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2.3.2二面角 数学 优秀课件


二面角

数学与统计学院 赖巧芳

复习引入
问题1:平面几何中“角”是怎样定义的? 问题2:在立体几何中,“异面直线所成角”、

“直线和平面所成的角”又是怎样定义的?它
们有什么共同的特征?


图 形

平面角

异面直

线所 成角

直线与平面所成角

B

b o a? a
过O分别引直 a?∥a,b?∥b, 直线a?和b?所 成的锐角(或 直角)

o

o

A

定 义

平面内一 点出发的 两条射线 所组成的 图形

平面的一条斜线 和它在平面上的 射影所成的锐角

特 征

立体问题平面化

创设情景,揭示课题
观察1:为了解决实际问题,人们需要研究两个 平面所成的角。 请同学们观察下面的水坝,水 坝在修建的时候,为了坚固耐用,水坝的坡面 与水平面要成一个适当的角度,这个角就是两 个面所成的角。

创设情景,揭示课题
发射人造地球卫星时,要使卫星的轨道平面与地 球的赤道平面成一定的角度,如何刻画两个平面 形成的这种“角”呢?

讲授新课
1.半平面的定义 其中的每一部分都叫做半平面.

平面内的一条直线把平面分为两部分,

半 平 面

半 平 面

2.二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角
这条直线叫二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角 的面。

l

?

棱为l,两个面分别为?、?的二 面角记为 ?-l-? .

?

3、二面角的记法与表示
棱为AB,面分别为α,β的二面角记作二面 角α-AB-β。

为了方便,也可在α,β内 (棱以外的半平面部分)分 别取点P,Q,记作二面角 P-AB-Q。 如果棱记作l,记作二面角 α―l―β或P―l―Q。

3、二面角的记法与表示
⑴ 平卧式:
?
F 二面角?-l-? E

l

?

A

B

A

D

C
二面角C-AB-E
二面角C-AB-F 二面角D-AB-E

⑵ 直立式:
?
?

B

二面角D-AB-F

二面角?-AB-?

问题情境2
打开笔记本电脑或课本时,两个面所成的二面 角给我们怎样的感觉?(变大?变小?) 如何刻画二成角呢? 二面角可用平面角来度量。

归纳猜想:



动态的二面角







问题情境2
打开笔记本电脑或课本时,两个面所成的二面 角给我们怎样的感觉?(变大?变小?) 如何刻画二成角呢? 二面角可用平面角来度量。

归纳猜想:

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4、平面角定义

品质来自专业 信赖源于诚信

以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面 内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成 的角叫做二面角的平面角
二面角的平面角必须满足: 1)角的顶点在棱上 2)角的两边分别在两个面内 3)角的两边都要垂直于二面角的棱
P A B

13

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为什么要这样定义平面角?

品质来自专业 信赖源于诚信

1.唯一性

2.最大最小性

? ?

?

14

思考 ∠APB与∠A1P1B1是否相等?你能得出一个什
么结论? 二面角的大小可用其平面 角来度量,与点P的位置无 关。
P A B

P1

B1
A1 A 1

二面角范围 00≤α≤1800 直二面角:平面角是直角的二面角

例题精选
例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中
(1)求二面角A1-AB-D的大小 (2)求二面角D1-AB-D的大小
解:
? AB ? 平面AD1 ( 1) ? AB ? AD1,AB ? AD 由正方体的性质得, ?A1AD ? 90o 所以二面角A1 - AB - D为90o。 同理可得, (2) ?D1AD为二面角D1 - AB - D的平面角 所以二面角D1 - AB - D为45o。 ? ?A1AD为二面角A1 - AB - D的平面角。

D1 A1 B1

C1

D
A B

C

①作:即先做出二面角的平面角
二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关, 通常可以选取特殊点作为平面角的顶点。

②证:说明所作的角是二面角的平面角 ③求:利用二面角的平面角所在的三角形 算出角

从一条直线出发 二面角α-AB-β 二面角的平面角必须 ①作:即先做出二面角 小结 的两个半平面所 二面角 α―l―β 满足 3 个条件, 的平面角 组成的图形叫做 二面角P―l―Q 二面角的大小可用其 ②证:说明所作的角是 一,二面角的定义: 二面角 平面角来度量, 二面角的平面角 二 ,二面角的表示方法: 与顶点的位置无关。 ③求:利用二面角的平 定义法 三,二面角的平面角: 面角所在的三角形 垂直法 算出角 四,二面角的平面角的做法:

五,二面角的计算:

谢谢观赏


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