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2018课标版理数一轮(12)第十二章-复数、算法、推理与证明3 第三节 合情推理与演绎推理

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第三节

合情推理与演绎推理
A 组 基础题组

1.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x +1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x +1)是奇函数,以上推理(
2 2

)

A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确 2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”; ③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”; ④“t≠0,mt=xt? m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p? a=x”; ⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”; ⑥“ = ”类比得到“
· ·

= ”. )

以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是( A.1 B.2
2

C.3
4 3

D.4

3.观察(x )'=2x,(x )'=4x ,(cosx)'=-sinx,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x), 记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 4.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则1 =4,推广到空间可以
2

)



1

得到类似结论,已知正四面体 P-ABC 的内切球体积为 V1,外接球体积为 V2,则1 =(
2



)

A.8 5.

1

B.9

1

C.27

1

D.64

1

1

如图所示,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当⊥时,其离心率为 圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率 e 等于( A.
5+1 2

5-1 2

,此类椭圆被称为“黄金椭

)

B.

5-1 2

C. 5-1 D. 5+1

6.(2015 陕西文,16,5 分)观察下列等式 1-2=2, 1-2+3-4=3+4, 1- + - + - = + + ,
2 3 4 5 6 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

?? 据此规律,第 n 个等式可为 7.设函数 f(x)= +2(x>0),观察: f1(x)=f(x)= +2,f2(x)=f[f1(x)]=3 +4, f3(x)=f[f2(x)]=7 +8,f4(x)=f[f3(x)]=15 +16, ?? 根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N 且 n≥2 时,fn(x)=f[fn-1(x)]=
*

.











.
1 1 1 1 16

8.在△ABC 中,不等式 + + ≥ 成立,在凸四边形 ABCD 中,不等式 + + + ≥ 成立,在凸五边形 ABCDE 中,
π 2π 1

1 1 1

9

不等式+ + ++≥3π 成立,??,依此类推,在凸 n 边形 A1A2?An 中,不等式 + +?+ ≥
1 2

1 1 1 1 1

25

1

1



立. 9.我们将具有下列性质的所有函数组成集合 M:函数 y=f(x)(x∈D),对任意 x,y, f
+ 2 + 2

∈D 均满足

≥2[f(x)+f(y)],当且仅当 x=y 时等号成立.

1

(1)若定义在(0,+∞)上的函数 f(x)∈M,试比较 f(3)+f(5)与 2f(4)的大小; (2)设函数 g(x)=-x ,求证:g(x)∈M.
2

2

10.已知 O 是△ABC 内任意一点,连接 AO,BO,CO 并延长,分别交对边于 A',B',C',则 '+ '+' =1,这是一道 平面几何题,其证明常采用“面积法”:
' ' ' △ △ △ △ ' ' ' △ △

' ' '

+

+

=

+

+

△ △

=

=1.

请运用类比思想猜想,对于空间中的四面体 V-BCD,存在什么类似的结论,并用“体积法”证明.

B 组 提升题组
11.观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,??,则 a +b 等于(
2 2 3 3 4 4 5 5 10 10

)

A.28

B.76

C.123

D.199

12.如图所示,面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4),此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离为 hi(i=1,2,3,4),若 11 = 22 = 33 = 44 =k,则 1×h1+2×h2+3×h3+4×h4= .类比以上性质,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i=1,2,3,4),此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 Hi(i=1,2,3,4),若 11 = 22 = 33 = 44 =k,则 H1+2H2+3H3+4H4 的值为(
2

)

A.

4

B.

3

C.

2

D.



3

13.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下一个直角三角形,按图 1 所标边长,由 勾股定理有:c =a +b .如图 2,设想正方形换成正方体,把截线换成截面,这时从正方体上截下三条侧棱两
2 2 2

两垂直的三棱锥 O-LMN,如果用 S1,S2,S3 表示三个侧面面积,S4 表示底面(截面)面积,那么类比得到的结论 是 .

14.仔细观察下面○和●的排列规 律:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●??,若依此规律继续下去,得到一系 列的○和●,那么在前 120 个○和●中,●的个数是 .

15.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin 13°+cos 17°-sin13°cos17°; ②sin 15°+cos 15°-sin15°cos15°; ③sin 18°+cos 12°-sin18°cos12°; ④sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos48°; ⑤sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4

答案全解全析 A 组 基础题组
1.C 因为 f(x)=sin(x +1)不是正弦函数,所以小前提不正确.
2

2.B ①②正确,③④⑤⑥错误. 3.D 由已知归纳得,偶函数的导函数为奇函数,又由题意知 f(x)是偶函数,所以其导函数应为奇函数,故 g(-x)=-g(x),选 D. 4.C 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3,故1 =27.
2



1

5.A 设“黄金双曲线”的方程为 2 - 2 =1(a>0,b>0),


2 2

则 B(0,b),F(-c,0),A(a,0). 在“黄金双曲线”中,因为⊥,所以·=0. 又=(c,b),=(-a,b),所以 b =ac.
2

而 b =c -a ,所以 c -a =ac.
2 2 2 2 2

在等号两边同除以 a ,得 e -1=e,解得 e=
2 2

5+1 2 1

=

1- 5 2

舍去 .

