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成才之路人教A版数学必修3-2.2.2


成才之路 · 数学
人教A版 · 必修3

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
统计

第二章

统计

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A版 · 数学 · 必修3

第二章
2.2
2.2.2

用样本估计总体

用样本的数字特征估计总体的数字特征

第二章

统计

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1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后精练

第二章

2.2

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预习导学

第二章

2.2

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●课标展示 1 .掌握众数、中位数、平均数、标准差、方差的定义和 特征. 2 .会求众数、中位数、平均数、标准差、方差,并能用

来解决有关问题.

第二章

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●温故知新
旧知再现 1.在初中,我们已经学过平均数描述了数据的 __________平均水平,定量地反映了数据的集中趋势所处的水 平.我们也知道可以用样本的平均数去估计总体的平均水平,

而样本数据的方差、标准差则反映了数据的离散程度.方差或
标准差越__________小,数据越集中,总体越均衡;方差或标 准差越__________大,数据越分散,总体越不均衡.

第二章

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而中位数则是指样本数据按从小到大(或从大到小)的顺序 排列后,处于__________中间位置的一个量,当样本数据个数 为奇数时,__________中间一个数据就是中位数,它是样本数 据;当样本数据个数为偶数时,中位数则是中间两个数据的

__________ 平均数,当这两个数据相等时,中位数是样本数
据,否则它不是样本数据,众数则是指在样本数据中出现次数 __________最多的数据,众数不一定__________唯一.

第二章

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2.(2012·陕西卷)对某商店一个月内每天的顾客人数进行
统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众 数、极差分别是( )

A.46、45、56 C.47、45、56 [答案] A

B.46、45、53 D.45、47、53

第二章

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[解析]

本题考查样本数据的中位数、众数及极差.根据

茎叶图可知样本总共有30个数据,中位数为46,出现次数最多 的是45,最大数与最小数的差为68-12=56,故选A.

第二章

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新知导学
1.众数 (1)定义:一组数据中出现次数__________最多的数称为这 组数据的众数. (2)特征:一组数据中的众数可能__________不止一个,也

可能没有,反映了该组数据的__________集中趋势.
[破疑点] 众数体现了样本数据的最大集中点,但它对其 他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征.

第二章

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2.中位数
(1) 定义:一组数据按从小到大的顺序排成一列 ,处于 __________中间位置的数称为这组数据的中位数. (2)特征:一组数据中的中位数是__________唯一的,反映 了该组数据的__________集中趋势.在频率分布直方图中,中

位数左边和右边的直方图的面积__________相等.
[破疑点] 中位数不受少数几个极端值的影响,这在某些 情况下是优点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点.

第二章

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3.平均数 (1)定义:一组数据的和与这组数据的个数的商.数据x1,
x1+x2+?+xn n x2,?,xn的平均数为 x n=________________.

(2)特征:平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据 平均水平 .任何一个数据的改变都会引起平均数的变化, 的__________

这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较
信息 , 起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的 ______ 极端值 的影响较大,使平均数在估计总 但平均数受数据中__________ 体时可靠性降低.
第二章 2.2 2.2.2

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4.标准差
(1)定义:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一 般用s表示,通常用以下公式来计算
1 2 2 2 [ ? x 1- x ? +?x2- x ? +?+?xn- x ? ] n s=_________________________________________.

可以用计算器或计算机计算标准差.
平均数 (2) 特征:标准差描述一组数据围绕 __________ 波动的大 小,反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小.标准差较 大 ;标准差较小,数据的离散程度 大,数据的离散程度较______ 小 . 较_______
第二章 2.2 2.2.2

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5.方差
(1)定义:标准差的平方, 1 2 2 2 [( x - x ) + ( x - x ) +?+ ( x - x ) ] 2 n 即s2=______________________________________ . n 1 标准差 的作用相同,描述一组数据围绕平 (2)特征:与__________ 均数波动程度的大小. (3)取值范围:__________ [0,+∞) .
[知识拓展] 数据组x1,x2,?,xn的平均数为 x ,方差为

s2,标准差为s,则数据组ax1+b,ax2+b,?,axn+b(a,b为 常数)的平均数为a x +b,方差为a2s2,标准差为as.
第二章 2.2 2.2.2

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6.用样本估计总体 现实中的总体所包含的个体数往往很多,总体的平均数、 众数、中位数、 标准差、方差是不知道的 , 因此,通常用 样本 ________ 的平均数、众数、中位数、标准差、方差来估计.这 样本 的频率分布来近似地代替总体分布是类似 与上一节用________ 的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接受 的.

