010年全国高中数学联赛模拟题7

时间:2011-05-03


乌鲁木齐市高级中学 2010 年高中数学联赛辅导

yf6504@163.com

杨帆

2010 年全国高中数学联赛模拟题 7
一试
考试时间上午 8:00~9:20,共 80 分钟,满分 120 分 填空题( 一、填空题(共 8 题,每题 8 分,64 分) 1、满足方程 x ? 2009 ?

2 x ? 2010 + 2、 x ∈ R, 函数 f ( x ) = 2 sin
2 2

x ? 2009 + 2 x ? 2010 = 2 所有实数解为




x x + 3cos 的最小正周期为 2 3

3、设 P 是圆 x + y = 36 上一动点,A 点坐标为 ( 20, 0 ) 。当 P 在圆上运动时,线段 PA 的 中点 M 的轨迹方程为 4、设锐角三角形 ABC 的边 BC 上有一点 D,使得 AD 把△ABC 分成两个等腰三角形,试 求△ABC 的最小内角的取值范围为 . 5、设 z 是虚数, w = z +

1 ,且 ?1 < w < 2 ,则 z 的实部取值范围为 z

.

6、设 f ( x ) = k ( x 2 ? x + 1) ? x 4 (1 ? x ) 4 。如果对任何 x ∈ [0,1] ,都有 f ( x ) ≥ 0 ,则 k 的最 小值为

?1? 7、若不等式 ? ? ?π ?

ax 2 + 7 x ?1

?1? <? ? ?π ?
k

2 x +5

对-1≤a≤1 恒成立,则 x 的取值范围是

. .

8、 已知数列{ak}的通项 ak=2 , k=1, …, 则所有的 aiaj(1≤i≤j≤n)的和为 2, n, 解答题( 二、解答题(共 3 题,共 56 分) 9、 (本题 16 分)已知椭圆

x2 + y 2 = 1(a > 1) , Rt ?ABC 以 A(0,1)为直角顶点,边 AB、 a2 27 ,求 a 的值。 8

BC 与椭圆交于两点 B、C。若△ABC 面积的最大值为

10、 (本题 20 分)已知数列{an}是首项为 2,公比为 用 Sn 表示 Sn+1; (2)是否存在自然数 c 和 k,使得

1 的等比数列,且前 n 项和为 Sn. (1) 2

S k +1 ? c >2 成立. Sk ? c

11、 (本题 20 分)已知定义在 R+上的函数 f(x)满足 ( i ) 对 于 任 意 a 、 b ∈ R+ , 有 f(ab)=f(a)+f(b); (ii)当 x>1 时,f(x)<0; (iii)f(3)=?1.现有两个集合 A、B,其中集合 A={(p,q)|f(p2+1)?f(5q)?2>0,p、q∈R+},集合 B={(p,q)|f( 存在 p、q,使 A I B ≠ ? ,说明理由.
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p 1 )+ =0,p、q∈R+}.试问是否 q 2

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2010 年全国高中数学联赛模拟题 7
( 加试 )
9:40~12:10 共 150 分钟 满分 180 分 平面几何、代数、数论、组合 1、 (本题 40 分)在锐角 ?ABC 中, BD 、 CE 分别是 AC 、 AB 边上的高.以 AB 为直 径作圆交 CE 于 M ,在 BD 上取点 N 使 AN = AM .证明: AN ⊥ CN .

2、 (本题 40 分)无穷数列{xn}中(n ≥ 1) ,对每个奇数 n,xn, xn+1,xn+2 成等比数列,而对 每个偶数 n, xn, xn+1, xn+2 成等差数列.已知 x1= a , x2= b . (1) 求数列的通项公式 . 实数 a , b 满足怎样的充要条件时, 存在这样的无穷数列? (2) 求 x 2 , x 4 ,……, x 2 n 的调和平均值, 即

n 1 ∑x k =1 2 k
n

的值 .

3、 (本题 50 分)求满足下列条件的所有正整数 x , y : (1) x 与 y ? 1 互素; (2)

x2 ? x + 1 = y3 .

4、(本题 50 分)某次考试有 5 道选择题,每题都有 4 个不同答案供选择。每人每题恰选 1 个答案,在 2000 份答卷中发现存在一个数 n ,使得任何 n 份答卷中都存在 4 份,其中每两 份的答案都至多 3 题相同。求 n 的最小可能值。(2000 中国数学奥林匹克第 6 题)

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2010 年全国高中数学联赛模拟题 7
参考答案 一试 1、变形得 ( x ? 2010 ? 1) + ( x ? 2010 + 1) = 2 ? 0 ≤
2 2

x ? 2010 ≤ 1 ,解得

2010 ≤ x ≤ 2011 。 x x 2、 2 sin 的周期为 4π , 3cos 的周期为 6π ,所以 f ( x ) 的周期为 12π 。 2 3 x + 20 y ,y= 0 3、设 M 的坐标为 ( x, y ),设P点坐标为( x0 , y0 ), 则有 x= 0 2 2

