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期末复习--直线和圆的方程复习课


一、知识框架
直线与直线方程

直线的倾斜角和斜率 直线的方程 两直线的位置关系

直 线 与 圆 的 方 程

线性规划及应用 求曲线方程 圆的标准方程 圆与圆方程 圆的一般方程 圆的参数方程

直线与圆、圆与圆的位置关系

1、直线的倾斜角 倾斜角的取值范围是

r />
0 ? ? ? 180 .
? ?
?

2、直线的斜率

k ? tan? , (? ? 90 )
意义:斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于x轴的 倾斜程度。 直线的斜率计算公式:即

k?

y x

2 2

y ?x
?

1

1

若直线l的斜率存在, 则方向向量为(1, k )

直线法向量 n ? (?k ,1)

直线 方程 名称 点斜 式

已知条件

对应方程

适用条件

不适用情况

斜率k ( x1 , y1 ) 点
斜率k 纵截距b 两点 ( x1 , y1 ) ( x 2 , y2 ) 横截距a 纵截距b

斜率k不 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 斜率K存在 存在 x ? x1

斜截 式 两点 式

y ? kx ? b

斜率k不 斜率K存在 存在

y ? y1 x ? x1 x1 ? x2 ? y2 ? y1 x2 ? x1 y1 ? y2
x y ? ?1 a b
Page 4

x ? x1
与坐标轴垂 直的直线 过原点及与 坐标轴垂直 的直线

截距 式

a?0 b?0

斜率公式

y2 ? y1 k? ,( x1 ? x2 ) x2 ? x1

两点间的 距离公式

PP 1 2 ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )
2

2

点到直线的距 离公式

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A ?B
2 2

平行线间的距 离公式

d?

| C1 ? C2 | A ?B
2
Page 5

2

1.平行
直线l1与l2的平行充要条件是 k1=k2 且b1=b2.
L1:A1x+B1y+C1=0 L2:A2x+B2y+C2=0

若l1//l2,则A1B2

A2B1,A1C2

C1A2

2.垂直
即l1 ? l2 ? k1 ? k 2 ? ?1

注意:特殊情况

直线中有斜率不存在—解 决方案:画图解决

L1:A1x+B1y+C1=0 L2:A2x+B2y+C2=0 若l1 l2,则A1A2+B1B2=0

3.交点
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 若方程组? 有唯一解( x0 , y0 ) ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

直线l1与l2相交于点 ( x0 , y0 )

4.两点间的距离

5.点到直线的距离
d? Ax0 ? By 0 ? C A ?B
2 2

6.平行直线间距离
d ? C1 ? C 2 A2 ? B 2

圆的标准方程
( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

圆的一般方程

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

1.平行
直线l1与l2的平行充要条件是 k1=k2 且b1=b2.

2.垂直
即 l1 ? l 2 ? k1 ? k 2 ? ? 1

注意:特殊情况

k 2 ? k1 到角公式 tan ? ? (? 为 l1到 l2的角) 1 ? k 2 k1 k 2 ? k1 夹角公式 tan ? ? | |. 1 ? k 2 k1

3.夹角

直线中有斜率不存 在—解决方案:画图 解决

4.交点
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 若方程组? 有唯一解( x0 , y0 ) ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

直线l1与l2相交于点 ( x0 , y0 )

5.点到直线的距离
d? Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2

平行直线间距离
d ? C1 ? C 2 A2 ? B 2

y

一般地,二元一次不等式:Ax+By+C>0

y ? kx ? b
o x

? y ? kx ? b (或 y ? kx ? b )
解决线性规划问题的图解法的一般步骤: 1.根据题意列表; 2.找出x,y满足的不等式组; 3.由线性约束条件画出可行域;

y ? kx ? b

4.令z=0,再利用平移法找到最优解所对应的点; 5.求出最优解所对应点的坐标,代入z中,即得目标函数的最 大值和最小值.