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规律总结: 用样本的数字特征估计总体的数字特征 分两类:用样本平均数估计总体平均数;用样本标准差估计总

体标准差,样本容量越大,估计就越精确.

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●自我检测 1.下列刻画一组数据离散程度的是( A.平均数 C.中位数 B.方差 D.众数 )

[答案] B

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2.下列判断正确的是(

)

A.样本平均数一定小于总体平均数 B.样本平均数一定大于总体平均数 C.样本平均数一定等于总体平均数

D.样本容量越大,样本平均数越接近总体平均数
[答案] D

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3 .在某次考试中, 10 名同学得分如下: 84,77,84,83,68, 78,70,85,79,95.则这一组数据的众数和中位数分别为( A.84,68 C.84,81 B.84,78 D.78,81 )

[答案] C

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4 .在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如 下: 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方

差分别为(
A.92,2 C.93,2

)
B.92,2.8 D.93,2.8

[答案] B

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[解析] 去掉一个最高分95与一个最低分89后,所得的5 90+90+93+94+93 个数分别为90,90,93,94,93,所以 x = = 5
2 2 2 2 × ? 90 - 92 ? + 2 × ? 93 - 92 ? + ? 94 - 92 ? 460 14 2 = 5 = 5 =92,s = 5

2.8,故选B.

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互动课堂

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●典例探究
中位数、众数、平均数的应用

据报道,某公司的33名职工的月工资(以元为单 位)如下:

职务 董事长 副董事长 董事 总经理 人数
工资

经理 5
2 500

管理员 3
2 000

职员 20
1 500

1
5 500

1
5 000

2
3 500

1
3 000

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(1)求该公司的职工月工资的平均数、中位数、众数. (2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元,董事长 的工资从5 500元提升到30 000元,那么新的平均数、中位数、 众数又是什么?(精确到1元)

(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平?
结合此问题谈一谈你的看法. [分析] 利用平均数、中位数、众数的定义求解即可.

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[解析]

(1)平均数是

x =1 500+ 4 000+3 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20 33 ≈1 500+591=2 091(元). 中位数是1 500元,众数是1 500元.

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(2)平均数是 x ′=1 500+ 28 500+18 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20 33 ≈1 500+1 788=3 288(元). 中位数是1 500元,众数是1 500元. (3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司职工的 工资水平.因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差 别较大,这样导致平均数偏差较大,所以平均数不能反映这个 公司职工的工资水平.

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规律总结:关于众数、中位数、平均数的几个问题
(1)一组数据中的众数可能不止一个,如果两个数据出现的 次数相同,并且比其他数据出现的次数都多,那么这两个数据 都是这组数据的众数. (2)一组数据中的中位数是唯一的,求中位数时,必须先将

这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列.
(3)由于平均数与每一个样本的数据有关,所以任何一个样 本数据的改变都会引起平均数的改变,这是众数、中位数都不 具备的性质.

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某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民
的年龄如下(单位:岁): 甲群 13,13,14,15,15,15,16,17,17; 乙群 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其 中哪个统计量能较好反映甲群市民的年龄特征? (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其 中哪个统计量能较好反映乙群市民的年龄特征?

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[解析] (1)甲群市民年龄的平均数为 13+13+14+15+15+15+15+16+17+17 =15(岁), 10 中位数为15岁,众数为15岁. 平均数、中位数和众数相等,因此它们都能较好地反映甲 群市民的年龄特征.

第二章

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(2)乙群市民年龄的平均数为 54+3+4+4+5+5+6+6+6+57 =15(岁), 10 中位数为5岁,众数为6岁. 由于乙群市民大多数是儿童,所以中位数和众数能较好地 反映乙群市民的年龄特征,而平均数的可靠性较差.

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标准差、方差的应用
某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训,他 们在培训期间参加的8次测试成绩记录如下: 甲 乙 95 83 82 92 88 80 81 95 93 90 79 80 84 85 78 75

试比较哪个工人的成绩较好.