? x0 = 2 x ? 20, y0 = 2 y ,因为 P 点在圆上,所以 (2 x ? 20) 2 + (2 y ) 2 = 36 所以 P 点轨
迹为 ( x ? 10) 2 + y 2 = 9 。 4.如图, (1)AD=AC=BD; (2)DC=AC,AD=BD。
A A

B

D (1)

C B D (2)

C

在(1)中,设最小的角为 x,则 2x<90,得 x<45,又 x+180-4x<90,得 x>30,所以 30<x<45; 在(2)中,设最小的角为 x,则 3x<90,得 x<30,又 180-4x<90,得 x>22.5,所以 22.5<x<30 5、设 z = a + bi ? ?1 < a + bI +

a ? bi b < 2 ?b? 2 =0 2 2 a +b a + b2
当 b = 0 ,无解;当 a + b = 1 ? ?
2 2

? b = 0或a 2 + b 2 = 1
6、 k ≥

1 < a < 1。 2

x 4 (1 ? x) 2 1 3 3 1 3 因为x 2 ? x + 1 = ( x ? ) 2 + ≥ , x = 时x 2 ? x + 1最小值为 2 2 4 4 2 4 x ? x +1

1 1 1 8 1 , x = 时,x 4 (1 ? x) 4 取最大值( ),所以 k 的最小值为 。 2 2 2 192 7、 由题意知, 解: 不等式 ax2+7x-1>2x+5 对 ?1 ≤ a ≤ 1 恒成立, 即关于 a 的不等式 x2a+5x-6>0
分子 x(1 ? x ) ≤ 对 ?1 ≤ a ≤ 1 恒成立.令 g ( a ) = x 2 a + 5 x ? 6 ,则 ?
2 ? ? g (?1) = ? x + 5 x ? 6 > 0, 所以,2<x<3 2 ? g (1) = x + 5 x ? 6 > 0, ?

8、 解:因为

1 2 2 ai a j = [a12 + a2 + L + an + (a1 + a2 + L + an ) 2 ] ,而 2 1≤i ≤ j ≤ n



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a1 + a2 + L + an =

2(2 n ? 1) 4(4 n ? 1) 4(4n ? 1) 2 2 = 2(2n ? 1) , a12 + a2 + L + an = = 2 ?1 4 ?1 3

所以

? 4 1 ? 4(22 n ? 1) ai a j = ? + (2(2n ? 1)) 2 ? = (22 n +1 ? 3 2n + 1). 2? 3 1≤i ≤ j ≤ n ? 3



9、解: 不妨设 AB 的方程 y = kx + 1(k > 0 ) ,则 AC 的方程为 y = ?

1 x +1。 k

? y = kx + 1 ?2 a 2 k ? 2 2 2 2 得: (1 + a k ) x + 2a kx = 0 ? xB = , 由 ? x2 1 + a2k 2 + y2 = 1 ? 2 ?a
1 ? ? y = ? k x +1 2a 2 k ? 由? 2 得: ( a 2 + k 2 ) x 2 ? 2a 2 kx = 0 ? xC = 2 , a + k2 ? x + y2 = 1 ? a2 ?
从而有 AB = 1 + k
2

2a 2 k 1 2a 2 k , AC = 1 + 2 2 , 1 + a2k 2 k a + k2

1 k+ 1 k (1 + k 2 ) 4 k 于是 S ?ABC = AB AC = 2a 。 = 2a 4 1 2 (1 + a 2 k 2 )(a 2 + k 2 ) 2 2 4 a (k + 2 ) + a + 1 k
令t = k +

1 ≥ 2 ,有 S k

?ABC =

2a 4 t = a 2t 2 + (a 2 ? 1)2

2a 4 , (a 2 ? 1) 2 2 a t+ t

(a 2 ? 1) 2 a2 ?1 2 因为 a t + ≥ 2a (a ? 1), t = 时等号成立。 t a
2

因此当 t=

a2 ?1 a3 , ( S ?ABC )max = 2 , a a ?1



a3 27 3 + 297 = ? (a ? 3)(8a 2 ? 3a ? 9) = 0 ? a = 3, a = 2 a ?1 8 16

a2 ?1 3 + 297 > 2 ? a > 1 + 2,∴ a = (不合题意,舍去), a = 3. ∴ a 16
10、 (1) S n +1 = 11、不存在.

1 S n + 2 ; (2)不存在. 2

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二试 1、证法一 证法一:连结 DM , 证法一 由 AB 为直径, BD ⊥ AC 得 A 、 B 、 M 、 D 四点共圆. ∴ ∠ABD = ∠AMD . 又 ∠ACE = 90 ? ∠CAE = ∠ABD = ∠AMD .
0

A D E

∴ ?ADM ∽ ?AMC ∴ AD ? AC = AM
2

= AN 2 ,
B

∴ AN ⊥ CN .(射影定理的逆定理) 证法二:连结 BM 、 EN ,则由射影定理, 得

N

M C A D

AM 2 = AN 2 = AE ? AB . ?ANB ,∴ ∠ANE = ∠ABN ,
E

∴ ?AEN

又 B, C , D, E 四点共圆,∴ ∠ABN = ∠ACE ∴ ∠ANE = ∠ACE ∴ A, E , N , C 四点共圆, ∴ ∠ANC = ∠AEC = 90 ,即 AN ⊥ CN .
o