1.曲线与方程
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程 的解;

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,

2.求曲线方程
(1)建立适当的坐标系,用 (x,y) 表示曲线上任意一 点M的坐标;
(2)用坐标x,y表示关系式,即列出方程f(x,y)=0; (3)化简方程 f(x,y)= 0;

(4)验证x、y的取值范围。

圆的标准方程
( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

圆的一般方程
x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

圆的参数方程
? x ? a ? r cos ? ? ? ? y ? b ? r sin ?

? ?

(2)一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0. 当D2+E2-4F>0时,表示圆的一般方程,其圆心的

1 D E 坐标为 半径 r ? (? , ? ), 2 2 2
?

D ? E ? 4F ;
2 2

当D2+E2-4F=0时,只表示一个点

D E (? , ? ), 2 2

?

当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形.

画板 直线与圆的位置关系的判断方法: 一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)

和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线 的距离为 d ?
| Aa ? Bb ? C | A ?B
2 2



位置 d与 r
图形

相离
d>r
d r

相切 d=r
d r

相交 d<r
d r

交点个数

0个

1个

2个

方法总结一:
直线与圆的位置关系判断方法:
一、几何方法。主要步骤: 把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆 心和半径 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 作判断: 当d>r时,直线与圆相离;当d=r时, 直线与圆相切;当d<r时,直线与圆相交

二、代数方法。主要步骤:
把直线方程与圆的方程联立成方程组 利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程 求出其Δ的值

比较Δ与0的大小:
当Δ<0时,直线与圆相离;当Δ=0时, 直线与圆相 切 ;当Δ>0时,直线与圆相交。

直线和圆的位置关系

几何方法
类比
猜想

代数方法

圆和圆的位置关系

几何方法

代数方法

圆和圆的五种位置关系
R O1 r O2 R O1 r O2

R O1

r O2

外离

外切

相交

|O1O2|>|R+r| |O1O2|=|R+r|
R R r

|R-r|<|O1O2|<|R+r|
R r

O1 O2

O1 O2

r

O1O2

内切

内含

同心圆

(一种特殊的内含)

|O1O2|=|R-r| 0≤|O1O2|<|R-r|

|O1O2|=0

判断两圆位置关系
几何方法
两圆心坐标及半径 (配方法)

外离
外切 内切 内含

d>R+r d=R+r

d=R-r 0≤d<R-r
R-r<d<R+r

圆心距d (两点间距离公式)

相交

比较d和r1,r2的 大小,下结论

结合图形记忆

小结:判断两圆位置关系
几何方法
两圆心坐标及半径 (配方法)

代数方法
? ( x ? a1 ) 2 ? ( y ? b1 ) 2 ? r12 ? 2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r ? 2 2 2
消去y(或x)

圆心距d (两点间距离公式)

px 2 ? qx ? r ? 0

比较d和r1,r2的 大小,下结论

? ? ? 0 : 相交 ? ? ? ? 0 :内切或外切 ?? ? 0 : 相离或内含 ?

例 1. 已知⊙ C : (x-1)2+(y-2) 2=2 , P(2,-1) , 过P作⊙C的切线,切点为A、B。
(1)直线PA、PB的方程; (2)求过P点⊙C切线的长;
y

2 A 1B (3)求∠APB; - O 1 2 ? P 1 (4)求以PC为直径的方程; 1

C?

x

(5)求直线AB的方程。

例1.已知⊙C:(x-1)2+(y-2) 2=2,P(2,-1),过P作⊙C的切线,切 点为A、B。 (2)求过P点⊙C切线的长; (3)求∠APB;
(2) ? | PC | ? (1 ? 2)2 ? (2 ? 1)2 ? 10
2 1 -1 O -1
2

y

C?

A
x
?

B 1 2

| CA | ? 2
2 2

P

? 在Rt△PCA 中, PA ? PC ? CA ? 10 ? 2 ? 8

? | PA | ? 2 2

? 过P点⊙C 的切线长为2 2.