[分析]

平均成绩较高 ? ? → 成绩较好 ? 成绩波动较小 ?

第二章

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[解析] 85,

1 x 甲= 8 (78+79+81+82+84+88+93+95)=

1 x 乙=8(75+80+80+83+85+90+92+95)=85. 1 2 s甲=8[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84- 85)2+(88-85)2+(93-85)2+(95-85)2]=35.5, 1 2 s乙=8[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85- 85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41.
2 ∵ x 甲= x 乙,s2 甲<s乙,∴甲所成绩较稳定.

综上可知,甲的成绩较好.
第二章 2.2 2.2.2

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规律总结: 用样本估计总体时,样本的平均数、标 准差只是总体的平均数、标准差的近似.实际应用中,当所得

数据的平均数不相等时,需先分析平均水平,再计算标准差(方
差)分析稳定情况.

第二章

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(1)(2013· 湖北高考 ) 某学员在一次射击测试中射靶 10 次,
命中环数如下: 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 则①平均命中环数为________. ②命中环数的标准差为________.

第二章

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(2)从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株,分别测它们的株高
如下:(单位:cm) 甲:25 41 乙:27 16 40 44 37 27 22 44 14 16 19 40 39 40 21 16 42 40

问:①哪种玉米的苗长得高?

②哪种玉米的苗长得齐?
[分析] 1.求方差的第一步求什么?其公式是什么? 2.什么是标准差?如何求? 3.判断数据波动大小的特征数是什么?如何判断?

第二章

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1 [解析] (1)平均数为 10 (7+8+7+9+5+4+9+10+7+4) =7, 1 s = 10 [(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-
2

7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=4, s=2.

第二章

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(2)看哪种玉米的苗长得高,只要比较甲、乙两种玉米的 苗的均高即可;要比较哪种玉米的苗长得齐,只要看两种玉米 的苗高的方差即可,因为方差是体现一组数据波动大小的特征 数. 1 ① x 甲= 10 (25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)= 1 10×300=30(cm), 1 1 x 乙= 10 (27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)= 10 ×310=31(cm). 所以 x 甲< x 乙.
第二章 2.2 2.2.2

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1 ②s 甲 = 10 [(25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+
2

(22-30)2+(14-30)2+(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+(42 1 -30) ]= 10 (25+121+100+49+64+256+121+81+81+144)
2

1 =10×1042=104.2(cm2), 1 1 2 2 2 2 2 s 乙 = 10 [(2×27 +3×16 +3×40 +2×44 )-10×31 ]= 10
2 2 ×1288=128.8(cm2).所以s2 < s 甲 乙.

[答案]

(1)①7

②2

(2)①乙种玉米的苗长得高,②甲种

玉米的苗长得齐.
第二章 2.2 2.2.2

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频率分布直方图与数字特征的综合应用

(1)(2012· 安徽高考)甲、乙两人在一次射击比赛 中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则( )

第二章

2.2

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A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
第二章 2.2 2.2.2

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(2)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学 生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.

①求这次测试数学成绩的众数. ②求这次测试数学成绩的中位数. ③求这次测试数学成绩的平均分. [分析] 1.如何利用条形图求众数、中位数、平均数?

2.如何利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数?
第二章 2.2 2.2.2

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1 [解析] (1) x 甲=5(4+5+6+7+8)=6, 1 x 乙=5(5×3+6+9)=6, 甲的中位数是6, 乙的中位数是5. 1 2 甲的成绩的方差为5(2 ×2+12×2)=2, 1 2 乙的成绩的方差为5(1 ×3+32×1)=2.4. 甲的极差是4,乙的极差是4. 所以A,B,D错误,C正确.
第二章 2.2 2.2.2

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70+80 (2)①由图知众数为 2 =75. ②由图知,设中位数为x,由于前三个矩形面积之和为 0.4,第四个矩形面积为0.3,0.3+0.4>0.5,因此中位数位于第 四个矩形内,得0.1=0.03(x-70),所以x≈73.3.