N B

M C

2、(1) 观察前几项: a , b ,

b 2 b(2b ? a ) (2b ? a ) 2 (2b ? a )(3b ? 2a ) (3b ? 2a ) 2 , , , , ,… 猜 a a a a a

测: x2 k-1 =

((k ? 1)b ? (k ? 2)a ) 2 ((k ? 1)b ? (k ? 2)a )(kb ? (k ? 1)a ) ,x2k = ,( k ≥ 1 ). a a
x2k 如上,则 x2k+1 =

对 k 归纳证明通项公式: k =1 显然成立,设 x

2 k-1,

( x2k ) 2 (kb ? (k ? 1)a ) 2 = , x 2 k ?1 a

x2k+2 = 2x2k+1-x2k=

(kb ? (k ? 1)a )((k + 1)b ? ka ) , 因此, 公式成立 . a
b ? n ? ?? | n∈ N? . a ?n +1 ?

存在这样的无穷数列 ? 所有的 x n ≠ 0 ?

(2) b ≠ a 时,

1 a 1 1 = ( ? ),故 x2k b ? a (k ? 1)b ? (k ? 2)a kb ? (k ? 1)a

n 1 ∑x k =1 2 k
n

=

n a 1 1 ( ? ) b ? a a nb ? (n ? 1)a

= nb-(n-1)a .( b = a 时所有的 x n = a ,结果也对

3、解 显然 x = 1 , y = 1 满足要求.

…………………10 分

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对于 x 显然 x

> 1 , y > 1,

方程可化为

( y ? 1) ( y 2 + y + 1) = x ( x ? 1) .


> y.

因为

( x, y ? 1) = 1 ,故 x 一定是 y 2 + y + 1 的一个因子.
k ( y ? 1) . 由 x > y 可知 k ≥ 2 .


y 2 + y + 1 = kx

( k 为正整数) ,从而 x ? 1 = 消去 x ,得 由此推得 若k

…………………20 分

y 2 + y + 1 = k 2 ( y ? 1) + k ,

(y

2

? 1) + ( y ? 1) = k 2 ( y ? 1) + k ? 3 .
…………………40 分

y ? 1 ( k ? 3) .
> 3 ,则 y ? 1 ≤ k ? 3 ,即 k ≥ y + 2 ,从而

k 2 ( y ? 1) + k = y 2 + y + 1 < k 2 + ( k ? 2 ) + 1 ,
故必有

y ? 1 = 0 ,矛盾. k ≤ 3 ,从而 k = 2 , 3 .
验证知

所以

y = 7 , x = 19 .
…………………50 分

综上,

( x, y ) = (1,1) , (19, 7 ) .

4、 n 的最小可能值是 25 。将每道题的 4 种答案分别记为 1,2,3,4,每份试卷上的答案 记为(g,h,i,j,k) ,其中 g,h,i,j,k∈{1,2,3,4} 。对所有 2000 份答案(g,h, i,j,k),将后 4 个分量完全相同的看作一类,则共有 4 = 256 类,因为 2000=256×7+
4

208,于是由抽屉原理,必有 8 份试卷属于同一类 A,取出这 8 份试卷。剩下的 1992 份试卷 仍有 8 份试卷属于同一类 B,再取出这 8 份试卷。剩下的 1984 份试卷中必有 8 份试卷属于 同一类 C。取出的 24 份试卷共属于 3 个类 A,B,C,于是当 n≤24 时,从这 24 份试卷中任取 n 份,则 n 份中的任何 4 份试卷必有 2 份属于同一类,不满足题目要求。因此 n≥25。下面 构造这样 2000 份答卷,它们共有 250 种不同的答案,同一种答案的试卷各有 8 份。这 250 种答案是满足 g+h+i+j+k≡0(mod4)的所有 4 = 256 种答案(g,h,i,j,k)中的任
4

意 250 种。显然,对于任何 2 份不同的答案,它们至多有 3 个分量相同,否则,若有 4 个分 量谢涛,则由同余式知,第五个分量也相同。矛盾。在这样的 2000 份答案中任取 25 份,由 于相同的答卷至多份,从而至少有 4 份是两两不同的,它们至多有 3 个分量相同。故 n=25 符合要求。 或者 S = {( g , h, i, j , k ) | g + h + i + j + k ≡ 0(mod 4), g , h, i, j , k ∈ {1, 2,3, 4}} 则{S}= 256, S 中任何两种答案都至多有 3 题相同.从 S 中去掉 6 个元素, 且 当余下的 250 一种答案 中的每种答案都恰有 8 人选用时,共得到 2000 份答卷、其中的任何 25 份答案中,总有 4 份不相同,由于它们都在 S 中,当然满足题中要求.这表明 n=25 时可以满足题中要求. 综上可知,所求的 n 的最小可能值为 25

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