以A为切点的圆的切线方程 为: ( xA ?1)(x ?1) ? ( y A ? 2)( y ? 2) ? 2
? ( xA ?1) x ? ( y A ? 2) y ? 3 ? xA ? 2 y A ? 0
即与7 x ? y ?15 ? 0表示同一直线

例1.已知⊙C:(x-1)2+(y-2) 2=2,P(2,-1),过P作⊙C的切线,切 点为A、B。 (2)求过P点⊙C切线的长; (3)求∠APB;
k PB ? k PA ?1 ? 7 4 (3) ? tan?APB ? ? ? 1 ? k PB ? k PA 1 ? (?1) ? 7 3
2 1 -1 O -1
y

C?

A
x
?

B 1 2

P

? ?APB ? arctan

4 3

(3 )由平面几何定理, ?APB ? 2?APC,
在Rt△APC中, sin ?APC ? 2 ? 1 . 10 5

??APC ? arcsin 1 ? ?APB ? 2 arcsin 5 5 5

例1.已知⊙C:(x-1)2+(y-2) 2=2,P(2,-1),过P作⊙C的切线,切 点为A、B。 (4)求以PC为直径的方程; (5)求直线AB的方程。 (4)∵ P(2,-1),C(1,2)
2 1 -1 O -1
y

C?

A
x
?

B 1 2

∴以PC为直径的圆方程为:
(5) ? P(2,?1)
3 1 5 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 2 2 2

P

所以直线AB方程为: (2 ?1)(x ?1) ? (?1 ? 2)( y ? 2) ? 2 即x ? 3 y ? 3 ? 0 ? x2 ? y 2 ? 3x ? y ? 0 (1) 解方程组 ? 2 2 ( x ? 1 ) ? ( y ? 2 ) ? 2 (2) ?

由 (2) ? (1) 得 x ? 3y ? 3 ? 0

例 2 、已知圆 O′的圆心在 y轴上,截直线 l1: 3x+4y+3=0 所得弦 长为8,且与直线l2:3x-4y+37=0相切,求圆O′的方程。 l1 A 解: ?圆O?的圆心在y轴上 C

? 设圆的方程为x ? ( y ? b ) ? r ,
2 2 2

B O′

其中O( ? 0 ,b),半径为r,
设 l1与圆O?交于A、B两点,则 AB ? 8 , 的中点(如图),在 Rt△O? AC中, O?C ?
? 4b ? 3 ? 2 ? ? ? ? 16 ? r ?① ? 5 ? ? ? ? 4b ? 37 ? ? r ?② 又 圆O?与 l2相切 5
2

l2

过圆O? 作O? C ? l1于C,则C为弦AB

4b ? 3 5

, O? A ? r

解由①②组成的方程组 得:b ? 3 ,r ? 5
?圆O? 的方程为x2 ? ( y ? 3)2 ? 25 .

例1、求经过 A( 2,?1), 和直线 x ? y ? 1相切,且圆心 在直线 y ? ?2 x上的圆的方程。

y

解:设圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

圆心在直线 y ? ?2 x上
? b ? ?2a (1)
O
C
?

?

A

x

又经过点A(2,?1) ?(2 ? a)2 ? (?1 ? b)2 ? r 2 (2)

因为圆与直线 x ? y ? 1相切 | a ? b ?1 | ? ? r (3) 2
由(1)(2)(3)得:a ? 1, b ? ?2, r ? 2

k AC ?

b ?1 ? ?1 a?2

1? a ? b ? ? r (3) 2

?所求圆的方程是 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

例3、求经过 A( 2,?1), 和直线 x ? y ? 1相切,且圆心 在直线 y ? ?2 x上的圆的方程。

y

解:设圆心坐标为 (a,?2a)
O
?

| a ? 2a ? 1 | 则由题意知: (a ? 2) ? (?2a ? 1) ? 2
2 2

C

?