6. 答案 1- + - +?+
2 3 4

1 1 1

1

2 -1 2 +1 +2

- =

1

1

+

1

+?+

2

解析 规律为等式左边共有 2n 项且等式左边分母分别为 1,2,?,2n,分子为 1,奇数项为正、偶数项为 负,即为 1-2+3-4+?+2 -1-2 ;等式右边共有 n 项且分母分别为 n+1,n+2,?,2n,分子为 1,即为
1 +1 +2 1 1 1 1 1

+

1

+?+2 .所以第 n 个等式可为 1-2+3-4+?+2 -1-2 = +1+ +2+?+2 .
(2 -1)x+2

1

1 1 1

1

1

1

1

1

7. 答案

解析 f1(x)=f(x)= +2, f2(x)=f[f1(x)]=3 +4=(22 -1)x+22 , f3(x)=f[f2(x)]=7 +8=(23 -1)x+23 ,


5

f4(x)=f[f3(x)]= ??



15 +16 (24 -1)x+24

=



,

∴当 n≥2 且 n∈N 时,fn(x)=f[fn-1(x)]=(2 -1)x+2 .
*



8. 答案

2 ( -2)π 1 1 1 9 32 1 1 1 1 16 42

解析 ∵在△ABC 中,+ + ≥π = π ,在凸四边形 ABCD 中,+ + +≥2π =2π ,在凸五边形 ABCDE 中,+ + ++≥3π =3π ,??, ∴在凸 n 边形 A1A2?An 中, + +?+ ≥
1 2 1 1 1 2 ( -2)π 1 1 1 1 1 25 52

.

9. 解析 (1)f

+ 2

≥2[f(x)+f(y)],当且仅当 x=y 时等号成立,

1

令 x=3,y=5,得 f(3)+f(5)<2f(4). (2)证明:g =+
1 + 2 2

-2[g(x1)+g(x2)]
4

1

2 + 2 ( - )2 ( 1 + 2 )2 1 1 2 2

4

2

=
1 2

≥0,当且仅当 x1=x2 时等号成立,

所以 g

1 + 2 2

≥ [g(x1)+g(x2)],

所以 g(x)∈M. 10. 解析 结论:在四面体 V-BCD 中,任取一点 O,连接 VO,DO,BO,CO 并延长,分别交四个面于 E,F,G,H 点.

则 + + +



=1.

证明:在四面体 O-BCD 与 V-BCD 中,设其高分别为 h1,h, 则 = ?1 =31
?
1

△ ·? 1 - ·h

3 △

=

.


-

同理, = - ; = - ; = - ,
- - -





∴ + + + =

- + - + - + - - -

=

=1.

-

B 组 提升题组
6

11.C 观察给出的式子特点可推知,等式右端的值,从第三个式子开始,后一个式子的右端值等于它前面 两个式子的右端值的和,照此规律,则 a +b =123.
10 10

12.B 在平面凸四边形中,连接 P 点与各个顶点,将其分成四个小三角形,

根据三角形面积公式,可得 S= (a1h1+a2h2+a3h3+a4h4)
2 1

=2(kh1+2kh2+3kh3+4kh4) = (h1+2h2+3h3+4h4).
2

1

所以 h1+2h2+3h3+4h4= .


2

类似地,连接 Q 点与三棱锥的四个顶点,将其分成四个小三棱锥,则有 V=3(S1H1+S2H2+S3H3+S4H4) = (kH1+2kH2+3kH3+4kH4)
3 1 1

= (H1+2H2+3H3+4H4),
3

所以 H1+2H2+3H3+4H4= .
2 2 2 2 13. 答案 1 +2 +3 =4 2 2 2 2 解析 将侧面面积类比为直角三角形的直角边,底面面积类比为直角三角形的斜边,可得1 +2 +3 =4 .

3

14. 答案 14 解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|??,则前 n 组中○和●的总数是 f(n)=2+3+4+?+(n+1)=
( +3) 2

,易知 f(14)=119,f(15)=135,故所求数为 14.

15. 解析 (1)选择②式,计算如下: sin 15°+cos 15°-sin15°cos15° =1-2sin30°=1-4=4.
7
1 1 3
2 2

(2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )=4.
2 2

3

证法一:sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )
2 2

=sin α +(cos30°cosα +sin30°sinα ) -sinα (cos30°cosα +sin30°sinα ) =sin α +4cos α + 2 sinα cosα +4sin α - 2 sinα cosα -2sin α =4sin α +4cos α =4. 证法二:sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )
2 2 2

2

2

3

2

3

1

2

3

1

2

3

2

3

2

3

=

1-cos 2 1+cos (60 °-2 ) 2 1 1 2 2 1 1 2 2

+

2 1 1 2 2 1 1 2 4

-sinα ·(cos30°cosα +sin30°sinα )
3 1 2
2

= - cos2α + + (cos60°cos2α +sin60°sin2α )- ·sinα cosα - sin α
2

= - cos2α + + cos2α + ·sin2α - sin2α - (1-cos2α )
4 4 4

3

3

1

=1- cos2α - + cos2α = .
4 4 4 4

1

1 1

3

8


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