第二章

2.2

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③由图知这次数学成绩的平均分为: 40+50 50+60 60+70 ×0.005×10+ ×0.015×10+ 2 2 2 70+80 80+90 ×0.02×10+ ×0.03×10+ ×0.025×10+ 2 2 90+100 2 ×0.005×10=72.
[答案] (1)C

第二章

2.2

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规律总结: 众数、中位数、平均数与频率分布表、
频率分布直方图的关系 (1)众数:众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组 中值来有示,即在样本数据的频率分布直方图中,最高矩形的 底边中点的横坐标.

(2) 中位数:在频率分布表中,中位数是累计频率 ( 样本数
据小于某一数值的频率叫作该数值点的累计频率 ) 为0.5时所对 应的样本数据的值,而在样本中有50%的个体小于或等于中位 数,也有50%的个体大于或等于中位数.因此,在频率分布直 方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.
第二章 2.2 2.2.2

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(3)平均数:平均数在频率分布表中等于组中值与对应频 率之积的和.又平均数是频率分布直方图的“重心”.我们知 1 道,n个样本数据x1,x2,?,xn的平均数 x = n (x1+x2+?+ xn),则有n x =x1+x2+?+xn,也就是把每个xi(i=1,2,?,n) 都用 x 取代后,数据总和保持不变,所以平均数 x 对数据有 “取齐”的作用,代表了一组数据的数值平均水产,在频率分 布直方图中,平均数是直方图的平衡点.

第二章

2.2

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某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行
整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图,已知图中 从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是 0.30,0.40,0.15,0.10,0.05. 求:(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数. (2)高一参赛学生的平均成绩.

第二章

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第二章

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[解析]

(1)用叔率分布直方图中最高矩形所在的区间的中

点值作为众数的近似值,得众数为65,又因为第一个小矩形的 面 积 为 0.3 , 所 以 设 第 二 个 小 矩 形 底 边 的 一 部 分 长 为 x , 则 x×0.04=0.2,得x=5,所以中位数为60+5=65.

(2) 依 题 意 , 平 均 成 绩 为 55×0.3 + 65×0.4 + 75×0.15 +
85×0.1+95×0.05=67,所以平均成绩约为67.

第二章

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小明是班里的优秀学生,他的历次数学成绩是 96,98,95,93分,但最近的一次考试成绩只有45分,原因是他带 病参加了考试.期末评价时,怎样给小明评价?

96+98+95+93+45 [错解] 这五次数学考试的平均分是 5 =85.4,则按平均分给小明一个“良好”.

第二章

2.2

2.2.2

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[错因分析]

这种评价是不合理的,尽管平均分是反映一

组数据平均水平的重要特征,但任何一个数据的改变都会引起 民它的变化,而中位数则不受某些极端值的影响.本题中的5 个成绩从小到大排列为:45,93,95,96,98;中位数是95,较为合

理地反映了小明的数学水平,因而应该用中位数来衡量小明的
数学成绩. [ 正解 ] 小明 5 次考试成绩,从小到大排列为 45,93,95,96, 98,中位数是95,应评定为“优秀”.

第二章

2.2

2.2.2

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(2013~2014·天津高一检测)一次数学知识竞赛中,两组学
生成绩如下表: 分数 人 数 50 60 70 80 90 100

甲组
乙组

2
4

5
4

10
16

13
2

14
12

6
12

已经算得两个组的平均分都是80分,请根据你所学过的统 计知识,进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次,并说

明理由.
第二章 2.2 2.2.2

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[解析] (1)甲组成绩的众数为90分,乙组成绩的众数为70 分,从成绩的众数比较看,甲组成绩好些. 1 (2)s 甲 = ×[2×(50-80)2+5×(60- 2+5+10+13+14+6
2

80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100 1 -80) ]= 50 ×(2×900+5×400+10×100+13×0+14×100+
2

6×400)=172. 1 s 乙 = 50 ×(4×900+4×400+16×100+2×0+12×100+
2

12×400)=256.
2 因为s2 甲<s乙,所以甲组成绩较乙组成绩稳定.

第二章

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(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分,其中甲组 成绩在80分以上(含80分)的有33人,乙组成绩在80分以上(含80 分)的有26人,从这一角度看,甲组成绩总体较好. (4)从成绩统计表看,甲组成绩大于或等于90分的人数为20

人,乙组成绩大于或等于90分的人数为24人,所以乙组成绩在
高分阶段的人数多,同时,乙组得满分的比甲组得满分的多 6 人,从这一角度看,乙组成绩较好.