A

x

解得a ? 1
?圆心坐标为 (1,?2),半径为 2

?所求圆的方程是 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

例3、求经过 A( 2,?1), 和直线 x ? y ? 1相切,且圆心 在直线 y ? ?2 x上的圆的方程。

y

解:设圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

以A为切点的圆的切线方程 是:
(2 ? a)(x ? a) ? (?1 ? b)( y ? b) ? r
2

O
C
?

?

A

x

? (2 ? a) x ? (1 ? b) y ? a 2 ? 2a ? b2 ? b ? r 2 ? 0

即与x ? y ? 1是同一直线

2 ? a ? 1 ? b 2a ? a 2 ? b 2 ? b ? r 2 ? ? ? 1 1 1 又b ? ?2a
解得:a ? 1, b ? ?2, r ? 2
?所求圆的方程是 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

练习:圆的方程是( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1, P是 直线x ? y ? 1 ? 0上任意点,经过P作圆的切线, 求切线长的最小值以及相应P点坐标。
解: | PA |2 ?| PC |2 ? | AC |2 ?| PC |2 ?1
y
C?

?当 | PC | 最小时, | PA | 也最小
| PC |min ? | 2 ?1?1| ?2 2 1?1

A
O

x

? | PA |min ? 7
此时lPC : x ? y ?1 ? 0
? P(0,?1)

P?

例4. 已知圆满足:(1)截y轴所得弦长为2;(2)被x轴分成两段 圆弧,其弧长的比为3 ∶ 1;(3)圆心到直线l:x ? 2 y ? 0的距离为 求该圆的方程。 5 , 5

解:令圆心坐标为( a,b),半径为r,
则r2 ? 12 ? a2 ①


y

由( 2)知 ?ACB ? 90? ? r ? 2 b a ? 2b 5 由( 3 )? 2 ? 5 1 ? (?2)2

1

r

C
|b|

|a |

.

r
B
x

oA

? a ? 2b ? 1 ③

联立①②消去 r

? 2b2 ? a2 ? 1



?a ? 2b ? 1 ?a ? 2b ? ?1 ③④ ? ? 2 (Ⅰ)或? 2 (Ⅱ) 2 2 ?2b ? a ? 1 ?2b ? a ? 1

例4. 已知圆满足:(1)截y轴所得弦长为2;(2)被x轴分成两段 圆弧,其弧长的比为3 ∶ 1;(3)圆心到直线l:x ? 2 y ? 0的距离为 求该圆的方程。 5 , 5

?a ? 2b ? 1 ?a ? 2b ? ?1 ③④ ? ? 2 (Ⅰ)或? 2 (Ⅱ) 2 2 ?2b ? a ? 1 ?2b ? a ? 1
解(Ⅰ)b ? ?1, a ? ?1, r ? 2b ? 2

解(Ⅱ) b ? 1, a ? 1, r ? 2b ? 2
综上所述:所求圆的方 程为
2 2 (x ? 1 ) ? (y ? 1 ) ?2 2 2 或(x ? 1 ) ? (y ? 1 ) ?2

例5 已知与曲线 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的直线 l
分别交 x 轴、y轴于 A、B 两点, O 为坐标原点, B | OA |? a , | OB |? b ( a ? 2,b ? 2) .
y

(1) 求证: ( a ? 2)(b ? 2) ? 2 ; ( 2) 求线段 AB 中点的轨迹方程; (3) 求 ?AOB 面积的最小值 .

2 1 -1 O -1 1 2 A
x

y x b?2) ( 1 ) 由已知可设直线 l : ? ? 1 (a ? 2 , 解: a b ? 直线 l : bx ? ay ? ab ? 0 与圆 C相切
| a ? 1 ? b ? 1 ? ab | ? ?1 2 2 a ?b

即 (a ? b ? ab)2 ? a2 ? b2 ? 2 ? 2(a ? b) ? ab ? 0

? (a ? 2)(b ? 2) ? 2 .

