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福建省厦门市2011-2012学年下高一数学质量检测试题

时间:2014-03-12


厦门市 2011—2012 学年(下)高一质量检测
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。在答题卷上相应题目的答题区域内作答。

BC ? ?- 1,4? ,则 AC 等于 1.若 AB ? ?2,3?,

A.?1,7 ?

B

.?? 1, ? 7?

C.?3,?1?

D.?? 3,1?

2.一个球的体积和表面积在数值上相等,则该求的半径的数值为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.如果 cos?? ? ? ? ? -

1 ?? ? ,那么 sin? ? ? ? 的值是 2 ?2 ?
B. 1 2
C. ? 3 2 D. 3 2

A. ?

1 2

4.圆心在直线 2 x - y - 7 ? 0 上的圆与 y 轴交于两点 A.?0, ? 4? , B.?0, ? 2? ,则该圆的方程为

A.?x ? 2? ? ? y - 3? ? 5
2 2

B.?x - 2? ? ? y ? 3? ? 5
2 2

C.?x ? 2? ? ? y - 3? ? 5
2 2

D.?x - 2? ? ? y ? 3? ? 5
2 2

5.关于 x 的方程 sin ?x ? A.1 B.2

x ?x ? 0? 的实根的个数是 4
C.3 D.4

6.设直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? ? cos? ? 0 ,则 a, b 的关系式

A.a ? b ? 1

B.a ? b ? 1

C.a ? b ? 0

D.a ? b ? 0

7.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交 于点 F,若 AB ? a, AD ? b, 则 AF ? F E

1 A. a ? b 3 1 3 C. a ? b 4 4

1 B.a ? b 3 3 1 C. a ? b 4 4
A

D

C

O

B

8.已知 m,n 是两条不同的直线, ?、? 是两个不同的平面,下列四个命题

?若 m//? , n//? , 则m//n ? 若? ? ? , m ? ? , 则m ? ? 其中不正确的命题个数为 A.1 B.2
2 2

? 若m ? ? , n ? ? , m//? , n//? , 则?//? ④ 若? ? ?,m ? ? , m ? ? , 则m//?

C.3

D.4

9.若圆 ?x - 2? ? y ? 9 上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2,则直线 l 的 斜率的取值范围是

? ? 3? ? 3 A.? ? ?? ? ? ?,? 3 ? ? ? 3 , ? ? ? ? ? ? 3 ,3 ? C .? ? , ? ? 3 3 ?

B. ? ?,? 3 ?

?

? ? 3, ? ??

D. ? 3,3

?

?

10.平面直角坐标系 xOy 中,锐角 ? 的始边是 x 轴的非负半轴,终边与单位元交于点 A。已 知点 A 的横坐标为 B 的横坐标为

2 ? ,若点 B 为单位圆上的另一点,且向量 OB与OA 的夹角为 。则点 10 4

4 4 A. 或 5 5

3 3 B. 或 5 5

3 4 C. 或 5 5

3 4 C. - 或 5 5

第 II 卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分,在答题卷上的相应题目的答题区域 内作答. 11.过点(-1,0) ,且与直线 x+2y-2=0 平行的直线的方程是___________________.

12.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BC、CC1 的中点,则异面直线 B1D1 与 EF 所成 角的大小事____________________. D C A
1 1

B
1

1

13.若 cosα -sinα =

1 ,则 sin2α 的值是_____________. 2
A

D B

C

14.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的 距离 s (单位: 厘米) 和时间 (单位: t 秒) 的函数关系为 s=6sin(2

S

O

π ). 那么,单摆来回摆动一次所需的时间为______秒. 6 1 15.过点 P( ,1)的直线 l 将圆(x-1)2+y2=4 分成两段弧,使得这两段弧的弧长之差最 2
π ?t + 大,则直线 l 的方程为___________. y 16.如图,边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴正半轴上移动,则 OB ? OC 的最大值是___________________. D B C

O

A

x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤, 在答题卷上相应题目的答题区域内作答 17.(本题满分 12 分) 四棱锥 A-BCDE 的直观图、正视图如图所示,侧视图是一个等腰直角三角形. (I)在给出的网格中,按网格尺寸和画三视图的要求,画出四棱锥 A-BCDE 的侧视图和俯 视图; (II)若 M、N 分别是 AB、AD 的中点,判断直线 MN 和平面 BCDE 的位置关系,并说明 理由. D E D E

N

C(A)

正视图

B

侧视图

C A M

B

俯视图

18.(本题满分 12 分) 已知向量 a =(sinθ ,sinθ +2cosθ ) , b =(2,-1),且 a ⊥ b . (I)求 tanθ 的值;

(II)求

sin 2? ? cos2 ? 1 ? cos2 ?