第二章

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随堂测评

第二章

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1 .甲、乙两中学生在一年里学科平均分相等,但他们的
方差不相等,正确评价他们的学习情况是( ) A.因为他们平均分相等,所以学习水平一样 B.成绩平均分虽然一样,方差较大的,说明潜力大,学 习态度端正

C.表面上看这两个学生平均成绩一样,但方差小的成绩
稳定 D.平均分相等,方差不等,说明学习不一样,方差较小 的同学,学习成绩不稳定,忽高忽低 [答案] C
第二章 2.2 2.2.2

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2 .在某次测量中得到的 A 样本数据如下: 82,84,84,86,86,
86,88,88,88,88 ,若样本 B 数据恰好是样本 A 都加上 2 后所得数 据,则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是( A.众数 C.中位数 B.平均数 D.标准差 )

[答案] D
[ 解析 ] B 样本数据恰好是 A 样本数据加上 2 后所得的众 数、中位数、平均数比原来的都多2,而标准差不变.

第二章

2.2

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3 .如图,是某篮球运动员在一个赛季的 30 场比赛中得分
的茎叶图,则得分的中位数与众数分别为( )

A.3与3

B.23与3

C.3与23
[答案] D

D.23与23

第二章

2.2

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[ 解析 ]

中位数是指一组数据按从小到大 ( 或从大到小 ) 的

顺序依次排列,处在中间位置的一个数(或最中间两个数据的平 均数),从茎叶图中可知中位数为23;众数是指一组数据中出现 次数最多的数,从茎叶图中可知 23 出现了 3 次,次数最多,因

此众数也是23,所以选D.

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2.2

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4 . (2013 ~ 2014· 沈阳铁路实验中学期末考试 ) 已知样本 9,10,11,x,y的平均数是10,方差是2,则xy=( A.98 C.76 B.88 D.96 )

[答案] D

第二章

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[解析] 本题考查样本平均数与方差的计算公式,由平均 数与方差的公式可得, ?1 ?5?9+10+11+x+y?=10 ? ?1[?9-10?2+?10-10?2+?11-10?2+?x-10?2+?y-10?2]=2 ?5 化简得
? ?x=12 ? ? ?y=8 ? ?x+y=20 ? 2 2 ? ??x-10? +?y-10? =8

,解得

? ?x=8 ? ? ?y=12



,所以xy=96,故选D.

第二章

2.2

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5 .抛硬币 20次,正面 12 次,反面 8 次.如果抛到正面得 3

分,抛到反面得 1 分,则平均得分是 ________ ,得分的方差是
________. [答案] 2.2 0.96

44 [解析] 总得分为12×3+8×1=44,则平均分是 20 = 1 2.2,方差s =20[(3-2.2)2×12+(1-2.2)2×8]=0.96.
2

第二章

2.2

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6 .从某校参加数学竞赛的试卷中抽取一个样本,考查竞
赛的成绩分布,将样本分成 6 组,得到频率分布直方图如图, 从左到右各小组的小长方形的高的比为 1∶1∶3∶6∶4∶2,最 右边的一组的频数是8.请结合直方图的信息,解答下列问题:

第二章

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(1)样本容量是多少? (2)成绩落在哪个范围的人数最多?并求出该小组的频数和 频率.

(3)估计这次数学竞赛成绩的众数、中位数和平均数.

第二章

2.2

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1 1 3 [解析] (1)从左到右各小组的频率分别为 17 , 17 , 17 , 6 4 2 17,17,17 8 样本容量为 2 =68. 17 6 (2)成绩落在70~80之间的人数最多;频率为 17 ;频数为 6 68×17=24.

第二章

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(3)众数的估计值是75,中位数的估计值是 1 1 1 3 2-17-17-17 70+ ×10 6 17 455 = 6 ≈75.83. 平均数的估计值是 1 1 3 6 4 2 17 ×45+ 17 ×55+ 17 ×65+ 17 ×75+ 17 ×85+ 17 ×95= 75.

第二章

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课后精练
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2.2.2


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