例5 已知与曲线 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的直线 l
分别交 x 轴、y轴于 A、B 两点, O 为坐标原点, B | OA |? a , | OB |? b ( a ? 2,b ? 2) . (1) 求证: ( a ? 2)(b ? 2) ? 2 ; 2
y

( 2) 求线段 AB 中点的轨迹方程;
(2) 设线段 AB 的中点 M(x , y) ,则

1 -1 O -1 1 2 A
x

即 a ? 2x , b ? 2y 将它代入 (a ? 2)(b ? 2) ? 2

由中点坐标公式得: x ? a?0, y ? 0?b 2 2

得( 2x ? 2)(2 y ? 2) ? 2 1 ?(x ? 1)( y ? 1) ? ( x ? 1 ,y ? 1) 2

即为所求线段 AB中点的轨迹方程.

例5 已知与曲线 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的直线 l
分别交 x 轴、y轴于 A、B 两点, O 为坐标原点, y | OA |? a , | OB |? b ( a ? 2,b ? 2) . B

(1) 求证: ( a ? 2)(b ? 2) ? 2 ; ( 2) 求线段 AB 中点的轨迹方程; (3) 求 ?AOB 面积的最小值 .
(3) S?AOB ? 1 | OA || OB | ? 1 ab 2 2

2 1 -1 O -1 1 2

A

x

由 (a ? 2)(b ? 2) ? 2 得 ab ? 2a ? 2b ? 2

?ab ? 2(a ? b) ? 2 ? 4 ab ? 2
? ab ? 6 ? 2 2

当且仅当 a ? b ? 2 ? 2时 ? (S?AOB )min ? 2 2 ? 3 .

例 6. 已知圆 C : (x-1)2+(y-2)2=25 ,直线 l : ( 2m+1 ) x+(m+1)y-7m4=0(m∈R). (1)求证:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点; (2)求直线l与圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程. 解:(1)圆心(1,2)到直线l的距离为: | 3m ? 1 | | (2m ? 1) ? 2(m ? 1) ? 7m ? 4 | ? d? 2 2 5m 2 ? 6m ? 2 (2m ? 1) ? (m ? 1) | 3m ? 1 | 要证: ?5 2 5m ? 6m ? 2 ? (3m ? 1)2 ? 25(5m2 ? 6m ? 2)
? 29m2 ? 36m ? 12 ? 0

? ? ? 362 ? 4 ? 29?12 ? 0

? 29m2 ? 36m ? 12 ? 0显然成立
?对任意实数 m,直线l 与圆恒交于两点 .

图形分析

例 6. 已知圆 C : (x-1)2+(y-2)2=25 ,直线 l : ( 2m+1 ) x+(m+1)y-7m4=0(m∈R).
(1)求证:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;

(2)求直线l与圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程.
解: ( 1 )将直线l的方程变形得 (2 x ? y ? 7)m ? ( x ? y ? 4) ? 0 ,

?2x ? y ? 7 ? 0 ?x ? 3 ?? . 对任意实数 m,方程成立 . ?? ?x ? y ? 4 ? 0 ?y ? 1

?对任意实数 m,直线 l 恒守定点A( 3, 1 ) .
又 AC ? 5 ? 5

? A在圆C内

?对任意实数 m,直线l 与圆恒交于两点 .

例 6. 已知圆 C : (x-1)2+(y-2)2=25 ,直线 l : ( 2m+1 ) x+(m+1)y-7m4=0(m∈R).
(1)求证:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点;

(2)求直线l与圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程. (2)由平几知识可得, l 被圆截得最短的弦是与 直径AC垂直的弦 . y ? k AC ? 2 ? 1 ? ? 1 ?kl ? 2 1? 3 2 ?直线 l:y ? 1 ? 2( x ? 3)

即 2 x ? y ? 5 ? 0 为直线 l被圆截的 线段最短时的直线方程 .
此时圆心C(1 , 2)到直线 2x ? y ? 5 ? 0 的距离为 | 2 ?1 ? 1? 2 ? 5 | | CA |? ? 5 2 2 2 ? (?1)

.C
o

.A
B

D
x

最短弦长为| BD |? 2 | AB |? 2 25 ? 5 ? 4 5.


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