19.(本题满分 12 分) 如图所示,四边形 ABCD 为平行四边形, AB ? m, AD ? n ,点 M 是 BC 的中点,

1 CN ? CA . 3
(I) 证明:D、N、M 三点共线. (II) 若 DN ? BN ,试比较 m 和 n 的大小. D C N M A B

20.(本题满分 12 分) 如图,地面上有一正方体型的石凳 ABCD-A1B1C1D1 ,棱长为 1 米, 棱 AB 的中点 E 处是蚂蚁 窝, 蚂蚁在棱 C1D1 中的中点 F 处发现食物.一只蚂蚁从 E 点出发在正方体表面上依次经过棱 BB1 上的点 M,B1C1 上的点 N,到达 C1D1 中点 F 处取食后原路爬回 E 点. (I) 如果蚂蚁的爬行速度是 1 厘米/秒,求蚂蚁取一次食物(一个来回)所需的时间. (II)在(I)的条件下,求证:A1C⊥平面 EMN. D1 A
1

F

C
1

B
1

D 21.(本题满分 14 分) A B E 已知圆 C: (x-3)2+(y+2)2=9,直线 l 过点 P(2,0). (I) 若直线 l 与圆心的距离为 1,求直线 l 的方程. (II) 若直线 l 与圆 C 相交于 M、N 两点,且 4,求以 MN 为直径的圆的方程. (III) 设直线 ax-y+1=0 与圆 C 交于 A,B 两点.是否存在实数 a,使得直线 l 垂直平分弦 AB? 若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. D y B O P C x

C

22.(本题满分 14 分)

π ). 2 π π (I)若函数 f(x)的图像过点 E(- ,1) ,F( , 3 ) ,求 f(x)的解析式; 12 6
已知函数 f(x)=Asin(2x+θ ),其中 A>0,θ ∈(0, (II)如图,点 M、N 分别是函数 y=f(x)的图像在 y 轴两侧与 x 轴的两个相邻交点,函数图 像上的一点 P(t,

3 π π2 ) ,若满足 PN ? MN = ,求函数 f(x)的最大值. 8 16

y P

M O

N x

厦门市 2011—2012 学年(下)高一质量检测

数学参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1-5: ACBBD; 6-10:DACCD 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. x ? 2 y ? 1 ? 0 14. 1 12. 60
?

D

E

13. 16.2

15. 2 x ? 4 y ? 3 ? 0

3 4

C(A)

B 正视图 侧视图

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分. 17. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)多面体 ABCDE 的俯视图如图所示.┄4 分 (Ⅱ)直线 MN ?? 平面 BCDE. ┄┄┄┄┄6 分
俯视图

(第 17 题)

证明如下:连结 BD , ? M、N 分别是 AB 、 AD 的中点, ? MN ??BD ,┄┄┄┄10 分 又? MN ? 平面 BCDE , BD ? 平面 BCDE ? MN ?? 平面 BCDE . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 18. (本题满分 12 分) 解 : ( Ⅰ )

? ? ?a ? b



? ? ?a ? b ? 0



┄┄┄┄┄┄┄┄┄1 分 即

2sin ? ? (?1) ? (sin ? ? 2cos ? ) ? 0



┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分 sin ? ? 2cos? , ? tan ? ? 2 . (Ⅱ)原式=

┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分

2sin ? ? cos ? ? cos 2 ? 2 cos 2 ?

?

2sin ? ? cos ? 2cos ? 1 1 3 ? tan ? ? ? 2 ? ? . 2 2 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

19. (本题满分 12 分)

??? ? ???? (Ⅰ)证明:四边形 ABCD 为平行四边形,记 AB ? a, AD ? b,
???? ??? ? ???? 2 ???? ∵ DN ? DA ? AN = ? b+ AC D 3 N 2 2 1 = ? b+ (a+b)= a ? b, ┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 3 3 3 ???? ? ???? ???? 1 ∵ DM ? DC ? CN =a ? b, ┄┄┄┄┄┄┄3 分 A B 2 (第 19 题) ???? 2 ???? ? ∴ DN ? DM ,且 DM 与 DN 有公共点 D,┄5 分 3 ∴D、N、M 三点共线. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 (Ⅱ)解:ABCD 为平行四边形,记 ?BAD ? ? . ???? 2 1 由(Ⅰ)知 DN ? a ? b, 3 3 ???? 2 2 1 4 1 4 4 1 4 ∴ | DN | ? ( a ? b)2 ? a 2 ? b2 ? a ? b ? m2 ? n2 ? mn cos? ┄8 分 3 3 9 9 9 9 9 9 ???? ??? ? ???? ???? 2 2 1 2 ∵ BN ? BA ? AN ? ?a + AC ? ? ?a + (a ? b) ? ? a + b , ┄┄┄9 分 3 3 3 3 ???? 2 1 2 2 1 2 4 2 4 1 2 4 2 4 ∴ | BN | ? (? a ? b) ? a ? b ? a ? b ? m ? n ? mn cos? ┄10 分 3 3 9 9 9 9 9 9
C M

???? ???? 4 1 1 4 若 | DN |?| BN | ,则 m2 ? n2 ? m2 ? n 2 , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄11 分 9 9 9 9 ∴ m2 ? n2 即 m ? n . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 (备注:利用坐标法或几何或三角函数的方法来证明的相应得分) 20. (本题满分 12 分) (A1) 解: (Ⅰ)首先求蚂蚁爬行整个路程的最小值. 沿棱 BB1、B1C1 将正方体的三个面展开成平面图形,如图.图中 A1 B1 从 E 到 F 两点间线段最短,且依次经过棱 BB1、B1C1 的中点,
易求得 | EF |?

D1 F C1

3 2, 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分
A E B C

所以蚂蚁取一次食物(一个来回)所爬行路程的最小值是 3 2 米,所需的最短时间为 300 2 秒. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分

(Ⅱ)证明:在(Ⅰ)的条件下,点 M、N 分别是棱 BB1、B1C1 的中点. ┄7 分 连接 MN,则 MN∥BC1, ∵在正方体 AC1 中,A1B1⊥平面 B1C1CB, 而 BC1 ? 平面 B1C1CB,∴A1B1⊥BC1,则 A1B1⊥MN, ┄ ┄┄┄┄┄9 分 又,在正方形 B1C1CB 中,BC1⊥B1C,则 B1C⊥MN, 又 A1 B1 ? B1C ? B1 ,∴MN⊥平面 A1B1C,而 AC ? 平面 A1B1C, 1 ∴MN⊥A1C. 同理 EM⊥A1C, EM ? MN ? M , ∴ AC ? 平面 EMN . 1 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分

┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

21. (本题满分 14 分) 解:(Ⅰ)当直线 l 的斜率存在时,设斜率为 k ,则 l 的方程为 y ? 0 ? k ( x ? 2) . 又圆 C 的圆心为 (3, ?2) ,半径 r ? 3 ,



3k ? 2 ? 2k k 2 ?1

3 ? 1 ,解得 k ? ? . 4

┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分

3 ( x ? 2) ,即 3x ? 4 y ? 6 ? 0 . ┄┄┄┄┄4 分 4 当 l 的斜率不存在时, l 的方程为 x ? 2 ,经验证 x ? 2 也满足条件. ┄6 分
所以直线 l 的方程为 y ? ? 所以直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 6 ? 0 或 x ? 2 . (Ⅱ)由于 CP ? 5 ,而弦心距 d ?

r2 ? (

MN 2

)2 ? 5 ,

所以 d ? CP ? 5 ,所以 P 为弦 MN 的中点. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分

故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 .┄┄┄┄┄┄┄┄10 分
2 2

(Ⅲ)直线 ax ? y ? 1 ? 0 与圆 C 交于 A , B 两点, 则弦心距小于圆的半径,即

| 3a ? 2 ? 1| a2 ? 1

? 3 ,化简得 a ? 0 . ┄┄┄┄12 分

设符合条件的实数 a 存在,由于 l 垂直平分弦 AB ,故直线 l 过圆心 C (3, ? 2) . 所以 l 的斜率 k PC ? ?2 ,而 a ? k AB ? ?

1 1 ,所以 a ? .┄┄┄┄┄13 分 k PC 2

由于

1 , 故 不 存 在 实 数 a , 使 得 过 点 P( 2 , 0 的 ) 直线 l 垂直平分弦 ? ( ? ?, 0 ) 2

AB .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14 分
22. (本题满分 14 分)

? ? A sin( ? ??) ?1 ? ? 6 解: (Ⅰ)依题意得: ? ? A sin( ? ? ? ) ? 3 ? ? 3 ? ? ? sin( ? ? ) ? 3s in(? ? ? ) ,
3 6
展开得

┄┄┄┄┄┄┄┄┄1 分

┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分

? 1 ? 1 3 cos ? ? sin ? ? 3 ? ? cos ? ? sin ? ? , 2 2 2 ? 2 ?
3

? ? ?? ? 3 cos ? ? sin ? ,∴ tan ? ? 3 ,?? ? ? 0, ? ,?? ? , ┄┄4 分 3 ? 2?
? f ( x) ? A sin(2 x ? ) , 3 ?? ? ? f ? ? ? 3 ,? A ? 2 , ?6? ? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) . 3

?

┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分

?

(Ⅱ)过点 P 作 PC ? Ox 于点 C, 令 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ) ? 0 ,? 2 x ? ? ? k? ,(k ? z ) , 又点 M、N 分别位于 y 轴两侧, 则可得 M ? ?

y P

? ? ? ?? ? ? M ,0? , N ? ? ,0? O ? 2 ? ?2 2 ? ??? ? ?? ? ??? ? ?? ? 3? ? 则 MN ? ? , 0 ? , PN ? ? ? ? t , ? ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 ? 2 2 8 ?2 ? ? ? ??? ? ??? ? ? ?? ? ? ?2 ? PN ? MN ? ? ? ? t ? ? , 2 ? 2 2 ? 16 ? 3? ∴ ?t ? , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 2 8

N C

?? ? 2t ?

3? ,┈┈① 4 ? 3? ? 又点 P ? t , ? 在函数的图像上,即 A sin ? 2t ? ? ? ? ? 8 ?
联立①②式得 A ?
6? 8

3? 8

┈┈② , ┄12 分


6? 8

┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 13 分 . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄14 分

所以函数的 f ( x) 最大值


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